L interpolazione areale: una soluzione al problema del confronto fra dati riferiti a sistemi spaziali differenti

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1 L interpolazione areale: una oluzione al problema del confronto fra dati riferiti a itemi paziali differenti Maria Michela Dickon, Giueppe Epa, Diego Giuliani e Emanuele Taufer 1. Introduzione Accade di frequente, nelle analii di dati riferiti al territorio, che le informazioni non iano diponibili nella forma richieta dal fenomeno tudiato. Un tipico eempio è il cao in cui il ricercatore ia intereato allo tudio della ditribuzione paziale di una entità geografica ma poa diporre olo di dati aggregati in unità territoriali. In tutti queti cai, ed in molti altri ancora, il data-bae territoriale oervato può eere coniderato come un immagine ditorta (o una traformazione) di quello che può eere chiamato il proceo geografico originale che rimane, al contrario, non oervabile (Arbia, 1989a). Può rivetire una certa utilità, a queto punto, introdurre il problema delle Traformazioni di Dati Spaziali (TDS) ditinguendo tra due diveri tipi di traformazioni che poono preentari nelle applicazioni pratiche. Una prima clae di traformazioni ono, infatti, indotte dal ricercatore allo copo di applicare alcune procedure tatitiche. È queto il cao, per fare un eempio, della riduzione di dati areali a dati puntuali (centroidi, centri mediani, etc.) allo copo di interpolare trend paziali. Un econdo eempio riguarda il cao in cui i dipone di informazioni riguardanti la localizzazione delle ingole entità geografiche, ma i preferice aggregare tali informazioni in unità areali allo copo di tudiarne la truttura di autocorrelazione paziale. Un econdo tipo di traformazioni, al contrario, hanno a che fare con la natura intrineca dei fenomeni oggetto di tudio nel eno che il vero proceo geografico non è oervabile per deficienze degli trumenti di miura o per altre ragioni quali, ad eempio, i coti troppo elevati che poono derivare dalla conduzione di una indagine volta a produrre time ad un livello paziale molto fine. È noto che i dati territoriali poono preentari otto quattro forme ditinte oia uperfici continue, aree, linee e punti (per alcune raegne ufficientemente eautive i vedano, fra gli altri, Burrough, 1986; Goodchild, 1992; Arbia e Epa, 1996, Leonenko e Taufer, 2013). Ora, dato che, almeno in linea di principio, è poibile ogni traformazione da una tipologia di dati ad un altra, i poono ordinare a copo eemplificativo alcune TDS nello chema di Tab. 1. Tab. 1 - Un quadro generale di riferimento per le traformazioni di dati paziali Il proceo originale i realizza in Ma i oerva/analizza invece in Eempi Punti Punti Campionamento da popolazioni di punti Punti Aree Quadrat count; taellizzazione Punti Superficie Interpolazione Aree Punti Centroidi; centro mediano Aree Aree Campionamento areale; diaggregazione Flui Aree Modelli gravitazionali (intei di matrici origine-detinazione) Flui Flui MAUP nell analii dei flui Superfici Punti Campionamento di punti Superfici, Aree, Punti Linee Campionamento di linee (line-tranect) Superfici Aree Immagini telerilevate

2 In ciacuno dei cai coniderati in Tab. 1 i parte da un inieme di dati generati da un certo proceo tocatico e i arriva, dopo aver operato la traformazione, ad un econdo inieme di dati generato da un proceo tocatico differente. Fatte quete doveroe premee, nel preente capitolo verranno dicue le eguenti tematiche: i) l interpolazione di dati paziali; ii) l integrazione di dati paziali (coeitenza di variabili di tipologie divere e relativi problemi di integrazione olitamente in vita di analii multivariate). Tali argomenti poono eere inquadrati nella cornice generale di riferimento delle traformazioni di dati territoriali. Al riguardo bati coniderare il problema dell interpolazione il quale comporta, con riferimento ad alcune metodologie proprie della geotatitica 1 (cfr. paragrafo 4.), divere traformazioni topologiche (da area a punto, da punto a uperficie ed, infine, da uperficie ad area) che invetono il dato paziale nei vari paaggi delle procedure. Anche le più ofiticate metodologie area-baed (cfr. paragrafo 5.) di interpolazione areale implicano TDS (da area a uperficie e da uperficie ad area; da area ad area). Pertanto, tabilito il quadro di riferimento generale, lo copo del preente capitolo è quello di enucleare le metodologie tatitiche (dalle procedure claiche agli algoritmi più avanzati) più idonee alla rioluzione dei problemi intetizzati nei precedenti punti i) e ii). La prima parte di queto capitolo (paragrafo 4.) arà dedicata ai coiddetti metodi che non preervano il volume ed alla loro inadeguatezza per la oluzione del problema dell interpolazione areale. I metodi che non preervano il volume i baano otanzialmente u dei metodi di interpolazione per dati puntuali (o metodi iametrici). È doveroo preciare in d ora che nel preente lavoro l analii arà ritretta a modelli per dati areali (iano ee regolari o irregolari) mentre non i farà riferimento a dati puntuali né a modelli per la decrizione di dati di fluo. Comunque, per completezza di trattazione, facciamo almeno un cenno a come poa eere formalmente poto il problema dell interpolazione puntuale. Si conideri al riguardo la Fig. 1. Fig. 1 - Il problema dell interpolazione puntuale. 1 In eno lato arebbe più corretto parlare di analii paziale piuttoto che di geotatitica, intendendoi per analii paziale lo tudio quantitativo di fenomeni che i manifetano nello pazio. Ciò comporta un particolare interee nella poizione, nell area, nella ditanza e nell interazione coì come epreo nella prima legge della geografia formulata da Tobler (1970): tutto è correlato con tutto ma le coe più vicine ono più correlate delle coe lontane. Allo copo di preciare il concetto di vicino e di lontano in conteti particolari, è neceario che le oervazioni del fenomeno di interee abbiano un riferimento nello pazio in termini di punti, linee, aree o uperfici continue. Gli addetti ai lavori prefericono in genere riferiri alla diciplina in quetione come all analii di dati paziali proprio per evidenziare l eitenza di vari approcci alle divere tipologie di dato che i poono incontrare nelle applicazioni pratiche (Arbia, 1994). In tale ottica la geotatitica rappreenta oltanto una branca dell analii paziale.

3 Nella immaginaria regione R riprodotta in Fig. 1 viene rilevata una certa variabile, diciamo Z, in un inieme di egmenti irregolari (di dimenione variabile, ma comunque piccola ripetto all area coniderata), dieminati a cao, o econdo qualunque altro criterio, nel territorio. Tali egmenti, in quanto di dimenione tracurabile ripetto all area di tudio, poono eere coniderati aimilati a punti in uno pazio a due dimenioni. Sia Z(x,y) il dato relativo alla variabile di interee nel punto di coordinate carteiane (x,y). Si conideri ora la medeima regione R partizionata econdo una griglia regolare di celle quadrate o rettangolari di dimenione tabilita. Si chiami Ẑ ij la tima della variabile oggetto di indagine nella cella individuata dalla coppia di coordinate (i,j). Il problema dell interpolazione i pone, in termini formali, come il problema dell individuazione della traformazione che conente il paaggio Z x, y Zˆ ripettando alcune condizioni individuate come ottimali. ( ) ij Nella econda parte della capitolo (ezione 5.) verranno paate in raegna le più recenti tecniche tatitiche (i coiddetti metodi che preervano il volume) impotei in ambito operativo quali trumenti indipenabili per la rioluzione dei complei problemi di cui ai precedenti punto i) e ii), problemi che d ora in poi verranno raccolti otto la dizione generale di confronto fra dati riferiti a itemi areali differenti o anche, in modo più intetico, di converione di dati paziali. Circa l utilizzo nelle applicazioni pratiche delle metodologie coniderate, ne metteremo in luce le principali potenzialità applicative enza tacerne limiti e problematiche aperte che talvolta ne inficiano l uo. 2. L interpolazione paziale: apetti definitori Il problema dell interpolazione paziale può eere formulato inteticamente nei eguenti termini. Aegnato un inieme di dati paziali (punti o aree) i tratta di individuare la funzione che meglio rappreenti l intera uperficie e che ia in grado di prevedere nel modo migliore poibile i valori della variabile di interee in altri punti od aree per i quali non iano diponibili oervazioni. In ambito geografico quantitativo e cartografico le principali applicazioni dei metodi di interpolazione paziale riguardano la cotruzione di mappe ad iolinee (mappe iaritmiche) e di mappe ioplete. Lo viluppo delle tecnologie informatiche e l uo empre più diffuo delle analii tatitiche multivariate di dati raccolti in divere unità territoriali hanno però poto all attenzione degli tudioi una nuova erie di problemi che poono eere raccolti otto l alveo del confronto fra dati riferiti a itemi areali differenti. Tale problema, noto anche in letteratura con il nome di converione di dati, i otanzia appunto in una traformazione di dati da un itema areale orgente (S) ad un itema obiettivo (T). Rivete quindi una notevole importanza eaminare la natura e le caratteritiche principali dei vari metodi di interpolazione paziale propoti nella letteratura pecialitica allo copo di individuare gli trumenti più idonei alla oluzione dei problemi che i preentano nelle applicazioni pratiche. Un analii itematica delle principali tecniche di interpolazione non può precindere da una claificazione delle tee. I metodi di interpolazione paziale poono eere innanzitutto claificati in bae alla tipologia di dato coinvolta in: i) metodi di interpolazione puntuale, dove i dati ono raccolti in ingole località del territorio (punti) e ii) metodi di interpolazione areale, in cui il dato aggregato è riferito ad un intera area della partizione territoriale oggetto di tudio (cfr. Fig. 2). Inoltre, i metodi di interpolazione per dati puntuali (o metodi iometrici) vengono ulteriormente uddivii in eatti ed approimati a econda e iano in grado o meno di preervare il valore originale rilevato nei punti campioni. Al contrario, i metodi di interpolazione areale (o metodi iopleti) vengono claificati in accordo alla loro capacità di preervare o meno il volume (il valore totale) all interno di ogni area della partizione S (cfr. Fig. 2).

