Dispensa n.1 Esercitazioni di Analisi Mat. 1

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Dispensa n.1 Esercitazioni di Analisi Mat. 1"

Transcript

1 Disensa n.1 Esercitazioni di Analisi Mat. 1 (a cura di L. Pisani) C.d.L. in Matematica Università degli Studi di Bari a.a. 2003/04 i

2 Indice Notazioni iii 1 Princii di sostituzione Funzioni equivalenti in un unto Parti rinciali Equivalenze notevoli Equivalenza nelle somme Termini trascurabili Notazione o iccolo di Landau Considerazioni conclusive Limiti notevoli Enunciati ed esemi Risoluzione delle forme Teoria degli ordini In niti di ordine inferiore e iti Confronto tra in niti e ordini Valutazione numerica dell ordine Esemi notevoli Struttura ne Famiglie di in niti classi cate tramite un multiindice Confronto di in nitesimi, iti e ordini Valutazione numerica dell ordine Ordine e oerazioni Prodotti e raorti Funzione comosta Somme Esemi ii

3 Notazioni Ove non resenti altre recisazioni, suorremo ssati A sottoinsieme di R; x 0 2 R unto di accumulazione er A; inoltre con f; g; : : : denoteremo funzioni reali de nite in A, non nulle in un intorno di x 0 ; tutti i iti si intendono er x! x 0 ; con ` si denoterà un generico elemento di R. iii

4 iv NOTAZIONI

5 Caitolo 1 Princii di sostituzione Consideriamo la funzione olinomiale P (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 : Saiamo che P (x) = a nx n : x!+1 x!+1 In altri termini esiste un altra funzione Q(x) = a n x n tale che P (x) = Q(x): x!+1 x!+1 Esistono due ossibili modi, del tutto equivalenti, er generalizzare questa sostituzione dentro il ite. Osserviamo che risulta Q(x) x!+1 P (x) = 1; questo conduce alla de nizione di funzioni equivalenti; risulta con P (x) = Q(x) + R(x) R(x) x!+1 Q(x) = 0; questo conduce alla de nizione di termine trascurabile. In questo caitolo resenteremo queste due nozioni. 1

6 2 CAPITOLO 1. PRINCIPI DI SOSTITUZIONE 1.1 Funzioni equivalenti in un unto De nizione 1.1 Due funzioni f(x) e g(x) si dicono (asintoticamente) equivalenti in x 0 se risulta f(x) = 1: (1.1) x!x 0 g(x) In questo situazione scriveremo f(x) = g(x) [er x! x 0 ]: Sottolineiamo che l equivalenza è una nozione di carattere locale, nel senso che due funzioni equivalenti in un unto non è detto che lo siano in altri unti. L utilità di questa de nizione viene messa subito in luce dai seguenti risultati. Proosizione 1.2 Se due funzioni sono equivalenti in x 0, allora hanno in x 0 lo stesso comortamento, nel senso che o entrambe non sono regolari o i risettivi iti coincidono; in simboli f(x) = g(x) (er x! x 0 ) =) x!x 0 f(x) = x!x 0 g(x): Proosizione 1.3 Si abbiano due coie di funzioni equivalenti: Allora risulta f 1 (x) = g 1 (x) e f 2 (x) = g 2 (x): f 1 (x) f 2 (x) = g 1 (x) g 2 (x): In articolare le funzioni f 1 (x) f 2 (x) e g 1 (x) g 2 (x) hanno lo stesso comortamento, nel senso sora recisato. L imortanza di questo corollario è evidente: nelle forme indeterminate 0 (1) otremo sostituire uno o entrambi i fattori con termini equivalenti. Proosizione 1.4 Se la funzione f(x) è equivalente a g(x), allora anche 1=f(x) è equivalente a 1=g(x). Se abbiamo due coie di funzioni equivalenti f 1 (x) = g 1 (x) e f 2 (x) = g 2 (x); allora le funzioni f 1 (x)=f 2 (x) e g 1 (x)=g 2 (x) hanno lo stesso comortamento. Questa roosizione ha un imortanza evidente, con riferimento alle forme indeterminate 0 0 e 1 1. Anche se l equivalenza si alica rincialmente a funzioni in nite o in - nitesime, vogliamo segnalare che, se f(x) converge ad numero ` 6= 0, allora ovviamente f(x) = ` (intendendo la funzione di costante valore `). Risultano molto utili, in ne, i seguenti risultati, concernenti il comortamento dell equivalenza risetto alla comosizione. Proosizione 1.5 Se t!t0 '(t) = x 0 '(t) 6= x 0 in un intorno di t 0

7 1.1. FUNZIONI EQUIVALENTI IN UN PUNTO 3 e allora risulta f(x) = g(x) er x! x 0 f('(t)) = g('(t)) er t! t 0. Nella roosizione recedente le due funzioni equivalenti comarivano all esterno della comosizione. Ora ci chiediamo in quali casi ossiamo a ermare che f(x) = g(x) =) ' (f(x)) = ' (g(x)) : Alcuni casi rilevanti in cui l equivalenza si conserva sono illustrati di seguito. Proosizione 1.6 Se allora, er ogni > 0, risulta Proosizione 1.7 Se allora, er ogni a > 0, a 6= 1 f(x) > 0 f(x) = g(x) er x! x0 (f(x)) = (g(x)) f(x)! ` 0; ` 6= 1; er x! x 0 : f(x) = g(x) er x! x0 log a (f(x)) = log a (g(x)) er x! x 0 : Esemio 1.8 La condizione aggiuntiva ` 6= 1 è necessaria. Le funzioni 1 + x e 1 + x 2 sono equivalenti er x! 0. Tuttavia vedremo che log(1 + x) = x 6 = x 2 = log(1 + x 2 ): Osservazione 1.9 Se f(x) è una funzione in nita, allora la condizione è detta di equivalenza forte in quanto essa imlica f(x) g(x)! ` 2 R (1.2) f(x) g(x)! 1; senza che valga l imlicazione oosta. Ad esemio er x! +1 le funzioni x2 + x e 3 x 3 + x 2 sono entrambe equivalenti ad x; tuttavia solo la rima è equivalente in senso forte. Osserviamo che la condizione (1.2) è ovvia er funzioni convergenti ed equivalenti. Nella terminologia della teoria degli ordini, otremmo a ermare che se f e g sono in nite ed equivalenti in senso forte, allora er ogni a > 0, a 6= 1 le funzioni comoste ex a (f) ed ex a (g) hanno lo stesso ordine. In articolare se allora g(x) f(x)! 0; (1.3) ex a (f(x)) = ex a (g(x)) er x! x 0 : La condizione aggiuntiva (1.3) è necessaria. Infatti le funzioni x 2 e x 2 + x sono equivalenti er x! +1, ma non veri cano (1.3). Risulta e x2 6 = e x2 +x er x! +1.

8 4 CAPITOLO 1. PRINCIPI DI SOSTITUZIONE 1.2 Parti rinciali In corrisondenza del unto x 0 vogliamo ssare un in nitesimo ed un in nito di riferimento. De nizione 1.10 Si de nisce in nitesimo rinciale in x 0 la funzione x x0 se x x0 (x) = 0 2 R; 1=x se x 0 = 1: La funzione in nita! x0 (x) = 1 1= (x x0 (x) = x0 ) se x 0 2 R; x se x 0 = 1; rende il nome di in nito rinciale in x 0. Tra le funzioni in nitesime in x 0, quelle iù semlici sono della forma c ( x0 (x)) (1.4) essendo c 2 R e > 0. Questo suggerisce la seguente de nizione. De nizione 1.11 Sia f(x) una funzione in nitesima. Si de nisce arte rinciale di f in x 0 l unico in nitesimo della forma (1.4) equivalente ad f(x) in x 0. La recedente de nizione richiede alcune immediate recisazioni. 1. Nel caso di esonenti non interi si richiede imlicitamente che si tratti di iti unilaterali, in modo che la base in (1.4) sia ositiva. 2. Come imlicitamente a ermato nella de nizione, la arte rinciale è unica. 3. Non è a atto detto che ogni in nitesimo ammetta arte rinciale. Consideriamo, ad esemio x! 0; le funzioni f(x) = x(1 + sin 2 1 x ) f(x) = e 1=x2 non ammettono arte rinciale; abbastanza semlice la dimostrazione nel rimo caso, iù delicata nel secondo. 4. Se f è una funzione di classe C 1 ed x 0 è un unto interno ad A, la arte rinciale di f in x 0 coincide con il rimo termine non nullo dello sviluo di Taylor. Osservazione 1.12 Sussiste ovviamente la de nizione analoga di arte rinciale di un in nito.

