CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti"

Transcript

1 CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione f() = [cos ] ed il loro tipo.. Determinare per quale valore del parametro α la funzione è continua sull intervallo [, + ). [] denota la parte intera di. 3. Sia { + se 0 f() = [] + α se < 0 f() = { sin( ) ( + ) se > 0 a + 3 se 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. 4. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa = al grafico di f() = + log( 3) e ricavare la parte principale di f() f() per. 5. Determinare i punti di non derivabilità delle seguenti funzioni a) f() = b) f() = e c) f() = min (, ) 6. Sia { ( β) 0 f() = α sin < 0. Determinare α e β in modo che f sia continua e derivabile su R. 7. Verificare che le funzioni a) f() = log b) f() = sono prolungabili con continuità per = 0. Le funzioni f così prolungate risultano derivabili in = 0? 8. Sia f() una funzione derivabile. Dimostrare che se f è pari allora f è dispari, e viceversa se f è dispari allora f è pari.

2 9. Tra tutte le rette y = k (con k > 0) trovare quella tangente al grafico di f() = e in un punto di ascissa 0 > 0. Utilizzare questo risultato per determinare il numero di soluzioni dell equazione e = k al variare di k in R. 0. Verificare che si può applicare il teorema di Lagrange alla funzione f() = arcsin nel suo dominio [a, b], e determinare i punti di Lagrange, cioè i punti c tali che f (c) = f(b) f(a) b a.. Sia f() = 7 +. Verificare che f è invertibile su R. Verificare che la funzione inversa f è derivabile su R e calcolare (f ) (0) e (f ) ().. Sia f() = ( )e +arctg (log )+. Dimostrare che f è invertibile sul suo dominio e determinare im(f). 3. Dimostrare che la funzione f() = e e + è invertibile in tutto il suo dominio R. Calcolare poi esplicitamente la funzione inversa f ed il suo dominio. 4. Dimostrare che la funzione f() = + log è invertibile nel suo dominio R +. Detta f la funzione inversa, calcolare (f ) (0). 5. Determinare gli intervalli di monotonia della funzione f() = Quanti zeri ha f? Detta f la funzione inversa di f ristretta all intervallo di monotonia contenente = 0, calcolare (f ) (). 6. Tra tutti i triangoli rettangoli di ipotenusa assegnata a trovare quello di area massima. 7. Utilizzando la regola di de l Hopital calcolare a) log( + sin) sin c) (e + ) 8. Verificare che la funzione b) sin (π 3 ) d) sin (log( + 3)) e 3 arcsin π/ ( π ) e) f) + arctg. non ha altri zeri oltre a 0 =. f() = log( + ) Determinare il numero di punti critici della funzione f() = log. 0. Determinare il numero di soluzioni dell equazione e 9 9+ = a al variare di a in R.

3 . Studiare la funzione f() = log 3 log +. Discutere l invertibilità di f, e calcolare (f ) ( 3 ). È possibile scrivere esplicitamente la funzione inversa f?. Tra tutti i cilindri circolari retti di volume fissato V trovare quello di area superficiale totale minima (incluse le facce circolari del cilindro). 3. Un triangolo rettangolo di ipotenusa a è ruotato attorno ad uno dei cateti e genera un cono circolare retto. Trovare il più grande volume possibile di tale cono. [Si ricordi che il volume del cono è 3 area di base altezza.] 4. Dimostrare che 8 < 5 7 < 7 senza calcolare 5 con 3 cifre decimali, ma applicando il teorema di Lagrange alla funzione f() = nell intervallo [49, 5]. 5. a) Sia f una funzione definita su un intervallo I R tale che f() f(t) ( t),, t I. Dimostrare che f è costante su I. (Suggerimento: si dimostri che f ( 0 ) = 0 0 I.) b) Dimostrare lo stesso risultato senza usare la derivata. (Suggerimento: fissati, t I con t <, si divida l intervallo [t, ] in n intervallini di uguale ampiezza.)