4 Interpolazione Spaziale Interpolazione puntuale Interpolazione areale Metodi eatti Metodi approimati Metodi che non preervano il volume Metodi che preervano il volume Metodi di ponderazione baati ulle ditanze Interpolanti polinomiali Kriging Interpolanti pline Metodi alle differenze finite Modelli di erie di Fourier Minimi quadrati ponderati con le ditanze Minimi quadrati adattati con pline Modelli di trend di erie di potenze Metodi point-baed (vedi metodi eatti o approimati) Metodi area-baed Overlay Ponderazione areale Smooth pycnophylactic EM BIM Fig. 2 Una claificazione delle tecniche di interpolazione paziale. La trattazione che egue, come già anticipato, è articolata in modo da eguire fedelmente il ramo detro dello chema di claificazione riportato nella Fig. 2. Pertanto, dopo un paragrafo di carattere introduttivo dedicato ad una trattazione molto generale del problema della converione dei dati areali (paragrafo 3.), la ezione 4. conterrà una digreione ulle procedure di interpolazione areale che non preervano il volume e che i rifanno in parte ai metodi di interpolazione per punti. Nel paragrafo 5., invece, che cotituice il cuore del capitolo, i eamineranno in modo diffuo i metodi di interpolazione areale approfondendo la trattazione dei metodi area-baed. Ci teniamo a preciare che in queto lavoro non affrontiamo il tema dei parallelimi metodologico/operativi tra il problema della diaggregazione dei dati e quello, anch eo molto attuale, della tima, nelle indagini campionarie, di variabili per domini non previti dall indagine tea (tima per piccole aree o per piccoli domini). La celta di privilegiare i metodi di interpolazione areale che preervano il volume è dettata da una duplice contatazione. In primo luogo tale clae di metodi i ta empre più imponendo all attenzione degli addetti ai lavori come trumento idoneo alla oluzione di problemi operativi quali la diaggregazione, l integrazione di dati e la tima per piccole aree (Benedetti e Epa, 1997; Epa et al., 2000). In econdo luogo, le raegne dei metodi di interpolazione paziale preenti in letteratura (Lam, 1983; Ripley, 1981, cap. 4; Creie, 1993, cap.3; Venable e Ripley, 1994, pag ) peo non includono dicuioni approfondite ui metodi di interpolazione areale. 3. Metodi di interpolazione areale Un problema che incontra molto di frequente negli tudi regionali è che le unità areali per le quali ono diponibili i dati 2 non ono neceariamente quelle al cui livello di rioluzione i vuole condurre l analii. Tale problema i preenta, ad eempio, quando i) i vogliano confrontare due o più variabili diponibili per due itemi areali differenti ed incompatibili; ii) i vogliano integrare archivi dati raccolti da enti diveri; iii) i vogliano eeguire dei confronti intertemporali tra dati attribuiti ad aree i cui confini ono oggetti a cambiamenti nel tempo come accade, ad eempio, per i collegi elettorali (problema dell intabilità temporale dei confini e coneguenti difficoltà nelle analii longitudinali); al riguardo, merita di eere menzionata l eperienza inglee dei cenu Enumeration Ditrict (ED) del 1981 i quali erano profondamente differenti ed incompatibili da quelli diegnati dal governo per il 1966 ed il Nel preente lavoro i aume implicitamente che la variabile di interee ia quantitativa e non qualitativa. Per quet ultima tipologia di dato la quetione è a tutt oggi ancora aperta. Alcuni utili punti poono comunque eere trovati in Switzer (1975).

5 Queto problema di converione cro-areale è reo preante dall ampio numero di itemi areali comunemente in uo. Al riguardo preme ottolineare come gli organimi, itituzionali o privati, che fornicono dati abbiano, in genere, la tendenza a riferire ognuno al proprio itema areale le informazioni territoriali prodotte. Ciò i verifica evidentemente per enti ditinti ma anche per differenti dipartimenti afferenti alla tea itituzione. Ulteriori complicazioni orgono inoltre per quanto riguarda i itemi di zonizzazione e di georiferimento adottati in diveree dicipline. Bati penare, ad eempio, alle differenti definizioni uate nell ambito delle cienze ocio-economiche, cartografiche, del telerilevamento ed ambientali. Ancora, i peni alle neceità informative indotte di recente dalle analii di mercato le quali hanno finito a volte per creare una preante domanda di dati riferiti a itemi paziali generati in funzione della ola efficienza di contatto con le unità tatitiche da ottoporre ad indagine e pertanto largamente incompatibili con qualivoglia itema zonale. L unicità della maggior parte dei itemi zonali e oprattutto l aenza di trutture innetate o gerarchiche rende etremamente complicato procedere all integrazione di dati provenienti da fonti divere. Speo ciò fa ì che i dati prodotti non poano che eere uati per gli copi per i quali l organimo che li fornice li ha raccolti. Per chi i occupa di Sitemi Geografici Informativi (GIS) il problema di tima cro-areale in dicuione è frequente e prende il nome di problema della ovrappoizione di poligoni. Goodchild e Lam (1980) lo hanno ribattezzato interpolazione areale per mettere in rialto le analogie con altri problemi che implicano, appunto, interpolazione. L interpolazione areale i concretizza nel tentativo di timare i valori di una variabile di interee Y i operando una converione di dati noti ad un livello di rioluzione che non è quello oggetto dell analii 3. Quando i itemi areali ono innetati uno nell altro e i deve procedere alla traformazione dei dati da una partizione più fine ad una meno fine, i è in preenza del problema dell aggregazione il quale è otanzialmente un problema banale: l aggregazione dei data-et può eere eeguita con l accuratezza che i deidera (Flowerdew e Openhaw, 1987). Il proceo invero, quello della diaggregazione, i rende al contrario neceario nella circotanza in cui il livello di rioluzione al quale ono diponibili i dati è inferiore ripetto a quello deiderato. Tale proceo richiede una procedura di tima ed è notevolmente più complicato. Allo teo modo, il meccanimo di converione diviene compleo e i confini dei vari itemi zonali ono ufficientemente incompatibili da precludere il proceo diretto di aggregazione. In paato, per eeguire confronti tra variabili relative a itemi areali incompatibili, è tata a volte eguita la trada di aggregare le unità territoriali in aree che cotituicano un itema zonale comune alle due mappe a confronto. Un eempio u tutti: i confronti effettuati da Rhind (1983) tra i dati dei cenimenti inglei del 1971 e del Queto modo di procedere è molto dicutibile e comporta dei problemi in parte inormontabili. Per citare olo i più rilevanti: i) il proceo di aggregazioni ucceive non neceariamente produce unità areali confrontabili; ii) il proceo di aggregazioni ucceive può generare unità areali molto differenti quanto a dimenione imponendo il ricoro a itemi di ponderazione per condurre analii enate; iii) la quai totalità dei metodi tatitici non motra robutezza al variare del livello di rioluzione indotto da aggregazioni ucceive (Arbia, 1989b; Benedetti e Palma, 1992; Arbia et al., 1996 e 1999); 3 È neceario preciare fin d ora che neuna metodologia d interpolazione areale può upplire al problema della inufficienza di rioluzione della partizione orgente. Inoltre ogni chema d interpolazione impone che vengano formulate delle ipotei circa il fenomeno oggetto di tudio e non può eere applicato in maniera acritica.

6 iv) per alcuni tipi di dati il procceo di aggregazione è impoibile. È il cao dei dati legati in modo funzionale alle aree in cui vengono rilevati. Si peni, ad eempio, ai dati elettorali: un generico collegio attribuito al centro-detra può avere un collegio adiacente attribuito al centro-initra. In tale cao l aggregazione delle due aree non può eere etichettata in quanto l area riultante non ha alcuna funzione nel itema elettorale. Tornando al meccanimo di converione e adottando per convenienza la definizione di Ford (1976), le aree geografiche per le quali ono diponibili i dati verranno chiamate, d ora in avanti, zone orgente mentre quelle per cui i rende neceario il proceo di tima verranno indicate con il nome di zone obiettivo. Quindi, volendo definire in termini più tecnici gli elementi in gioco, i dati relativi alla variabile di interee Y i ono noti per un inieme di aree che cotituicono la partizione orgente S ma incogniti a livello delle zone che compongono la partizione obiettivo T, dove S e T coprono lo teo dominio geografico. L eempio riprodotto in Fig. 3 vuole rappreentare il cao più generale poibile che i incontra nelle applicazioni pratiche: le zone che compongono l inieme T non ono innetate gerarchicamente in quelle che originano la partizione S coì come non coincidono i confini tra le zone dei due itemi paziali. Tale quetione, pur eendo toricamente una delle più dibattute in ambito geografico-quantitativo, è riucita olo raramente ad impori all attenzione degli tudioi di metodologia tatitica. Come accennato nella ezione introduttiva al preente lavoro, nel paato le applicazioni delle procedure di interpolazione areale erano confinate alla produzione di mappe ioplete (Mackay, 1951 e 1953). La traformazione di dati da una partizione territoriale ad un altra cotituiva pertanto un cao particolare del problema cartografico generale e, quindi, una quetione di econdaria importanza. Succeivamente, tale applicazione ha finito per prevalere in importanza ed è divenuta l obiettivo principale nello tudio dell interpolazione areale. In coneguenza di ciò nel proieguo del preente lavoro il termine interpolazione areale arà da coniderari unicamente nell accezione di traformazione dati. S1 S2 S3 S4 T1 T4 S5 S6 S7 S8 T2 T3 Fig. 3 Converione di dati paziali. Le aree della partizione orgente ono delimitate da linee continue mentre quelle della partizione obiettivo da linee tratteggiate. Sebbene la tipologia di dato paziale coinvolto ia completamente differente, lo tudio dell interpolazione areale è intimamente legato alle procedure di interpolazione puntuale. Infatti, l approccio tradizionale all interpolazione areale richiede l uo di tecniche di interpolazione per punti. Quindi i problemi aociati con i modelli di interpolazione puntuale devono neceariamente eere affrontati e comprei prima di avviare qual i voglia rifleione che riguardi l interpolazione areale.