9 1.2. PARTI PRINCIPALI Equivalenze notevoli Tutte le volte che si incontra un in nitesimo sarà oortuno cercare di assare alla risettiva arte rinciale. Essa si determina a artire da equivalenze note, tramite le regole contenute nelle roosizioni del aragrafo recedente. Riortiamo una tabella di arti rinciali di alcune funzioni in nitesime er x! 0. Una traccia di dimostrazione la daremo nel Paragrafo 1.5. Come casi articolari abbiamo funzione arte rinc. ordine sin x x 1 tan x x 1 arcsin x x 1 arctan x x 1 1 cos x x 2 =2 2 log a (1 + x) x= log a 1 a x 1 (log a) x 1 (1 + x) 1 x 1 funzione arte rinc. ordine log(1 + x) x 1 e x 1 x 1 n 1 + x 1 x=n 1 Abbiamo anche equivalenze notevoli er x! 1. funzione arte rinc. ordine log x x 1 1 arccos x 2 1 x 1=2 Vediamo come si alicano queste equivalenze Esemio 1.13 Determiniamo la arte rinciale di s f(x) = 4 log arcsin 3 x2 2 er x! 0. Saiamo che log(1 + x) = x er x! 0: Alicando la Proosizione 1.5 con '(x) = 3 arcsin 3 x2 2 (in quanto '(x)! 0), otteniamo log arcsin 3 x2 = 3 arcsin 3 x2 2 2 : (1.5) Saiamo anche che arcsin x = x er x! 0 e quindi, oiché elevando a otenza si conserva l equivalenza, arcsin 3 x = x 3 :

10 6 CAPITOLO 1. PRINCIPI DI SOSTITUZIONE Alicando ancora la Proosizione 1.5, con '(x) = x 2 =2! 0; otteniamo Da (1.5) e (1.6) consegue log arcsin 3 x2 2 = x6 8 : (1.6) arcsin 3 x2 = x6 : Elevando alla otenza 1=2 si conserva l equivalenza e ertanto s r log arcsin 3 x2 3 = 2 8 x3 : In de nitiva ossiamo concludere che la arte rinciale di f(x), er x! 0, è 6x 3. A arte i casi segnalati nelle Proosizioni 1.6 e 1.7, osserviamo che si rocede dalla funzione iù esterna a quella iù interna. 1.3 Equivalenza nelle somme Sussiste la seguente roosizione. Proosizione 1.14 Si abbiano due coie di funzioni equivalenti f 1 (x) = g 1 (x) e f 2 (x) = g 2 (x): Suoniamo, in un intorno di x 0, g 1 (x) + g 2 (x) g 1 (x) > 0: (1.7) Risulta allora Osserviamo quanto segue. f 1 (x) + f 2 (x) x!x 0 g 1 (x) + g 2 (x) = 1 La condizione (1.7) è immediatamente veri cata qualora gli addendi siano concordi in un intorno di x 0. La condizione (1.7) è immediatamente veri cata qualora risulti f 1 (x) x!x 0 f 2 (x) = g 1 (x) = ` 6= 1: x!x 0 g 2 (x) Osservazione 1.15 In realtà, se g 1 (x) e g 2 (x) sono arti rinciali, la condizione g 1 (x) + g 2 (x) 6 0 (1.8) imlica la condizione (1.7); quindi nella maggior arte degli esercizi è su ciente veri care la (1.8).

11 1.4. TERMINI TRASCURABILI 7 Se g 1 e g 2 non sono arti rinciali, la condizione (1.8) non imlica la (1.7) quindi bisogna restare articolare attenzione. Ad esemio consideriamo f 2 (x) = 1 f 1 (x) = x = g 1 (x) 1 + 2x + 4x 2 = x 2x 2 = g 2 (x) L equivalenza è corretta ma, a norma di de nizione, g 2 (x) non è la arte rinciale di f 2 (x). In questo caso abbiamo g 1 (x) + g 2 (x) = 2x 2 6= 0, tuttavia non è a atto vero che f 1 (x) + f 2 (x) = 2x 2 : Infatti lasciamo come semlice esercizio lo studio del ite f 1 (x) + f 2 (x) x!0 x 2 = 3=2 che ci ermette di a ermare correttamente f 1 (x) + f 2 (x) = 3 2 x2 : Osservazione 1.16 Se alla funzione f 1 + f 2 non si ossono alicare le equivalenze, non è a atto escluso che un ite del tio f 1 (x) + f 2 (x) x!x 0 f 3 (x) ossa essere risolto scrivendolo nella forma x!x 0 Ad esemio ossiamo considerare f1 (x) f 3 (x) + f 2(x) f 3 (x) : log(1 + x) sin x x!0 + e x : 1 Osservazione 1.17 Nel caso di iù di due addendi si richiede articolare attenzione. Per la risoluzione degli esercizi ossiamo suggerire una regola ratica: se tutti gli addendi ammettono arte rinciale, a nché si conservi l equivalenza nella somma è su ciente che i termini con esonente iù basso abbiano somma diversa da Termini trascurabili Ora assiamo ad esorre una nozione che si integra con quella di funzione equivalente. De nizione 1.18 Assegnate due funzioni f(x) e h(x), il termine h(x) si dice trascurabile risetto ad f in x 0 se risulta x!x 0 h(x) f(x) = 0:

12 8 CAPITOLO 1. PRINCIPI DI SOSTITUZIONE La denominazione trascurabile viene motivata dalla seguente roosizione, di dimostrazione immediata. Proosizione 1.19 Se h(x) è trascurabile risetto ad f(x) in x 0, allora f(x) + h(x) = f(x): Una conseguenza immediata di questa roosizione è che, in tutte le somme, i termini trascurabili ossono essere cancellati, ottenendo una funzione equivalente. Vogliamo osservare che la Proosizione 1.19 ammette il viceversa. Proosizione 1.20 Se due funzioni sono equivalenti in x 0, allora di eriscono er un termine trascurabile risetto a ciascuna di esse. Proosizione 1.21 Suoniamo f(x) equivalente a g(x) in x 0 ed h(x) equivalente ad l(x) in x 0. Se h(x) è trascurabile risetto ad f(x), allora l(x) è trascurabile risetto a g(x). Diamo ora un esemio base. Esemio 1.22 Se f(x) è una funzione in nita ed h(x) è una funzione itata, allora h(x) è trascurabile risetto ad f(x). Esemio 1.23 Si voglia studiare, er x! +1, la funzione f(x) = 3 x 2 + sin 2 x + arctan x: Il termine arctan x; essendo itato, è trascurabile risetto a 3 x 2 + sin 2 x, che è divergente; ertanto f(x) = 3 x 2 + sin 2 x (1.9) A sua volta sin 2 x, essendo itato, è trascurabile risetto al termine divergente x 2 ; ertanto x 2 + sin 2 x = x 2 : (1.10) Dalla (1.10), alicando la Proosizione 1.6, consegue Dalla (1.9) e dalla (1.11) otteniamo f(x) = x 2=3. 3 x 2 + sin 2 x = x 2=3 : (1.11) Esemio 1.24 Siano 0 < < q. Consideriamo le funzioni x e x q. Se x! 0 +, allora x q è trascurabile risetto a x. Se x! +1, allora x è trascurabile risetto a x q. Dobbiamo recisare che in resenza di iù di due addendi, la cancellazione di un addendo non è oerazione da farsi con leggerezza. Esemio 1.25 Consideriamo x!+1 x2 + x x + arctan ( x) :

