I Titoli Obbligazionari. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 1

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1 I Titoli Obbligazionari S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 1

2 Obbligazione (bond) E emessa da un unità in deficit (un impresa, un Comune, lo Stato). Il flusso di cassa, dal punto di vista dell emittente è del tipo: t 0 t 1 t 2... t m... C -R 1 -R 2 -R m L emittente riceve un prestito diviso in obbligazioni : si indebita nei confronti di una platea di investitori (se gli investitori sono n, l ammontare del debito verso ciascuno è C/n). S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 2

3 Mercato primario e secondario Un mercato per una fissata classe di beni è un luogo (fisico o virtuale) nel quale, in ogni istante, viene fissato e reso pubblico il prezzo di acquisto e di vendita di una quantità unitaria di ciascuno dei beni trattati. Il mercato finanziario primario è il luogo ove vengono collocati i titoli di nuova emissione; sul mercato primario viene fissato il prezzo di emissione. Il mercato finanziario secondario è il luogo ove vengono scambiati i titoli già emessi; il mercato fissa i prezzi di scambio e consente al detentore del titolo di liquidare l'investimento. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 3

4 Titolo a cedola nulla (zero-coupon bond) L investitore acquista il titolo al prezzo P in t<s. Il titolo garantisce il pagamento di una somma fissata C ad una data futura s (scadenza del titolo). Dal punto di vista dell investitore: t s -P C C: valore nominale o facciale P: mercato primario: prezzo di emissione mercato secondario: prezzo di acquisto o corso o quotazione s-t: vita residua o vita a scadenza S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 4

5 Esempio Consideriamo i BOT emessi il 15 gennaio BOT a 3 mesi: 0 91 BOT a 1 anno: S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 5

6 Titolo a cedola fissa (coupon bond) Garantisce il pagamento di un flusso di m importi periodici, i primi m-1 uguali a un importo fissato I>0 (cedola, o coupon), l'ultimo espresso da C+I, dove C>0 è il valore facciale. Dal punto di vista dell investitore: t 0 t 1 t 2 t m P I I C+I C è detto valore di parità del titolo. Poniamo τ=t k -t k-1, k=1,,m S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 6

7 Titolo a cedola fissa (coupon bond) 1. P=C il titolo è quotato (o emesso) alla pari; 2. P<C il titolo è quotato sotto la pari; 3. P>C il titolo è quotato sopra la pari. C-P è il premio di emissione. I C = t 0 t 1 t 2 t m tasso cedolare P I I C+I I m C = I τc tasso nominale S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 7

8 Rateo di interesse Fissiamo un istante t: t 0 t t 1 t 2 t m La cedola esigibile in t 1 è chiamata cedola in corso; l'intervallo di tempo che va da t 0 a t 1 èil periodo di godimento della cedola in corso. Si definisce rateo al tempo t l importo: t t t t A= I = I t t τ P I I C+I 0 0 S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 8

9 Rateo di interesse A = I t t 0 τ Il rateo rappresenta l'interesse maturato tra t 0 e t. tasso nominale I A = C t t Cτ ( ) A= interesse prodotto dall investimento di C nello stesso periodo secondo una legge degli interessi semplici al tasso nominale annuo del titolo 0 S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 9

10 Rateo di interesse A = I t t 0 τ t=t 0 A=0 t=t 1 A=I A cresce linearmente nel periodo intercedola S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 10

11 Corso tel quel e corso secco P: corso tel quel Q = P-A: corso secco Nel mercato secondario le contrattazioni sono effettuate considerando il prezzo fittizio Q: in questo modo, sono più facilmente confrontabili tra loro i prezzi di titoli che richiedono tempi d'attesa diversi per l'incasso della prossima cedola. P = Q all'emissione e immediatamente dopo lo stacco di ogni cedola. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 11

12 Esempio Consideriamo un titolo con cedola I=3 euro, valore facciale C=100 euro e periodicità τ= 3 mesi. Il titolo, acquistato in t=0 al prezzo tel quel P=98 euro, garantisce un flusso con m=5 pagamenti e stacca la prima cedola dopo un mese: S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 12

13 Esempio intervallo < τ L'obbligazione è stata acquistata dopo la data di emissione. P<C quotazione sotto la pari; vita residua: 13 mesi; tasso cedolare: I/C=3%; tasso nominale: 4*0,03=12%. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 13

14 Esempio Al momento dell'acquisto sono trascorsi 2/3 del periodo di godimento cedola. Quindi, il rateo è: 2 A = 3 = 2 3 cedola corso secco Q=98-2=96 euro S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 14