7 Seguendo lo chema di Fig. 2, ono ditinguibili due approcci ditinti all interpolazione areale. Il primo di ei, comprendente i coiddetti metodi che non preervano il volume, i fonda ulle tecniche di interpolazione puntuale. La econda clae di tecniche, la quale conidera il dato areale vero e proprio come riferimento di bae per i metodi di converione, comprende invece i coiddetti metodi di interpolazione che preervano il volume. 4. Metodi che non preervano il volume Per comprendere gli viluppi fondamentali degli tudi dedicati ai metodi di converione di dati areali (anche detti nella terminologia GIS reel data, dall epreione angloaone reolution element) è neceario, come preciato poc anzi, rialire alle prime applicazioni pratiche, condotte per lo più nel campo delle cienze fiiche, della tatitica paziale. L impoibilità di tudiare l andamento di numeroi fenomeni fiici in uno pazio continuo ha infatti impoto il paaggio obbligato di procedere alla tima di uperfici a partire dalla ola conocenza di punti campionati (cfr. Fig. 2: metodi point-baed). La pratica maturata nel campo delle cienze fiiche ha fatto i che la converione di dati areali foe in principio mutuata dall interpolazione da punti a uperfici. In termini generali e data una certa partizione in aree, la procedura conite inizialmente nell individuare un punto ignificativo (anche detto punto di controllo) per ogni unità areale della partizione d origine. Tale punto è olitamente il centroide ebbene non i abbiano garanzie che quet ultimo cada all interno della regione che è celto a rappreentare. Succeivamente i ovrappone al territorio coniderato un grigliato regolare e i timano i valori corripondenti ai nodi del reticolo mediante tecniche di interpolazione puntuale. Infine, mediando i valori del grigliato ripetto alle aree della partizione più fine, i ottengono le time deiderate (cfr. Fig. 4). Nell approccio decritto l unica variante tra le metodologie propote in letteratura è cotituita dal modello di interpolazione puntuale utilizzato per aegnare le time ai nodi del grigliato. Per una raegna di tali metodologie i vedano, fra gli altri, Ripley (1981, cap. 4) e Creie (1993, cap. 3). Ovviamente la celta della dimenione delle caelle che compongono la griglia è quanto mai critica, oprattutto in preenza di aree della partizione obiettivo di ridotte dimenioni (Arbia, 1989b; Arbia et al., 1996). Inoltre vanno tenuti in debita coniderazione gli effetti prodotti da tale celta ull accuratezza delle time. Punti Superficie Aree Partizione S? Aree Partizione T Fig. 4 Logica delle tecniche di interpolazione areale che non preervano il volume. Il modo di procedere poc anzi delineato, ebbene apparentemente congruente, è tato oggetto di numeroe critiche. Il punto centrale di tali critiche riguarda le traformazioni topologiche (da area a punto, da punto a uperficie ed infine da uperficie ad area; cfr. Fig. 4) che invetono il dato paziale nei vari paaggi della procedura. Per la ua particolare natura, infatti, il dato paziale è

8 fortemente dipendente dalle caratteritiche geometriche e trutturali dell oggetto cui è attribuito. Ne conegue una grave perdita di accuratezza delle time. Inoltre, la celta del punto di controllo per rappreentare le aree della partizione S può introdurre nell analii ulteriori ditorioni. Infatti, nella circotanza in cui la ditribuzione del fenomeno oggetto di indagine ia immetrica e relativamente uniforme, il centroide dell area cotituirebbe una celta enz altro ragionevole e conveniente per l inieme dei punti di controllo, celta che renderebbe realizzabile il proceo di tima per i nodi che cotituicono il reticolo regolare ovrappoto all area di tudio. Purtroppo, però, nella realtà le aree della partizione orgente (regioni, province, ezioni di cenimento, ecc.), per le quali i dati ono preentati in forma aggregata, ono raramente immetriche e la ditribuzione della maggior parte dei fenomeni all interno delle tee non motra quai mai configurazioni riconducibili a paradigmi di regolarità. Un altro apetto che non può eere tracurato è che i metodi di interpolazione areale pointbaed, proprio perché utilizzano modelli di interpolazione per punti, non poono evitare i problemi connei con l utilizzo degli tei. Infatti, il proceo di interpolazione puntuale implica delle aunzioni a priori ulla uperficie da adattare ai dati. L arbitrarietà inita in tali aunzioni cotituice nel cao dell interpolazione areale un ulteriore elemento a favore proprio perché la natura intrineca dei fenomeni regionali è nella realtà coì complea che è praticamente impoibile traformare i dati in modo da poterli analizzare con trumenti emplici. Paradoalmente l utilizzo diffuo delle procedure di interpolazione in ambito cartografico è aociato con una totale aenza di tudi circa la realizzabilità delle pecifiche tecniche utilizzate (Jenk et al., 1969; Stearn, 1968). Fra gli altri fattori che fanno dei metodi di interpolazione che non preervano il volume uno trumento per lo meno dicutibile preme ricordare il fatto che la ditribuzione paziale nonché la denità dei punti campione poono compromettere eriamente la validità dei riultati dell interpolazione. Nell applicare i metodi di interpolazione puntuale ai dati areali il problema è ulteriormente complicato dalla circotanza che l accuratezza dei riultati dipende dalle fonti di errore implicite nella procedura originale di aggregazione dei dati. La forma e la dimenione delle aree delle partizioni S e T nonché la ditribuzione dei valori della variabile oggetto di interpolazione cotituicono gli elementi più forti a dicapito della validità dei riultati prodotti. Comunque il limite più rilevante dell approccio decritto riiede nel fatto che eo non è in grado di conervare il valore totale all interno di ciacuna delle aree che compongono la partizione orgente. Tale problema, ebbene a volte coniderato in modo indiretto (Schmid e MacCannell, 1955), è tato cotantemente ignorato dalla letteratura pecialitica. Tobler (1979) per primo ed in modo eplicito ha preo in coniderazione la proprietà di preervazione delle mae applicandola ai problemi ia di interpolazione puntuale ia di interpolazione areale. In termini non formali (il chiarimento analitico è rimandato al proimo paragrafo) impone che la uperficie da interpolare ia livellata (mooth) ed allo teo tempo in grado di preervare il volume all interno di ogni zona orgente. Grazie al ripetto del vincolo di conervazione della maa, la mappa ad iolinee che può eere diegnata a partire dai valori interpolati può eere convertita in un itogramma bivariato emplicemente calcolando il valore otto la uperficie ad iolinee e coì poono eere ricotruiti i valori originali di ogni zona orgente. Per dover di cronaca, Tobler chiama queta la proprietà di inverione, concetto analogo a quello di preervazione del volume. Si tratta di una proprietà deiderabile in quanto aicura un certo grado di fiducia all approimazione dei valori del grigliato all interno di ogni zona orgente. In coneguenza di ciò le time per le zone della partizione T ono meno oggette ad errori. 5. Metodi che preervano il volume Il econdo approccio all interpolazione areale, chiamato approccio area-baed, garantice il ripetto della proprietà di preervazione del volume nel ripetto dell eigenza di produrre

9 interpolazioni accurate. Tale approccio i è viluppato in un econdo tempo ripetto ai metodi che non preervano il volume e di pari pao con il crecente interee per lo tudio di dati areali; qui il dato areale teo è tato coniderato come riferimento bae dei metodi di converione (quindi non è richieto alcun proceo di interpolazione puntuale) giutificando quindi il nome di interpolazione areale area-baed. Tale filone di tudi i viluppa a partire dal lavoro di Goodchild e Lam (1980) i quali hanno propoto una metodologia di ponderazione areale che cotituice una generalizzazione dei metodi di overlay propoti in maniera embrionale e poco formalizzata da Markoff e Shapiro (1973) e Crackel (1975) Il metodo della ponderazione areale Il metodo dell overlay conite eenzialmente nel ovrapporre le zone della partizione obiettivo ulle zone della partizione orgente e nello timare i valori delle aree obiettivo mediante pei determinati in funzione dell ampiezza delle aree di ovrappoizione. Recentemente il metodo dell overlay, oprattutto nella verione etea di Goodchild e Lam (1980), è divenuto coì popolare tra i geografici quantitativi tanto da eere inerito nei moderni GIS come una funzione-routine preconfezionata per l uo da parte degli utenti meno attenti alla metodologia tatitica. La trattazione che egue riguarda ecluivamente la metodologia di ponderazione areale. Al riguardo però è utile richiamare brevemente la imbologia di bae utilizzata nei formalimi che eguiranno: i) y è la variabile di interee; ii) i dati relativi ad y per le zone che compongono la partizione S ono noti e vengono indicati con y, S; iii) i dati relativi ad y per le zone che compongono la partizione T ono incogniti ed oggetto di tima: verranno indicati con y t, tt; iv) le partizioni S e T coprono lo teo territorio; v) e S e tt i interecano, eite una zona di ovrappoizione t di uperficie a t (cfr. Fig. 5). Il principio ottotante il funzionamento del metodo di ponderazione areale è intuitivamente emplice. Una volta che è tato fatto l overlay del itema areale T ulla partizione S i può facilmente miurare l area di ogni ingolo poligono di interezione. A queto punto il itema areale orgente e quello obiettivo vengono mei in relazione mediante una matrice A m,n, con m ed n pari ripettivamente al numero di aree che compongono gli iniemi T ed S. Detta matrice è nota in letteratura con il nome di matrice dei pei areali o matrice delle interezioni (Goodchild et al., 1993). Il termine generico della matrice A m,n arà indicato con a t,, elemento pari all area della uperficie di interezione tra le zone tt ed S: A m, n a a a a a a a a a n t1 t tn m1 m mn