13 1.4. TERMINI TRASCURABILI 9 I rimi due addendi sono in niti mentre il terzo non lo è. Erroneamente otremmo ritenere arctan ( x) trascurabile risetto a x 2 + x x e cancellarlo, così facendo otteniamo x!+1 x2 + x x + arctan ( x) = x2 + x x : x!+1 Per risolvere questo ite osserviamo che r x2 + x x = x = x 1 x 2 x! (1.12) 2 In realtà, come aena visto, x2 + x x non è in nito, quindi arctan( x) non è a atto trascurabile e, alla luce di (1.12) abbiamo x2 + x x + arctan ( x) = 0: x!+1 Esemio 1.26 Consideriamo x! 0. La funzione log(1 + x 2 ) è trascurabile risetto ad x e risetto a sin x. Tuttavia, come vedremo in seguito, essa non è trascurabile risetto a x sin x Notazione o iccolo di Landau De nizione 1.27 Assegnata una funzione f, il simbolo o(f; x 0 ) (si legge o iccolo di f in x 0 ) denota una generica funzione g trascurabile risetto ad f in x 0. Se non sorgono equivoci, si scrive semlicemente o(f). Questa nuova notazione richiede alcune recisazioni. Quando diciamo funzione generica intendiamo non meglio recisata, in quanto di essa ci interessa solo la trascurabilità risetto ad f. Esemio 1.28 Se consideriamo x! +1, con il simbolo o(x 2 ) si uò denotare tanto x quanto sin x. In maniera del tutto coerente con la de nizione che abbiamo dato, alcuni autori usano il simbolo o(1) er denotare una generica funzione in nitesima. La genericità uò dare luogo a scritture e regole aarentemente aradossali. Proosizione 1.29 Quale che sia f, si ha che o(f) + o(f) = o(f); o(f) o(f) = o(f 2 ): Infatti la somma di funzioni trascurabili risetto ad f è anch essa trascurabile risetto ad f. La dimostrazione è analoga riguardo al rodotto. Utilizzando la notazione o iccolo, la Proosizione 1.19 si enuncia sinteticamente come segue: f(x) + o(f) = f(x): (1.13) Tenuto conto della (1.13), i risultati 1.2, 1.3, 1.4 ossono essere rienunciati al modo seguente.

14 10 CAPITOLO 1. PRINCIPI DI SOSTITUZIONE Proosizione 1.30 La funzione f(x) + o(f) ha lo stesso comortamento, er x! x 0, della funzione f(x), nel senso che o entrambe non sono regolari o i risettivi iti coincidono. Il rodotto (f(x) + o(f))(g(x) + o(g)) ha lo stesso comortamento del rodotto f(x)g(x). Il raorto (f(x) + o(f)) = (g(x) + o(g)) ha lo stesso comortamento del raorto f(x)=g(x). Talvolta si incontra la scrittura f(x) = g(x) + o(h): Evidentemente essa vuol dire che (er x! x 0 ) la di erenza f(x) g(x) è trascurabile risetto alla funzione h. Ovviamente tale scrittura è signi cativa se a sua volta h = o(g). Esemio 1.31 (di erenziale) Se f è derivabile in x 0 si uò scrivere f(x) = f(x 0 ) + f 0 (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ) La notazione o verrà usata anche nella formula di Taylor. Esemio 1.32 Sia f una funzione su cientemente regolare. Possiamo scrivere f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n + o(x n ) 1.5 Considerazioni conclusive Siamo artiti da una situazione nota, i iti all in nito delle funzioni olinomiali. Generalizzando quella situazione abbiamo visto che in un ite ossiamo sostituire la funzione con una ad essa equivalente; cancellare nella funzione eventuali termini trascurabili. Le due oerazioni sono collegate tra loro: infatti (Proosizioni ) due funzioni sono equivalenti se e solo se di eriscono er un termine trascurabile. Abbiamo imostato la nostra esosizione sulla nozione di funzioni equivalenti; l eserienza didattica convalida questa scelta. In realtà l e cacia di questa tecnica negli esercizi diende er intero, oltre che delle regole di equivalenza, della tabella di equivalenze notevoli (vedi Sottoaragrafo 1.2.1). Tutte quelle equivalenze vengono ottenute rigorosamente tramite il calcolo di erenziale (vedi Esemio 1.31). Ad esemio, si dimostrerà che, er x! 0 sin x = x + o(x) Per la Proosizione 1.19 abbiamo e quindi, er transitività, x + o(x) = x sin x = x La nozione di termine trascurabile ritorna in alcuni iti notevoli che resentiamo nel rossimo caitolo.

15 Caitolo 2 Limiti notevoli Sotto il nome tradizionale di iti notevoli assano alcune forme indeterminate. 2.1 Enunciati ed esemi Proosizione 2.1 Per ogni a > 1 e er ogni > 0 x x!+1 a x = 0 In base a questo ite si suol dire che, er x! +1, le otenze sono trascurabili risetto agli esonenziali. Esemio 2.2 Calcolare x!+1 tan 3 x 1 cos 2 x Esemio 2.3 Calcolare x!+1 ex=2 sin 1 x arcsin 1 x Nella arentesi ossiamo assare alle arti rinciali. Quindi ossiamo osservare che 1 1 = 1 x 1 = x x x x oure direttamente D altra arte 1 1 x = o x : e x=2 = e x Esemio 2.4 Calcolare Osserviamo che e x2 +sin x x!+1 x 3 + 6x x 6 + 6x = x 3 : 11

16 12 CAPITOLO 2. LIMITI NOTEVOLI Abbiamo anche x 2 + sin x = x 2 ; tuttavia non ossiamo a ermare che e x2 +sin x = e x 2 : In questo caso articolare ossiamo osservare che e x2 +sin x = e x2 e sin x Pertanto il ite si trasforma in e x2 x!+1 x 3 esin x : Abbiamo D altra arte Pertanto si conclude e x2 x!+1 x 3 e sin x e 1 > 0: 2 t=x e t = = +1 t!+1 t3=2 e x2 +sin x x!+1 x 3 + 6x = +1: Esemio 2.5 Calcolare Osserviamo che quindi il ite si riduce a x! x+1 x4 arctan x + 1 : x4 arctan x + 1 = r 2 x2 r x+1 x!+1 x 2 : Poniamo da cui t = 3 x + 1; x = t 3 1 e quindi il ite diventa r 2 t!+1 r 4 t 2 (t 3 1) 2 = 4 t t!+1 t 6 = +1:

17 2.1. ENUNCIATI ED ESEMPI 13 Esemio 2.6 Calcolare e 1= x tan x 5 : x!0 + Si tratta di una forma (+1) 0. Anzitutto cerchiamo di semli care il ite: er x! 0 + tan x 5 = x 5 e quindi x x!0 e1= tan x 5 = x + x!0 e1= x 5 : + Ora, in questo caso abbastanza semlice, ossiamo cambiare variabile: t = 1= x! +1 e 1= x x 5 e t = = +1: x!0 + t!+1 t10 E oortuno segnalare un ovvio corollario sulle funzioni comoste. Corollario 2.7 Sia x!x0 '(x) = +1. Per ogni a > 1 e er ogni > 0 Esemio 2.8 Calcolare Abbiamo ('(x)) = 0 x!x 0 a '(x) sin x+x e1= tan x 5 : x!0 + 1 = +1 x!0 + sin x + x E ancora una forma (+1) 0. Come nell esemio recedente abbiamo e 1= sin x+x tan x 5 = e 1= sin x+x x 5 : x!0 + x!0 + Tuttavia in questo caso non sembra immediato il cambio di variabile, ertanto alichiamo il corollario e 1= sin x+x x 5 = x!0 + e 1= sin x+x x!0 + e 1= sin x+x x!0 + = 1= sin x + x 1= sin x + x x 5 = x 5 1= sin x + x (x + sin x) =2 Il rimo fattore è in nito (er ogni > 0), er = 10 il secondo fattore tende ad 1=2 5 e quindi, comlessivamente sin x+x e 1= x!0 + 1= sin x + x x 5 10 (x + sin x) 5 = +1 Proosizione 2.9 Per ogni > 0 e er ogni a > 0, a 6= 1 log a x x!+1 x = 0

18 14 CAPITOLO 2. LIMITI NOTEVOLI In base a questo ite si suol dire che, er x! +1, i logaritmi sono in niti trascurabili risetto alle otenze. Esemio 2.10 Calcolare Esemio 2.11 Calcolare Esemio 2.12 Calcolare Evidentemente inoltre quindi x 3 + log x x!+1 2 x + x 2 : x 3 + 3x + 4 x!+1 x 4 + 3x 2 5 x!+1 tuttavia non ossiamo a ermare che Dunque il ite si riduce a (x+sin x)2 e x 6 log x + e 1=x x 3 3 x 5 +x x 6 log x + e 1=x = x 6 log x; x + sin x = x (x + sin x) 2 = x 2 e (x+sin x)2 = e x 2 : x!+1 (x+sin x)2 e x 6 log x Considerato che x!+1 (x + sin x) 2 = +1, er ogni > 0 abbiamo x!+1 (x+sin x)2 e 2 = +1 (x + sin x) Per 2 (x+sin x)2 e x 6 log x = = = (x+sin x)2 e (x + sin x) (x + sin x) 2 x 6 log x (x+sin x)2 e x 2 (x + sin x) 2 x 6 log x = (x+sin x)2 e x 2 6 (x + sin x) 2 log x : 6 > 0 entrambi i fattori divergono. 2 = Esemio 2.13 Calcolare x x!+1 log x 1=x

