RELAZIONE FINALE: MODELLAZIONE DEI PREZZI DELL ENERGIA ELETTRICA: UN ESEMPIO

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1 RELAZIONE FINALE: MODELLAZIONE DEI PREZZI DELL ENERGIA ELETTRICA: UN ESEMPIO RELATORE: CH.MO PROF. LISI FRANCESCO LAUREANDO: CANELLA FRANCESCO MATRICOLA: ANNO ACCADEMICO:

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3 Alla mia famiglia 5

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5 INDICE 0 Obieivi e Conclusioni Inroduzione. Il mercao elerico. Caraerisiche dei prezzi elerici Lavori Precedeni. Modelli per la media condizionaa. Modelli per la varianza condizionaa.3 Alri.4 Modelli basai su considerazioni originali 3 Modello Uilizzao 4 Analisi e Modellazione dei Dai 4. Spagna 4. Olanda 5 Risulai 6 Bibliografia 7

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7 0. Obieivi e Conclusioni Preseniamo uno sudio sull evoluzione dei prezzi elerici nei mercai liberalizzai. L obieivo cenrale è formulare un esempio di modellazione generale in grado di caurare quelle caraerisiche ipiche di ogni mercao. Conemporaneamene, accano a queso aspeo, si cerca un modello sufficienemene flessibile adaabile all evenuale inroduzione di alri faori anche specifici del singolo mercao. Il modello iene in considerazione le caraerisiche più imporani dei prezzi elerici osservai, in paricolare la sagionalià e simulaneamene la componene di mean-reverse, la volailià (comporameni garch) e i umps, fornendo opporune moivazioni per giusificare la loro presenza. Paricolare rilievo viene dao all effeo congiuno di ques ulimi due faori in grado di fornire una migliore inerpreazione della volailià. L analisi si è concenraa sulle medie giornaliere dei prezzi elerici di Spagna e Olanda. Il modello finale è sao raggiuno passando da una formulazione più semplice a una più complea in modo da evidenziare di vola in vola l imporanza che ogni singolo faore preso in considerazione ha nella spiegazione del processo generaore dei dai. 9

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9 .Inroduzione. Il mercao elerico I mercai elerici sanno vivendo un momeno di profondo cambiameno dovuo al processo di liberalizzazione che lenamene ha coinvolo o sa coinvolgendo un po ui i paesi, dalla Gran Breagna alla Spagna, dall Ausralia agli Sai Unii. Queso muameno nella sruura dei mercai ha porao alcune conseguenze che richiedono un approccio diverso e più sisemaico soprauo nell analisi dei prezzi. Fino ai primi anni 90 il seore dell elericià era foremene regolamenao, i mercai non liberalizzai avevano variazioni minime di prezzo, a causa di srei conrolli e per il fao che gli sessi prezzi venivano sabilii da commissioni saali che cercavano di assicurare la solvibilià degli accordi. In una siuazione simile, l unica variabile che poeva cambiare era la domanda perché il prezzo era enuo sabile dalle commissioni saali che fissavano il prezzo come funzione dei cosi di generazione e di disribuzione e perciò il grado di incerezza era veramene piccolo. La rimozione del conrollo sui prezzi e l enraa nel mercao apera a ui, avvenue con la liberalizzazione, hanno porao una successiva esplosione della variazione dei prezzi e del numero di prodoi, richiedendo la necessià di avere degli srumeni in grado di valuare la bonà dei conrai e la loro rischiosià. Infai, negli ulimi anni i mercai elerici di moli paesi si sono aperi a un processo di liberalizzazione e deregolamenazione con l obieivo di inrodurre la compeizione nella produzione e nella disribuzione di energia. Una delle conseguenze principali di queso processo è

10 che i prezzi vengono deerminai dall inerazione e, più concreamene, dall incrocio ra le curve di domande e di offera. Quesi prezzi, così formai, hanno la caraerisica, in ui i mercai, di possedere una consisene volailià, superiore e più complessa che negli alri mercai finanziari. L avveno di queso cambio ha porao, come conseguenza, un incremeno dell imporanza della modellazione e della sima delle serie dei prezzi elerici. La liberalizzazione di queso mercao ha inrodoo nuovi elemeni di incerezza nel seore elerico e perciò ha conribuio all inroduzione di aspei finanziari consuei come la gesione finanziaria del rischio in un ambiene, come quello dell energia, squisiamene indusriale. I mercai, infai, predispongono adesso srumeni finanziari uili come i fuures o le opzioni. Queso fondamenalmene per una serie di moivazioni ben precise. Tui gli aori del mercao hanno bisogno di quesi srumeni e di poer fare previsioni aendibili. Basi pensare alle socieà di produzione che devono, nel breve periodo, definire le offere da presenare sul mercao; nel medio periodo, devono pianificare la sipula di conrai bilaerali con i propri clieni; definire le proprie sraegie di espansione, nel lungo periodo.. Caraerisiche dei prezzi elerici Nell analisi che faremo ci preoccuperemo di esaminare due mercai diversi (Spagna e Olanda) meendoli a confrono sulla base di un modello comune. Nel far queso evidenzieremo caraerisiche proprie ma anche deerminae similarià comuni ra l alro anche ad alri mercai. Prima però di inraprendere quesa srada è bene elencare alcune caraerisiche comuni, proprie dei prezzi elerici. A dispeo di