10 a t Fig. 5 - Sovrappoizione di due unità areali e zona di ovrappoizione. Inoltre iano U n,1 e V m,1 ripettivamente il vettore colonna dei valori rilevati per le zone della partizione orgente ed il vettore colonna delle time per le aree del itema obiettivo: U V y, y,..., y,..., y 1 2 y, y,..., y,..., y 1 2 t n m ' ' e Il ucceivo pao di tima i differenzia leggermente a econda della natura paziale del dato aggregato che decrive la partizione orgente. Se y è una variabile eteniva (tipicamente conteggi o totali come, ad eempio, la popolazione od il prodotto interno lordo) ci i attende che auma metà del valore aunto in una regione in ognuna delle due metà in cui la regione tea può eere uddivia. Pertanto, e y è eteniva vale ovviamente il riultato y y. t t t Una tima di y t è quindi et y t y a dato che y y a t a a t t. Da notare come nell epreione appena preentata che fornice la tima et ŷ t le ingole aree delle uperfici di ovrappoizione a t, vengano tandardizzate uando l area totale delle zone della partizione S. Coì facendo il coefficiente che ne riulta rappreenta la quota di uperficie della generica zona che cade all interno della zona obiettivo t ed il dato orgente y è ripartito tra le zone della partizione obiettivo proprio in accordo con tale coefficiente. In termini matriciali la oluzione al problema può eere ricritta nei termini eguenti: V WU W at con. a Un emplice eempio ervirà a chiarire quanto detto. Si coniderino i itemi areali S e T riportati in Figura 6. I dati di bae per lo volgimento dei calcoli ono contenuti nel propetto eguente che contiene i dati rilevati per la variabile y nella zone che compongono la partizione orgente nonché l area della uperficie di tali zone: a y A 7 35 B 4 40

11 C 5 20 L area della uperficie delle zone t di interezione per l eempio in quetione è riportata nella tabella eguente: A B C D E F A queto punto mediante dei calcoli elementari i perviene alle time per le zone della partizione obiettivo. Ad eempio, per la ub-area codificata D la tima varrà: et y ˆ D = y a a D = = In modo analogo i ricavano le time per le zone E e F le quali ono pari ripettivamente a et y ˆE = 28 e et y ˆF = 27. Se la variabile y è inteniva (tipicamente proporzioni o tai, come ad eempio il reddito peronale diponibile) ci i attende che auma lo teo valore in una regione ed in ogni ubpartizione della tea. A E C B D F Partizione S Partizione T Fig. 6 - Eempio di partizione S e partizione T. Prima di motrare le epreioni che conentono di produrre delle time int ŷ t è utile chiarire con un eempio il divero ambito concettuale nel quale ci i muove. Si upponga di dover traformare dati circa la variabile prezzo del frumento. Si upponga inoltre che il prezzo per l area ia di 20 per una unità del bene in quetione mentre per l area 1 2 ia di 30 per una unità dello teo bene (cfr. anche Fig. 7). L applicazione della procedura vita per le variabili etenive condurrebbe per l area t alla eguente tima: at a 1 t 2 et y ˆt = y + y = = a a 1 2 che cotituice un riultato errato in modo ridicolo.

12 t 1 2 Fig. 7. Ipotetica ituazione di partizione orgente ed obiettivo nella derivazione delle time per variabili intenive. Ciò che è più indicato per la circotanza in eame è una media ponderata piuttoto che una omma ponderata del tipo di quella utilizzata per le variabili etenive. I pei da utilizzare ono le a t proporzioni. La ragionevolezza di queta celta del itema di ponderazione può eere chiarita at ulteriormente mediante il emplice eempio in quetione. Se ognuna delle zone orgente di Fig. 7 foe metà della zona obiettivo t allora arebbe appropriato fornire la tima int y ˆt = 25 ; ma e l area 1 cotituie l 80% della zona t arebbe abbatanza intuitivo fornire la tima int y ˆt = = 22. Generalizzando, e y è inteniva allora: y t = a y t a t t da cui i ottiene: int at y ˆt = y. a t Il problema principale che inficia l uo dell approccio decritto è l ipotei di cotanza delle denità (omogeneità) all interno delle aree della partizione S. In altre parole, e il valore y è lo teo in ogni punto della zona S (=1,2,...,n), ucceive riaggregazioni in zone obiettivo fornicono delle time eatte. Ma e la ditribuzione di y nella zona S (=1,2,...,n) non è regolare, la tima ŷ t per mezzo delle aree delle uperfici di interezione a t non è più poibile. Il proceo di tima che conduce a ŷ t è in queto cao governato dalla natura e dal grado di diomogeneità della ditribuzione di y in S e dalla dimenione delle aree obiettivo t in relazione alle corripondenti aree orgente. Purtroppo nelle applicazioni pratiche partizioni S caratterizzate da ditribuzioni omogenee della variabile oggetto di analii i incontrano molto raramente, ebbene Goodchild e Lam i forzino di eaminare a fondo nel loro lavoro del 1980 (Goodchild e Lam, 1980, pagg ) le circotanze in cui poa eere ragionevole aumere l ipotei di denità cotante. Tali circotanze vengono ulteriormente approfondite nello tudio di Goodchild et al. (1993, pagg ) i quali propongono due generalizzazioni della metodologia della ponderazione areale (la coiddetta Generalizzazione 1 nota anche come etenione delle denità uniformi nelle zone obiettivo e la Generalizzazione 2 o delle zone di controllo) che, a parere di chi crive, non rendono meno problematico di quanto i ia già indicato l uo delle tecniche di overlay negli tudi empirici.

13 Speo, infine, le zone S ono tate diegnate per copi diveri da quelli per cui i coniderano le aree tt e queto fa ì che la partizione S non fornica informazioni rilevanti per T Interpolazione areale come tima di dati mancanti: l algoritmo EM per dati di conteggio L ipotei di denità cotante cotituice un aunzione ragionevole olo nella circotanza in cui non i diponga di alcuna informazione circa la ditribuzione della variabile di interee all interno della partizione orgente. Va però preciato che la qualità e la quantità di fonti di dati territoriali i ono modificate otanzialmente nel coro degli ultimi anni. Alle fonti ufficiali tradizionalmente diponibili (cenimenti, materiale cartografico, fonti occaionali) ed alle indagini ad hoc (campionarie o complete) i ono infatti aggiunte nuove fonti le quali fanno fronte all accreciuta domanda di informazioni pazialmente diaggregate. Quindi la ituazione che i preenta più di frequente è quella in cui i dipone di informazioni auiliarie circa la ditribuzione nella partizione orgente e non della variabile oggetto di tudio almeno di variabili in qualche modo collegate ad ea. In tale ottica, ad eempio, è veroimile upporre che la conocenza di variabili di natura topografica e/o connee alla popolazione influica ull apettativa del ricercatore circa la ditribuzione di altre variabili nelle zone della partizione orgente. Al riguardo, un eperienza che merita enz altro di eere menzionata è quella di Langford et al. (1990 e 1991) i quali fanno ricoro, per upportare il proceo di interpolazione areale, ad una tipologia di informazione auiliaria molto particolare: il dato acquiito mediante telerilevamento, ia eo da aereo e/o da atellite. Il primo pao compiuto dagli tudioi citati è tato quello di mettere in luce una ignificativa relazione tatitica tra informazioni di tipo uo del uolo deunte da una claificazione di una immagine Landat TM (Thematic Mapper) e la popolazione totale oervata in un inieme di unità amminitrative. Ebbene, nello tep finale dello tudio condotto da Langford et al. (1990), tale relazione è tata utilizzata per timare l ammontare di popolazione per altre partizioni ub-regionali arbitrarie. Le mutate condizioni di diponibilità dei dati, dunque, hanno pinto gli pecialiti della materia a viluppare dei metodi di interpolazione areale che iano più intelligenti delle procedure di ponderazione nel eno che abbiano la capacità di getire tutte le informazioni rilevanti che poono eere raccolte ul itema paziale oggetto di tudio. Lungo queta direttrice i muove la propota di Flowerdew et al. (1991) 4 i quali, rilevando come l interpolazione areale ia un operazione fondamentale nell uo dei itemi geografici informativi (GIS), propongono l utilizzo delle potenzialità dei GIS tei nella getione delle informazioni auiliarie come guida al proceo di diaggregazione. Flowerdew et al. (1991) guardano al problema della tima dei valori y t per ogni zona di interezione tra le aree tt e S come ad un problema di dati mancanti. In tale conteto ei propongono un metodo di interpolazione areale incentrato ull algoritmo EM (Dempter et al., 1977). Volendo eaminare in dettaglio tale procedura, i conideri enza perdita di generalità una variabile y eteniva per la quale valga cioè la eguente relazione definitoria: y = y t. t Il problema dell interpolazione areale arebbe di banale oluzione e foero noti i valori aunti dalla variabile y nelle zone di ovrappoizione t. In tale circotanza infatti, varrebbe la eguente eguaglianza: 4 La propota di Flowerdew et al. (1991) per l interpolazione areale di dati di conteggio è contenuta in modo embrionale nel lavoro di Flowerdew e Green (1991).