4 Soluzioni. Per la periodicità, è sufficiente considerare i casi: k = 0,,, 3. Disegnando il grafico di f() = [cos ] si vede che: f() = 0 f(0) = ; f() = = f(π); π f() = 0 = f( π π ) f() = ; π + f() = f() = 0 = f( 3 3 π 3 π). π+ I punti = 0, ±π, ±4π,... sono punti di discontinuità einabile. I punti = ± π, ±3 π,... sono punti di discontinuità di prima specie (tipo salto).. La funzione è continua in tutti i punti di [, + ) escluso al più lo zero. Essendo f() = ( + ) = = f(0), + + la funzione è continua in zero da destra. Essendo infine f() = α + [] = α, la funzione sarà continua anche nello zero se e solo se α =, cioè α =. 3. La funzione è continua in tutti i punti escluso al più nello zero. Si ha f() = (a + 3) = a + 3 = f(0), cioè f è continua in zero da sinistra. Calcolando il ite di f() per 0 + abbiamo sin( ) + ( + ) = + o( ) + ( =. + o()) Quindi f è continua in tutto il suo dominio se e solo se a + 3 = cioè a =. 4. Si ha f() = 4/3. Calcolando f () otteniamo f () = 3/9. Quindi la retta tangente nel punto 0 = ha equazione y = 3 9 ( ) Utilizzando la prima formula dell incremento finito si ha f() f() = 3 9 ( ) + o( ) ( ), e quindi la parte principale di f() f() per è 3 9 ( ). 5. a) La funzione f ha due punti angolosi in = ±, come si vede facilmente anche disegnandone il grafico. Ad esempio calcolando le derivate laterali nel punto 0 = otteniamo f ± f() f() () = ± = ± = + ± = ±.

5 b) La funzione f ha un punto angoloso in = 0, come si verifica anche disegnandone il grafico. Esplicitamente, le derivate laterali in 0 = 0 sono date da: f + e (0) = + f (0) = e = t 0 e t t =. c) Risolvendo la disequazione < si vede facilmente che { se, 0, f() = se >. =, Notiamo che f non è definita in = 0. In tutti gli altri punti, escluso al più i punti di raccordo = ±, f è continua e derivabile perchè restrizione di funzioni continue e derivabili. La funzione è chiaramente continua nei punti = ±. Calcolando le derivate laterali in tali punti si ottiene facilmente f ±() = = f ±( ). Quindi f ha due punti angolosi in = ±. Possiamo anche procedere graficamente, notando che il grafico di f si disegna a partire dai due grafici di e prendendo sempre quello che sta al di sotto dell altro. Il grafico così ottenuto presenta appunto due punti angolosi in = ±. 6. Imponendo la continuità in = 0 si ottiene β = ±. La funzione è chiaramente derivabile in ogni punto escluso al più il punto di raccordo = 0, con { ( β) > 0 f () = α cos < 0. Sia β = ±, così che f è continua in = 0. Per studiare la derivabilità in = 0 calcoliamo il ite per che tende a zero della funzione f (). Per un noto teorema, se tale ite esiste ed è uguale a l R allora f è derivabile in zero e f (0) = l. Essendo + f () = β, f () = α, vediamo che f è derivabile in = 0 se e solo se α = β =. In definitiva f è continua e derivabile su R se e solo se (α, β) = (, ), oppure (α, β) = (, ). 7. a) Si ha dom(f) = R \ {0}. Per calcolare il ite di f() per che tende a zero ricordiamo il ite fondamentale α log = 0, α > 0. + Da questo otteniamo log = 0,

6 e quindi f si può prolungare con continuità nello zero ponendo f(0) = 0. Calcolando il ite del rapporto incrementale nello zero otteniamo che f è derivabile in = 0 con f (0) = 0, essendo b) Si ha f() f(0) = / log / = e log = e 0 =. Posto f(0) = e calcolando il ite del rapporto incrementale per che tende a zero otteniamo e log ( e log ) = log = ( ) =. log Quindi in questo caso f non è derivabile in = Sia f pari, f( ) = f(). Prendendo la derivata di ambo i membri e utilizzando la formula di derivazione della funzione composta, otteniamo f ( ) = f (), cioè f é dispari. Analogamente se f è dispari, f( ) = f(), si ottiene f ( ) = f (), e quindi f è pari. 9. Imponendo le condizioni di tangenza tra f() = e e g() = k, cioè { f() = g(), f () = g (), si ottiene facilmente = e k = e. Quindi la retta y = e è tangente a e nel punto di ascissa. Graficamente si deduce allora che l equazione e = k ha soluzione per k < 0 e per k = e, soluzioni per k > e, nessuna per 0 k < e. Possiamo anche procedere in un altro modo, cioè studiamo la funzione f() = e k al variare di k R. Ci interessa trovare quanti zeri ha f, cioè il numero di soluzioni dell equazione f() = 0. Possiamo supporre k 0. Sia k > 0. Si ha ± f() = +. Calcolando la derivata e studiandone il segno otteniamo = 0. f () = e k 0 log k. Quindi f ha un punto di minimo assoluto in = log k. Per stabilire se questo minimo è positivo, negativo o nullo osserviamo che f(logk) = e log k k log k = k( log k) 0 k e. Quindi se k > e il minimo sta al di sotto dell asse e f ha due zeri. In questo caso la retta y = k è secante al grafico di e. Se k = e il minimo giace sull asse, f ha un solo zero, e la retta y = e è tangente a e. Infine se 0 < k < e il minimo è al di sopra dell asse e quindi f non ha zeri. In tal caso la retta y = k non incontra il grafico di e. Sia ora k < 0. Si ha ± f() = ± e f () = e k > 0