11 alcune similarià disribuive mosrae da un elevao indice di curosi e dalla persisenza nelle serie dei prezzi al quadrao, i prezzi elerici sono drammaicamene differeni dai prezzi delle azioni o di alre commodiies. Specificaamene, i prezzi mosrano le segueni caraerisiche: - evideni effei sagionali - volailià - mean-revering - umps Per quano riguarda la naura sagionale delle serie sappiamo che la domanda di elericià è duramene influenzaa dalle aivià economiche e dal empo amosferico. Ad esempio, in alcuni paesi dove l esae è più calda la richiesa di energia è maggiore e quindi il prezzo risenirà dell aumeno della domanda. Proprio per queso moivo sono preseni moli ipi di sagionalià che possono essere sia inragiornalieri che seimanali, sia mensili che sagionali. Ci sono diverse ragioni per spiegare l ala volailià dei prezzi elerici. Probabilmene la più imporane è l impossibilià di immagazzinare l energia elerica. Poiché l elericià non è immagazzinabile, evenuali shocks di domanda e offera non sono compensabili e così i prezzi ne vengono direamene influenzai. Domanda e offera, inolre, giocano un ruolo nella volailià osservaa. La domanda di elericià è alamene inelasica perché è un bene necessario e anche alamene dipendene dal empo amosferico. Le caraerisiche dell offera possono anche conribuire alla volailià della domanda di elericià. Infai, i generaori riescono ad offrire solo deerminae quanià di energia a seconda della loro capacià e con cosi marginali diversi. La 3

12 scarsa reaivià della domanda rispeo al prezzo e l impossibilià dell offera a soddisfare qualsiasi quanià domandaa porano, in ceri momeni di elevaa richiesa, a incremenare il prezzo di equilibrio di molo in poco empo. Perciò, in mercai dove le curve di domanda e offera sono ripide, poremo osservare aumenare rapidamene il prezzo poiché la quanià domandaa è aumenaa. Un caraere auoregressivo (mean-revering), invece, può essere considerao grazie a un ragionameno inuiivo. Nei mercai elerici le due curve di domanda e offera si comporano in modo ale che sia la domanda a influire sulla quanià offera e, in paricolare, sui generaori uilizzai per soddisfarla. Maggiore è la domanda, maggiore sarà l uilizzo di generaori ad alo coso marginale e quindi maggiore sarà il prezzo. Ecco perché è ragionevole pensare che il meccanismo dei prezzi segua una processo auoregressivo. A queso va aggiuno il fao che i prezzi dipendono dal empo amosferico e, ques ulimo, è un processo auoregressivo. I umps, invece, sono dei movimeni dei prezzi repenini verso l alo o verso il basso. In praica nella serie dei prezzi avvengono dei piccoli sali rispeo al valor medio. Dal livello raggiuno, poi, il prezzo, invece di fluuare aorno a queso nuovo equilibrio, riorna lenamene al livello medio di parenza. La spiegazione anche per queso caso è inuiiva. Sembra normale pensare che, appena si verifichi per qualche moivo uno shock, i meccanismi di inersezione ra le curve di domanda e offera forzino il prezzo a riornare al livello iniziale. A ale proposio sono mole le scele orienae a un inroduzione di ale effeo nei modelli e numerose le discussioni che ruoano aorno ai vanaggi e svanaggi che l impiego di processi coneneni queso effeo compora. 4

13 . Lavori Precedeni Sulla base di ue quese considerazioni, più o meno inuiive, ed accano ad alri ragionameni innovaivi o di alra naura, si sono sviluppae numerose eorie che enano di spiegare il processo che genera e governa la serie dei prezzi elerici. Quese eorie, meendo in evidenza ora l una, ora l alra caraerisica, cercano di radurre in forma analiica, soo forma di un modello, quese inuizioni, in modo da avere un risconro empirico rispeo alle supposizioni di parenza. Gli obieivi di ciascuno sudio sono diversi: si può essere ineressai alla ricerca di una buona modellazione; essere maggiormene orienai verso modelli dalle buone capacià di previsione o ancora preferire la ricerca di nuovi faori, prima non considerai, in grado di migliorare le presazioni di modelli già esiseni Proprio quese moleplicià di emaiche e di dibaii sui singoli emi, pora ad avere una vasa gamma di modelli uilizzabili, diversificai ra loro in maniera più o meno marcaa. Per queso moivo, prima di inrodurre il modello da noi uilizzao, prenderemo in esame alcune scele possibili di modelli con l obieivo di far noare la differenza che c è ra un modello e l alro e di rifleere sul fao che il problema della modellazione dei prezzi elerici è un ema molo discusso e ricco di u alro che rispose cere. I modelli che svilupperemo, si concreizzeranno in modelli per la media condizionaa, modelli per la varianza condizionaa, modelli basai sul empo coninuo e modelli basai su definizioni originali. 5