14 y t = y t. Nella pratica però i valori y t non ono noti e pertanto il problema diviene: i) inferire y t da y in modo tale da produrre le time ŷ t ; ii) calcolare le time per le zone t della partizione obiettivo: y ˆ = ˆ. t y t Per quanto concerne il precedente punto i), le informazioni auiliarie (IA) giocano un ruolo deciivo all interno del proceo di interpolazione. Se le uniche IA diponibili ono le aree delle uperfici delle zone di ovrappoizione a t i ricade nello chema comunemente adottato della ponderazione areale (cfr. paragrafo precedente): at y at y ˆt = e yˆ t = y. a a Altrimenti i può far ricoro all algoritmo EM (Dempter et al., 1977) il quale rappreenta una tecnica tatitica molto generale la quale raccorda una erie di metodologie pecifiche deignate alla oluzione di problemi in preenza di oervazioni imperfette. Prima di entrare nello pecifico della procedura arà bene però riformulare la bae dati a dipoizione in maniera che il problema in eame ia ulteriormente ribadito e fare riferimento d ora in avanti alla Fig. 8. S S y y 1... y 1n?...?...? T y t1... y t... y tn T?...?...? y m1... y m... y mn?...?...? y 1 y y n y 1 y y n Fig. 8 - Bae dati di partenza per l implementazione dell algoritmo EM. L algoritmo EM è un metodo iterativo per calcolare time di maima veroimiglianza in ituazioni in cui, e non foe per l aenza di alcuni dati, il calcolo degli timatori arebbe emplice. La formulazione definitiva dell algoritmo è data nel fondamentale articolo di Dempter et al. (1977); un riferimento aggiornato e completo rimane la monografia di McLachlan e Krihnan (1996), alla quale i rimanda per ulteriori dettagli. L idea che è alla bae dell algoritmo conite nel maimizzare la funzione di veroimiglianza completa otituendo ai dati mancanti il loro valore atteo condizionato ai dati oervati ed al valore corrente dei parametri. Volendo introdurre delle notazioni più formali, ia Y il vettore aleatorio corripondente ai dati oervati; ia inoltre g ( y, ) la ua funzione di denità ed l ( ) la ua funzione di logveroimiglianza. Sia poi Z l ipotetico vettore dei dati mancanti, contenente dati che non ono oervabili, ma la cui conocenza permetterebbe di applicare facilmente il metodo della maima veroimiglianza. Infine, ia X il vettore dei dati completi, le cui funzioni di denità e di logveroimiglianza aranno indicate ripettivamente con i imboli g ( y, ) c e l ( ) c. Il primo pao dell algoritmo EM (detto E-tep, dove E ta per Expectation) conite nel calcolare il valore atteo condizionato della funzione di log-veroimiglianza completa l ( ) c, dati il valore corrente di ed il campione oervato y.

15 Il econdo pao (M-tep, dove M ta per Maximization) conite nella maimizzazione, ripetto a θ Θ, del valore atteo condizionato della funzione di log-veroimiglianza calcolato nell E-tep. Nella maggior parte dei cai il primo pao i rivela piuttoto emplice. Infatti, quando la funzione di log-veroimiglianza è lineare nei dati mancanti, il calcolo del valore atteo condizionato della funzione di veroimiglianza completa comporta olo la otituzione dei dati mancanti con il loro valore atteo condizionato a y e calcolato ulla bae del valore corrente di, enza neceità di modificare in altro modo la funzione. È eattamente queto, come verrà motrato tra breve, l ambito teorico in cui ricade la oluzione propota da Flowerdew et al. (1991) al problema dell interpolazione paziale di dati di conteggio. Tuttavia è importante rimarcare in d ora, anche e nel proieguo i tornerà diffuamente u queti problemi, che ciò non è vero in generale; è falo, ad eempio, quando le variabili eguano una ditribuzione normale (i veda più oltre per alcuni dettagli). Da un punto di vita formale, la truttura dell algoritmo può eere decritta come egue: ia (0) il valore iniziale del vettore contenente i parametri; l E-tep conite nel calcolare: (0) ( ; ) = E l ( ) y. Q (0) [ ] c Succeivamente i maimizza ( θ; (0) ) ( 1) (0) ) ( (0) ) Q θ ( θ Q θ; ; Q ripetto a θ Θ, cioè i ceglie (1) tale che: per ogni θ Θ. Si ripete quindi la procedura, cioè i ricalcolano la (1) e la (2) utilizzando (0) al poto di. I due pai vengono iterati fino a quando la differenza l( θ ( k+1) ) l( θ ( k) ) oppure la differenza 1 i d ( k +1) ( k) max θ θ ia minore di una quantità arbitrariamente piccola. Nelle due relazioni precedenti k è la generica iterazione in coro mentre d è la dimenione del vettore dei parametri θ. Sulla corta di quanto in qui preciato, l algoritmo EM per l interpolazione areale di dati etenivi i articola in due fai le quali, nello pecifico, poono eere riaunte come egue. Nel primo tep (la fae E), i calcola il valore atteo dei dati mancanti condizionato al modello elezionato (i veda Green (1990) per alcune poibili celte) ed ai dati oervati (i totali y a livello di partizione orgente cioè i totali di colonna nella tabella a doppia entrata di Fig. 8; i ricorda che tali totali ono noti mentre ono incogniti ed oggetto di tima gli y t cioè i valori aunti dalla variabile di interee y nelle zone di ovrappoizione t). Nel econdo pao della procedura (fae M) i adatta, via maima veroimiglianza (in inglee Maximum likelihood, la cui iniziale M ribadice l acronimo di queto tep!) il modello celto al data et completo che include, oltre alle time provenienti dallo tep precedente trattate come oervazioni reali, anche i dati auiliari x t (tt) e le aree delle uperfici delle zone di interezione t tra le aree tt e S. La procedura deve ovviamente eere iterata finché l algoritmo non converga e può eere implementata a partire, ad eempio, dalle time ottenute via ponderazione areale. Si upponga, circocrivendo l attenzione a variabili y di tipo etenivo, che il modello per le y t ia il eguente: yt Poion ( t ) ( ) t = b, xt, at dove, oltre ai imboli già introdotti, b rappreenta il vettore dei parametri incogniti. In pratica, con il modello riportato i uppone che la variabile y egua una ditribuzione di Poion di parametro e che tale parametro ia funzione, oltre che di parametri incogniti, anche delle t (1)

16 informazioni auiliarie diponibili per le aree tt della partizione obiettivo nonché delle aree delle uperfici delle zone di interezione t tra le aree tt e S. Sotto le aunzioni formulate, ogni iterazione dell algoritmo EM i articola nel modo che egue: i) Pao E: calcolo dei valori attei condizionati di y t ( ŷ t ) dato il modello corrente ˆ ( ) t = b, xt, at e i dati y ; aumendo che le y t iano delle variabili Poion indipendenti di media ˆ t è facile ricavare, come i motrerà tra breve, il eguente riultato: ˆ t yˆ = ( ˆ, ) t E yt t y = y. ˆ k k ii) Pao M: tima del vettore b del modello ( ) maima veroimiglianza (ML) uando le time = b, x, a con la procedura di t t t t ŷ come dati Poion indipendenti. L eecuzione di tale pao produce time bˆ che fornicono informazioni ulle modalità con le quali i parametri ono legati ai dati auiliari ed alle aree delle ub-zone. t I valori ˆ t che derivano dal pao M vengono dati in pato al pao E che ha come output time più precie per le variabili y t. Dette time ( ŷ t ) vengono uate in un nuovo pao M per migliorare le time ˆ t ottenute allo tep precedente, e coì via ino a che non viene raggiunto un qualche criterio di convergenza fiato dall utente. Come già detto, gli tarting value per y t poono eere ottenuti via ponderazione areale. Sulle time iniziali ottenute in tale modo i inneta l algoritmo che parte, a queto punto, dal pao M e viene iterato, come decritto poc anzi, fino a convergenza. La metodologia preentata è tata rea operativa integrando il GIS ARC/INFO (utile in tale ambito per il diplay cartografico e oprattutto per calcolare le uperfici delle aree delle ub-zone formate dall interezione fra le zone S e tt) ed il package tatitico GLIM (Generalied Linear Interactive Modelling ytem) (Payne, 1986) il quale conente in modo agevole di cotruire in linguaggio macro delle procedure addizionali a quelle predipote (Flowerdew e Green, 1989 e 1990; Green, 1989). Comunque, anche per l EM per variabili etenive eitono alcuni problemi che, in qualche modo, ne limitano l uo. Al riguardo preme innanzitutto evidenziare il fatto che la tecnica propota da Flowerdew et al. (1991) dipende fortemente dalla poibilità di individuare delle idonee variabili auiliarie e arebbe molto intereante poter procedere a confronti fra diveri modelli baati u iniemi differenti di IA (x t ). Inoltre, tale metodo è baato u un inieme molto circocritto di modelli tatitici (nello pecifico Poion e binomiale, appropriati per variabili di conteggio) che non coprono tutte le cale di miurazione delle variabili. Ciò rende necearia l etenione della procedura in quetione anche al cao delle variabili continue. Un tentativo in tale direzione è tato 2 effettuato da Bee e Epa (1999) nella circotanza in cui Y N (, ), t =1,..., m, =1,..., n. Nella t t m m t, dove = t t=1 t =1 n 2 Y = Y t N t, n =1 2 ituazione ipotizzata è noto che Y = Y N (, m ). t, dove t = t. Analogamente, per la partizione obiettivo varrà ( ) Sopraedendo ui dettagli tecnici, per i quali i rimanda al lavoro citato, nello pecifico cao in 2 eame il pao E conite nel calcolare yˆ = E ( y y ) e yˆ = E ( y y ) t 2 ˆt, ˆ t t 2 ˆt, ˆ t n =1. Al contrario, la

