Calcolo di punti quasi ottimali per l interpolazione polinomiale sull intervallo, il quadrato e il disco

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1 Calcolo di punti quasi ottimali per l interpolazione polinomiale sull intervallo, il quadrato e il disco Candidato : Luca Mezzalira Relatore : Dott. Alvise Sommariva 18 luglio 2011 Padova Calcolo di punti di Lebesgue 1/16

2 Sommario 1 Aspetti teorici 2 Aspetti computazionali 3 Risultati Calcolo di punti di Lebesgue 2/16

3 Il problema Vogliamo calcolare insiemi di punti ξ = {P i } i=1...m adeguati per l interpolazione polinomiale su alcuni classici domini bidimensionali e sull intervallo. Operativamente, è un problema di minimizzazione della costante di Lebesgue Λ n. Calcolo di punti di Lebesgue 3/16

4 La costante di Lebesgue Λ n Definizioni Funzioni cardinali : l i (x) = det(v (P 1,..., P i 1, x, P i+1,..., P M )) det(v ) Calcolo di punti di Lebesgue 4/16

5 La costante di Lebesgue Λ n Definizioni Funzioni cardinali : l i (x) = det(v (P 1,..., P i 1, x, P i+1,..., P M )) det(v ) Operatore di interpolazione : M L ξ f = f(p i )l i ( ) i=1 Calcolo di punti di Lebesgue 4/16

6 La costante di Lebesgue Λ n Definizioni Funzioni cardinali : l i (x) = det(v (P 1,..., P i 1, x, P i+1,..., P M )) det(v ) Operatore di interpolazione : M L ξ f = f(p i )l i ( ) Costante di Lebesgue : i=1 Λ n = L ξ = max x Ω M l i (x) i=1 Calcolo di punti di Lebesgue 4/16

7 La costante di Lebesgue Λ n Importanza della costante di Lebesgue: Controlla l errore L ξ f f (1 + Λ n (ξ)) min p P n f p Controlla la stabilità Lf L f Λ n f f = Λ n ɛ Calcolo di punti di Lebesgue 4/16

8 Metodo I punti di Lebesgue non sono noti teoricamente. Conosciamo approssimazioni, numeriche o teoriche, di questi insiemi Affrontiamo il problema di ottimizzazione con l algoritmo noto come Differential Evolution(DE) Calcolo di punti di Lebesgue 5/16

9 Differential Evolution Algoritmo genetico che procede in tre fasi : Mutazione Esempio di popolazione generata da DE sul disco Calcolo di punti di Lebesgue 6/16

10 Differential Evolution Algoritmo genetico che procede in tre fasi : Mutazione Crossover Calcolo di punti di Lebesgue 6/16

11 Differential Evolution Algoritmo genetico che procede in tre fasi : Mutazione Crossover Selezione Calcolo di punti di Lebesgue 6/16

12 Mesh di controllo Esempio : griglia tensoriale di Chebyshev per il quadrato Non abbiamo la conoscenza della costante di Lebesgue su tutto il dominio, ma su un sottoinsieme discreto Scegliamo delle Mesh debolmente ammissibili, cioè che determinano la norma polinomiale a meno di costanti p Ω C(A n ) p An, p P n (Ω) Calcolo di punti di Lebesgue 7/16

13 Parametri per DE Comportamento di DE sui problemi di benchmark Sphere e Rosenbrock al variare dei parametri Numero di individui : NP Crossover : CR Fattore di mutazione : F Raggio degli intorni : Calcolo di punti di Lebesgue 8/16

14 Regione ammissibile La fase di mutazione di DE può portare a configurazioni indesiderate, ad esempio con punti esterni Per prevenire questi casi, facciamo operare DE su uno spazio diverso Ω Ω f f(ω) DE g f(ω) Ω Calcolo di punti di Lebesgue 9/16

15 Intervallo Le costanti di Lebesgue migliorano di meno dell 1% I punti ottenuti sono perturbazioni degli originali Sulla prima riga gli expanded Chebyshev, sulla seconda i punti generati da DE Calcolo di punti di Lebesgue 10/16

16 Risultati numerici Grado DE EC Grado DE EC Grado DE EC Calcolo di punti di Lebesgue 11/16

17 Domini bidimensionali Quadrato Miglioramenti per ogni grado Entità dei miglioramenti contenuta Disco Miglioramenti solo per i gradi alti Entità crescente col grado Calcolo di punti di Lebesgue 12/16

18 Domini bidimensionali - risultati Quadrato Grado DE BSV Grado DE BSV Grado DE BSV Calcolo di punti di Lebesgue 13/16

19 Domini bidimensionali - risultati Disco Grado DE BSV Grado DE BSV Grado DE BSV Calcolo di punti di Lebesgue 13/16

20 Domini bidimensionali - risultati Quadrato Disco Calcolo di punti di Lebesgue 14/16

21 Domini bidimensionali - differenze Quadrato Disco Indicati con (o) i punti di partenza, con (+) l output di DE Calcolo di punti di Lebesgue 15/16

22 Grazie per l attenzione. Calcolo di punti di Lebesgue 16/16