VERIFICA DEI PRINCIPI DI KIRCHHOFF, DEL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI, DEL TEOREMA DI MILLMAN

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1 FCA D PNCP D KCHHOFF, DL PNCPO D SOAPPOSZON DGL FFTT, DL TOMA D MLLMAN Un qualunque circuito lineare (in cui agiscono più generatori) può essere risolto applicando i due principi di Kirchhoff e risolvendo le r (numero dei rami del circuito numero delle correnti incognite) equazioni linearmente indipendenti che si ottengono. È anche possibile risolvere un circuito lineare, in cui agiscono più cause (generatori), applicando il Principio di Sovrapposizione degli ffetti. Tale principio è, in genere, conveniente quando le cause che agiscono sono di natura diversa (generatori continui e generatori alternati). Se, poi, nel circuito è possibile determinare due punti rispetto ai quali tutti i rami sono in parallelo, è possibile applicare il teorema di Millman per determinare la differenza di potenziale tra questi due punti. Calcolata tale differenza di potenziale, si determinano le correnti nei rami e le cadute di tensione sulle resistenze. Un semplice circuito che si presta alla risoluzione nei tre modi su citati è quello di figura. 8 ; 0 ;,kω ; 4,7kΩ ;,kω valori dei generatori, essendo veri e propri generatori e non delle schematizzazioni di elementi non lineari o altro, devono essere scelti in modo che, in nessun caso, la corrente debba entrare nel morsetto positivo. Un generatore o un alimentatore è costruito in modo da erogare la corrente e non da assorbirla. Se dovesse verificarsi ciò il circuito non si comporterà come previsto. Nel caso del circuito di figura le cose torneranno anche sperimentalmente, in quanto le correnti hanno proprio il verso riportato nella figura. isoluzione del circuito nei tre modi isoluzione con i Principi di Kirchhoff i sono tre rami (r ), e, quindi, tre correnti incognite. i sono due nodi e, quindi, N nodi indipendenti. i sono m r (N ) maglie indipendenti. Si possono scrivere tre equazioni linearmente indipendenti, una ai nodi e due alle maglie.

2 Scelti i versi di percorrenza di figura e il nodo A, si ha: ( ) Sostituendo i valori e tralasciando la prima equazione, si ha:, 0 5,5 0 4,7 0, ,5 0 5,85 0 7,6 5,5 0 7,6 0, 0 70,6 70,6 0, 0 0, 0, 0,mA,0mA, 0 4,7 0 4,7 0, 0,0 0,00mA, 0,00 0,07 4,7 0, 0 5,, 0, 0 4,69 isoluzione con Millman Si calcolano le correnti di cortocircuito dei rami con i generatori e l inverso della somma degli inversi delle resistenze: 8 0,44mA CC,8mA, 0 4,7 0 CC o,0 Ω k, 0 4,7 0, 0

3 Si calcola la differenza di potenziale tra i punti A e B. 0 0 AB 4,69, 0 8, 4, ,7, 0 Si calcolano le correnti, schematizzando la differenza di potenziale AB con un generatore di tensione, e le differenze di potenziale. AB 8 4,69 AB 0 4,69,00mA,0mA, 0 4, ,69 4,7 0 AB,0mA, 0,00 0, 4,7 0, 0 5, isoluzione col Principio di Sovrapposizione degli ffetti l circuito risulta equivalente alla sovrapposizioni di due circuiti in cui agisce una causa per volta, come schematizzato in figura. Le correnti e le tensioni si ottengono sommando algebricamente le correnti e le tensioni dei due circuiti. Si sommano se i loro versi sono concordi; si sottraggono se sono discordi, assumendo il verso di quella di valore maggiore. isoluzione primo circuito, agisce solo.

4 4,7 0, 0,499kΩ 4,7 0, 0,667mA, 0, , 0, ,50,499 0,667 0,5,5,5 0,5mA,6mA 4,7 0, 0 isoluzione secondo circuito, agisce solo., 0, 0,kΩ, 0, 0,66mA 4,7 0, 0 0 4,7 0,66 0 7,8, 0,66 0,9,9,9 0,665mA 0,997mA, 0, 0 Si calcolano le tensioni e le correnti. 5,50,9,08 7,8,5 5,,5,9 4,69, ,665 0,00mA 4

5 ,66 0 0,5 0,9mA,6 0 0,997 0 Procedimento di verifica dei Principi di Kirchhoff,mA. Si monta il circuito e si collegano i generatori, uno regolato a 8 e l altro regolato a 0.. Si misurano le tensioni,,.. Utilizzando i valori di tensione misurati, applicando la legge di Ohm ai capi delle resistenze, si determinano i valori delle correnti,,. 4. Si verifica il primo Principio di Kirchhoff: la somma delle correnti e deve essere uguale alla corrente. 5. Si verifica il secondo Principio di Kirchhoff: la somma delle tensioni e deve essere uguale alla tensione del generatore ; la somma delle tensioni e deve essere uguale alla tensione del generatore. 6. Si riportano i valori in una tabella in cui sono riportati anche i valori calcolati, per un immediato confronto. volt ma volt alori misurati,0 5,9 4,74,00,6,50,6 8,04 0,07 alori calcolati,07 5, 4,690,00,,, 7,997 0,00 Procedimento di verifica del teorema di Millman 7. Si misura la differenza di potenziale AB. 8. Si cortocircuita il ramo con e si misura la corrente di cortocircuito CC. 9. Si cortocircuita il ramo con e si misura la corrente di cortocircuito CC. 0. Si sostituiscono i generatori e con due cortocircuiti e si misura la resistenza o vista tra i punti A e B. Dall inverso del valore misurato di o si ottiene la somma delle conduttanze di tutti i rami. CC CC. Si verifica, utilizzando i valori rilevati, che AB. Si riportano i valori in una tabella in cui sono riportati anche i valori calcolati, per un immediato confronto. volt ma kω ms AB CC CC o / o AB ( CC CC )/ / o alori misurati 4,77,44,4,0 0,969 4,664 alori calcolati 4,69,44,8,0 0,970 4,69 Procedimento di verifica del Principio di Sovrapposizione degli ffetti. Si scollega il generatore e lo si sostituisce con un cortocircuito. 4. Si misurano le tensioni,,. 5. Utilizzando i valori di tensione misurati, applicando la legge di Ohm ai capi delle resistenze, si determinano i valori delle correnti,,. 6. Si scollega il generatore e lo si sostituisce con un cortocircuito. o 5

6 7. Si misurano le tensioni,,. 8. Utilizzando i valori di tensione misurati, applicando la legge di Ohm ai capi delle resistenze, si determinano i valori delle correnti,,. 9. Si verifica che: ; ; ; ; ;. Se il verso delle tensioni e delle correnti dei contributi sono concordi si sommano, se sono discordi si sottraggono; il verso coincide con quello di valore maggiore. 0. Si riportano i valori in una tabella in cui sono riportati anche i valori calcolati, per un immediato confronto. volt ma volt ma alori misurati 5,505,5,5,668 0,5,6,7 7,8,7 0,675,66,0 alori calcolati 5,50,5,5,667 0,5,6,9 7,8,9 0,665,66 0,997 volt ma alori misurati,78 5, 4,77 0,994,0,48 alori calcolati,08 5, 4,69,00,9, n tutti i casi i valori sperimentali ben si adattano ai valori teorici calcolati. 6