14 . Modelli per la media condizionaa Normalmene esaminando una serie sorica, i modelli, che vengono uilizzai per esaminare e spiegare i dai, fanno pare della famiglia dei modelli SARIMA (Seasonal AuoRegressive Inegraed Moving Average). Inolre, la serie originaria, può essere precedenemene filraa con una funzione deerminisica del empo o una semplice rasformaa come per esempio quella logarimica. Il modello di parenza si può presenare così: dove : Y = f ( ) + Y è la serie originaria dei prezzi; X f () è una funzione deerminisica del empo; X è un processo SARIMA. Per quano riguarda f (), le possibili combinazioni sono molissime. In [] la funzione si presena così: f ( ) Spring = Peak + OffPeak + 3 Weekend + 4 Fall + 5 Winer + 6 menre in [] uilizza una funzione paramerica più complessa: ( + ) + cos( + ) f ( ) = + + cos 4 dove nella prima regressione le variabili Peak, OffPeak, sono variabili binarie che assumono valori 0- a seconda che l osservazione caschi in un ora di picco, di bassa richiesa, del weekend, auunnale o invernale e così via; le variabili e i parameri 6

15 della seconda endono a caurare un andameno nella serie di ipo armonico. Il processo SARIMA, invece, non è alro che un esensione proposa da Box e Jenkins (976) dei processi ARIMA e uilizzaa per poer raare la sazionarieà di ipo periodico, considerando il fao che la sagionalià possa anche essere socasica e correlaa con le componeni non sagionali. Nella sua forma più complea, il generico processo si può scrivere come: dove: S è il periodo sagionale; ( = S d S D S ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) () è l operaore auoregressivo non sagionale di ordine p; S ( ) è l operaore auoregressivo sagionale di ordine P; () è l operaore a media mobile non sagionale di ordine q; S ( ) è l operaore a media mobile sagionale di orine Q; d ) è l operaore differenza non sagionale di ordine d; ( S ) D è l operaore differenza sagionale di ordine D. ( In sosanza, l idea di base è che per una serie sorica osservaa a cadenza infrannuale (con un frequenza di s osservazioni per anno) osservazioni che disano s periodi, come y, y-s, y-s,, dovrebbero essere simili e foremene correlae ra loro, a causa di una non sazionarieà di ipo periodico del processo che le ha S S generae. Parimeni gli operaori ( ) e ( ) modellano la dipendenza ra osservazioni disani s, s, 3s, isani emporali. 7

16 Di queso modello è imporane dire che, sebbene riesca a rilevare caraerisiche imporani delle serie dei prezzi, come la sagionalià e il faore mean-revering, accusa incapacià di gesire i sali di livello nella media e gravi difficolà nella spiegazione della volailià ridoa a semplice cosane. Infai, i residui di quesi modelli presenano ancora elevaa curosi e quindi code pesani.. Modelli per la varianza condizionaa Per risolvere i problemi sopra esposi in leeraura sono sai sviluppai alri modelli che ampliano e crescono sopra quelli SARIMA. Si raa dei modelli GARCH, TGARCH, EGARCH, Per poer parlare di modello GARCH (Generalized ARCH) bisogna prima inrodurre il modello ARCH (AuoRegressive Condiional Heeroschedasiciy). L idea di base è che il prezzo (o rendimeno) correo per la media a sia in correlao ma dipendene, e la dipendenza di a possa essere descria da una semplice funzione quadraica dei suoi valori riardai. Nello specifico un modello ARCH(m) è cosiuio dalle segueni equazioni: a = + + = 0 a + m a m dove: è una variabile casuale iid(0,), normale o di suden; 0 >0, i >0 per assicurare la posiivià di. Quando il modello ARCH, e queso succede spesso, richiede moli parameri per descrivere adeguaamene il processo di volailià, un esensione uile e parsimoniosa in ermini di parameri è fornia dal modello GARCH (Bollerslev, 986) 8