19 2.1. ENUNCIATI ED ESEMPI 15 Corollario 2.14 Per ogni > 0, er ogni a > 1 e er ogni q > 0 log q a x x!+1 x = 0 Corollario 2.15 Per ogni > 0, er ogni a 2 (0; 1) e er ogni n 2 N Esemio 2.16 Calcolare x!+1 log n a x x!+1 x = 0 arctan x log 4 x + x 2 x 3 3x + x log(x 2 + 1) Anche in questo caso abbiamo iti analoghi er le funzioni comoste, ne riortiamo solo uno. Corollario 2.17 Sia x!x0 '(x) = +1. Per ogni > 0 e er ogni a > 0, a 6= 1 log a '(x) x!x 0 ('(x)) = 0 Proosizione 2.18 Per ogni > 0 e er ogni a > 0, a 6= 1 x!0 x log a x = 0: + Corollario 2.19 Per ogni > 0, er ogni a > 1 e er ogni q > 0 x log q x!0 + a x = 0: Corollario 2.20 Per ogni > 0, er ogni a 2 (0; 1) e er ogni n 2 N Esemio 2.21 Calcolare x log n x!0 + a x = 0: x + x3 log 2 sin x: x!0 + Anzitutto osserviamo che, er x! 0 +, abbiamo e quindi Inoltre saiamo che da ciò consegue (Proosizione 1.7) e quindi Pertanto x + x 3 = x x + x 3 = x sin x = x! 0; log sin x = log x; log 2 sin x = log 2 x: x!0 + x + x3 log 2 sin x = x!0 + x log 2 x = 0:

20 16 CAPITOLO 2. LIMITI NOTEVOLI Proosizione 2.22 Per ogni a > 1 e er ogni > 0 In articolare, er ogni n 2 N x! 1 ax jxj = 0: x! 1 ax x n = 0 Corollario 2.23 Sia x!x0 '(x) = 1. Per ogni a > 1 e er ogni n 2 N Esemio 2.24 Calcolare Abbiamo x! 1 a'(x) (' (x)) n = 0 x!1 x!1 (x 2)=(x 1)2 2 sin(x) log 2 x x 2 (x 1) 2 = 1 Dunque si tratta di una forma 0=0. Anzitutto cambiamo variabile Quindi il ite diventa Osserviamo che t!0 e ertanto il ite si riduce a t = x 1! 0 (t 1)=t2 2 sin((t + 1)) log 2 (t + 1) sin(t + ) = sin(t) = t log 2 (1 + t) = t 2 (t 1)=t2 2 t!0 t 3 = 1 n t 1 t 2 (t 2 n 1 1)=t2 t!0 t 2 t 1 t 3 : In base al corollario il rimo fattore è in nitesimo er ogni n 2 N, il secondo fattore è in nitesimo er n 2. Pertanto il ite è uguale a 0. Torneremo su alcuni di questi esemi quando avremo introdotto la teoria degli ordini. 2.2 Risoluzione delle forme +1 1 Ricordiamo che le forme indeterminate sono quattro +1 1; 0 (1) ; 1 1 ; 0 0 : Quella che sembra sfuggire alle rocedure viste no ad ora è la rima.

21 2.2. RISOLUZIONE DELLE FORME Si abbia f(x) = g(x) = +1 x!x 0 x!x 0 e si voglia studiare la forma indeterminata (f(x) g(x)) = +1 1 x!x 0 Si suggerisce di e ettuare la trasformazione (f(x) x!x 0 g(x)) = f(x) 1 x!x 0 g(x) : (2.1) f(x) Ci siamo ricondotti a studiare la forma indeterminata Suoniamo di aver risolto g(x) x!x 0 f(x) = g(x) x!x 0 f(x) = ` 2 R Se ` 6= 1, la forma a secondo membro di (2.1) è determinata e il risultato è in nito (con il segno aroriato). Se ` = 1 (in niti equivalenti), la forma a secondo membro di (2.1) è indeterminata +1 0; in questo caso si suggerisce di studiare tramite equivalenze la natura del termine in nitesimo 1 g(x) f(x) : Esemio 2.25 Calcolare 1 x + log 2 x x!0 + x!+1 x 3 2 x 3 x 2 x

22 Caitolo 3 Teoria degli ordini 3.1 In niti di ordine inferiore e iti Introduciamo la seguente de nizione. De nizione 3.1 Se f e g sono in nite in x 0, diremo che g è un in nito di ordine inferiore a f se risulta g = o(f) ossia se g è trascurabile risetto ad f, ossia, in base alla de nizione, se g(x) x!x 0 f(x) = 0: In questo caso, equivalentemente, si dirà che f è un in nito di ordine sueriore a g. In base alla de nizione che abbiamo aena dato, la Proosizione 1.30 si rienuncia, grosso modo, come segue. Teorema 3.2 (einazione degli in niti di ordine inferiore) In un ite ove comaiano sommati iù in niti, si ossono cancellare quelli di ordine inferiore. Questo teorema risolve formalmente quasi tutte le forme +1 1 e semli ca di molto le forme 0(1) e (1)=(1). In ratica, così come enunciato, non è di grande utilità, in quanto confrontare tra loro tutti gli addendi in niti che comaiono in una somma equivale a risolvere il ite. La teoria che stiamo er svolgere ci risarmia di studiare volta er volta i raorti tra i diversi addendi. 3.2 Confronto tra in niti e ordini La relazione tra funzioni in nite de nita sora è sicuramente transitiva e lascia ensare ad una sorta di stretto ordinamento tra funzioni in nite. Tuttavia non si deve ensare che rese due qualsiasi funzioni f e g debba veri carsi che una delle due è di ordine sueriore all altra. Precisamente uò veri carsi quanto segue: 18

23 3.2. CONFRONTO TRA INFINITI E ORDINI 19 g(f) x!x0 f(x) = 0 e in questo caso, come si è detto, f è un in nito di ordine sueriore a g; g(f) x!x0 f(x) = +1 e in questo caso, simmetrico del recedente, g è un in nito di ordine sueriore a f. g(f) caso intermedio: x!x0 f(x) = ` 2 (0; +1); g(f) non esiste x!x0. f(x) Diamo dunque una de nizione. De nizione 3.3 I due in niti f e g hanno lo stesso ordine se 9 g(f) x!x 0 f(x) = ` 2 (0; +1): Se non esiste il ite del raorto, diremo sinteticamente che si tratta di in niti non confrontabili. Diamo di seguito due esemi. Esemio 3.4 Per x! +1, ossiamo considerare le funzioni f(x) = x(2 + sin x); g(x) = 2x: Per queste due funzioni non esiste x(2 + sin x) x!x 0 2x e risulta x(2 + sin x) x(2 + sin x) inf = 1=2 e su = 3=2: x!+1 2x x!+1 2x Esemio 3.5 Possiamo considerare, semre er x! +1, le funzioni f(x) = x 2 ; g(x) = x + x 3 sin 2 x: Per queste funzioni non esiste il ite del raorto; il minimo ite del raorto è 0, il massimo ite +1. Osservazione 3.6 Dobbiamo segnalare che, in alternativa alla 3.3, esiste un altra ragionevole de nizione di in niti dello stesso ordine. Secondo alcuni autori, i due in niti f e g hanno lo stesso ordine se 0 < inf x!x 0 g(f) f(x) e su x!x 0 g(f) f(x) < +1: Se adottiamo questa seconda de nizione, due funzioni non confrontabili in base alla De nizione 3.3 otrebbero risultare dello stesso ordine; è quello che si osserva nel rimo esemio. Tuttavia il secondo esemio mostra che, anche se adottassimo la seconda de nizione (meno restrittiva della 3.3), continueremmo ad avere in niti non confrontabili.

