Se si osserva un traliccio dell alta tensione si contano tre conduttori.

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Se si osserva un traliccio dell alta tensione si contano tre conduttori."

Transcript

1 SSTEM TRASE Se si osserva un traliccio dell alta tensione si contano tre conduttori. Un elettrodotto (su cui si possono osservare quattro terne di fili ed una cabina elettrica

2 SSTEM TRASE Anche le prese possono avere tre contatti o quattro contatti. Uno è sempre la terra T, gli altri sono due per la mono fase o tre contatti per la trifase Spina P+T 0 6A Spina P+T 400 6A La trifase occorre quando si devono utilizzare tensioni maggiori, per esempio in attività industriali o per alimentare dispositivi che assorbono grandi potenze ( forni elettrici, motori, gru ecc.

3 SSTEM TRASE Supponiamo di volere alimentate tre carichi con tre generatori dovremmo realizzare il seguente impianto in cui sono presenti 6 conduttori (chiamati L, L, L, L,L,L. L L L U U W W U U L W L L W tre generatori,, hanno i morsetti contrassegnati dalle lettere U,, W come prevede la norma CE 6-, mentre le linee sono denominate L, L, L.

4 SSTEM TRASE Si può fare di meglio. Si possono cioè eliminare tre conduttori con un conseguente risparmio di rame e di ingombro di cavi. È sufficiente riunire in un solo cavo i tre fili di ritorno della corrente cioè L L L, che chiameremo N. U U W W N + + N N 4

5 SSTEM TRASE Occorre però aggiungere un importante dettaglio matematico per giustificare che si tratti di un vero risparmio di rame. Supponiamo che le tensioni dei tre generatori siano sfasati tra loro di 0 ed abbiano la stessa ampiezza (sistema simmetrico di 5 volt (valore efficace 0 volt. La frequenza sia f 50 Hz. Di seguito sono disegnati il diagramma vettoriale e successivamente disegneremo le tre sinusoidi corrispondenti. acciamo la somma vettoriale dei tre vettori,,. l risultato è zero Lati uguali per costruzione Lato appartenente a triangolo equilatero ediamo nella prossima diapositiva come si vedono questi concetti usando le sinusoidi. 5

6 SSTEM TRASE trifase t (ms 0 0 0,00 0,004 0,006 0,008 0,0 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 0, All istante t 0 il vettore assume il valore: 5*sen(90 5. l vettore assume il valore: 5*sen(-0 5*(-0,5-6,5. l vettore assume il valore: 5*sen(0 5*(-0,5-6, ,5-6,5 0 6

7 SSTEM TRASE trifase t (ms 0 0 0,00 0,004 0,006 0,008 0,0 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 0, Ruotiamo di 0 antiorario i tre vettori e ricalcoliamo il valore delle tre sinusoidi all istante corrispondente: t : [0,0 0 : 60 ]. (t 0,0/( 60/0 0,0/ 0,00666 s. : 5*sen(0 5*0,866 8; : 5*sen(0 5*0 0 ; : 5*sen(40 5*(- 0,

8 SSTEM TRASE Si potrebbe continuare a ruotare il sistema di vettori, tuttavia anche per gli altri valori angolari troveremmo la stessa conclusione. Si può quindi affermare, con questa prima dimostrazione, che un sistema trifase simmetrico è caratterizzato da: tre vettori sfasati di 0 e con ampiezza uguale e la loro somma è pari a zero. A questo punto consideriamo le correnti che scorrono nelle tre impedenze che formano il carico. n generale possono essere diverse e quindi le tre correnti che le attraversano sono diverse sia come ampiezza che come fase. Quindi i vettori corrispondenti a queste correnti non rappresentano un sistema trifase, cioè non sono sfasate di 0. Tuttavia l ente che eroga energia elettrica suddivide opportunamente gli utenti ( cioè le impedenze in modo che le tre correnti siano quasi dello stesso valore e con sfasamenti vicini a 0. Se consideriamo tre impedenze uguali, cioè il sistema trifase (oltre ad essere simmetrico si chiamerà anche equilibrato. Concludiamo: simmetrico è riferito alle tensioni erogate, equilibrato alle correnti assorbite dalle impedenze. 8

9 SSTEM TRASE simmetrici ed equilibrati l disegno dello schema elettrico di solito si realizza in modi diversi da quello visto in precedenza. U L U N N N W L W L n questo schema la corrente del neutro è zero poiché anche le correnti formano un sistema trifase simmetrico. l filo di neutro è colorato di blu poiché è previsto dalle norme CE che tale cavo utilizzato negli impianti deve essere di questo colore. cavi di fase possono essere neri o marroni. 9

10 SSTEM TRASE simmetrici ed equilibrati Le correnti si calcolano con la legge di Ohm: / ; / / L impedenza introduce uno sfasamento α tra tensione e corrente uguale per tutte le tre correnti. Lo sfasamento tra tensione e corrente può essere in anticipo o in ritardo a seconda se è induttiva o capacitiva. α α 0 α α α 0 α induttiva in anticipo su capacitiva in ritardo su 0

11 SSTEM TRASE collegamenti del carico a stella e a triangolo Collegamenti norma CE Collegamenti a forma geometrica U W N U Collegamento a stella N U W W U W U W U W Collegamento a triangolo U W U W

12 U SSTEM TRASE collegamento del generatore e classificazione delle tensioni L U N N W L L W generatori sono sempre collegati a stella. TENSON D ASE ( O STELLATE: tensioni tra una linea ( L, L, L e neutro (N. Sono denominate,,. Nelle linee di bassa tensione il loro è valore efficace vale 0. TENSONE D LNEA (O CONCATENATE: tensioni tra due linee L L, L L, L L Sono denominate,, ed il loro valore efficace è di 400.

13 SSTEM TRASE classificazione delle correnti CORRENT D LNEA: correnti che attraversano i conduttori che collegano il generatore trifase con il carico. L U Sono indicate con i simboli L, L, L. N CORRENT D ASE: correnti che attraversano le tre impedenze di cui è formato il carico. L W Sono indicate con i simboli,,. L Tra correnti di linea e di fase possiamo scrivere le equazioni di Kirchoff: L + L U L + L + che si possono scrivere anche così: L - L - L - L L W

14 SSTEM TRASE legame tra tensione di linea e di fase H (- 0 OH L cos(0 80 O 0. Le tensioni di linea hanno un modulo maggiore di quella di fase: 0 L,7* Le tensioni di linea formano una terna trifase ruotata in anticipo di 0 sulla terna di linea 4

15 SSTEM TRASE legame tra tensione di linea e di fase L L,7 0 L, Le tensioni di linea hanno un modulo maggiore di quella di fase: 0 L,7* Le tensioni di linea formano una terna trifase ruotata in anticipo di 0 sulla terna di linea 5

16 SSTEM TRASE legame tra tensione di linea e di fase t t 0 0 0,005 0,0 0,05 0,0 0, t Nei punti t e t ( dove le tensioni di fase sono uguali si nota chiaramente che la differenza tra e da come risultato zero (la tensione di linea. 6