17 a = = + 0 m i= a i i + s = dove { } è una sequenza di variabili casuali iid(0,), menre i max( m, s) parameri devono essere: 0 >0, i 0, i 0, ( i + i ) <. Queso modello uilizzao anche in [3] e in [4], nonosane riesca a caurare l eccesso di curosi e la volailiy clasering, gesisce gli shock negaivi e posiivi sulla volailià dandogli ugual peso menre nelle serie finanziarie la endenza è che gli shock negaivi siano più pesani e nelle serie dei prezzi elerici gli shock più pesani siano quelli posiivi. Per verificare quano appena deo [] ha sfruao il modello EGARCH (Nelson, 99). Il modello, abbreviazione del nome Exponenial GARCH, è specificao dalle segueni equazioni: i= a =, q a a log = + log, 0 = p p i + i + i i= i i= i IID(0,). L equazione è specificaa in ermini di logarimo della varianza condizionaa. Ciò implica che ai parameri non deve essere imposo alcun vincolo perché la rasformazione esponenziale garanisce la non negaivià della varianza. L effeo asimmerico viene evidenziao dal ermine. C è impao asimmerico se 0 ; nel caso di < 0 si dice effeo leverage. 9

18 In [], dove queso modello è sao sperimenao sui dai, nonosane risuli più efficace dei modelli visi in precedenza non riesce a caurare quella componene erraica dominane e ipica dei prezzi elerici..3 Alri Olre ad uilizzare modelli ben specifici, a vole, l obieivo consise nel proporre una nuova classe di modelli in grado di modellare l oggeo in quesione. Ad esempio in [] viene inrodoa una classe di processi disconinui con ump-reversion con l inenzione di caura raieoria e proprieà saisiche dei prezzi elerici. Il processo a cui viene affidaa ale riuscia è rappresenao dall unica soluzione di un equazione socasica differenziale della forma: dove: [ µ ( ) E( )] d + dw ( ) + h( ) dj ( ) de( ) = µ ( ) d + E () è il prezzo spo; indica una derivaa di ordine primo; ( ) indica il limie sinisro della funzione al empo ; µ () rappresena il rend sagionale prevedibile nella dinamica dei prezzi; µ ( ) E( ) indica che evenuali cambi di livello al di fuori del rend endono a rienrare sulla media; è il paramero che misura la velocià di queso riorno alla media; W () è un moo sandard Browniano che rappresena l impredicibilià dei prezzi; 0

19 è la volailià sooposa agli shocks browniani; J () descrive i comporameni ump dei prezzi con l uilizzo di variabili casuali iid appareneni alla famiglia esponenziale; h ( ) è una funzione a soglia che individua due ipi di regimi per a seconda che il prezzo sia sopra o soo un cero livello..4 Modelli basai su considerazioni originali Parlando di modelli originali preseniamo uno sudio svolo sulla volailià dei prezzi dei mercai elerici. In [5] si sosiene l imporanza di avere una conoscenza approfondia della volailià, consapevoli della quanià di informazioni che quesa può fornire per una correa gesione del rischio nel breve, medio e lungo periodo. Per far queso lo sudio analizza i dai dei prezzi elerici orari di 4 mercai (Spagna, California, Inghilerra e Galles) e li confrona sulla base di una definizione originale di volailià. La prima osservazione che sa alla base del modello proposo è che in un mercao elerico esise una srea relazione ra prezzo e carico richieso e che gli andameni di ali valori si ripeono giornalmene, seimanalmene e sagionalmene; le serie con le previsioni dei dai di carico sono più sicure di quelle dei prezzi e queso fao viene uilizzao per considerare in maniera deerminisica la componene della variazione di prezzo che è legaa alla variazione di carico. La seconda osservazione si basa su un modello uilizzao in sudi precedeni (v. [6]) nel quale si sosiene che la differenza ra due prezzi consecuivi segua un processo casuale deo di Wiener. Ecco come appare il modello:

20 P g, i a = P gconf, i C C g, i g conf, i u k = P P = N(0,) g, i g, i a dove: P, è il prezzo aeso nell ora i del giorno g; g i a C, è il carico nell ora i del giorno g; g i P g conf, i è il prezzo nell ora i del giorno confronabile del giorno g; C g conf, i g i è il carico nell ora i del giorno confronabile del giorno g; P, è il carico nell ora i del giorno g. Una vola imposao il modello si può oenere la volailià del prezzo definendola come: = N k = ( u k N u) u è il valor medio delle u k ; è la volailià di prezzo definia come la deviazione sandard della variabile u k. Se da un lao queso modello può già dare dei nei riferimeni sulla differenza ra i mercai, cioè disinguere ra un mercao con volailià abbasanza cosane e uno con caraerisiche di grande incerezza, dall alro risula carene di mole alre variabili che engano cono dei numerosi faori che influenzano l andameno dei prezzi.