24 20 CAPITOLO 3. TEORIA DEGLI ORDINI Osservazione 3.7 E immediato osservare che se due in niti sono equivalenti nel senso della De nizione 1.1, essi hanno ovviamente lo stesso ordine; non è vero il viceversa. Fino ad ora si è arlato di ordine di in niti come conseguenza di un confronto. Ora vogliamo dare una de nizione rigorosa. Teorema 3.8 La rorietà di avere lo stesso ordine de nisce una relazione di equivalenza tra funzioni in nite. De nizione 3.9 Si de nisce ordine la classe di equivalenza tra in niti ord x!x0 (f) = fg in nita in x 0 j f e g hanno lo stesso ordineg Ovviamente, ove non sorgano ambiguità, si uò omettere la recisazione x! x 0. Data questa de nizione, sull insieme degli ordini (insieme quoziente) si uò anche introdurre una relazione d ordine (non totale). De nizione 3.10 Poniamo se x!x 0 ord(g) 4 ord(f) g(x) f(x) = ` 2 [0; +1); ossia l ordine di g è inferiore all ordine di f nel senso della De nizione 3.1 oure se f e g hanno lo stesso ordine nel senso della De nizione 3.3. Precisiamo che la de nizione della relazione 4 è ben osta in quanto il confronto tra in niti è comatibile con la relazione di equivalenza. 3.3 Valutazione numerica dell ordine Precisato che, a rigore, l ordine è una classe di equivalenza, è molto comodo er gli esercizi avere una valutazione numerica dell ordine, nel senso che andiamo a recisare. Fissato un in nito camione, un sottoinsieme rorio dell insieme degli ordini è bigettivo all intervallo (0; +1). Su questo insieme di ordini la relazione 4 coincide con la relazione d ordine su R. Quanto agli altri ordini, quelli non raresentati da un numero reale, anche confronti arziali ossono essere di una certa utilità. In corrisondenza del unto x 0, si considera l in nito camione! x0 (x) (coincidente con l in nito rinciale ssato a suo temo) e si assume la seguente de nizione. De nizione 3.11 Una funzione f è in nita di ordine reale 2 (0; +1) in x 0 se 9 f(x) x!x 0 (! x0 (x)) = ` 2 (0; +1): (3.1)

25 3.3. VALUTAZIONE NUMERICA DELL ORDINE 21 In altre arole, dire che l ordine di f è vuol dire che f è dello stesso ordine del camione elevato ad. In questo caso, con abuso di notazione risetto alla De nizione 3.9, scriveremo er semlicità ord(f) =. Analogamente si daranno le de nizione di in nito di ordine maggiore o minore di (secondo che il ite in (3.1) sia risettivamente +1 o 0). Coerentemente scriveremo ord(f) > e ord(f) < Esemi notevoli Per resentare alcune situazioni articolari, so eremeremo la nostra attenzione sulle funzioni in nite er x! +1, er le quali abbiamo ssato l in nito camione! +1 (x) = x. Per ogni 2 (0; +1) risulta Fissato > 0, la funzione ord(log x) < ord(e x ) > x log x ha ordine strettamente maggiore di e strettamente minore di q, er ogni q >. Se i rimi due esemi otevano farci ensare è su ciente aggiungere all intervallo di ordini (0; +1) un ordine comunque iccolo ed un ordine comunque grande, il terzo esemio mostra che le cose sono molto iù comlicate. Non esiste, infatti, alcun numero che realizza le disuguaglianze riferite all ordine di x log x. Gli esemi visti sora non sono ancora i eggiori, infatti le funzioni in questione erano confrontabili con tutte le otenze dell in nito camione. Non è detto che questo accada semre. Fissato > 0, la funzione x (1 + sin 2 x) ha ordine strettamente maggiore di q, er tutti i q < ; d altra arte l ordine è minore di q er tutti i q >, tuttavia la funzione non è confrontabile con x. Fissati > 0 e q 0, la funzione x (1 + x q sin 2 x) ha ordine maggiore di er ogni < ; d altra arte l ordine è minore di, er ogni > + q; tuttavia questa funzione non è confrontabile con alcuna funzione otenza con esonente 2 [; + q].

26 22 CAPITOLO 3. TEORIA DEGLI ORDINI Fissato > 0, la funzione log x(1 + x sin 2 x) ha ordine strettamente minore di q, er ogni q >, tuttavia non è confrontabile con alcuna funzione otenza con esonente. Fissato > 0, la funzione x (1 + e x sin 2 x) ha ordine maggiore di q, er ogni q <, tuttavia non è confrontabile con alcuna funzione otenza con esonente. A conclusione ossiamo osservare esistono funzioni i cui ordini veri cano le stesse stime arziali e che non sono confrontabili. Le funzioni non sono confrontabili. x (1 + x q sin 2 x) x (1 + x q cos 2 x) Struttura ne Ora vogliamo arofondire alcune questioni riguardanti la struttura dell insieme degli ordini. Per semlicità continueremo ad occuarci di funzioni divergenti er x! +1. La rima questione è la seguente: scegliendo un in nito camione iù iccolo, si uò avere una classi cazione iù recisa degli ordini? La risosta è NO. Consideriamo, ad esemio, ~! +1 (x) = log x. Risulta quanto segue: la funzione log(log x) ha ordine comunque iccolo risetto a ~! +1 (x), infatti log(log x) t=log x log t x!+1 log = x t!+1 t = 0: Quindi si è rirodotta la situazione di un ordine non associabile ad alcun numero reale. Ma c è di eggio. Per ogni > 0 la funzione x ~! +1 (x). ha ordine comunque grande risetto a Questa mancanza di discriminazione tra funzioni diverse di uso comune non rende molto utile questa scelta dell in nito camione, mentre è molto comodo avere l ordine coincidente con l esonente. Possiamo ora vedere la cosa da un altro unto di vista. In una tabella indichiamo l ordine delle funzioni misurate risetto ai due diversi camioni

Una proposizione è una affermazione di cui si possa stabilire con certezza il valore di verità

Una proposizione è una affermazione di cui si possa stabilire con certezza il valore di verità Logica 1. Le roosizioni 1.1 Cosa studia la logica? La logica studia le forme del ragionamento. Si occua cioè di stabilire delle regole che ermettano di assare da un'affermazione vera ad un'altra affermazione

Dettagli

NUMERI RAZIONALI E REALI

NUMERI RAZIONALI E REALI NUMERI RAZIONALI E REALI CARLANGELO LIVERANI. Numeri Razionali Tutti sanno che i numeri razionali sono numeri del tio q con N e q N. Purtuttavia molte frazioni ossono corrisondere allo stesso numero, er

Dettagli

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti

Dettagli

Ancora sulla II parte dell articolo ALCUNE REGOLARITA DAI NUMERI PRIMI di Guido Carolla 1

Ancora sulla II parte dell articolo ALCUNE REGOLARITA DAI NUMERI PRIMI di Guido Carolla 1 Ancora sulla II arte dell articolo ALCUNE REGOLARITA DAI NUMERI PRIMI di Guido Carolla 1 1. Un osservazione sulle somme contratte e sul software del massimo ga Facendo seguito a quanto l autore ha iniziato

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Capitolo 9 Esponenziali e logaritmi... Capitolo 0 Funzioni circolari 0. Descrizione di fenomeni periodici Tra le funzioni elementari ne esistono due atte a descrivere fenomeni che si ripetono periodicamente

Dettagli

Insiemi e funzioni. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari

Insiemi e funzioni. Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari Insiemi e funzioni Lorenzo Pisani Facoltà di Scienze Mm.Ff.Nn. Università degli Studi di Bari ottobre 2007 Indice 1 Insiemi 3 1.1 Inclusione............................... 5 1.2 Famiglie di insiemi..........................

Dettagli

SENSAZIONE SONORA. 18.1 L orecchio umano. 18.2 La sensazione sonora - Audiogramma normale

SENSAZIONE SONORA. 18.1 L orecchio umano. 18.2 La sensazione sonora - Audiogramma normale Corso di Imiati Tecnici a.a. 009/010 Docente: Prof. C. Isetti CAPITOLO 18 18.1 L orecchio umano La ercezione di suoni, come d altra arte già osservato al riguardo della luce, coinvolge sia asetti fisici

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Successioni e serie numeriche Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

AREA 1: FUNZIONI E LIMITI

AREA 1: FUNZIONI E LIMITI AREA : FUNZIONI E LIMITI INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI Per ricordare H Un insieme E si dice: itato sueriormente se esiste un numero k, non necessariamente aartenente a E, che eá maggiore o uguale di tutti

Dettagli

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.