17 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili Questi sono i sistemi più utilizzati, dall ente erogatore di energia (ENEL, in quanto non è garantito che il carico sia equilibrato. n pratica le tre impedenze che formano il carico non è detto che siano uguali (carico equilibrato e pertanto non è detto che il filo di neutro sia percorso da corrente nulla. Ecco perché abbiamo 4 fili, tre di fase ed uno per il neutro. L ente tuttavia ripartisce i carichi in modo che gli squilibri siano minimi e così garantire una corrente di neutro piccola. l generatore quindi è collegato a stella e produce tre tensioni di fase (o stellate del valore di 0 e tre tensioni di linea (o concatenate del valore di 400. Consideriamo quindi un carico formato da tre impedenze diverse,, collegate a stella con filo di neutro. U W N U N U W W U W Secondo la norma CE Collegamenti a forma geometrica 7

18 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili collegamento del carico a STELLA L U φ N N + + L W φ φ L ; X arctg( R R + X ; ; R ; + X ; X arctg( R ; R + X X arctg( R Nel grafico si è disegnato tre correnti con le seguenti caratteristiche: induttiva capacitiva capacitiva 8

19 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili Calcolo grafico della corrente nel neutro N ESEMPO Un sistema trifase a quattro fili x400/0 50 Hz, alimenta tre diversi carichi, 0 + j 5 Ω, 0 Ω, j 4 Ω. Determinare le correnti nelle impedenze, gli sfasamenti tra tensioni di fase e corrente, la corrente nel neutro. 5 arctg( arctg(0,5 6,5 0 0 arctg( arctg( arctg( arctg( 6,4 0 0 Ω ( , 0 4,5 Ω 9 Ω

20 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili ESEMPO continua., Ω, 0 Ω, 4,5 Ω; φ 6,5, φ 0, φ -6, ,5 A;,5 A;, 0 4,5 5, A Le tre fasi calcolate sono da intendersi come l angolo tra di fase e la corrente di linea. Tale angolo è positivo se è in anticipo su, negativo se è in ritardo (come e φ -6,4 mmaginaria φ 6,5 φ 0 Reale 0

21 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili l calcolo della corrente nel neutro si effettua scomponendo le tre correnti di linea nella parte reale e immaginaria e poi sommandole. N ( Re + Re + Re + j ( m + m + m mmaginaria m φ 6,5 α 90-6,5 6,5 Re *cos(α 0,5*cos(6,5 Re *cos(α 0,5*0,4469,5 A 0,5 A Reale m *sen(α 0,5*sen(6,5 m *sen(α 0,5*0,8958,5 A Re Re + j m 9,5 + j 8,5 A

22 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili mmaginaria α 0 Re *cos(α,5*cos(0 Re Reale Re *cos(α,5*0,866 9,96 A m,5 A m - *sen(α -,5*sen(0 φ 0 m - *sen(α -,5*0,5-5,75 A Re + j m 9,96 - j 5,75 A

23 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili mmaginaria 0 α ,4 86,6 Re Reale Re *cos(α 5,*cos(86,6 Re *cos(α 5,*0,059,0 A m - *sen(α - 5,*sen(86,6 m - *sen(α - 5,*0,998-5,0 A 5, A φ 6,4 Re + j m,0 - j 5,0 A m

24 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili CALCOLO CORRENTE DEL NEUTRO N Re + j m 9,5 + j 8,5 A Re + j m 9,96 - j 5,75 A Re + j m,0 - j 5,0 A N + + ( Re + j m + ( Re + j m + ( Re + j m N ( Re + Re + Re + j ( m + m + m N (9,5+9,96+,0 + j (8,5 5,75 5,0,4 j 8,4 A N N 4, + 8, 4 8, 4 arctg( 4, 490, + 475, 965, 5 arctg(, , A 4

25 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili GRACO CORRENTE DEL NEUTRO N N,4 j 8,4 A N 44, A; N -60 mmaginaria,4 Reale NOTA: se effettuiamo la somma dei moduli (errata delle tre correnti di linea, otteniamo un valore maggiore di quella vettoriale (corretta e quindi nel filo di neutro circola meno corrente. nfatti: + + 0,5+,5+5, 8, A - 60 Mentre il valore corretto è: N 44, A - J 8,4 N NOTA: se si effettua un rifasamento delle tre correnti di linea rispetto alle relative tensioni di fase, gli sfasamenti diminuirebbero (gli angoli sarebbero minori. Di conseguenza la terna di corrente tende ad essere sfasata di 0 con conseguente riduzione della corrente di neutro. 5

26 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici equilibrati Questo è un caso particolare di quanto già studiato. nfatti ora abbiamo tre impedenza uguali e quindi tre correnti di linea uguali, le quali formano un sistema simmetrico. Come conseguenza si può eliminare il neutro. edere pag.0. L U α N L N 0 W α 0 α L α R + jx X arctg( ; R 0 N 0 6

27 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo Collegamenti secondo norma CE U W L Collegamento geometrico U Tra correnti di linea e di fase possiamo scrivere le equazioni di Kirchoff: L L W L + L + L + che si possono scrivere anche così: L - L - L - NOTA: in questo collegamento non c è il filo di neutro e le tensioni sulle tre impedenze sono quelle concatenate che hanno modulo C 400 NOTA: la somma vettoriale delle correnti di linea deve essere zero L + L + L 0 (sicuramente almeno una corrente ha verso opposto delle altre e deve essere la loro somma 7

28 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo Possiamo affrontare adesso il problema di ricavare le correnti di linea conoscendo le impedenze del carico e, naturalmente le tensioni sulle impedenze. Queste tensioni sono riportate nel grafico seguente. n questo grafico sono presenti anche le tensioni di fase rispetto alle quali sappiamo che c è uno sfasamento in anticipo di Tuttavia nel collegamento a triangolo le tensioni di fase non sono presenti, per cui esse ci sono servite unicamente per ricordare lo sfasamento appena citato. 0 0 Ci conviene ora disegnare solo le tensioni concatenate e riferire i loro sfasamenti agli assi cartesiani parte reale e parte immaginaria. l nuovo grafico è disegnato nella diapositiva successiva. 8

29 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo mmaginaria n questo grafico disegneremo anche i vettori delle correnti che scorrono nelle tre impedenze ed evidenzieremo gli sfasamenti tra esse e le corrispondenti tensioni R + X arctg( X R ; ; Reale R + X ; arctg( X R ; R + X arctg( X R ; ; 9

30 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo φ mmaginaria Nell esempio di diagramma vettoriale a fianco disegnato si è ipotizzato che la corrente sia in ritardo su (carico ohmicoinduttivo, che la corrente sia in anticipo su (carico ohmicocapacitivo e che la sia in fase con (carico ohmico. φ Φ 0 Reale Nella diapositiva successiva si sviluppa un esercizio su tale argomento. 0

31 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo ESEMPO Un sistema trifase a 400, 50 Hz, alimenta tre diversi carichi collegati a triangolo: 0 +j 5 Ω, 5 Ω, 5 j 5 Ω. Determinare le correnti di linea. arctg( X R arctg( X R arctg( X R Ω arctg( arctg(,5 56, ; 0 0 arctg( 0 ; 5 5 arctg( arctg( 5 78, ,0 Ω ( ,5 Ω 400 8, ,5,9 A 80 A 5,69 A

32 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo mmaginaria m,9 A α 0-56, 6,7 φ 56, Re φ 0 80 A Reale φ 78,7 Re m 5,69 A α 0-78,7 4, Re cos( α,9 cos(6,7,9 0,44 9,8 A m sen( α,9 sen(6,7,9 0,896 9,89 A Re cos( α 5,69 cos(4, 5,69 0,75,79 A m sen( α 5,69 sen( 4, 5,69 0,66 0,6 A