21 3. Modello Uilizzao Abbiamo viso nella precedene sezione che un modello ragionevole per prezzi elerici dovrebbe includere (o almeno esarne l esisenza) alcuni ipi di sagionalià, l effeo meanrevering, i umps e la volailià. Perciò noi proponiamo un modello che incorpori ui quesi faori in un modo semplice. Cioè, il modello che proponiamo iene presene la possibilià di sagionalià, mean-reversion, volailià socasica (comporameni GARCH) e sali (con inensià dipendene dal empo). Per di più riusciamo a esare ognuno di quesi faori in maniera abbasanza facile, dao che abbiamo simao il modello generale araverso soomodelli annidai per ogni mercao analizzao. Preseniamo il modello specificao in empo coninuo e discreo. Dal momeno che quesa esi è orienaa all analisi del processo generaore dei dai dei prezzi elerici lavoreremo con una versione del modello in empo discreo. Ma, poiché i problemi di naura finanziaria sono di solio indirizzai a empi coninui, noi preseniamo il modello anche nella sua forma coninua. In empo coninuo il modello si presena così: P = f ( ) + X dx = k X d + v dz + J ( µ ; ) dq(! ) dv = k ( µ v ) d + v v v dz v dove: f () : è una funzione deerminisica che caura la possibilià di sagionalià nei prezzi elerici; 3

22 dz dzv: sono processi indipendeni di Wiener; q (! ) : è una variabile casuale con disribuzione di Poisson con inensià! ; J ( µ ; ) : è una variabile casuale disribuia normalmene con media µ e varianza. Si assume che Wiener, Poisson e la Normale siano processi indipendeni ra loro. L inuizione che sa diero a quesa specificazione è che la deviazione del prezzo dal livello di equilibrio X è correa per un asso k e soggea a perurbazioni casuali v dz e balzi J ( µ ; ) dq(! ). Come annunciao, menre i modelli a empo coninuo sono in finanza le basi per una vasa gamma di problemi, sono parallelamene più difficili da simare. Sebbene ci siano sai in leeraura alcuni meodi di sima, essi richiedono di solio un lavoro praico compuazionale non indifferene. Inolre un alro puno a sfavore è la mancanza di flessibilià. Un approccio popolare per simare queso modello è saa la discreizzazione del modello (ad esempio usando l approssimazione di Eulero). Sudi a riguardo dicono che la discreizzazione di equazioni differenziali socasiche a empo coninuo inroducono una disorsione nella sima. Comunque è anche vero che la disorsione è ano più piccola quano più ala è la frequenza dei dai campionai. Con dai giornalieri la disorsione è molo piccola. Fae quese considerazioni e evidenziao che: - la disorsione di sima con dai giornalieri è rascurabile 4

23 - i modelli a empo discreo garaniscono una maggiore flessibilià - l obieivo di quesa esi è meere in luce i possibili componeni che sono preseni nelle serie dei prezzi elerici, abbiamo così deciso di lavorare con una versione discrea del modello. Il modello generale che abbiamo simao è: P = f ( ) + () X 0 X " %& X = $ "# & X + + h h + µ + prob =! prob =! () h, a = h (3) = + 0 a + h! = L inverno + L auunno + L3 primavera + L4 esae (4) dove : - A : descrive il grado di mean-reversion. Se A < X orna alla sua media. - 0,, : caraerizzano la dinamica del processo della volailià soo le condizioni 0 >0, >0 e >0. Condizioni necessarie affinché la varianza condizionale non degeneri. Se + ) < allora ( la varianza riorna alla sua media non condizionaa 0. L equazione (4) modella l inensià dei sali in funzione del empo. La modellazione avviene araverso le medie di quaro dummy: inverno : vale se l osservazione è in dicembre, gennaio, febbraio; primavera : vale se l osservazione è in marzo, aprile, maggio; esae : vale se l osservazione è in giugno, luglio, agoso; auunno : vale se l osservazione è in seembre, oobre, novembre. 5

24 I risulai che noi preseniamo sono sai oenui considerando gli errori (, ) ~ iid disribuii normalmene. Inolre definiamo una specificazione per la sagionalià araverso dummy mensili: f ( ) = B 0 + B + i= M i D M i + D wkd dove: - M D i : è una variabile dummy che vale se l osservazione è in corrispendenza del i-esimo mese - wkd : è una dummy che vale se è un weekday e 0 se è un weekend Infine comparando ra loro le versioni risree del modello ()-(4) saremo in grado di vedere quale modello in paricolare spiega meglio l evoluzione dei prezzi. In paricolare pariremo dal semplice modello auoregressivo per la media, inrodurremo il comporameno garch per la volailià, aggiungeremo un paramero per l effeo ump e infine concluderemo con la versione generale del modello araverso l inroduzione dell equazione (4). Poiché il modello proposo è abbasanza flessibile dovremmo essere in grado di spiegare i prezzi con i più grandi o i più bassi livelli di curosi, o di picchi, ecc Il fao di aver considerao una componene ump e una componene GARCH conemporaneamene è un imporane esensione. Nonosane le numerose discussioni a riguardo, i nosri risulai mosrano che enrambe le componeni sono imporani perché danno una spiegazione complemenare del grado di incerezza sebbene queso in misura diversa a seconda del mercao preso in considerazione. 6