17 formulazione del pao M è trettamente collegata al modello che i ceglie per piegare t. Se, come i fa abitualmente, i ceglie il claico modello lineare = X il quale è particolarmente appropriato dato l aunto di normalità, i ha che il pao M riulta eere: T X X 1 T X y, X e T T T mn mn y X X dove y=vec(y), Y è la matrice il cui elemento in poizione (t,) è y t, 1 mn è il vettore di lunghezza mn avente tutti gli elementi uguali ad uno e dove, infine, la matrice X contiene oervazioni riferite a variabili auiliarie che i uppone poano fornire informazioni aggiuntive ulle aree della partizione obiettivo. 5.3 Interpolazione pycnophylactica Un metodo area-baed più ofiticato, non dipendente da ipotei coì retrittive come quelle delle precedenti metodologie, è rappreentato dall algoritmo di interpolazione pycnophylactica (dal greco = maa e = che preerva) propoto da Tobler (1979). In queto cao i procede con la cotruzione di una uperficie direttamente a partire dai dati areali diponibili e la tima dei nuovi valori areali tramite integrazione. L aunzione alla bae di tale metodologia è che eita una funzione di denità per la variabile oggetto di tudio che ia livellata (mooth) coì da tenere in debita coniderazione gli effetti di adiacenza delle zone della partizione orgente. Il termine pycnophylactico deigna una tecnica di tima di uperfici di denità che preervano la denità tea. In termini più precii, un metodo di interpolazione ripetta il vincolo pycnophylactico e, data una partizione orgente cotituita di n zone ognuna di area a i e valore noto y i della variabile di interee (i=1,2,...,n), vale la relazione z x, ydxdy yi (1) xy per ognuna delle uddette zone, dove (x,y) rappreenta una località per la quale non i dipone di oervazioni dirette. Nel dicreto la condizione (1) aume dei connotati che facilitano la comprenione dell algoritmo in quetione. Siano: y k il valore aunto nell area k dalla variabile y uppota, enza perdita di generalità, eteniva (conteggi o totali); a k l area della uperficie della zona k; z ij la denità della cella (i,j); l area della uperficie di una cella; k i j k q ij una variabile dicotomica tale che q k 1 e, ij. 0 altrimenti Pote quete premee, il ripetto della condizione pycnophylactica comporta l impoizione dei eguenti vincoli: k k k z q = y q = a e q = 1. ij ij k, ij k i, j i, j k ij Intuitivamente una uperficie di denità è livellata e ha poche ocillazioni o e punti vicini preentano valori imili oppure e motra, in tutte le direzioni, un piccolo tao di cambiamento il che ignifica dire che le derivate parziali ono piccole. In coneguenza di ciò appare abbatanza naturale minimizzare la omma dei quadrati delle derivate parziali:

18 2 z z 2 x y x d d min y epreione nota anche con il nome di integrale di Dirichlet. Senza il vincolo pycnophylactico e la condizione di non negatività ( z 0 ) il minimo ricercato è dato dall equazione di Laplace: 2 2 ij z z = 0 x y la cui approimazione per grigliati regolari è la eguente: zi 1, j + zi+1, j + zi, j 1 + zi, j+1 z ij =. 4 Sono comunque concepibili altre condizioni di moothing a econda delle applicazioni pratiche. Ad eempio, la tima prodotta dalla precedente epreione per la cella (i,j) non può uperare in valore aoluto i valori aunti nel vicinato della tea. Se i deidera rimuovere queta retrizione i può ampliare l inieme dei vicini e imporre una equazione bi-armonica. Alle differenze finite il riultato che i ottiene è il eguente (Tobler e Kennedy, 1985) 5 : 1 zij zi j zi j zi j zi j , 1,, 1, 1 2 z z z z i1, j1 i1, j1 i1, j1 i1, j1 z z z z i2, j i, j2 i, j2 i2, j. La procedura di interpolazione pycnophylactica i articola nei eguenti pai: i) i ovrappone un grigliato regolare al territorio in eame; ii) i aegna la denità media a ciacuna cella ovrappota ulle zone della partizione orgente; iii) i modificano le denità di cui al precedente punto ii) di un piccolo ammontare in modo tale da muovere i valori delle denità tee vero valori proimi a quelli impoti dall equazione differenziale (condizione di moothing); iv) incrementando o decrementando le denità calcolate al pao iii) i impone il vincolo pycnophylactico; v) i iterano i precedenti pai iii)-iv) fino a convergenza dell algoritmo. Da un eame attento dell algoritmo emerge chiaramente la neceità di aegnare dei valori fuori dall area di tudio (condizioni di bordo). Tale celta influenza la miura di moothne in proimità dei bordi del grigliato ovrappoto e, di coneguenza, i propaga all interno dello teo. L impoizione di una condizione di bordo anziché un altra dipende ovviamente dal tipo di applicazione che i ta conducendo nonché dalle informazioni diponibili ull eterno dell area di tudio. In generale è poibile pecificare almeno due condizioni di bordo. La prima, nota come condizione di Dirichlet, conite nello pecificare dei valori numerici lungo i bordi del dominio paziale di interee. Nella circotanza in cui, ad eempio, il dominio paziale di tudio ia circondato da acqua, a tutte le celle all eterno della regione di interee può eere aegnata una denità nulla. In Fig. 9 ono riportate le condizioni di Dirichlet più utilizzate nelle applicazioni pratiche. La econda condizione di bordo, coiddetta di Neumann, richiede di pecificare il tao di cambiamento della denità lungo il confine; al riguardo il più emplice tao paziale di 5 L inieme ul quale viene calcolata la media è ovviamente importante coì come in ede di analii empirica è etremamente critica la celta del itema di pei quando i fa ricoro a medie ponderate.

19 cambiamento ancice che il gradiente vanica al bordo della regione. Ovviamente è contemplata la poibilità di poter mixare le due condizioni di bordo ricordate.? Fig. 9 - Condizioni di Dirichlet:? = 0 (condizione di ortogonalità),? = (condizione di parallelimo). Un modo alternativo di pecificare le condizioni di bordo che i è rivelato particolarmente utile nelle applicazioni GIS e/o nel trattamento delle immagini telerilevate, ituazioni empiriche dove ono necearie condizioni meno rigide e retrittive della Dirichlet, è quella denominata a pecchio (Arbia et al., 1996, Arbia et al., 1999). L impoizione di quet ultima condizione implica la cotruzione di un bordo dell area di interee coì come motrato in Fig. 10. Fig Condizione di bordo a pecchio. Per fornire un eempio di come i avvia la procedura di interpolazione areale pycnophylactica, i conideri nuovamente la Fig. 5 e i ovrapponga alla partizione S un grigliato 44 (Fig. 11). Il econdo tep conite nell aegnare la denità media delle aree S ad ogni cella (i,j)s (cfr. Fig. 12). Poi i deve applicare la condizione di moothing: i cambia ogni valore della cella nella media dei uoi quattro vicini (cfr. Fig. 13). Per emplicità nell eempio qui riportato non i ono impote condizioni di bordo. Pertanto il valore da attribuire alla cella (1,3) arà il eguente: z ˆ 1, 3 = = Infine, i deve imporre il vincolo di preervazione del volume. Al riguardo è neceario calcolare le eguenti time: y ˆ k = z ˆ i, j ij q k ij le quali vanno confrontate con i valori rilevati y k. Il vincolo pycnophylactico i impone proprio traformando ẑ ij econdo la relazione eguente:

20 yk zˆ ij zˆ ij. yˆ k A C B Partizione S Fig Eempio di implementazione dell algoritmo di Tobler (pao i)) Partizione S Fig Eempio di implementazione dell algoritmo di Tobler (pao ii)) Partizione S Fig Eempio di implementazione dell algoritmo di Tobler (pao iii)). Nell eempio, e i conidera la cella (1,1)A, dal momento che:

21 y ˆA = = allora è neceario procedere, per il ripetto del vincolo di preervazione del volume, alla eguente otituzione (cfr. Fig. 14): = Partizione S Fig Eempio di implementazione dell algoritmo di Tobler (pao iv)). L algoritmo decritto deve eere ovviamente iterato finché non ia oddifatta una delle eguenti condizioni: 1 y y, k k k 2 z 1 z, i, j, dove t indica l' iterazione in coro. t ij t ij Ovviamente la qualità delle time prodotte, le quali devono eere riaggregate a livello di partizione obiettivo dando coì luogo ad una traformazione uperficie-area, dipende fortemente dalla dimenione delle caelle del grigliato: quete devono eere abbatanza piccole per garantire il ripetto della condizione di moothing e del vincolo pycnophylactico. L algoritmo di Tobler motra, ripetto al metodo della ponderazione, degli indubbi vantaggi di tipo concettuale che derivano dal coniderare nell analii gli effetti di vicinato. Per di più non è richieto l aunto di omogeneità all interno delle aree della partizione orgente. Ma va fatto notare, comunque, come l obiettivo della minima curvatura derivi più da una eigenza di emplicità e da una mancanza di alternative che da un effettiva analii delle uperfici di denità dei fenomeni reali. Inoltre, un ulteriore vantaggio dell approccio propoto da Tobler è che la procedura fornice olo una tima puntuale enza alcuna coniderazione circa lo tandard error delle time prodotte. Una oluzione a queto problema potrebbe eere quella di campionare da una ditribuzione avente la media dei vicini di una generica cella come valore atteo e varianza anch ea timata a partire dal vicinato. 5.4 Bayeian Interpolation Method Sulla cia dei lavori di Flowerdew et al. (1991) e di Tobler (1979) i inerice il contributo di Benedetti e Palma (1994a e 1994b) i quali derivano un metodo di interpolazione da una formalizzazione di tipo bayeiano che ben i preta a cogliere il legame tra informazione orgente ed obiettivo. Per illutrare la logica ottotante a tale metodo, denominato BIM (Bayeian Interpolation Method), è utile richiamare una formalizzazione, introdotta da Arbia (1989b), la quale conente uno tudio trutturato del problema dell aggregazione. Si deigna come proceo originario, o individuale, quel proceo tocatico Y le cui realizzazioni finite {Y i } i=1,2,...,n ono