15 Mercato perfetto Consideriamo un mercato finanziario idealizzato, in cui siano trattati solamente titoli obbligazionari default-free non affetti da rischio di credito (rischio di insolvenza nelle operazioni di debito). S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 15

16 Mercato perfetto Ipotesi: 1. non ci sono costi di transazione: in particolare il prezzo di acquisto e il prezzo di vendita coincidono; 2. non ci sono gravami fiscali; 3. i titoli sono infinitamente divisibili è possibile trattare qualsiasi quantità di ciascun titolo; 4. sono consentite le vendite allo scoperto (short sales) è possibile vendere titoli che non si possiedono; 5. gli agenti sono massimizzatori di profitto: nella scelta tra due quantità monetarie preferiscono sempre il possesso della quantità maggiore; 6. gli agenti sono price taker non hanno la possibilità di influenzare, individualmente, il prezzo dei titoli. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 16

17 Principio di arbitraggio arbitraggio: strategia che non richiede alcun esborso di danaro e che garantisce un profitto sicuro Principio di arbitraggio: è esclusa la possibilità di effettuare arbitraggi è preclusa la possibilità di realizzare profitti senza che ciò comporti alcuna assunzione di rischio S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 17

18 ZCB unitario Consideriamo uno ZCB con valore facciale unitario; indichiamo con ν(t,s) il suo prezzo al tempo t. Dal punto di vista dell investitore: t s -ν(t,s) 1 Per le ipotesi assunte, e per la significatività finanziaria si ha: 0 < ν ( ts, ) < 1 ν (,) ss = 1 S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 18

19 ZCB non unitario Consideriamo uno ZCB con valore facciale x s 1; indichiamo con V(t,x s ) il suo prezzo al tempo t. Dal punto di vista dell investitore: t s -V(t,x s ) x s Supponiamo che sul mercato siano trattati in t gli ZCB unitari con scadenza in s. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 19

20 Teorema di indipendenza dall'importo Per il principio di arbitraggio deve sussistere l'uguaglianza: V(, t x ) = xν (, t s) s s Il prezzo in t dello ZCB con valore facciale x s e scadenza s deve essere uguale al prezzo in t del portafoglio contenente x s unità di ZCB con uguale scadenza e valore facciale unitario S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 20

21 Portafogli di ZCB con diversa scadenza Consideriamo il titolo: t 1 t 2 t m x 1 x 2 x m Sia t t 1. Posto: x = x1, x2, L, xm { } indichiamo con V(t,x) il prezzo del titolo in t. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 21

22 Teorema di linearità del prezzo Supponiamo che in t siano trattati sul mercato m ZCB unitari con scadenza sulle date considerate. Per il principio di arbitraggio deve sussistere l'uguaglianza: m V(, t x) = xν (, t t ) k k k = 1 Il prezzo in t del titolo deve essere uguale al prezzo in t del portafoglio contenente x k unità di ZCB con scadenza t k (k=1,,m) e valore facciale unitario S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 22

23 Struttura per scadenza dei prezzi a pronti Sia t l'istante di osservazione. Supponiamo che tutti i titoli obbligazionari trattati possano produrre pagamenti solamente alle date dello scadenzario (date di apertura del mercato): t+1 t+2 t+m Supponiamo che siano osservati i prezzi degli ZCB di tutte le scadenze: V(, t x ) k = 1,..., m k S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 23

24 Struttura per scadenza dei prezzi a pronti Dalla relazione: V(, t xk ) ν ( tt, k ) = k= 1,..., m x è possibile ricavare i prezzi a pronti di tutti gli ZCB unitari. k L insieme: ν ( tt, ) k= 1,..., m k rappresenta la struttura per scadenza dei prezzi a pronti. Tale struttura descrive completamente il mercato al tempo t S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 24

25 Struttura per scadenza dei prezzi a pronti Infatti, qualsiasi titolo scambiato in t deve necessariamente garantire un flusso di importi: t 1 t 2 t m z 1 z 2 z m Detto V(t,z) il suo prezzo in t, per i teoremi visti deve aversi: m V(, t z) = zkν (, t tk) k= 1 V(t,z) può essere calcolato a partire dalla struttura per scadenza dei prezzi a pronti S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 25

26 Struttura per scadenza dei tassi di interesse (a pronti) Dalla struttura per scadenza dei prezzi si ricava la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti: 1 itt (, k ) = 1 ν (, ttk ) 1 k Il mercato di riferimento è esente da rischio di credito i tassi i(t,t k ) individuano una struttura di rendimenti default-free. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08 26