25 Il modello è sao simao con il meodo della massima verosimiglianza. Si raa di rovare il veore di parameri in grado di massimizzare la seguene quanià: dove = (&; ; ; ; µ ; ; ) 0! log( f ( X, X )) La funzione di probabilià per i prezzi elerici quindi, per quano abbiamo deo finora, segue un processo Poisson-gaussiano del ipo: f "% ( X $ "# & X ( X, X ) =! exp + ( h + ) µ ) ") ( "' ( h + ) % ( X & X (! )exp$ # h ) ) ( ' h Queso scriura approssima la vera densià Poisson-Gaussiana con l uilizzo di una misura di disribuzioni normali. Esisono papers che mosrano che la misura di normali conduce a risulai simili alla vera densià con il vanaggio di una procedura di sima più semplice. 7

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27 4. Analisi e Modellazione dei dai Proponiamo, qui di seguio, un esempio di modellazione dei prezzi su mercai elerici europei, uilizzando il modello presenao nel capiolo precedene. I dai, uilizzai in queso sudio, provengono dal mercao elerico della Spagna e dell Olanda (APX). Si raa di serie soriche delle medie dei prezzi giornalieri. Per quano riguarda la Spagna, il campione preso in esame comincia il Gennaio 000 e finisce il 3 Agoso 003, per un oale di 339 osservazioni. Per l APX il campione è leggermene meno eseso, 94 osservazioni e va dal Gennaio 00 al 3 Luglio 003. I dai sono espressi in cen/kwh per la Spagna e in euro/mwh per l APX. Procederemo, ora, all analisi del mercao spagnolo e poi successivamene a quella del mercao APX. 4. Spagna Cominciamo la nosra analisi araverso il commeno del grafico di ua la serie dei prezzi. 9

28 Da un analisi preliminare del grafico si può noare che i prezzi oscillano freneicamene enro un inervallo di prezzo conenuo ra i e i 5 cen/kwh con dei picchi che emporaneamene escono da quesa fascia. Appare abbasanza chiaro sin da subio che a prezzi che salgono eccessivamene seguono dei movimeni nei prezzi che endono a riporare il valore in media (mean-revering). Procediamo la nosra analisi esplorando la serie in ermini di sagionalià e regredendo i prezzi sulla funzione deerminisica del empo, mosraa nel precedene capiolo. Ecco l oupu dei valori dei parameri associai alle variabili calcolai con i minimi quadrai: B0 B M M3 M4 M5 M6 Coeff sa M7 M8 M9 M0 M M D E imporane noare che i risulai appena acquisii ci mosrano che i prezzi seguono un lieve rend lineare crescene e che i prezzi regisrai nel weekend sono significaivamene diversi e più bassi da quelli regisrai nel reso della seimana (weekday). Le alre variabili, invece, definiscono di quano la media si discosa dal rend principale e cioè se in quel mese il valore realizzao dalla media rimane sopra o soo il rend. A queso proposio va deo che non ue le variabili inserie sono risulae essere rilevani ai solii livelli di significaivià. I parameri riferii a giugno e novembre, con livelli di significaivià superiore al 0%, indicano semplicemene che in quei mesi la media segue il rend principale. La serie dei residui, fornia dalla regressione dei prezzi sulla 30

29 funzione deerminisica, sarà la nosra serie filraa ( quesa cosruiremo passo passo il modello generale. X ) e su Prima di passare alla modellazione della media condizionaa mosriamo il grafico della serie filraa e ne esaminiamo le caraerisiche araverso l uilizzo di grafici come l auocorrelazione semplice e l auocorrelazione parziale. L ACF segnala un andameno oscillaorio di periodo 7 che ende a zero, anche se abbasanza lenamene. Queso conferma la necessià di considerare un processo ar() per la media ma anche 3

30 di inrodurre una componene sagionale di periodo 7 del ipo sar(). coeff -sa. coeff -sa. A A Sar() LL LL L imporanza di enere cono della componene sagionale si vede dal risulao degli oupu. Non solo il paramero relaivo è significaivo ma anche la massima log-verosimiglianza (LL) è aumenaa. Queso fao, perciò, verrà ripreso anche nella formulazione del modello più generale. Il secondo passo prevede di verificare un comporameno garch nella serie. Prima di uo ne esaminiamo la presenza araverso le auocorrelazioni della serie al quadrao. L ACF è significaiva a moli riardi e l auocorrelazione parziale ende a zero velocemene, ui segni che fanno presumere l esisenza di un comporameno GARCH. Inseriamo allora i re parameri che individuano un GARCH(,). 3