33 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo 9,8 + j 9,89 A,79 - j 0,6 A 80 A L L L - (9,8 + j 9,89 (,79 - j 0,6 -,96 + j 0,5 A - (80 (9,8 + j 9,89 70,7 j 9,89 A - (,79 - j 0,6 (80-68, j 0,6 A erifichiamo che la somma di queste tre correnti di linea sia proprio zero: L + L + L (-,96 + j 0,5 + (70,7 j 9,89 + (- 68, j 0,6 (-,96+ 70,7-68, + j (0,5-9,89-0,6 0 A

34 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici equilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo Se il carico collegato a triangolo è formato da impedenze tutte uguali (carico equilibrato si trova una relazione importante tra correnti di linea L e di fase. nfatti i moduli delle correnti sono uguali ed anche gli sfasamenti tra esse e la tensione relativa. L U mmaginaria φ L W φ φ Reale L Dalle equazioni tra correnti di linea e di fase ricaviamo il diagramma vettoriale tra di esse e di conseguenza la relazione matematica di cui abbiamo parlato: L - L - L - 4

35 SSTEM TRASE Sistemi simmetrici equilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo mmaginaria L - L L - L - L Reale La terna di correnti di linea presenta stesso modulo e sfasamento di 0, come per le altre terne simmetriche. L L OH cos(0 0 H 60 L O - L 5

36 SSTEM TRASE Cosa succede se in collegamento a stella o a triangolo si interrompe una fase? Possiamo studiare tale situazione prima per il collegamento a stella e poi per quello a triangolo. nterrompere una fase significa che una impedenza subisce una rottura e quindi la corrente non può più passare in essa. n altri termini si dice che l impedenze si apre. L U L U N 0 N L W 0 L L W L interruzione interruzione 6

37 SSTEM TRASE Collegamento a stella: consideriamo separatamente il caso di carichi squilibrati e di carichi equilibrati Carichi squilibrati a stella (con filo di neutro N L L L N W interruzione 0 U Questa situazione non presenta problemi per le impedenze che sono ancora funzionanti ( e nell esempio. nfatti le correnti provenienti dal generatore ( ed nell esempio attraversano e poi si sommano e formano la corrente di neutro. Quindi N +. n pratica le due impedenze rimaste in funzione continuano a funzionare indipendentemente dal guasto. Questa situazione si può verificare quando le tre impedenze rappresentano tre zone abitate. Se ad una manca corrente le altre due continuano a funzionare. 7

38 SSTEM TRASE Carichi equilibrati a stella (senza filo di neutro con impedenza interrotta L S S - S L W z z CS U o La situazione presentata a lato presenta una impedenza interrotta (sul ramo, quindi la corrente S si annulla. La corrente proveniente dalla linea, cioè S, percorre due impedenza che ora si trovano in serie e sarà uguale alla S (sfasata di 80. l carico ora è squilibrato (pedice s. L S 0 Prima dell interruzione i moduli delle due correnti valevano: interruzione / 0 / / 0 / Dopo l interruzione le due impedenze in serie hanno ai loro capi la tensione concatenata 400, quindi la corrente (squilibrata vale: s 0, 866 Quindi la corrente è diminuita del fattore 0,866 rispetto a prima dello squilibrio. 8

39 SSTEM TRASE Carichi equilibrati a stella (senza filo di neutro con impedenza interrotta s 0, 866 Calcoliamo i moduli delle tensioni sulle due fasi integre, applicando la legge di Ohm. s s 0,866 0, ,866 Anche in questo caso notiamo che la tensione sulle due fasi integre è diminuita dello stesso fattore 0,866. Quindi passa da 0 a 00 cioè alla metà della tensione concatenata. Come ultima osservazione bisogna notare che il centro stella delle impedenze (CS non ha più la stessa tensione del centro stella del generatore. Tra questi due centri stella c è quindi una differenza di potenziale. Ai capi della impedenza interrotta si presenta quindi una tensione più elevata di quella presente in assenza di interruzione. Si può dimostrare che il valore O 4. Questa tensione più elevata non può produrre ulteriori danni poiché la fase è già interrotta, ma occorre tenere presente questo fatto se occorre fare delle misure. 9

40 SSTEM TRASE Carichi equilibrati a triangolo con impedenza interrotta l caso più frequente di collegamento a triangolo sono i motori ed i primari dei trasformatori. Essi sono costruiti con carichi equilibrati e quindi studiamo questo caso. L U L U L W L L L interruzione L - 0 L - L - L - L L - L W 0 moduli di L ed L diventano uguali alle correnti nelle impedenze e quindi diminuiscono il loro valore di. il valore di L invece resta invariato. Le tensioni sulle impedenze non cambiano e 40 quindi esse continuano ad assorbire la stessa corrente sia in modulo che in fase.

41 SSTEM TRASE W U Terra G L E SE S ROMPE L LO D NEUTRO? L U La conseguenza della rottura del filo di neutro è lo stabilirsi di una differenza di potenziale tra Neutro N NG centro stella generatori G (Ground L tensione zero e L W quello del carico N. Questa tensione NG diventa il punto di riferimento delle tensioni delle tre impedenze. Quindi si può fare un grafico in cui si evidenziano i due centri stella e le tensioni che ad essi si riferiscono, in modo da valutare gli effetti di una rottura del neutro. Per i motivi che si capiranno dopo avere disegnato il diagramma suddetto è vietato inserire sul conduttore di neutro una protezione mediante fusibili. 4

42 SSTEM TRASE E SE S ROMPE L LO D NEUTRO? mmaginaria l calcolo della tensione NG si deve fare con il teorema di Millmann e successivamente si può tracciare il vettore corrispondente. G NG N Reale Successivamente si possono ricavare le tensioni sulle impedenze dalle equazioni di Kirchoff. Ricordando che la terra G è lo zero per convenzione delle tensioni, possiamo scrivere: Teorema di Millmann NG NG + NG + NG e quindi NG e quindi NG e quindi NG Dal diagramma disegnato si ricava che tra neutro N e terra G si potrebbe avere una tensione elevata (centinaia di olt: dipende dalle impedenze! con relativo pericolo di folgorazione per chi toccasse il neutro. Di regola invece il neutro non deve essere pericoloso. 4

43 SSTEM TRASE LA POTENA l calcolo delle potenze ATTA, REATTA ed APPARENTE si effettua come di seguito. Potenza attiva: P P + P + P Si sommano le potenze attive assorbite dalle resistenze contenute nelle tre impedenze che formano il carico. Potenza reattiva: Q Q + Q + Q Si sommano algebricamente le potenze reattive immagazzinate dalle induttanze e capacità contenute nelle tre impedenze che formano il carico (dobbiamo tenere conto del segno delle potenze reattive: positive per le induttanze e negative per le capacità. Potenza apparente: S P + Q Bisogna utilizzare nella formula di S la potenza attiva P TOTALE e la potenza reattiva Q TOTALE. 4

44 SSTEM TRASE LA POTENA N U W L L L N ; ; ( ; ( ; ( ; ; R X arctg R X arctg R X arctg X R X R X R L tensione di linea (,, tensione di fase (,, 44 Q P S sen sen sen Q P ( ( ( cos( cos( cos( L tensione di fase (,,