Dettagli

1 Serie di Taylor di una funzione

1 Serie di Taylor di una funzione Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

Modelli dei Sistemi di Produzione Modelli e Algoritmi della Logistica 2010-11

Modelli dei Sistemi di Produzione Modelli e Algoritmi della Logistica 2010-11 Modelli dei Sistemi di Produzione Modelli e lgoritmi della Logistica 00- Scheduling: Macchina Singola CRLO MNNINO Saienza Università di Roma Diartimento di Informatica e Sistemistica Il roblema /-/ w C

Dettagli

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile 1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è

Dettagli

1 Il campo elettrico. 1.1 Azione a distanza

1 Il campo elettrico. 1.1 Azione a distanza 1 Il camo elettrico 1.1 Azione a distanza L idea di interazione fra cori è stata semre associata all idea di un contatto: la ossibilità che un oggetto otesse esercitare un azione in una regione di sazio

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DEI MODELLI E DEI SISTEMI TESI DI LAUREA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DEI MODELLI E DEI SISTEMI TESI DI LAUREA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA TOR VERGATA FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DEI MODELLI E DEI SISTEMI TESI DI LAUREA Sistemi Ibridi: stabilità e alicazioni al controllo Relatore: Francesco

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle robabilità Evento casuale Chissà quante volte vi hanno detto: Scegli una carta da questo mazzo e voi scegliete casualmente una carta. Perché casualmente? Cosa vuol dire scegliere a caso?

Dettagli

5. Dati sperimentali e loro elaborazione 9. 5.1 Resistenza interna del triodo 9. 5.2 Conduttanza mutua del triodo 16

5. Dati sperimentali e loro elaborazione 9. 5.1 Resistenza interna del triodo 9. 5.2 Conduttanza mutua del triodo 16 Sommario Pa. 1. Scoo dell eserienza 2 2. Presuosti teorici 3 3. Aarato Strumentale 6 4. Descrizione dell eserimento 8 5. Dati serimentali e loro elaborazione 9 5.1 Resistenza interna del triodo 9 5.2 Conduttanza

Dettagli

sorgente di lavoro meccanico operante in maniera ciclica internamente reversibile esternamente reversibile termostato T

sorgente di lavoro meccanico operante in maniera ciclica internamente reversibile esternamente reversibile termostato T CICLI MOORI Utilizzando un motore (sorgente di lavoro meccanico oerante in maniera ciclica) che evolve secondo il ciclo isotermo-adiabatico di Carnot in maniera internamente reversibile, scambiando calore

Dettagli

SISTEMA D ALLARME E COMUNICATORI

SISTEMA D ALLARME E COMUNICATORI SISTEMA D ALLARME E COMUNICATORI MANUALE D USO Grazie er aver acquistato un sistema di sicurezza DAITEM adeguato alle vostre esigenze di rotezione. Precauzioni L installazione del sistema deve essere effettuata

Dettagli

E chiaro allora che, rappresentando l evento impossibile e quello certo le due situazioni limite, per un qualunque evento si avrà:

E chiaro allora che, rappresentando l evento impossibile e quello certo le due situazioni limite, per un qualunque evento si avrà: CORSO ELEMENTARE SULLA PROBABILITA Eserimento aleatorio: ogni fenomeno del mondo reale il cui svolgimento è accomagnato da un certo grado di incertezza. rova (tentativo) singola esecuzione di un ben determinato

Dettagli

Economia dell'informazione

Economia dell'informazione Economia dell'informazione Disensa 3 Monoolio Martina Gambaro & Andrea Borghesan martina.gambaro@unive.it - borg@unive.it Sommario Monoolio... 1 Massimizzazione del rofitto in monoolio... Monoolio ed elasticità...

Dettagli

Trigonometria (tratto dal sito Compito in classe di Matematica di Gilberto Mao)

Trigonometria (tratto dal sito Compito in classe di Matematica di Gilberto Mao) Trigonometria (tratto dal sito Comito in classe di Matematica di Gilberto Mao) Teoria in sintesi Radiante: angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza rettificata uguale al

Dettagli

I NUMERI INDICI. Numeri indici indici (misurano il livello di variabilità, concentrazione, dipendenza o interdipendenza, ecc.)

I NUMERI INDICI. Numeri indici indici (misurano il livello di variabilità, concentrazione, dipendenza o interdipendenza, ecc.) NUMER NDC Numeri indici indici (misurano il livello di variabilità, concentrazione, diendenza o interdiendenza, ecc.) si utilizzano er confrontare grandezze nel temo e nello sazio e sono dati dal raorto

Dettagli

L Q = 1. e nel ciclo di Carnot questo rendimento assume valore massimo pari a : η =

L Q = 1. e nel ciclo di Carnot questo rendimento assume valore massimo pari a : η = CICLI ERMODINAMICI DIREI: Maccine termice Le maccine ce anno come scoo uello di trasformare ciclicamente in lavoro il calore disonibile da una sorgente termica sono dette maccine termice o motrici e il

Dettagli

Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche. Cap. 10. Elementi di psicrometria, condizionamento dell aria e benessere ambientale

Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche. Cap. 10. Elementi di psicrometria, condizionamento dell aria e benessere ambientale Aunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche Ca. 0. Elementi di sicrometria, condizionamento dell aria e benessere ambientale Nicola Forgione Paolo Di Marco Versione 0.0.04.0. La resente disensa

Dettagli

Alcune note sulle serie di potenze 1

Alcune note sulle serie di potenze 1 Alcune note sulle serie di potenze Contents G. Falqui Preliminari 2 Serie di potenze 3 3 Rappresentazione di funzioni mediante serie di potenze 7 3. Esempi notevoli........................... 9 3.2 Formula

Dettagli

4. Reti correttrici e regolatori industriali. 4.1 Regolatori industriali. 4.1.1 Regolatore ad azione proporzionale P

4. Reti correttrici e regolatori industriali. 4.1 Regolatori industriali. 4.1.1 Regolatore ad azione proporzionale P 4. Reti correttrici e regolatori industriali Un sistema di controllo ad anello chiuso deve soddisfare le secifiche assegnate nel dominio della frequenza e quelle assegnate nel dominio del temo. Queste

Dettagli

3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3

3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3 CAPITOLO 3 Successioni e serie 3. Successioni Un caso particolare di applicazione da un insieme numerico ad un altro insieme numerico è quello delle successioni, che risultano essere definite nell insieme

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

Corso di Fisica Strumentale

Corso di Fisica Strumentale Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Fisica Strumentale er Tecnici di Laboratorio Biomedico e Tecnici di revenzione ambientale e sui luoghi di lavoro Prof. R. Rolandi Il microscoio ottico Lo scoo di

Dettagli

L equilibrio chimico

L equilibrio chimico Equilibrio chimico L equilibrio chimico Ogni reazione, in un sistema chiuso, evolve sontaneamente ad uno stato di equilibrio Quando viene raggiunto lo stato di Equilibrio Chimico: le velocità della reazione

Dettagli

Insiemi di livello e limiti in più variabili

Insiemi di livello e limiti in più variabili Insiemi di livello e iti in più variabili Insiemi di livello Si consideri una funzione f : A R, con A R n. Un modo per poter studiare il comportamento di una funzione in più variabili potrebbe essere quello

Dettagli

Portata Q - è il volume di liquido mosso dalla pompa nell'unità di tempo; l'unità di misura della portata è m 3 /sec (l/s; m 3 /h).