31 coeff -sa. LL -8.7 A SC Sar() SC = LL + ln( Nk ) con k n dei parameri con N dim. del campione Le sime per i nuovi parameri sono ue significaive al %. Il valore della verosimiglianza è maggiore del caso precedene, segno che le novià apporae al modello sono imporani e caurano nuovi aspei. Dopo la mean-reverse e la volailià espressa dal comporameno garch, nel erzo passo verifichiamo se in queso mercao sono preseni effei ump o meno. Dapprima porremo il paramero che conrolla la probabilià di avere un ump pari a una cosane, successivamene nel quaro passo lo considereremo funzione del empo. A B Parameri Coef. -sa Coef. -sa A sar() ! µ LL SC In abella, nella prima colonna abbiamo riporai i risulai del modello nel caso in cui! è una cosane; nella seconda abella 33

32 abbiamo invece il modello risirao senza i parameri non significaivi. Noiamo subio che il paramero! è significaivo e sa ad indicare che la serie nell 8% dei casi subisce un ump (salo). Queso salo ha deerminae caraerisiche individuae da µ e da. Il fao che µ non sia significaivo indica che in queso mercao i umps non hanno una paricolare predisposizione al rialzo, ma le fluuazioni, anche se consiseni, si compensano aorno allo zero facendo sì che ne rimanga influenzaa solo la volailià. Un alro moivo per la non significaivià di µ porebbe anche dipendere dal fao che non siamo riuscii a caurare ui i valori negaivi preseni nella serie in fase di modellazione della media condizionaa. Ad esempio, le fesivià infraseimanali porano un abbassameno del prezzo. Dal momeno che non abbiamo uilizzao nessuna variabile capace di segnalare queso ipo di eveno, quese cadue si vanno a compensare con i balzi verso l alo rendendo il paramero µ non significaivo. Resa il fao che complessivamene la log-verosimiglianza è aumenaa e il modello si adaa sempre di più ai dai. L ulimo inerrogaivo che ci si può porre e a cui il modello generale è in grado di rispondere è se i umps sono più frequeni in ceri periodi dell anno oppure no. Per far queso non consideriamo più! una cosane ma una funzione del empo concreamene spiegaa da quaro dummy, una per ogni sagione dell anno, come è saa proposa nel precedene capiolo. Quindi L è relaiva all inverno, L alla primavera, L3 all esae e L4 all auunno. 34

33 A Parameri Coef. -sa Coef. -sa A sar() L L L L µ LL SC B Dovendo dare un giudizio generale, quesa ulima forma del modello non ne aumena la bonà; infai la log-verosimiglianza aumena di poco e il crierio SC ci dice che l incremeno di parameri non giusifica una così bassa miglioria. Poendo, però, soffermarci di più sui dai, è lecio pensare che i periodi invernale e auunnale siano, per la Spagna, i più volaili e soggei a sali di prezzo. 4. Olanda Proseguiamo nell esempio, applicando queso ipo di modellazione, come anicipao a inizio capiolo, ad un alro mercao, quello olandese. Osservando il grafico dei prezzi dell APX, ci accorgiamo di una noevole differenza con il mercao spagnolo. Innanziuo quesa serie dei prezzi presena uno specchio di variazione molo più vaso e in secondo luogo i picchi che si possono vedere sono molo più evideni e ui verso l alo. Un alro elemeno da evidenziare è che, dopo ogni picco, il livello dei prezzi scende velocemene e riorna aorno alla media della serie. 35

34 Per poer dire qualcosa che riguardi la sagionalià procediamo regredendo subio i prezzi sulle variabili che compongono la funzione f (). B0 B M M3 M4 M5 M6 Coeff sa M7 M8 M9 M0 M M D Le osservazioni da fare in queso caso sono molo simili al caso precedene. Bisogna segnalare la presenza di un rend lineare, più marcao che nel caso spagnolo, l ala significaivià della variabile dummy wkd (D3=6.69) e la scarsa efficacia delle variabili che individuano i mesi. Eccezion faa per febbraio e i mesi primaverili, nel reso dei casi la media segue il rend principale. 36

35 La serie dei residui della regressione oenua e cioè la nosra serie filraa ( X ) viene illusraa qui di seguio. Successivamene conrolliamo i grafici delle auocorrelazioni. L auocorrelazione semplice e parziale segnalano un andameno ipicamene auoregressivo del primo ordine. Accano, però, alla sima di un modello di queso ipo conrolliamo la significaivià di una componene auoregressiva sagionale di periodo 7 essendo significavo il 7 riardo nell auocorrelazione parziale. 37