45 SSTEM TRASE LA POTENA Caso sistemi simmetrici ed equilibrati n questa situazione le equazioni precedenti si semplificano. nfatti in tale caso i moduli delle correnti sono uguali ed anche gli sfasamenti. Quindi le formule diventano come segue. P sen Q P C C cos( cos( siccome ( cos( 45 ( ( ( ( ( sen S sen Q P S sen sen Q P C C C cos ( cos( ( ( cos( cos(

46 SSTEM TRASE LA POTENA Caso sistemi simmetrici ed equilibrati REPLOGO sen Q sen Q P P C ( ( cos( cos( 46 Q P S sen Q + C C (

47 SSTEM TRASE LA POTENA Le formule scritte per le potenze utilizzano le tensioni di fase riferite al centro stella. Tuttavia si può cambiare il punto di riferimento delle tensioni per semplificare le formule e la misura. Occorre considerare che le potenze non possono dipendere dal riferimento delle tensioni poiché sono grandezze energetiche. Quindi qualunque sia il riferimento delle tensioni le potenze calcolate o misurate non cambiano. Esiste per la dimostrazione di questa affermazione il teorema di Aron. Consideriamo come riferimento il filo. L U 0 α φ 0 L L W O β φ ; ; 0 α 0 β

48 SSTEM TRASE LA POTENA L espressione delle potenze si possono semplificare con le formule seguenti. 0 ( 0 ( 0 cos( 0 cos( sen sen Q P β α 48 Q P S sen sen Q P ( ( cos( cos( β α β α

49 SSTEM TRASE LA POTENA Misura della potenza attiva con metodo di Aron Utilizziamo la formula della potenza attiva che abbiamo ricavato in precedenza per effettuare praticamente la sua misura. Questo metodo e schema di misura è dovuto ad Aron. Con esso si può misurare la potenza attiva per ogni sistema anche non simmetrico e non equilibrato. nvece è possibile misurare la potenza reattiva solo su sistemi simmetrici ed equilibrati. Per la potenza attiva si userà le formula e lo schema seguenti, in un sistema generico. P cos( 0 + cos( + 0 L U ± W A ± L ± W B ± W L 49

50 SSTEM TRASE LA POTENA Misura della potenza attiva con metodo di Aron Dallo schema risulta che il wattmetro W A misura la potenza attiva tra i fili L ed L, per cui la potenza che misurerà sarà uguale P A * *cos( φ - 0. Analogamente il wattmetro W B misura la potenza attiva tra i fili L ed L, per cui la potenza che misurerà sarà uguale P B * *cos( φ + 0. Queste due potenze attive sono quelle che compaiono nella formula generale. Quindi possiamo concludere che con il metodo di Aron si ottiene la potenza attiva totale sommando P A e P B. P P A + P B 50

51 SSTEM TRASE LA POTENA Misura della potenza attiva con metodo di Aron Considerazioni sul metodo di Aron Nella formula della potenza usata nella misura di Aron compaiono due coseni: P A * *cos( φ - 0 e P B * *cos( φ + 0. due angoli φ e φ sono quelli che si formano tra la corrente e la corrispondente tensione di fase, cioè con e e si devono considerare positivi se il carico è ohmico-induttivo (corrente in ritardo, negativi se il carico è ohmico capacitivo (corrente in anticipo. φ φ > 0 φ > 0 φ φ < 0 φ < 0 φ O φ O Carico ohmico-induttivo (corrente in ritardo Carico ohmico capacitivo (corrente in anticipo 5

52 SSTEM TRASE LA POTENA Misura della potenza attiva con metodo di Aron Considerazioni sul metodo di Aron caso di carico ohmico _ induttivo P A * *cos( φ - 0 e P B * *cos( φ + 0. Possiamo avere i seguenti casi: φ 60, allora cos( φ + 0 cos(90 0; in questo caso P B 0 e quindi la potenza è misurata tutta da P A. φ > 60, ( φ + 0 > 90 e quindi il coseno diventa negativo. Ciò sig nifica che il wattmetro W A tende a segnare all indietro. Per eseguire la lettura si deve invertire la corrente nella bobina voltmetrica e la potenza misurata dal wattmetro deve essere considerata negativa. NOTA: 0 φ 90 allora 0 (φ e quindi il cos( φ - 0 > 0 ; 0 φ 90 allora 0 (φ Quindi se: 0 (φ il cos(φ + 0 0, mentre se: 90 < (φ il cos(φ + 0 < 0 5

53 SSTEM TRASE LA POTENA Misura della potenza attiva con metodo di Aron Considerazioni sul metodo di Aron caso di carico ohmico _ capacitivo Si scambiano le situazioni dei due wattmetri del carico ohmico - induttivo 5

54 SSTEM TRASE LA POTENA Misura della potenza attiva con metodo di Aron Nel caso di sistemi simmetrici ed equilibrati la formula della potenza attiva si semplifica poiché le tre correnti di linea hanno lo stesso modulo e sono sfasate dello stesso angolo dalla tensione corrispondente. Quindi la formula della potenza attiva diventa: P se e e la P potenza C cos( 0 + P si C semplifica : cos( 0 + C cos( + 0 cos(

55 SSTEM TRASE LA POTENA Misura della potenza attiva con metodo di Aron La formula appena trovata si può semplificare come di seguito. P C cos( 0 + C cos( + 0 P C [cos( 0 + cos( + 0 ] P C P C cos( cos(0 cos(0 P {[cos( cos(0 + sen( sen(0 ] + [cos( cos(0 sen( sen(0 ]} C cos( 55

56 SSTEM TRASE LA POTENA Misura della potenza attiva con metodo di Aron Considerazioni sulle letture dei due wattmetri W A e W B P P P P A B A + PB C cos( cos( 0 C C cos( + 0 Carico ohmico: φ 0 > P A C **cos(-0 /; P B C **cos(+0 /; quindi P A P B Carico ohmico_induttivo: φ > 0 si ha sempre (φ + 0 > (φ - 0 e quindi si ha cos(φ + 0 < cos(φ - 0 e di conseguenza il wattmetro P B indica una potenza sempre minore di P A. Si dice che P A è il wattmetro maggiore e P B è il wattmetro minore C 56

57 SSTEM TRASE LA POTENA Misura della potenza attiva con metodo di Aron Carico ohmico_capacitivo: si scambiano le parti dei due wattmetri, cioè Si dice che P A è il wattmetro minore e P B è il wattmetro maggiore 57

58 SSTEM TRASE LA POTENA Misura della potenza attiva con metodo di Aron Abbiamo già notato nel caso generale che se φ 60 il wattmetro W B legge potenza P B 0. anche ora questa situazione è confermata. P A C **cos( 60-0 C **cos(0 C ** /; P B C **cos( La potenza è misurata completamente dal wattmetro W A. Se l angolo φ > 60 allora il wattmetro W B segnerà una potenza negativa. nfatti: (φ + 0 > 90 e quindi cos(φ + 0 < 0 cioè P B C **cos(φ + 0 < 0. quindi occorrerà invertire la bobina amperometrica e la potenza letta si deve considerare negativa. Se φ > 90 (carico completamente induttivo le letture dei du e wattmetri saranno: P A C **cos( 90-0 C **cos(60 ½* C *; P B C **cos( C **cos( 0 -½* C ** due wattmetri danno valore uguale ma segno opposto. Ciò è coerente con il tipo di carico (completamente induttivo che non assorbe potenza attiva, ma immagazzina solo potenza reattiva. 58