Portata Q - è il volume di liquido mosso dalla pompa nell'unità di tempo; l'unità di misura della portata è m 3 /sec (l/s; m 3 /h). OME ER FLUIDI ALIMENARI Definizione Sono macchine oeratrici oeranti su fluidi incomrimibili in grado di trasformare l energia meccanica disonibile all albero di un motore in energia meccanica del fluido

Dettagli

9. TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE E CICLI REALI

9. TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE E CICLI REALI 9. TRASFORMAZIONI TERMODINAMICHE E CICLI REALI 9. Introduzione I rocessi termodinamici che vengono realizzati nella ratica devono consentire la realizzazione di uno scambio di energia termica o di energia

Dettagli

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari Serie numeriche Definizioni e proprietà elementari Sia { } una successione, definita per ogni numero naturale n n. Per ogni n n, consideriamo la somma s n degli elementi della successione di posto d s

Dettagli

Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile

Limiti e continuità di funzioni reali di una variabile di funzioni reali di una variabile Corso di Analisi Matematica - capitolo VI Facoltà di Economia, UER Maria Caterina Bramati Université Libre de Bruxelles ECARES 22 Novembre 2006 Intuizione di ite di funzione

Dettagli

CBM a.s. 2012/2013 PROBLEMA DELL UTILE DEL CONSUMATORE CON IL VINCOLO DEL BILANCIO

CBM a.s. 2012/2013 PROBLEMA DELL UTILE DEL CONSUMATORE CON IL VINCOLO DEL BILANCIO CM a.s. /3 PROLEMA DELL TILE DEL CONSMATORE CON IL VINCOLO DEL ILANCIO Il consumatore è colui che acquista beni er destinarli al rorio consumo. Linsieme dei beni che il consumatore acquista rende il nome

Dettagli

ATMOSFERE CONTROLLATE NELLA METALLURGIA DELLE POLVERI Teoria e pratica

ATMOSFERE CONTROLLATE NELLA METALLURGIA DELLE POLVERI Teoria e pratica ATMOSFERE CONTROLLATE NELLA METALLURGIA DELLE POLVERI Teoria e ratica Enrico MOSCA TORINO 1 1. INTRODUZIONE Le atmosfere controllate si definiscono come un singolo gas o una miscela di gas, la cui comosizione

Dettagli

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato

Dettagli

Logistica (mn) 6 CFU Appello del 22 Luglio 2010

Logistica (mn) 6 CFU Appello del 22 Luglio 2010 Logistica (mn) 6 CFU Aello del Luglio 010 NOME: COGNOME: MATR: Avvertenze ed istruzioni: Il comito dura ore e quindici. Non è ermesso lasciare l'aula senza consegnare il comito o ritirarsi. Se dovessero

Dettagli

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e

Dettagli

Introduzione alla trigonometria

Introduzione alla trigonometria Introduzione alla trigonometria Angoli e loro misure In questa unità introdurremo e studieremo una classe di funzioni che non hai ancora incontrato, le funzioni goniometriche. Esse sono imortanti sorattutto

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI

STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI STABILITÀ DEI SISTEMI LINEARI Quando un sistema fisico inizialmente in quiete viene sottoosto ad un ingresso di durata finita o di amiezza limitata, l uscita del sistema dovrebbe stabilizzarsi a un certo

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Legge del gas perfetto e termodinamica

Legge del gas perfetto e termodinamica Scheda riassuntia 5 caitoli 9-0 Legge del gas erfetto e termodinamica Gas erfetto Lo stato gassoso è quello di una sostanza che si troa oltre la sua temeratura critica. La temeratura critica è quella oltre

Dettagli

Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti

Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti Ripasso delle matematiche elementari: esercizi svolti I Equazioni e disequazioni algebriche 3 Esercizi su equazioni e polinomi di secondo grado.............. 3 Esercizi sulle equazioni di grado superiore

Dettagli

Elementi di meccanica dei fluidi

Elementi di meccanica dei fluidi IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3. IMPIANTI AEROSPAZIALI DISPENSE DEL CORSO, VERSIONE 005 3. Introduzione In molti imianti il collegamento

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Complementi ed esercizi di Idrodinamica I parte. 1. Proprietà fisiche dei fluidi

Complementi ed esercizi di Idrodinamica I parte. 1. Proprietà fisiche dei fluidi Comlementi ed esercizi di Idrodinamica I arte.. Prorietà fisiche dei fluidi. Densità e modulo di elasticità a comressione cubica. Come è noto la densità di massa ρ misura la massa contenuta nell unità

Dettagli

AVVISO INTEGRATIVO DI EMISSIONE RELATIVO A: ABN AMRO BANK N.V. MINI FUTURES LONG E MINI FUTURES SHORT CERTIFICATES SU

AVVISO INTEGRATIVO DI EMISSIONE RELATIVO A: ABN AMRO BANK N.V. MINI FUTURES LONG E MINI FUTURES SHORT CERTIFICATES SU Avviso Integrativo della Nota Integrativa relativa al rogramma di emissione degli ABN Mini Futures Long e Mini Futures Short Certificates su Future sull Oro, sull Argento, sul Platino, sul Palladio e sul

Dettagli

5 LAVORO ED ENERGIA. 5.1 Lavoro di una forza

5 LAVORO ED ENERGIA. 5.1 Lavoro di una forza 5 LAVR ED ENERGIA La valutazione dell equazione del moto di una articella a artire dalla forza agente su di essa risulta articolarmente semlice qualora la forza è costante; in tal caso è ossibile stabilire

Dettagli

La presa dei fotogrammi

La presa dei fotogrammi UNITÀ T2 La resa dei fotogrammi TEORI 1 Fotogrammetria aerea 2 Relazione tra scala dei fotogrammi e altezza di volo 3 Parametri del volo aereo fotogrammetrico 4 Gestione del volo fotogrammetrico 5 Fotogrammetria

Dettagli

CONCORRENZA PERFETTA E DINAMICA

CONCORRENZA PERFETTA E DINAMICA 1 CONCORRENZA PERFETTA E DINAMICA 1. La caratterizzazione dell'equilibrio di mercato Per caratterizzare un mercato di concorrenza erfetta consideriamo un certo numero di imrese che roducono e offrono tutte

Dettagli

SOLUZIONI ESERCIZI PARTE PRIMA: FONDAMENTI DI MICROECONOMIA 1

SOLUZIONI ESERCIZI PARTE PRIMA: FONDAMENTI DI MICROECONOMIA 1 SOUZIONI ESERCIZI PARTE PRIMA: FONDAMENTI DI MICROECONOMIA 1 EQUIIBRIO DI MERCATO, DOMANDA E OFFERTA PROBEMA 1 (SVOTO IN AUA): amministrazione ubblica ha aena deciso di aumentare le accise sulla benzina.

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

Sapienza Università di Roma - Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale

Sapienza Università di Roma - Dipartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale Saienza Università di Roma - Diartimento di Ingegneria Informatica, Automatica e Gestionale Scheduling Renato Bruni bruni@dis.uniroma.it Il materiale resentato è derivato da quello dei roff. A. Sassano

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 Controlli Digitali Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica CONTROLLORI PID Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it Introduzione regolatore Proorzionale, Integrale, Derivativo PID regolatori

Dettagli

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni

11) convenzioni sulla rappresentazione grafica delle soluzioni 2 PARAGRAFI TRATTATI 1)La funzione esponenziale 2) grafici della funzione esponenziale 3) proprietá delle potenze 4) i logaritmi 5) grafici della funzione logaritmica 6) principali proprietá dei logaritmi

Dettagli

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi Dispense di Matematica Analisi Matematica Riccarda Rossi Corso di Laurea in Disegno Industriale Università degli Studi di Brescia Anno Accademico 2009/2010 2 Capitolo 1 Nozioni preliminari 4 Riccarda Rossi

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

6. CAMPO MAGNETICO ROTANTE.

6. CAMPO MAGNETICO ROTANTE. 6 CAMPO MAGNETICO ROTANTE Il camo magnetico monofase Il funzionamento delle macchine elettriche rotanti alimentate in corrente alternata si basa sul rinciio del camo magnetico rotante: il suo studio viene

Dettagli

Il sistema di contabilità nazionale e la comparazione degli aggregati economici nel tempo e nello spazio

Il sistema di contabilità nazionale e la comparazione degli aggregati economici nel tempo e nello spazio Bruno Bracalente Il sistema di contabilità nazionale e la comarazione degli aggregati economici nel temo e nello sazio Disense er il corso di Statistica Economica Modulo I Università degli Studi di Perugia

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m = Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione: Si chiama successione numerica una funzione definita su IN a valori in IR, cioè una legge che associa ad ogni intero n un numero reale a n. Per abuso di linguaggio, si

Dettagli

Studio del grafico di una funzione reale

Studio del grafico di una funzione reale Capitolo 1 Studio del grafico di una funzione reale Questo testo è una guida per lo studio del grafico di una funzione. Non è un testo completo ma solo una bozza che servirà agli studenti per arrivare

Dettagli

Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche

Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche Aunti ed Esercizi di Fisica ecnica e Macchine ermiche Ca.7. I cicli termici delle macchine motrici Paolo Di Marco Versione 006.0 0.0.07 La resente disensa è redatta ad esclusivo uso didattico er gli allievi

Dettagli

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure

Dettagli

16. Vari modi di convergenza delle successioni di funzioni reali misurabili.

16. Vari modi di convergenza delle successioni di funzioni reali misurabili. 16. Vari modi di convergenza delle successioni di funzioni reali misurabili. L argomento centrale di questa ultima parte del corso è lo studio in generale della convergenza delle successioni negli spazi

Dettagli

Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gli esercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati.