36 coeff -sa. coeff -sa. A A Sar() LL LL Esaminando le due abelle vediamo che la componene sagionale è significaiva, ma in ermini di verosimiglianza non giova a molo. Rieniamo che queso sia dovuo al peso enorme che su quesa seria ha la volailià. Se pensiamo che il previso dai due modelli si aggira aorno a un valore pari a 360, capiamo il perché della scarsa influenza nella verosimiglianza. Rieniamo che inroducendo parameri che caurino la volailià, la componene periodica possa avere un miglior impao per la bonà del modello. La presenza di un effeo garch è esimoniaa dal fao che le auocorrelazioni della serie al quadrao sono significaive ai primi riardi. Aggiungiamo, quindi, i 3 parameri del modello GARCH(,) per la varianza condizionaa risimando la media e uilizzando le due possibili soluzioni vise in precedenza a seconda che sia presa in 38

37 considerazione o meno la componene periodica sar(). A B Parameri Coef. -sa Coef. -sa A sar() LL SC Le sime per i nuovi parameri sono ue significaive al %. Il valore della verosimiglianza è maggiore del caso precedene, segno che le novià apporae al modello sono imporani e caurano nuovi aspei. Tener cono della pare periodica sar(), che presena un alo grado di significaivià, risula uile per modellare meglio la serie e perciò verrà consideraa anche in seguio nella cosruzione dei modelli successivi. Dopo la mean-reverse e la volailià espressa dal comporameno garch, nel erzo passo verifichiamo se in queso mercao sono preseni effei umps. A Parameri Coef. -sa A sar() ! µ LL SC I risulai qui sopra riporai si riferiscono al modello nel caso in cui! è una cosane. 39

38 La erna di parameri!, µ e sono significaivi a ui i livelli di significaivià. Il loro effeo si raduce in un migliorameno delle capacià di adaameno del modello e suggerisce un uleriore spiegazione delle dinamiche dei prezzi di queso mercao. A differenza del mercao spagnolo i ump sono preseni in quanià minore e riguardano circa il,8% dei prezzi; si manifesano con un cambio neo verso l alo del livello dei prezzi ( µ = 63.98) e conribuiscono a spiegare l elevaa volailià dal momeno che rispeo al modello precedene i valori dei parameri 0, e sono diminuii. Terminiamo l analisi con l ulima versione del modello che prevede! funzione di quaro dummy. A Parameri Coef. -sa ar() sar() L L L L µ LL SC 79.3 Dovendo dare un giudizio generale, quesa ulima forma del modello non ne aumena così sensibilmene la bonà; infai similmene a quano era successo per il mercao spagnolo la logverosimiglianza aumena di poco e il crierio SC ci dice che l incremeno di parameri non giusifica una così bassa miglioria. 40

39 Rimane solo l inuizione che di ui i periodi dell anno quello della primavera sia per il mercao olandese il meno soggeo al fenomeno dei umps. 4

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41 5. Risulai Abbiamo presenao un esempio di modellazione dei prezzi elerici nei mercai liberalizzai. Qui soo sono riporae ue le sime dei parameri componeni il modello compleo uilizzao per i due mercai. I primi 4 parameri fanno pare della funzione deerminisica del empo uilizzaa per filrare la serie dei prezzi iniziale, menre i resani parameri si riferiscono alla serie filraa. SPAGNA SPAGNA OLANDA OLANDA Parameri Coef. -sa Coef. -sa Coef. -sa Coef. -sa B B M M M M M M M M M M M D A sar() ! L L L L µ LL SC

42 Abbiamo viso come nonosane la diversià ra i due mercai il modello generale così proposo è sufficienemene flessibile da caurare in enrambi le caraerisiche ipiche dei prezzi elerici: mean-reversion, sagionalià, volailià (comporameno GARCH) e il faore ump. Si può inolre aggiungere che, sebbene l inroduzione di! (visibile nei parameri L, L, L3, L4) non è così saisicamene significaiva, può comunque essere uilizzaa per dare informazioni aggiunive e capire alri aspei di quesi mercai. 44

43 6. Bibliografia [] Kniel, Robers: An Empirical Examinaion of Deregulaed Elecriciy Prices, oobre 00. [] Geman: A Class of Marked Poin Processes for modeling Elecriciy Prices. [3] Energia elerica in Borsa: Energia, Muliuiliies [4] Hans Bysröm: Exreme Value Theory and Exremely Price Changes, oobre 00. [5] Benini, Venurini, Marracci, Pelacchi: Volauilià del prezzo dell energia elerica nel mercao principale del giorno prima.l Energia Elerica, 00, volume 79. [6] Alvarado, Raaraman: Undersanding price volailià in elecriciy markes. Proceeding of he 33 rd Hawaii Inernaional Conference on Sysem Sciences, 000. [7] Escribano, Peña, Villaplana: Modelling elecriciy prices: inernaional evidence. Maggio 00. [8] Huisman, Mahieu: Regime Jumps in elecriciy Prices. Giugno 00. [9] Sio Web del Mercado de elecricidad (Spagna): [0] Sio Web dell Amserdam Power Exchange (Olanda): 45

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