59 SSTEM TRASE LA POTENA Misura della potenza reattiva con metodo di Aron È possibile misurare la potenza reattiva con il metodo di Aron? Nel caso generale (sistemi non simmetrici e non equilibrati non è possibile con il metodo a due wattmetri. nfatti nella formula della potenza reattiva compaiono delle funzioni seno applicate ad angoli qualsiasi e che quindi non è possibile riportarli a coseni (come occorrerebbe per avere la potenza con wattmetri Q sen 0 + sen( + 0 ( Se invece abbiamo sistemi simmetrici ed equilibrati la misura di potenza reattiva è possibile usando due wattmetri, cioè misurando due potenze attive. Consideriamo ancora le espressioni delle potenze P A e P B per i sistemi citati e troviamo la formula della potenza reattiva. 59

60 P A P B C cos( 0 C C sen sen0 poichè sen0 P A P B C sen moltiplica Q SSTEM TRASE LA POTENA Misura della potenza reattiva con metodo di Aron C cos( + 0 [( cos cos 0 + sen sen0 ( cos cos 0 sen sen0 ] ndo ( P A P C B ambo sen i membri C per sen, si ha : Concludiamo quindi che: Q ( P P A B 60

Le reti elettriche possono contenere i componenti R, C, L collegati fra di loro in modo qualsiasi ed in quantità qualsiasi.

Le reti elettriche possono contenere i componenti R, C, L collegati fra di loro in modo qualsiasi ed in quantità qualsiasi. e reti elettriche in alternata (- ; - ; --) e reti elettriche possono contenere i componenti,, collegati fra di loro in modo qualsiasi ed in quantità qualsiasi. l loro studio in alternata parte dall analisi

Dettagli

I SISTEMI TRIFASI B B A N B B

I SISTEMI TRIFASI B B A N B B I SISTEMI TRIFSI ITRODUZIOE Un sistema polifase consiste in due o più tensioni identiche, fra le quali esiste uno sfasamento fisso, che alimentano, attraverso delle linee di collegamento, dei carichi.

Dettagli

ELETTROTECNICA Ingegneria Industriale

ELETTROTECNICA Ingegneria Industriale LTTROTCNCA ngegneria ndustriale SSTM TRFAS Stefano astore Dipartimento di ngegneria e Architettura Corso di lettrotecnica (04N) a.a. 0-4 Generatore trifase Un generatore trifase equilibrato è composto

Dettagli

Corso di elettrotecnica Materiale didattico. Cenni sui sistemi trifase

Corso di elettrotecnica Materiale didattico. Cenni sui sistemi trifase Corso di elettrotecnica Materiale didattico. Cenni sui sistemi trifase A. Laudani 19 gennaio 2007 Le reti trifase sono reti elettriche in regime sinusoidale (tutte le variabili di rete hanno andamento

Dettagli

GRANDEZZE SINUSOIDALI

GRANDEZZE SINUSOIDALI GRANDEE SINUSOIDALI INDICE -Grandezze variabili. -Grandezze periodiche. 3-Parametri delle grandezze periodiche. 4-Grandezze alternate. 5-Grandezze sinusoidali. 6-Parametri delle grandezze sinusoidali.

Dettagli

Sistemi Trifase. invece è nel senso degli anticipi (+) il sistema è denominato simmetrico inverso.

Sistemi Trifase. invece è nel senso degli anticipi (+) il sistema è denominato simmetrico inverso. Sistemi Trifase Un insieme di m generatori che producono f.e.m. sinusoidali di eguale valore massimo e sfasate tra di loro dello stesso angolo (2π/m) è un sistema polifase simmetrico ad m fasi. Se lo sfasamento

Dettagli

Potenza elettrica nei circuiti in regime sinusoidale

Potenza elettrica nei circuiti in regime sinusoidale Per gli Istituti Tecnici Industriali e Professionali Potenza elettrica nei circuiti in regime sinusoidale A cura del Prof. Chirizzi Marco www.elettrone.altervista.org 2010/2011 POTENZA ELETTRICA NEI CIRCUITI

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

X = Z sinj Q = VI sinj

X = Z sinj Q = VI sinj bbiamo già parlato dei triangoli dell impedenza e delle potenze. Notiamo la similitudine dei due triangoli rettangoli. Perciò possiamo indifferentemente calcolare: (fattore di potenza) Il fattore di potenza

Dettagli

LINEE AEREE PARALLELE

LINEE AEREE PARALLELE LINEE AEREE PARALLELE Coefficiente di autoinduzione di una linea bifilare Sia data la linea riportata in fig. 1 Fig. 1 Linea bifilare a conduttori paralleli essa è costituita da due conduttori aerei paralleli

Dettagli

Complementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013

Complementi di Analisi per Informatica *** Capitolo 2. Numeri Complessi. e Circuiti Elettrici. a Corrente Alternata. Sergio Benenti 7 settembre 2013 Complementi di Analisi per nformatica *** Capitolo 2 Numeri Complessi e Circuiti Elettrici a Corrente Alternata Sergio Benenti 7 settembre 2013? ndice 2 Circuiti elettrici a corrente alternata 1 21 Circuito

Dettagli

Sistemi trifase. = E M E 2 = E M e j 2. E 3 = E M e j4 3 = E M e j2 3. Si definisce tensione di fase la f.e.m. fornita da ogni generatore sincrono:

Sistemi trifase. = E M E 2 = E M e j 2. E 3 = E M e j4 3 = E M e j2 3. Si definisce tensione di fase la f.e.m. fornita da ogni generatore sincrono: Sistemi trifase I sistemi trifase sono utilizzati per generazione trasmissione distribuzione dell energia elettrica perché i generatori trifase sono meno ingombranti ed hanno un peso minore rispetto agli

Dettagli

Potenze nei sistemi trifase

Potenze nei sistemi trifase 58 L espressione generale della potenza istantanea per un sistema trifase a quattro fili è immediatamente deducibile da quella del quadripolo: p(t) = v 1 (t) i 1 (t) + v 2 (t) i 2 (t) + v 3 (t) i 3 (t)

Dettagli

Esercitazione N. 1 Misurazione di resistenza con metodo volt-amperometrico

Esercitazione N. 1 Misurazione di resistenza con metodo volt-amperometrico Esercitazione N. 1 Misurazione di resistenza con metodo volt-amperometrico 1.1 Lo schema di misurazione Le principali grandezze elettriche che caratterizzano un bipolo in corrente continua, quali per esempio

Dettagli

Transitori del primo ordine

Transitori del primo ordine Università di Ferrara Corso di Elettrotecnica Transitori del primo ordine Si consideri il circuito in figura, composto da un generatore ideale di tensione, una resistenza ed una capacità. I tre bipoli

Dettagli

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1)

Come visto precedentemente l equazione integro differenziale rappresentativa dell equilibrio elettrico di un circuito RLC è la seguente: 1 = (1) Transitori Analisi nel dominio del tempo Ricordiamo che si definisce transitorio il periodo di tempo che intercorre nel passaggio, di un sistema, da uno stato energetico ad un altro, non è comunque sempre

Dettagli

LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA

LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA (Fenomeno, indipendente dal tempo, che si osserva nei corpi conduttori quando le cariche elettriche fluiscono in essi.) Un conduttore metallico è in equilibrio elettrostatico

Dettagli

Analisi in regime sinusoidale (parte V)

Analisi in regime sinusoidale (parte V) Appunti di Elettrotecnica Analisi in regime sinusoidale (parte ) Teorema sul massimo trasferimento di potenza attiva... alore della massima potenza attiva assorbita: rendimento del circuito3 Esempio...3