7 R. Dunque f è strettamente crescente su R e si annulla in un solo punto 0 (< 0 perchè f(0) = ). Quindi per k < 0 la retta y = k incontra il grafico di e nel solo punto 0, come è evidente anche graficamente. Un terzo metodo consiste nello studiare la funzione f() = e ; dopo averne disegnato il grafico, si determina il numero di soluzioni dell equazione f() = k al variare di k in R. 0. La funzione f() = arcsin è continua su [, ] ed è derivabile su (, ) (i punti = ± sono punti a tangente verticale, essendo ± f () = + ). Si può quindi applicare il teorema di Lagrange. I punti di Lagrange sono determinati da c = f() f( ) = π, = c = ± 4 π.. La funzione f è continua e strettamente crescente su R, essendo f () = > 0. Quindi f è invertibile su R. Poichè la sua derivata non si annulla mai, la funzione inversa f è derivabile su R. Essendo f(0) = 0 e f() =, si ha. Si ha dom(f) = R +, e (f ) (0) = f (0) =, (f ) () = f () = 8. f () = e ( + ) + ( + log ). Si verifica subito che f () > 0 > 0, quindi f è strettamente crescente su R +, e dunque è invertibile. Per determinare l immagine osserviamo che se f è una funzione continua e strettamente crescente su un intervallo (a, b), allora l immagine im(f) è l intervallo (s, S), dove s = a + f() = inf f, S = b f() = supf. Nel nostro caso abbiamo + f() = π, f() = +, = im(f) = ( π +, + ). 3. Si ha f () = 4 e > 0, R. (e + ) Essendo strettamente crescente, f è invertibile su tutto R. Per calcolare la funzione inversa dobbiamo risolvere l equazione f() = y per in funzione di y. Posto e = t si ottiene l equazione fratta t +y t+ = y, la cui soluzione è t = ( y. Dunque ( ) ( + y) = log y ( ) ( + ) f () = log.

8 Il dominio di f (che è anche l immagine di f) è dato da dom(f ) = { : + > 0} = (, ). 4. Si ha f () = + = + < 0, R +. Quindi f è strettamente decrescente su R + ed è dunque invertibile in questo intervallo. Essendo f() = 0, si ha (f ) (0) = /f () = /. 5. Studiando il segno della derivata f () = = ( + )( ), si vede che f è strettamente crescente sugli intervalli (, ) e (, + ), strettamente decrescente sull intervallo (, ). Notiamo che f() =, f() = +. Essendo + f(0) = > 0, il massimo nel punto = è sicuramente positivo, e dunque f si annulla una volta per < 0. Poichè il minimo in = vale f() = 7/3 < 0, la funzione si annulla in altri due punti per > 0. Quindi f ha tre zeri. L intervallo di monotonia contenente = 0 è (, ). Poichè f(0) =, si ha (f ) () = /f (0) = /. 6. Il problema si risolve facilmente senza calcoli osservando che i triangoli in questione si possono inscrivere in una semicirconferenza di diametro a. Quello di area massima si otterrà quando l altezza relativa all ipotenusa è massima, cioè quando è uguale al raggio a. Questo significa che il triangolo è isoscele, con cateti uguali a a. Dal punto di vista analitico f() = a é l area in funzione della misura di un cateto. Si ha f : [0, a] R, con f(0) = f(a) = 0. Studiando il segno della derivata prima f () = a a si vede che = a è punto di massimo relativo e assoluto, con f( a ) = a a) b) c) d) e) sin (π 3 ) log( + sin) sin = 0 0 = 0 0 cos H +sin = cos =. H = cos (π 3 )π 3 log 3 = π log 3. (e + ) log(e = e +) = e 0 H 0 = e e + e + = e. sin (log( + 3)) = 0 e 3 0 H = 3cos(log(+3)) +3 e 3 log 3 = 3 log 3. arcsin π/ = 0 0 H = = =. +