22 relative ad una fiata partizione dell area di tudio intea come maimo livello di diaggregazione di interee nell analii. A partire dal proceo originario è poibile introdurre la nozione di proceo derivato, o aggregato, come quel proceo tocatico Y * le cui realizzazioni finite { Y } j=1,2,...,m dove m<n, ono relative alle unità areali ottenute mediante aggregazione, per omme o per medie, delle unità areali del proceo originario. Date quete premee, le coneguenze tatitiche dell aggregazione poono eere, in via generale, tudiate ulla bae delle proprietà del proceo derivato in relazione alle proprietà del proceo originario. Formalmente i tratta di P *. Quando, all atto pratico, il problema è quello di fornire una converione dei dati da un itema areale ad un altro, la ditribuzione dei dati econdo la partizione obiettivo diventa oggetto di inferenza eendo nota la ditribuzione dei dati econdo la partizione orgente. Formalmente i tratta, allora, di tudiare la ditribuzione di tudiare la ditribuzione di probabilità condizionata ( Y Y) * probabilità condizionata P ( Y Y ) * * riultato PY Y PYPY Y. A tale riguardo il teorema di Baye conente di pervenire al noto, dove P(Y) è la probabilità a priori ul proceo originario Y, P ( Y * * Y) è la veroimiglianza ulla bae dei dati diponibili e ( Y Y ) P è la ditribuzione di probabilità a poteriori o oluzione del problema formulato. La formalizzazione del problema della converione di dati areali in termini di problema invero dell aggregazione e la ua oluzione econdo la logica bayeiana non conente oltanto di utilizzare, in accordo con il lavoro volto da Arbia (1989b), uno chema di riferimento unitario per gli interrogativi che l aggregazione pone. Ea dà luogo, infatti, ad indubbi vantaggi di notevole importanza. Soluzioni di tipo euritico, come alcune di quelle vite precedentemente, le quali implicano inopportune traformazioni intermedie dei dati coniderati, ono in queto cao eclue. Inoltre, l attenzione empre maggiore rivolta all utilizzo dell informazione auiliaria relativa alla partizione obiettivo trova qui una ua idonea collocazione potendo eere utilizzata quale informazione a priori. Il metodo BIM ha come obiettivo quello di ricotruire le realizzazioni del proceo originario Y upponendo note le realizzazioni del proceo aggregato Y *. La rioluzione del problema paa attravero alcune ipotei formulate circa la ditribuzione del proceo originario Y (compoto nella omma S+e della ua media e di un termine di errore) e del proceo S. Aumendo, per tener conto dell intrineca truttura di dipendenza dei dati territoriali, che tali ditribuzioni iano dei campi aleatori markoviani gauiani localmente dipendenti, Benedetti e Palma (1994a e 1994b) derivano dapprima le epreioni degli timatori dei parametri S e V S (la coiddetta oluzione eatta) e, ucceivamente, le epreioni degli timatori degli tei parametri ubordinatamente al ripetto del vincolo pycnophylactico di conervazione della maa all interno del territorio coniderato e di alcune condizioni di range (le oluzioni vincolate a parametri noti a priori). Volendo eaminare in dettaglio la tecnica di interpolazione in quetione è neceario dapprima offermari ulle ipotei pote a fondamento dello viluppo metodologico che verrà preentato più avanti. All inizio del procedimento di tima, data l intrineca dipendenza dei dati paziali legata al concetto di località vicine, è neceario definire la matrice di contiguità per entrambi i itemi areali coniderati (partizione orgente ed obiettivo) nel ripetto di un predefinito criterio di adiacenza delle unità areali (cfr., per alcune poibili celte, Cliff e Ord, 1981). Inoltre deve eere definita anche la matrice di aggregazione che, nello pecifico, altro non è che un operatore lineare che conente la traformazione da un vettore aleatorio n-dimenionale ad un vettore aleatorio m-dimenionale. Le ipotei introdotte da Benedetti e Palma (1994a e 1994b) per la rioluzione in termini bayeiani del problema della converione di dati areali ono le eguenti: i) il proceo originario Y i ditribuice come un campo aleatorio markoviano gauiano (Beag, 1974), noto in letteratura anche con il nome di modello autoregreivo * j

23 condizionato (CAR - Conditional AutoRegreive) 6, tale che Y teo può eere epreo in funzione della ua media e di un termine generico di errore, cioè Y f S,. Tale relazione può eere eplicitata nel modo eguente (Ripley, 1981; Creie, 1993): Y S (2) con: EY i Yj, j Ni Si k, ij j ji Var Yi Yj, j Ni 2 dove N(i) indica il vicinato dell unità areale i-ma, S i è la media relativa alla generica area i- ma, 2 è la varianza del proceo Y e k, ij ono coefficienti di interazione paziale; ii) il parametro S i uppone anch eo ditribuito come un campo aleatorio markoviano gauiano con: ES i Sj, j Ni ti k, ij j t j ji Var Si Sj, j Ni 2 S dove t i è la media relativa alla generica area i-ma, 2 S è la varianza del proceo S e ono nuovamente coefficienti di interazione paziale 7. Dalle due precedenti ipotei egue che le denità congiunte dei vettori S ed ono ripettivamente: T I K 0, I K S N S con S S S, 2 1 e 2 1 N con dove K S e K ono le matrici quadrate di ordine n dei coefficienti di interazione paziale k S, ij e k, ij ripettivamente, mentre S e ono matrici definite poitive otto le condizioni di regolarità dei procei coniderati tabilite dal teorema di Hammerley e Clifford (1971). Il proceo originario Y, relativo ad n unità areali, viene traformato nel proceo derivato Y *, relativo ad m unità areali, attravero l aggregazione (per omme o per medie) delle realizzazioni relative ad aree contigue econdo il criterio di vicinato adottato. Tale emplice operazione può eere formalizzata mediante una traformazione lineare del tipo eguente: * Y G Y (3) m1 mn n1 dove la matrice G è di elemento generico (Arbia, 1989b): hij e j ci, pi volte nella i - ma riga gij (4) 0 altrimenti, n pi volte nella i - ma riga e dove c(i) indica l inieme delle unità areali inclue nella i-ma area della partizione derivata, p i è la cardinalità di c(i) ed infine h ij ono dei coefficienti. È appena il cao di notare che tutte le più utilizzate tipologie di aggregazione poono eere ricondotte all epreione generale (4), dal k, ij 6 Per un breve riaunto della teoria dei procei tocatici auto-normali e per alcuni algoritmi di imulazione degli tei i veda, fra gli altri, Benedetti e Epa (1993), Dube e Jain (1989). 7 Per entrambe le ipotei i) e ii) i coefficienti di interazione paziale poono eere comodamente indicati in termini matriciali utilizzando la eguente notazione: K=C, con parametro di autocorrelazione paziale e C matrice di contiguità fra aree. Dal momento che la matrice C è immetrica lo arà anche K per cui riulta kij=kji; inoltre i coefficienti kij aumono valori non nulli e e olo e le aree i e j ono contigue.

24 momento che i coefficienti h ij poono eere pecificati ripetto ad operazioni di omma o media, iano ee emplici o ponderate. Al fine di rendere più eplicito il legame che intercorre tra il proceo originario Y e quello derivato Y *, i può otituire l equazione (2) nella (3), coì da ottenere: Y GS GS G. La ditribuzione di probabilità del proceo derivato Y * può allora eere ricavata baandoi ulla conocenza della ditribuzione del proceo originario Y. Tale paaggio è poibile grazie ad un noto teorema dell analii tatitica multivariata (Anderon, 1958, pag. 26). L enunciato del N,V allora il proceo teorema tabilice che e un proceo X i ditribuice econdo la legge X *, tale che X * =GX, i ditribuice econdo la legge NG G G, V T. Nello pecifico del cao coniderato, e Y è un campo aleatorio markoviano gauiano (come uppoto nell ipotei i)), il proceo derivato Y *, condizionato ad S, i ditribuice anch eo econdo una normale multivariata. In termini formali il riultato è il eguente: P * T ( Y S) N( S, G G ) = N( M *, * ) G (5) 2 * = * I - K * Y Y Y con ( ) 1. Y Y La (5) evidenzia come anche il proceo derivato Y * ia un campo aleatorio markoviano gauiano 8. Non potendo percorrere il cammino contrario, reta ora il problema di determinare il proceo originario Y, coniderando queta volta Y * quale fonte d informazione. Sulla bae delle relazioni fin qui richiamate e invocando il teorema di Baye, i perviene al eguente riultato: * * PYPY Y P Y Y (6) dove P(Y) è la probabilità a priori ul proceo originario Y che i ditribuice per ipotei come * è la veroimiglianza ulla bae dei dati un campo aleatorio markoviano gauiano, PY Y diponibili e PY Y * è la ditribuzione di probabilità a poteriori. Poiché il proceo originario Y è formalmente pari alla omma della ua media e di un termine di errore per tutte le unità areali coniderate (i veda la relazione (2)), la (6) può eere ricritta nei * * termini eguenti: PS Y PS PY S Se i conidera Y eere funzione olo della uo vettore medio S (e i tracura cioè il termine di errore) i perviene al riultato: * * PSPY S P S Y. (6bi) * dove, come opra, P(S) è la probabilità a priori, PY S. è la veroimiglianza e PS Y * ditribuzione di probabilità a poteriori. Tutte le ditribuzioni coinvolte nell epreione (6bi) ono, come emero in precedenza, normali multivariate: * T PS N T, S e PY S NGS, G G. Grazie poi ad un altro celebre teorema della tatitica (Pilz, 1991), la ditribuzione di probabilità condizionata PS Y *, la quale, come già detto, rappreenta la oluzione del problema invero dell aggregazione, è di nuovo una normale multivariata: è la 8 La relazione (5) formalizza evidentemente il problema diretto dell aggregazione e conente di ricavare la ditribuzione del proceo derivato a partire da quella del proceo originario. Volendo riaumere tali concetti, i può far riferimento al eguente chema: * Y G Y G S G m1 mn n1 mn n1 mn n1 * T Y NGS, G G Y N S, Per coniderazioni di tipo analitico ulla ditribuzione (5) nel cao di erie temporali i veda Lutkepohl (1984) mentre nel cao di erie paziali i veda Arbia (1989b).