Dettagli

COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DI TEEA

COMPITI PER LE VACANZE ESTIVE DI TEEA COMPT PE LE VCNZE ESTVE D TEE CLSSE 4P.S. 2014-15 Per tutta la classe: l rientro verranno controllati e valutati i quaderni, saranno considerati sufficienti i lavori con almeno 15 esercizi svolti. Per

Dettagli

LEZIONE DI ELETTRONICA per la classe 5 TIM/TSE

LEZIONE DI ELETTRONICA per la classe 5 TIM/TSE LEZIONE DI ELETTRONICA per la classe 5 TIM/TSE MODULO : Analisi dei circuiti lineari in regime sinusoidale PREMESSA L analisi dei sistemi elettrici lineari, in regime sinusoidale, consente di determinare

Dettagli

SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI

SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI SCHEDA DI RECUPERO SUI NUMERI RELATIVI I numeri relativi sono l insieme dei numeri negativi (preceduti dal segno -) numeri positivi (il segno + è spesso omesso) lo zero. Valore assoluto di un numero relativo

Dettagli

Esercizi svolti di Elettrotecnica

Esercizi svolti di Elettrotecnica Marco Gilli Dipartimento di Elettronica Politecnico di Torino Esercizi svolti di Elettrotecnica Politecnico di Torino TOINO Maggio 2003 Indice Leggi di Kirchhoff 5 2 Legge di Ohm e partitori 5 3 esistenze

Dettagli

Figura 1: Schema di misurazione della potenza con il metodo Barbagelata.

Figura 1: Schema di misurazione della potenza con il metodo Barbagelata. Richiami sulla misurazione di potenza elettrica in un sistema trifase simmetrico e squilibrato e traccia delle operazioni da svolgere in laboratorio Alberto Vallan - 005 1. Il metodo Barbagelata In un

Dettagli

Visione d insieme DOMANDE E RISPOSTE SULL UNITÀ

Visione d insieme DOMANDE E RISPOSTE SULL UNITÀ Visione d insieme DOMANDE E RISPOSTE SULL UNITÀ Che cos è la corrente elettrica? Nei conduttori metallici la corrente è un flusso di elettroni. L intensità della corrente è il rapporto tra la quantità

Dettagli

GEOMETRIA DELLE MASSE

GEOMETRIA DELLE MASSE 1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro

Dettagli

RISONANZA. Introduzione. Risonanza Serie.

RISONANZA. Introduzione. Risonanza Serie. RISONANZA Introduzione. Sia data una rete elettrica passiva, con elementi resistivi e reattivi, alimentata con un generatore di tensione sinusoidale a frequenza variabile. La tensione di alimentazione

Dettagli

Forma d onda rettangolare non alternativa.

Forma d onda rettangolare non alternativa. Forma d onda rettangolare non alternativa. Lo studio della forma d onda rettangolare è utile, perché consente di conoscere il contenuto armonico di un segnale digitale. FIGURA 33 Forma d onda rettangolare.

Dettagli

V= R*I. LEGGE DI OHM Dopo aver illustrato le principali grandezze elettriche è necessario analizzare i legami che vi sono tra di loro.

V= R*I. LEGGE DI OHM Dopo aver illustrato le principali grandezze elettriche è necessario analizzare i legami che vi sono tra di loro. LEGGE DI OHM Dopo aver illustrato le principali grandezze elettriche è necessario analizzare i legami che vi sono tra di loro. PREMESSA: Anche intuitivamente dovrebbe a questo punto essere ormai chiaro

Dettagli

ESERCIZI DI ELETTROTECNICA

ESERCIZI DI ELETTROTECNICA 1 esercizi corrente alternata trifase ESERCIZI DI ELETTROTECNICA IN CORRENTE ALTERNATA TRIFASE A cura del Prof. M ZIMOTTI DEFINIZIONI 1 2 esercizi corrente alternata trifase STS: sistema trifase simmetrico

Dettagli

di Heaveside: ricaviamo:. Associamo alle grandezze sinusoidali i corrispondenti fasori:, Adesso sostituiamo nella

di Heaveside: ricaviamo:. Associamo alle grandezze sinusoidali i corrispondenti fasori:, Adesso sostituiamo nella Equazione di Ohm nel dominio fasoriale: Legge di Ohm:. Dalla definizione di operatore di Heaveside: ricaviamo:. Associamo alle grandezze sinusoidali i corrispondenti fasori:, dove Adesso sostituiamo nella

Dettagli

APPUNTI SUL CAMPO MAGNETICO ROTANTE

APPUNTI SUL CAMPO MAGNETICO ROTANTE APPUTI UL CAPO AGETICO ROTATE Campo agnetico Rotante ad una coppia polare Consideriamo la struttura in figura che rappresenta la vista, in sezione trasversale, di un cilindro cavo, costituito da un materiale

Dettagli

risulta (x) = 1 se x < 0.

risulta (x) = 1 se x < 0. Questo file si pone come obiettivo quello di mostrarvi come lo studio di una funzione reale di una variabile reale, nella cui espressione compare un qualche valore assoluto, possa essere svolto senza necessariamente

Dettagli

Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BARTOLO. A cura del Prof S. Giannitto

Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BARTOLO. A cura del Prof S. Giannitto Istituto d Istruzione Secondaria Superiore M.BATOLO PACHINO (S) APPUNTI DI SISTEMI AUTOMATICI 3 ANNO MODELLIZZAZIONE A cura del Prof S. Giannitto MODELLI MATEMATICI di SISTEMI ELEMENTAI LINEAI, L, C ivediamo

Dettagli

13. Campi vettoriali

13. Campi vettoriali 13. Campi vettoriali 1 Il campo di velocità di un fluido Il concetto di campo in fisica non è limitato ai fenomeni elettrici. In generale il valore di una grandezza fisica assegnato per ogni punto dello

Dettagli

GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI

GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI GRANDEZZE ALTERNATE SINUSOIDALI 1 Nel campo elettrotecnico-elettronico, per indicare una qualsiasi grandezza elettrica si usa molto spesso il termine di segnale. L insieme dei valori istantanei assunti

Dettagli

CABINE ELETTRICHE DI TRASFORMAZIONE

CABINE ELETTRICHE DI TRASFORMAZIONE Cabtrasf_parte_prima 1 di 8 CABINE ELETTRICHE DI TRASFORMAZIONE parte prima Una cabina elettrica è il complesso di conduttori, apparecchiature e macchine atto a eseguire almeno una delle seguenti funzioni:

Dettagli

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure

Dettagli

I CIRCUITI ELETTRICI. Prima di tutto occorre mettersi d accordo anche sui nomi di alcune parti dei circuiti stessi.