9 f) ( π + arctg ) = 0 = + H + = + = + + =. π arctg 8. Si ha dom(f) = (, + ), + f() = +, + f() =. La derivata prima f () = + 4 ( + ) è sempre positiva in dom(f). Quindi f è strettamente crescente nel suo dominio, e non può avere altri zeri oltre a 0 =. 9. Si ha dom(f) = (0, + ), e la derivata prima è f () = + log 3. Quindi f () = 0 log = +. Disegnando le due funzioni log e + si vede facilmente che questa equazione ha un unica soluzione 0 >. Pertanto f ha un solo punto critico 0 >. 0. Innanzitutto non ci sono soluzioni se a 0. Studiando la funzione f() = e 9 9+ si ha dom(f) = R, f() = 0, + f() = +, e si trova che f ha un punto di massimo relativo in =, con f( ) = e 9, e un punto di minimo relativo in =, con f() = e 7. Disegnando un grafico qualitativo di f si vede che l equazione proposta ha. Si ha dom(f) = (0, e ) (e, + ), soluzione per 0 < a < e 7 e per a > e 9, soluzioni per a = e 7, e 9, 3 soluzioni per e 7 < a < e 9. = 0 0 f() = = f(), + + f() = 5 ± 0 =. ± e Quindi la retta y = è asintoto orizzontale e la retta = e è asintoto verticale. La derivata prima è f 5 () = (log + ) > 0 dom(f). Questo implica che f è strettamente crescente su (0, e ) e su (e, + ). Quindi f è invertibile in ognuno di questi due intervalli. Essendo poi f((0, e )) = (, + ), f((e, + )) = (, ),

10 f è iniettiva e quindi invertibile in tutto il suo dominio. Questo si vede facilmente anche disegnando il grafico di f. Essendo f() = 3, si ha ( (f ) 3 ) = f () = 4 5. L equazione f() = y si risolve esplicitamente e si ottiene = e y+3 y. Dunque la funzione inversa è f () = e +3.. Sia r il raggio e h l altezza del cilindro. Allora V = πr h, da cui h = V πr. L area della superficie totale del cilindro è A = πrh + πr = V r + πr. Si tratta di studiare la funzione f(r) = V r + πr per r > 0. In tale intervallo f ha sicuramente un minimo in quanto f è continua e La derivata prima f(r) = f(r) = +. r 0 + r + f (r) = V r + 4πr = 4πr3 V r è positiva per r > 3 V π e negativa per 0 < r < 3 V π. Ne segue che il valore minimo dell area totale si ottiene per r = 3 V ed è dato da π ( ) 3 V A min = f π ( ) /3 V = 6π. π 3. Sia il cateto attorno al quale ruota il triangolo, cioè l altezza del cono. Allora l altro cateto, y = a, è il raggio del cono. Il volume del cono è dato da V = 3 πy = 3 π(a ). Dobbiamo studiare la funzione f() = π 3 (a 3 ) per 0 a. Notiamo che f è continua nell intervallo [0, a]. Essendo f(0) = f(a) = 0, ed essendo f sempre positiva nell intervallo (0, a), f avrà sicuramente un massimo positivo in tale intervallo. Poichè f è derivabile ovunque e la derivata prima f () = π 3 (a 3 )

11 si annulla solo per = a 3, tale punto è un punto di massimo relativo e assoluto. Il volume massimo è dato dunque da ( ) a V ma = f = πa Applicando il teorema di Lagrange alla funzione f() = nell intervallo [49, 5] si ha che esiste almeno un punto c (49, 5) tale che 5 7 = c. Poichè 49 < c < 5 < 64, si ha che 7 < c < 8, da cui passando ai reciproci otteniamo che 8 < c <. Ne segue che 7 5. a) Fissato 0 I, si ha che Dividendo per 0 otteniamo che 8 < 5 7 = c < 7. f() f( 0 ) ( 0 ), I. 0 f() f( 0 ) 0 0, I, 0. Passando al ite per 0 e applicando il teorema del doppio confronto otteniamo 0 f() f( 0 ) 0 = 0 f() f( 0 ) = 0 f ( 0 ) = Poichè 0 I è arbitrario, ne segue che f = 0 su I, e dunque la funzione f è costante nell intervallo I. b) Fissiamo due punti, t I, con t <, e dividiamo l intervallo [t, ] in n intervallini tutti della stessa ampiezza h = t n tramite gli n + punti 0 = t, = t + h, = t + h,..., n = t + (n )h, n = t + nh =, dove n N + è un numero naturale positivo qualsiasi. Applicando la condizione soddisfatta da f ad ogni intervallino [ j, j ] si ha che f( j ) f( j ) ( j j ) = h = ( t) n, j =,,..., n.