25 * N, P S Y S V S dove S e ono le time BIM. Sotto l ulteriore ipotei che la varianza 2 e la matrice di V S correlazione I K Sˆ G T G 1 iano note, le time BIM aumono ripettivamente la eguente forma: I K I K I K I K S 2 S 2 G T G T T -1 G G 2 S 2 S G T Y * 1 T T S V S G G I K G G I K. (8) 2 2 S Le formule (7) e (8) intetizzano tutta l informazione diponibile ul proceo S, la quale, in tal modo, può eere utilizzata a fini inferenziali: time puntuali per S poono eere prodotte utilizzando emplicemente S che, nel cao di ditribuzioni gauiane, arà una tima MAP (Maximum A Poteriori). L approccio bayeiano decritto conduce ad S, la coiddetta oluzione BIM non vincolata. In generale, purtroppo, non è verificata la condizione di preervazione della maa (vincolo pycnophylactico) G * S Y, una condizione che embra ragionevole richiedere ad un metodo di converione dati 9. Al fine quindi di introdurre la condizione di preervazione della maa è neceario etendere la procedura in qui vita in modo tale da definire una oluzione BIM vincolata a parametri noti a priori. L introduzione del vincolo G * S Y ottintende a ua volta la condizione G 0, la quale implica che i dati diponibili ad un certo livello di aggregazione debbano eere penati come non affetti da errore. Si tratta ovviamente di una uppoizione alquanto criticabile ma che conduce a notevoli vantaggi di ordine pratico. Per determinare la ditribuzione a poteriori che ripetti il vincolo pycnophylactico è neceario condizionare la ditribuzione a poteriori al vincolo lineare GS Y * : * * P S Y GS Y. (9) Dato che GS tea i ditribuice come una normale multivariata, l epreione (9) richiede che i determini la ditribuzione di una normale multivariata condizionata ad un valore noto di un altra normale multivariata. La oluzione a tale problema può eere facilmente individuata grazie ad un noto teorema della tatitica multivariata (Anderon, 1958, pag. 29) il quale conente di pervenire al riultato: P S Y * S Y * S ~ G N, V ~ S dove S ~ e ~ ono le time BIM vincolate a valori noti: V S T 1 S * T T ~ T S S V G GV G Y GS S V V V G G V G G V ~ S S S S S. Il procedimento di calcolo delle time BIM illutrato nella preente ezione motra notevoli difficoltà computazionali, oprattutto nel cao in cui ci i trovi in preenza di itemi zonali di (7) 9 A richio di eere ripetitivi la condizione in quetione riguarda la ricotruzione, a partire dalle time ottenute, dei dati originari.

26 grandi dimenioni. Il problema più rilevante riiede nell inverione della matrice V S, valutazione numerica che può riultare anche etremamente oneroa, e non addirittura impoibile, date le attuali capacità computazionali dei itemi di calcolo diponibili. Un modo efficiente di valutare V S 1 può eere quello di utilizzare una procedura iterativa la quale, ulla bae della definizione di contiguità dei procei paziali coniderati, faccia uo oltanto di operazioni locali, fruttando coì la truttura para della matrice V S (Epa, 2000). 5.5 Un eempio di uo del BIM Scopo del preente paragrafo è quello di fornire un eempio applicativo dell approccio bayeiano propoto da Benedetti e Palma (1994a e 1994b), ripreo dagli tei autori nel 1999 (Benedetti e Palma, 1999) ed illutrato nella ezione precedente. Quale variabile da diaggregare è tata prea in coniderazione la popolazione reidente per abitazione occupata calcolata relativamente alle 95 provincie ed alle 20 regioni italiane al cenimento della popolazione del La celta di tale variabile è tata dettata emplicemente dal fatto che è quella originariamente utilizzata da Benedetti e Palma (1994b) nel lavoro in cui è tata propota la metodologia di interpolazione bayeiana. Le modalità della variabile in quetione non ono fornite direttamente dalle tavole cenuarie, ma ono tate ricavate come rapporto fra la popolazione reidente e le abitazioni occupate. Nell eercizio i è uppoto di conocere olo i valori regionali (partizione orgente) e non quelli provinciali (partizione obiettivo). Ci i è quindi mei nella condizione di voler timare la popolazione reidente per abitazione occupata in ciacuna provincia. In eguito, dal momento che i dati diaggregati ono noti, i è potuto procedere ad un confronto fra i riultati forniti dall interpolazione BIM e i valori effettivi. Inoltre è tato poibile miurare l accuratezza delle time mediante l utilizzo di alcuni indicatori (RMSE e R 2 ). Nel paragrafo precedente i è motrato come il metodo BIM i bai ulla tima delle realizzazioni di un proceo originario incognito Y, date le realizzazioni del proceo derivato noto Y *. Nel cao in quetione le oervazioni note da diaggregare ono quelle relative alle venti regioni italiane, mentre le oervazioni del proceo originario da timare ono quelle relative alle 95 provincie italiane (cfr. Fig. 15). Come già detto, quando le partizioni territoriali di origine e di detinazione hanno dimenioni rilevanti, per produrre le time BIM i deve far ricoro ad un algoritmo iterativo che emplifichi in termini computazionali la procedura di tima. Inoltre, nell eempio qui riportato i ono impoti alle time i vincoli di poitività e di preervazione della maa (vincolo pycnophylactico). L implementazione della procedura richiede che iano formulate alcune ipotei. Prima fra tutte deve eere pecificata la truttura di correlazione dei dati. Al riguardo i è uppoto che le oervazioni del proceo originario i ditribuicano come un modello autoregreivo condizionato (CAR).

27 Fig Carta d Italia per provincie e per regioni. Si è reo dunque neceario procedere alla definizione della matrice di interazione paziale K C, dove: i) è il coefficiente di correlazione, che verrà di volta in volta fatto variare con pao di 0.05 nell intervallo [0.10; 0.99], econdo una procedura grid-earch; ii) C è la matrice di connettività pecificata in bae ad un criterio di contiguità opportunamente celto. Con riferimento al precedente punto ii), i ono ditinti due cai corripondenti a due divere matrici di contiguità. Più preciamente abbiamo definito le conneioni u un itema continentale e u un itema continentale più inulare, detto itema completo. Nel primo cao, limitando l attenzione alle ole provincie continentali (con ecluione quindi delle provincie appartenenti alle regioni Sicilia e Sardegna), la matrice di connettività è tata definita coniderando vicine quelle provincie che preentano almeno un punto in comune lungo il loro confine. Nel econdo cao i è mantenuto lo teo criterio, aggiungendo però un ulteriore vincolo di vicinato. Sono tate ritenute confinanti con altre provincie italiane peninulari quelle provincie della Sicilia e della Sardegna, dotate di un collegamento navale di una certa importanza. Una econda informazione che permette di procedere al calcolo dei valori diaggregati, riguarda la matrice di aggregazione. Gli elementi di tale matrice ono tati pecificati in accordo con i criteri amminitrativi con i quali ono definite le provincie e le regioni italiane. Inoltre, con riferimento alla variabile abitazioni occupate, è tato attribuito un peo a ciacuna provincia. Tale peo è tato determinato come rapporto fra il dato provinciale (ab. occ.i) e quello regionale n ( ab. occ. ij ) econdo la eguente relazione: i1 P i ab. occ. n i1 ab. occ. i ij, dove i denota la generica provincia i-ma mentre j i riferice alla j-ma regione, cotituita dall aggregazione delle i=1, 2,..., n provincie I pei in quetione ono dei fattori di riproporzionamento. La loro definizione in tali termini garantice, infatti, che l indice regionale della popolazione reidente per abitazione occupata ia omma dei corripondenti indici provinciali per la medeima variabile. Formalmente i può crivere: I R n i1 I P i, dove R indica la generica regione ep i ono le provincie che la cotituicono.

28 Una volta definite la matrice di connettività, la matrice di aggregazione ed il coefficiente di correlazione, i è paati alla fae computazionale della tima BIM vincolata iterativa (cfr. paragrafo precedente), ia per il cao continentale che per quello completo. Al oftware viluppato all uopo è tato richieto di eeguire 1000 iterazioni, ebbene ne iano ervite molte meno per raggiungere la convergenza (Epa, 2000). Per valutare quanto le time BIM i avvicinaero ai valori reali i è reo neceario individuare alcuni parametri di accuratezza. A tal fine è tata calcolata la radice dell errore quadratico medio (RMSE): 95 2 Z Z 2 RMSEZ i Z Z 1 E, 95 dove Z è lo timatore BIM del proceo originario Z, e il coefficiente di determinazione Z R 2 Var. VarZ Il calcolo di tali indicatori è tato effettuato per ogni diaggregazione ottenuta al variare di. L applicazione ha fornito dei buoni riultati ia in termini di variabilità delle time (RMSE; cfr. Fig. 16 a) e b)) che in termini di proporzione di variabilità piegata ( R 2 ; cfr. Fig. 17 a) e b)). Dall eame di Fig. 16 (a) i può notare che il valore maimo dell RMSE è e i trova in corripondenza di = 0.1. La curva poi decrece fino ad un errore minimo di per = 0.9, il che induce a concludere che le time migliori i ottengono quando i impone il più elevato legame fra variabili. Va comunque preciato che il campo di variazione degli errori, al variare dell autocorrelazione fra i dati, è tracurabile e epreo in termini di varianza del fenomeno: RMSE max RMSE min Var pop. re. per ab. occ (a) (b)

29 Fig Andamento dell RMSE: itema continentale (a)) e completo (b)). Anche e i coniderano i riultati relativi al coefficiente di determinazione, empre nel cao continentale, i oerva che l indice R 2 raggiunge il uo maimo quando = 0.9 (Fig. 17 a)) avvalorando la tei che i ottiene un miglioramento delle time e i uppone che le variabili iano fortemente correlate. La concluione poc anzi formulata embrerebbe confermare il uggerimento (peraltro intuitivo e non uffragato da eperimenti Monte Carlo) che Benedetti e Palma (1994) fornicono nel loro lavoro. Gli autori conigliano infatti di inizializzare l algoritmo con un valore di pari a 0.99 per ottenere dei buoni riultati. Dall applicazione effettuata però, orgono delle contraddizioni a tale affermazione. Si oervino al riguardo i grafici relativi agli indici RMSE ed R 2 calcolati ul coiddetto itema intero. (a) (b) Fig Andamento dell R 2 : itema continentale (a)) e completo (b)). Come è evidente dall eame di Fig. 16 b), la curva preenta un andamento di tipo parabolico (e non decrecente), con un campo di variazione che ocilla fra e , ripettivamente per valori di = 0.5 e = 0.9, per un ampiezza pari a Ad ogni modo, anche in tal cao il rapporto fra il range e la varianza della popolazione aume valori tracurabili. Infatti, procedendo al calcolo di tale relazione, i ottiene che: RMSEmax RMSEmin Var pop. re. per ab. occ Tale quantità è addirittura inferiore a quella precedentemente calcolata per il itema continentale.

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