I CIRCUITI ELETTRICI. Prima di tutto occorre mettersi d accordo anche sui nomi di alcune parti dei circuiti stessi. I CIRCUITI ELETTRICI Prima di tutto occorre mettersi d accordo anche sui nomi di alcune parti dei circuiti stessi. Definiamo ramo un tratto di circuito senza diramazioni (tratto evidenziato in rosso nella

Dettagli

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0

4 3 4 = 4 x 10 2 + 3 x 10 1 + 4 x 10 0 aaa 10 2 10 1 10 0 Rappresentazione dei numeri I numeri che siamo abituati ad utilizzare sono espressi utilizzando il sistema di numerazione decimale, che si chiama così perché utilizza 0 cifre (0,,2,3,4,5,6,7,8,9). Si dice

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

Il neutro, un conduttore molto "attivo" (3)

Il neutro, un conduttore molto attivo (3) 1 Il neutro, un conduttore molto "attivo" (3) 3. I sistemi elettrici in relazione al modo di collegamento a terra del neutro e delle masse In funzione della messa a terra del neutro e delle masse, un sistema

Dettagli

Analisi Matematica di circuiti elettrici

Analisi Matematica di circuiti elettrici Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto

Dettagli

L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare

L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare L EQUILIBRIO UNIVERSALE dalla meccanica celeste alla fisica nucleare Cap.4 giroscopio, magnetismo e forza di Lorentz teoria del giroscopio Abbiamo finora preso in considerazione le condizionidi equilibrio

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

IL RIFASAMENTO CON IMPIANTI FOTOVOLTAICI

IL RIFASAMENTO CON IMPIANTI FOTOVOLTAICI VREL 36043 CISNO VICENTINO VI. TEL.: 0444410400 E-IL: inge@varelit.com IL RIFSENTO CON IPINTI FOTOVOLTICI Negli ultimi anni il fotovoltaico ha avuto un notevole successo e le installazioni sono fortemente

Dettagli

GIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω

GIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω GIROSCOPIO Scopo dell esperienza: Verificare la relazione: ω p = bmg/iω dove ω p è la velocità angolare di precessione, ω è la velocità angolare di rotazione, I il momento principale d inerzia assiale,

Dettagli

Amplificatori Audio di Potenza

Amplificatori Audio di Potenza Amplificatori Audio di Potenza Un amplificatore, semplificando al massimo, può essere visto come un oggetto in grado di aumentare il livello di un segnale. Ha quindi, generalmente, due porte: un ingresso

Dettagli

Programmazione modulare

Programmazione modulare Programmazione modulare Indirizzo: ELETTROTECNICA ED ELETTRONICA Disciplina: ELETTROTECNICA ED ELETTRONICA Docenti: Erbaggio Maria Pia e Iannì Gaetano Classe: IV A e settimanali previste: 6 Prerequisiti

Dettagli

P od o u d z u io i n o e n e d e d l e l l a l a c o c r o ren e t n e e a l a t l er e na n t a a alternatori. gruppi elettrogeni

P od o u d z u io i n o e n e d e d l e l l a l a c o c r o ren e t n e e a l a t l er e na n t a a alternatori. gruppi elettrogeni Produzione della corrente alternata La generazione di corrente alternata viene ottenuta con macchine elettriche dette alternatori. Per piccole potenze si usano i gruppi elettrogeni. Nelle centrali elettriche

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

INTEGRATORE E DERIVATORE REALI

INTEGRATORE E DERIVATORE REALI INTEGRATORE E DERIVATORE REALI -Schemi elettrici: Integratore reale : C1 R2 vi (t) R1 vu (t) Derivatore reale : R2 vi (t) R1 C1 vu (t) Elenco componenti utilizzati : - 1 resistenza da 3,3kΩ - 1 resistenza

Dettagli

Esercizio no.2 Un carico trifase, costituito da tre resistenza collegate a stella di valore ciascuna 4Ω viene alimentato da un sistema trifase

Esercizio no.2 Un carico trifase, costituito da tre resistenza collegate a stella di valore ciascuna 4Ω viene alimentato da un sistema trifase Sistemi trifase: Esercizio no.1 Un carico trifase, costituito da tre resistenza collegate a triangolo di valore ciascuna 8Ω è alimentato con tensioni concatenate di valore VL=220V. Trovare le correnti

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

Definizione di mutua induzione

Definizione di mutua induzione Mutua induzione Definizione di mutua induzione Una induttanza produce un campo magnetico proporzionale alla corrente che vi scorre. Se le linee di forza di questo campo magnetico intersecano una seconda

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

METODO PER LA DESCRIZIONE DEL CAMPO MAGNETICO ROTANTE

METODO PER LA DESCRIZIONE DEL CAMPO MAGNETICO ROTANTE Ing. ENRICO BIAGI Docente di Tecnologie elettrice, Disegno, Progettazione ITIS A. Volta - Perugia ETODO PER LA DESCRIZIONE DEL CAPO AGNETICO ROTANTE Viene illustrato un metodo analitico-grafico per descrivere

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioni di Matematica 1 - I modulo Luciano Battaia 16 ottobre 2008 Luciano Battaia - http://www.batmath.it Matematica 1 - I modulo. Lezione del 16/10/2008 1 / 13 L introduzione dei numeri reali si può

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

LA CORRENTE ELETTRICA

LA CORRENTE ELETTRICA L CORRENTE ELETTRIC H P h Prima che si raggiunga l equilibrio c è un intervallo di tempo dove il livello del fluido non è uguale. Il verso del movimento del fluido va dal vaso a livello maggiore () verso

Dettagli

Zeno Martini (admin)

Zeno Martini (admin) Zeno Martini (admin) TRE CORTOCIRCUITI IN BASSA TENSIONE 18 October 2009 Generalità L'argomento è un classico degli impianti. Conoscere la corrente di cortocircuito è di fondamentale importanza per il

Dettagli

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo Logica Numerica Approfondimento E. Barbuto Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore Il concetto di multiplo e di divisore Considerato un numero intero n, se esso viene moltiplicato per un numero

Dettagli

Esercizi e considerazioni pratiche sulla legge di ohm e la potenza

Esercizi e considerazioni pratiche sulla legge di ohm e la potenza Esercizi e considerazioni pratiche sulla legge di ohm e la potenza Come detto precedentemente la legge di ohm lega la tensione e la corrente con un altro parametro detto "resistenza". Di seguito sono presenti

Dettagli

Formule trigonometriche

Formule trigonometriche Formule trigonometriche C. Enrico F. Bonaldi 1 Formule trigonometriche In trigonometria esistono delle formule fondamentali che permettono di calcolare le funzioni goniometriche della somma di due angoli

Dettagli

Sia data la rete di fig. 1 costituita da tre resistori,,, e da due generatori indipendenti ideali di corrente ed. Fig. 1

Sia data la rete di fig. 1 costituita da tre resistori,,, e da due generatori indipendenti ideali di corrente ed. Fig. 1 Analisi delle reti 1. Analisi nodale (metodo dei potenziali dei nodi) 1.1 Analisi nodale in assenza di generatori di tensione L'analisi nodale, detta altresì metodo dei potenziali ai nodi, è un procedimento

Dettagli

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno

Dettagli

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali 1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!

Dettagli

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione

2. Leggi finanziarie di capitalizzazione 2. Leggi finanziarie di capitalizzazione Si chiama legge finanziaria di capitalizzazione una funzione atta a definire il montante M(t accumulato al tempo generico t da un capitale C: M(t = F(C, t C t M

Dettagli

GRANDEZZE ELETTRICHE E COMPONENTI

GRANDEZZE ELETTRICHE E COMPONENTI Capitolo3:Layout 1 17-10-2012 15:33 Pagina 73 CAPITOLO 3 GRANDEZZE ELETTRICHE E COMPONENTI OBIETTIVI Conoscere le grandezze fisiche necessarie alla trattazione dei circuiti elettrici Comprendere la necessità

Dettagli

Le verifiche negli impianti elettrici: tra teoria e pratica. Guida all esecuzione delle verifiche negli impianti elettrici utilizzatori a Norme CEI

Le verifiche negli impianti elettrici: tra teoria e pratica. Guida all esecuzione delle verifiche negli impianti elettrici utilizzatori a Norme CEI Le verifiche negli impianti elettrici: tra teoria e pratica (Seconda parte) Guida all esecuzione delle verifiche negli impianti elettrici utilizzatori a Norme CEI Concluso l esame a vista, secondo quanto

Dettagli

MODELLIZZAZIONE DI UNA LINEA ELETTRICA

MODELLIZZAZIONE DI UNA LINEA ELETTRICA MODEIZZAZIONE DI UNA INEA EETTRICA Appunti a cura dell Ing. Emanuela Pazzola Tutore del corso di Elettrotecnica per meccanici, chimici e biomedici A.A. 005/006 Facoltà d Ingegneria dell Università degli

Dettagli

Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione. 1 e prende il nome frequenza di

Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione. 1 e prende il nome frequenza di Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione Il campionamento consente, partendo da un segnale a tempo continuo ovvero che fluisce con continuità nel tempo, di ottenere un segnale a tempo discreto,

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Vademecum studio funzione

Vademecum studio funzione Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla

Dettagli

Unità realizzata con la collaborazione dell alunno GIANMARCO BERTONATI (Elaborato d Esame a.s.:2011/2012 classe 3 D)

Unità realizzata con la collaborazione dell alunno GIANMARCO BERTONATI (Elaborato d Esame a.s.:2011/2012 classe 3 D) 1 Unità realizzata con la collaborazione dell alunno GIANMARCO BERTONATI (Elaborato d Esame a.s.:2011/2012 classe 3 D) 2 circuito realizzato dall alunno Gianmarco Bertonati grazie al quali ha potuto spiegare

Dettagli

ESEMPIO 1: eseguire il complemento a 10 di 765

ESEMPIO 1: eseguire il complemento a 10 di 765 COMPLEMENTO A 10 DI UN NUMERO DECIMALE Sia dato un numero N 10 in base 10 di n cifre. Il complemento a 10 di tale numero (N ) si ottiene sottraendo il numero stesso a 10 n. ESEMPIO 1: eseguire il complemento

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

LA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali

LA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali LA RETTA Abbiamo visto che l'equazione generica di una retta è del tipo Y = mx + q, dove m ne rappresenta la pendenza e q il punto in cui la retta incrocia

Dettagli

Corrente ele)rica. Cariche in movimento e legge di Ohm

Corrente ele)rica. Cariche in movimento e legge di Ohm Corrente ele)rica Cariche in movimento e legge di Ohm Corrente ele)rica Nei metalli si possono avere elettroni che si muovono anche velocemente fra un estremo e l altro del metallo, ma la risultante istante

Dettagli

Esame di Stato di Istituto Tecnico Industriale A.S. 2004/2005

Esame di Stato di Istituto Tecnico Industriale A.S. 2004/2005 Esame di Stato di Istituto Tecnico Industriale A.S. 2004/2005 Indirizzo: Elettrotecnica e automazione Tema di: Elettrotecnica Una macchina in corrente continua, funzionante da dinamo con eccitazione indipendente,

Dettagli

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.

Le equazioni. Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Le equazioni Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. Definizione e caratteristiche Chiamiamo equazione l uguaglianza tra due espressioni algebriche,

Dettagli

IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006

IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006 PROGETTO OLIMPII I MTEMTI U.M.I. UNIONE MTEMTI ITLIN SUOL NORMLE SUPERIORE IGiochidirchimede-Soluzioniiennio novembre 006 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta E 4 5 6 7 8 9 E 0 Problema

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

Libri di testo adottati: Elettrotecnica generale HOEPLI di Gaetano Conte;

Libri di testo adottati: Elettrotecnica generale HOEPLI di Gaetano Conte; Libri di testo adottati: Elettrotecnica generale HOEPLI di Gaetano Conte; Obiettivi generali. Macchine Elettriche, HOEPLI di Gaetano Conte; Laboratorio di Macchine Elettriche, HOEPLI di Gaetano Conte;

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1 LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza

Dettagli

Corso di Elettrotecnica

Corso di Elettrotecnica Università degli Studi di Pavia Facoltà di Ingegneria Corso di Corso di Elettrotecnica Teoria dei Circuiti Circuiti trifasi Nelle applicazioni di potenza è frequente trovare, in regime P.A.S., dispositivi

Dettagli

SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI

SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI SISTEMI DI NUMERAZIONE E CODICI Il Sistema di Numerazione Decimale Il sistema decimale o sistema di numerazione a base dieci usa dieci cifre, dette cifre decimali, da O a 9. Il sistema decimale è un sistema

Dettagli

( a ) ( ) ( Circuiti elettrici in corrente alternata. I numeri complessi. I numeri complessi in rappresentazione cartesiana

( a ) ( ) ( Circuiti elettrici in corrente alternata. I numeri complessi. I numeri complessi in rappresentazione cartesiana I numeri complessi I numeri complessi in rappresentazione cartesiana Un numero complesso a è una coppia ordinata di numeri reali che possono essere pensati come coordinate di un punto nel piano P(a,a,

Dettagli

Principi di ingegneria elettrica. Lezione 15 a. Sistemi trifase

Principi di ingegneria elettrica. Lezione 15 a. Sistemi trifase rincipi di ingegneria elettrica Lezione 15 a Sistemi trifase Teorema di Boucherot La potenza attiva assorbita da un bipolo è uguale alla somma aritmetica delle potenze attive assorbite dagli elementi che

Dettagli

A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso

A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso 441 APPENDICE A4 NUMERI COMPLESSI A.1 Definizione e rappresentazione di un numero complesso Si riepilogano i concetti e le operazioni elementari relativi ai numeri complessi. Sia z un numero complesso;

Dettagli

9. Urti e conservazione della quantità di moto.

9. Urti e conservazione della quantità di moto. 9. Urti e conservazione della quantità di moto. 1 Conservazione dell impulso m1 v1 v2 m2 Prima Consideriamo due punti materiali di massa m 1 e m 2 che si muovono in una dimensione. Supponiamo che i due

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

1. Scopo dell esperienza.

1. Scopo dell esperienza. 1. Scopo dell esperienza. Lo scopo di questa esperienza è ricavare la misura di tre resistenze il 4 cui ordine di grandezza varia tra i 10 e 10 Ohm utilizzando il metodo olt- Amperometrico. Tale misura

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

Grandezze scalari e vettoriali

Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze

Dettagli

Epoca k Rata Rk Capitale Ck interessi Ik residuo Dk Ek 0 S 0 1 C1 Ik=i*S Dk=S-C1. n 0 S

Epoca k Rata Rk Capitale Ck interessi Ik residuo Dk Ek 0 S 0 1 C1 Ik=i*S Dk=S-C1. n 0 S L AMMORTAMENTO Gli ammortamenti sono un altra apllicazione delle rendite. Il prestito è un operazione finanziaria caratterizzata da un flusso di cassa positivo (mi prendo i soldi in prestito) seguito da

Dettagli

Impianti fotovoltaici con immissione in rete non a norma e conseguenza distruttive per la presenza di spike ad alta tensione

Impianti fotovoltaici con immissione in rete non a norma e conseguenza distruttive per la presenza di spike ad alta tensione Impianti fotovoltaici con immissione in rete non a norma e conseguenza distruttive per la presenza di spike ad alta tensione Oggi vogliamo approfondire l annoso problema dell innalzamento della tensione

Dettagli