Attenzione: i programmi sono cambiati negli anni. Non tutti gli esercizi nella presente raccolta riguardano argomenti trattati. Si raccolgono qui temi d esame, esercizi e domande di teoria dati negli anni 3-4 nei corsi di Analisi Matematica I presso il DTG di Vicenza. Il materiale è stato reso disponibile dai docenti che hanno

Dettagli

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE

APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE pag. 131 Appendice: Nozioni base e varie G. Gerla APPENDICE NOZIONI BASE E VARIE 1. Funzioni e relazioni di equivalenza Questi appunti sono rivolti a persone che abbiano già una conoscenza elementare della

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

Sessione live #2 Settimana dal 24 al 30 marzo. Statistica Descrittiva (II): Analisi congiunta, Regressione lineare Quantili.

Sessione live #2 Settimana dal 24 al 30 marzo. Statistica Descrittiva (II): Analisi congiunta, Regressione lineare Quantili. Sessione lie # Settimana dal 4 al 30 marzo Statistica Descrittia (II): Analisi congiunta, Regressione lineare Quantili Lezioni CD: 3 4-5 Analisi congiunta Da un camione di 40 studenti sono stati rileati

Dettagli

ROTARY. La web communication. Distretto 2040 Rotary International

ROTARY. La web communication. Distretto 2040 Rotary International ROTARY La web communication Distretto 2040 Rotary International Indice Premessa 1 Scenario 2 Perché creare un sito web er il club? 3 Come realizzare un sito web 4 I contenuti del sito 4 Il sito internazionale

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

ANALISI DELLE VIBRAZIONI PER LA DIAGNOSTICA DELLE MACCHINE ROTANTI 2 parte

ANALISI DELLE VIBRAZIONI PER LA DIAGNOSTICA DELLE MACCHINE ROTANTI 2 parte Indice Vibrazioni di una macchina elettrica ANALISI DELLE VIRAZIONI PER LA DIAGNOSTICA DELLE MACCHINE ROTANTI arte Lucia FROSINI Diartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di

Dettagli

La riflessione della luce: gli specchi

La riflessione della luce: gli specchi APITOLO 3 La riflessione della luce: gli secchi Immaginiamo un camo di 20 ettari ( ha 0 4 m 2 ) ieno di secchi arabolici: er l esattezza 360. Grazie a un articolare sistema di tubi, la radiazione solare

Dettagli

Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche

Appunti ed Esercizi di Fisica Tecnica e Macchine Termiche Aunti ed Esercizi di Fisica ecnica e Macchine ermiche Ca. 2. ermodinamica degli stati Paolo Di Marco Versione 2009.03 30.10.09. La resente disensa è redatta ad esclusivo uso didattico er gli allievi dei

Dettagli

1 Domanda Oerta Surplus

1 Domanda Oerta Surplus Economia Politica Esercizi #2 L. Balletta, G. De Luca, S Modica, A. Tesoriere 1 Domanda Oerta Surlus Esercizio 1. Caitolo 7 di Mankiw, roblemi n.4,5,6,9; Caitolo 8: n.8; Caitolo 9: n.9. Esercizio 2. Considera

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

Trovare il dominio delle seguenti funzioni: sin2 x + cos 2 x. 3 sin x 3 cos x s sin 2 x cos

Trovare il dominio delle seguenti funzioni: sin2 x + cos 2 x. 3 sin x 3 cos x s sin 2 x cos Trovare il dominio delle seguenti funzioni: sin x + cos x sin x cos x s sin x cos x sin x cos x cos x cos x ln fln (x 4x 5) 4g r 4 x ln(x 4x 5) x log 1 (x 1) log 10 sin x 1 ln (x + 1) + e sin x sin x +

Dettagli

La FREQUENZA del suono

La FREQUENZA del suono ACUSTICA PSICOFISICA La FREQUENZA del suono Infra Audio Ultra... K Hz Frequenza L orecchio è sensibile solo a variazioni della ressione, intorno a quella media atmosferica, caratterizzate da oscillazioni

Dettagli

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe

Dettagli

DISTURBI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO

DISTURBI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO DISTURBI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO Lo stato della ricerca scientifica L osservazione dei casi e il censimento della oolazione dei Bambini, in base alla fotografia fornita dall Accademia er la ricerca

Dettagli

Capitolo 2 - Sostanze pure e gas

Capitolo 2 - Sostanze pure e gas Aunti di FISICA ECNICA Caitolo 2 - Sostanze ure e gas Sostanze ure... 2 Generalità e definizioni... 2 Fasi di un sistema... 3 arianza e regola delle fasi... 4 Equilibrio liquido-aore: la tensione di aore...

Dettagli

Sviluppi di Taylor Esercizi risolti

Sviluppi di Taylor Esercizi risolti Esercizio 1 Sviluppi di Taylor Esercizi risolti Utilizzando gli sviluppi fondamentali, calcolare gli sviluppi di McLaurin con resto di Peano delle funzioni seguenti fino all ordine n indicato: 1. fx ln1

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

sostanze in cui le molecole possono muoversi le une rispetto alle altre. Un fluido può quindi essere un liquido, un gas o un plasma.

sostanze in cui le molecole possono muoversi le une rispetto alle altre. Un fluido può quindi essere un liquido, un gas o un plasma. Aunti di MECCANICA DEI FLUIDI Corso di Fisica e Laboratorio rof. Massimo Manvilli SEZIONE ITI - ITCG Cattaneo con Liceo Dall Aglio STATI DI AGGREGAZIONE DELLA MATERIA Solidi : Liquidi : Gas: Plasma : FluidI:

Dettagli

Focolari differenziati secondo il tipo di combustibile

Focolari differenziati secondo il tipo di combustibile Arofondimento Focolari differenziati secondo il tio di combustibile A. Focolari er combustibili solidi II combustibile solido viene in genere disteso in strati iù o meno sessi (a seconda della roduzione

Dettagli

Pillole di Analisi. Roberto Paoletti

Pillole di Analisi. Roberto Paoletti Pillole di Analisi Roberto Paoletti 1 Preinari Insiemi numerici. Nel seguito denoteremo con N = {0, 1, 2,...} l insieme dei numeri naturali, con Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} l insieme dei numeri interi,

Dettagli

ESERCITAZIONI DEL CORSO DI PROGETTO DELLE SOVRASTRUTTURE VIARIE - A.A. 2008-09 MATERIALI GRANULARI

ESERCITAZIONI DEL CORSO DI PROGETTO DELLE SOVRASTRUTTURE VIARIE - A.A. 2008-09 MATERIALI GRANULARI MATERIALI GRANULARI. IL COMPORTAMENTO MECCANICO DEI MATERIALI GRANULARI. Introduzione I materiali granulari imiegati negli strati iù rofondi della sovrastruttura stradale (fondazione, sotto-fondazione

Dettagli

PRESSIONE, VOLUME, TEMPERATURA

PRESSIONE, VOLUME, TEMPERATURA ER M O D I N A M I CA È la branca della fisica che descrive le trasformazioni subite da un SISEMA MACROSCOPICO a seguito di uno scambio di energia con altri sistemi o con l'ambiente. IL sistema macroscoico

Dettagli

ESERCIZIO GUIDA p Tracciamo il grafico della curva di equazione y ˆ

ESERCIZIO GUIDA p Tracciamo il grafico della curva di equazione y ˆ LE CONICHE E LA RISOLUZIONE GRAFICA DI EQUAZIONI Rivedi a teoria La raresentazione grafica di articoari curve: e curve irrazionai Mediante o studio dee coniche ossiamo costruire in modo semice i grafico

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli