CINEMATICA (MOTO CIRCOLARE UNIFORME) Il moto che ci accingiamo a studiare fa parte dei moti piani (moti che avvengono nel piano)

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Elisa Mauri
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1 Il moto che ci accingiamo a studiae fa pate dei moti piani (moti che avvengono nel piano) Si dice moto cicolae unifome il moto di un copo (consideato puntifome) che avviene: su una taiettoia cicolae (una ciconfeenza) con velocità (intensità) costante. 1

2 Die che l intensità della velocità è costante significa che si mantiene costante solo il valoe, mente la diezione della velocità cambia continuamente. La velocità, come ben sappiamo, è un vettoe pe cui è caatteizzata da intensità, diezione e veso. Pe il fatto che la velocità cambia di diezione, anche se non cambia in intensità, il moto cicolae unifome è un moto acceleato Questo fatto è di gande impotanza ed è necessaio sottolinealo, peché, siccome il modulo della velocità è costante, si potebbe essee tentati di considealo un moto non acceleato. 2

3 Definiamo oa alcune gandezze elative al moto cicolae unifome : Peiodo Il peiodo è il tempo impiegato a fae un gio completo. Esso si misua nel S.I in secondi. Di solito viene indicato con (maiuscola ). Pe esempio, se pecoo in auto una otonda in 20 s, il peiodo del moto cicolae unifome che compio è popio uguale a 20 s, pe cui = 20 s. Fequenza La fequenza indica il numeo di gii completi effettuati nell'unità di tempo. In genee viene indicata con f (minuscola) Nel S.I la fequenza si misua in hetz (Hz) 1 Hz è la fequenza di un punto mateiale che compie un gio in un secondo. 3

4 Fa il peiodo e la fequenza sussiste la seguente elazione matematica : f = 1 / Pe esempio, se il peiodo di un moto cicolae unifome è 5 s ciò significa che il copo fa un gio completo in 5 secondi. Quanti gii faà al secondo? Ovviamente 1/5, pe cui la fequenza di questo moto saà 1/5 = 0,2 Hz Radiante L α L=α L unità di misua che genealmente usiamo pe misuae gli angoli è il gado sessagesimale. Questa unità di misua non è nel S.I., infatti in esso l unità di misua degli angoli che pende il nome di Radiante. Il adiante è l'angolo al cento di una ciconfeenza,di aggio abitaio,che sottende un aco di lunghezza uguale al aggio stesso Se misuiamo l angolo in adianti, la lunghezza dell aco è uguale al podotto dell angolo (in adianti) pe il aggio. 4

5 Equivalenza ta gadi sessagesimali e adianti Sappiamo che un angolo gio è uguale a 360 Ma se consideiamo un angolo gio la lunghezza dell aco è popio uguale alla lunghezza della ciconfeenza: L = 2π Poiché sappiamo che se l angolo è espesso in adianti vale la fomula L= α alloa vale anche la sua invesa Siccome la lunghezza della ciconfeenza (angolo gio di 360 ) è L=2π, sostituendo nella pecedente: In definitiva un angolo gio di 360 equivale a 2π adianti. L L 2π π Pe tasfomae un angolo da gadi (es. 90 ) in adianti basta impostae la popozione seguente: 2π ad : 360 = x : 90 5

6 Equivalenza da adianti in gadi sessagesimali Pe la tasfomazione è necessaio impostae sempe la stessa popozione pecedente, cambiando l incognita nel modo seguente: Ossia 1 ad vale: x 2π ad:360 =1 ad:x 3601ad 360 1ad 57,3 2 6,28 A titolo esemplificativo si ipota in tabella la convesione alcuni paticolai valoi di angoli nei due sistemi di misua. Gadi Radianti π/2 180 π 270 2π/ π 6

7 oniamo al moto cicolae unifome, come detto il modulo (intensità) della velocità peifeica è costante. Questo compota che il punto mateiale pecoe achi uguali di ciconfeenza in tempi uguali. Consideiamo un punto P che si muove di moto cicolae unifome e che nell intevallo di tempo Δt 1 =1 [s] pecoe un quato di ciconfeenza, ne segue che nell intevallo di tempo Δt 2 =2 [s] pecoeà metà ciconfeenza, nell intevallo di tempo Δt 3 =4 [s] pecoeà metà ciconfeenza. t 0 =0[s] 0 t 1 =1[s] 90 t 2 =2[s] 180 t 3 =4[s] 360 7

8 La velocità tangenziale o peifeica Quando il punto mateiale compie un gio completo, lo spazio pecoso è popio uguale alla lunghezza della ciconfeenza. Se la ciconfeenza ha aggio alloa Δs = 2π Mente il tempo impiegato saà popio uguale al peiodo (l unità di misua del peiodo nel S.I. è il secondo. Ricodando la definizione della velocità si ha: In definitiva pe calcolae la velocità tangenziale di un punto mateiale bisogna usae la fomula v s t v 2 π 2 π 8

9 La velocità angolae Si definisce velocità angolae la apidità con cui si pecoono gli angoli ossia la quantità: α è l angolo in adianti t è la vaiazione di tempo t Ricodando che se il punto compie un gio completo, compie cioè un angolo gio, in adianti è di 2π Δt=[s] 2π=360 mente il tempo necessaio pe compiee un gio completo è detto peiodo (), alloa isulta : 2 L unità di misua della velocità angolae è il ad/s 9

10 CINEMAICA La velocità tangenziale o peifeica Si nota che la velocità peifeica è funzione di, petanto, consideati una seie di punti che uotano allineati lungo il aggio, la velocità peifeica è tanto minoe quanto più il punto è vicino al cento di otazione. 2 π Pe quanto iguada invece la velocità angolae Non dipende dal aggio dove si tova il punto che uota infatti: 2 10

11 La velocità angolae, velocità peifeica e fequenza Consideando che: 2 La velocità tangenziale si può espimee in 2 funzione della velocità angolae, ossia: Ricodando che la fequenza è data da: Pe la velocità tangenziale si può anche scivee: Mente pe la velocità angolae si può anche scivee: f 1 2 π 2 2 f 2 f 11

piano della ciconfeenza v Il veso è quello in cui avanza

12 La velocità tangenziale La velocità angolae è un vettoe che ha: Il modulo pai a: 2 La diezione pependicolae al piano della ciconfeenza v Il veso è quello in cui avanza una vite quando la sua testa uota nello stesso veso del punto. 12

13 L acceleazione tangenziale e centipeta In geneale l acceleazione è data da una vaiazione della velocità nel tempo, nel caso del moto cicolae unifome è necessaio distinguee: a t acceleazione tangenziale è causata dalla vaiazione del modulo velocità a acceleazione centipeta è causata dalla vaiazione della diezione velocità c Acceleazione tangenziale: Acceleazione nomale o centipeta: È nulla in quanto il modulo della velocità è costante. 2 a c t v L acceleazione centipeta è dietta sempe veso il cento della ciconfeenza. a c 13

14 L acceleazione tangenziale e centipeta Cechiamo adesso di dimostae quanto detto pecedentemente pe quanto iguada l acceleazione centipeta. Consideiamo un punto che uota sulla ciconfeenza, all inizio occupa la posizione P 1 dopo un intevallo di tempo Δt il punto si toveà in P 2 Cechiamo di calcolae Δ appesentato con il tiangolo A Sappiamo inolte che Δl, pe un intevallo di tempo piccolo (infinitesimo) può essee confuso con la coda del tiangolo B v v 2 v 1 l v 2 R l v 1 I due tiangoli isosceli hanno lo stesso angolo al vetice e sono petanto simili. Petanto possiamo scivee la seguente popozione: l : l: Consideando che: l t B A R Pe Δ si ottiene: 2 l t t 1 t ac ac t t

15 Esecizio n. 1 CINEMAICA Il seggiolino di una giosta esegue 10 gii in 14 secondi. Calcolae il peiodo e la fequenza. Se il aggio della giosta è 4 meti, quanto vale la velocità tangenziale del seggiolino? Soluzione Dati: gii=10 Δt=14 [s] =4 [m] Peiodo tempo necessaio pe compiee n gii 14 ; 7 [ s] numeo di gii 10 f Fequenza 1 1 0,143 [ Hz] 7 elocità peifeica o tangenziale 2 6,28 4 m 3,59 7 s 15

16 Esecizio n. 2 La velocità tangenziale di un copo che si muove sopa una ciconfeenza di aggio 4 m vale 3 m/s. Calcolae il numeo di gii che compie in un minuto, il tempo impiega pe un gio e la fequenza. Soluzione Dati: =3 [m/s] Δt=60 [s] =4 [m] Peiodo (patendo dalla velocità peifeica) 2 6,28 4 8,37 [s] 3 f Fequenza 1 1 0,14 [ Hz] 7,17 Numeo di gii (sapendo il peiodo ) tempo necessaio pe compiee n gii 60 numeo di gii ; 7,17 [ s] 8,37 16

17 Esecizio n. 3 Un punto compie 10 gii di una ciconfeenza, muovendosi di moto unifome, nel tempo di 5 secondi. Calcolae il peiodo del moto e la fequenza. Soluzione Il peiodo è il tempo impiegato pe compiee un gio completo. Peciò: Peiodo tempo necessaio pe compiee n gii 5 ; 0,5[ s] numeo di gii 10 f Fequenza 1 1 2[ Hz] 0,5 17

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