12 Da questa scrivendo f() f(t) = f( n ) f( n ) +f( n ) f( n ) + +f( ) f( ) + f( ) f( 0 ), e applicando la disuguagliana triangolare, otteniamo 0 f() f(t) = (f( n ) f( n )) + (f( n ) f( n )) + + (f( ) f( )) + (f( ) f( 0 )) f( n ) f( n ) + f( n ) f( n ) + + f( ) f( ) + f( ) f( 0 ) n volte { }} { h + h + + h = nh = ( t). n Questa vale n N +. Passando al ite per n + otteniamo che f() f(t) = 0, da cui f() = f(t). Poichè e t sono arbitrari, f è costante su I.

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare [cos x] x kπ/ al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della

Dettagli

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I

Esercitazione del 16-11-11 Analisi I Esercitazione del 6-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 00-0 Esercizio. Determinare se la funzione f() è continua nel suo dominio sin se 0 f() = 0 se = 0

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti 1 Discutendo graficamente la disequazione x > 3+x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi Rappresentare nel piano x, y) l insieme

Dettagli

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m = Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim.

LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. b) lim. d) lim. h) lim x x + 1 x. l) lim. b) lim x cos x. x 0 sin 2 3x cos x p) lim. LIMITI E CONFRONTO LOCALE Esercizi svolti. Calcolare i seguenti iti: a + 4 + b + 4 + 4 c 5 e ± g i + + sin 4 m sin o π q sin π + 4 + 7 d + 4 + + 5 4 + f 4 4 + 5 4 + 4 h + + l + + cos n sin cos p π π +

Dettagli

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006

Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006 Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006 Niccolò Desenzani Sun-ra J.N. Mosconi 22 giugno 2006 Problema. Indicando con A e B i lati del rettangolo, il perimetro è 2A + 2B = λ mentre l area

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile

1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile 1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2014

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2014 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 01 1. Determiniamo l espressione analitica di g() dividendo il suo dominio in intervalli. La circonferenza di diametro AO ha equazione (+) + = + + = 0

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

3. Quale affermazione è falsa?

3. Quale affermazione è falsa? 1. Quale affermazione è falsa? Se la funzione f) è continua e monotona crescente su R e se f) = 1 e f4) =, allora ha un unico zero nell intervallo, 4) f) non si annulla mai in R f ) > nell intervallo,

Dettagli

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

Svolgimento 1 Scriviamo la funzione f(x) che rappresenta la spesa totale in un mese: Figura 2 Il grafico di f(x).

Svolgimento 1 Scriviamo la funzione f(x) che rappresenta la spesa totale in un mese: Figura 2 Il grafico di f(x). Problema 1 Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di euro al mese, più centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

SOLUZIONI D = (-1,+ ).

SOLUZIONI D = (-1,+ ). SOLUZIONI. Data la funzione f() ( ) ln( ) a) trova il dominio di f b) indica quali sono gli intervalli in cui f() risulta positiva e quelli in cui risulta negativa c) determina le eventuali intersezioni

Dettagli

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE e CONTINUITA Roberto Argiolas.8.6.. - -.5.5 -. In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it

Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva 2011, matematicamente.it Nicola De Rosa, Liceo scientifico di ordinamento sessione suppletiva, matematicamente.it PROBLEMA Data una semicirconferenza di diametro AB =, si prenda su di essa un punto P e sia M la proiezione di P

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f. FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti

Dettagli

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:

6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni: FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

LA FUNZIONE INTEGRALE

LA FUNZIONE INTEGRALE LA FUNZIONE INTEGRALE MAGLIOCURIOSO & CAMILLO magliocurioso@hotmail.it Sommario. In questa breve dispensa ho semplicementrascritto in L A TEX il contenuto di questa discussione: http://www.matematicamente.it/forum/

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

G6. Studio di funzione

G6. Studio di funzione G6 Studio di funzione G6 Come tracciare il grafico di una funzione data Nei capitoli precedenti si sono svolti tutti gli argomenti necessari per tracciare il grafico di una funzione In questo capitolo

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2.

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2. Esercizi su dominio iti continuità - prof. B.Bacchelli Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., 3.2. - Esercizi 3., 3.2. ESERCIZI * Determinare e disegnare il dominio delle seguenti

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno),

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno), 6 - Grafici di funzioni Soluzioni Esercizio. Studiare il grafico della funzione f(x) = x x + 3. ) La funzione è definita per x 3. ) La funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) La funzione è

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

Studio di una funzione ad una variabile

Studio di una funzione ad una variabile Studio di una funzione ad una variabile Lo studio di una funzione ad una variabile ha come scopo ultimo quello di pervenire a un grafico della funzione assegnata. Questo grafico non dovrà essere preciso

Dettagli

7 - Esercitazione sulle derivate

7 - Esercitazione sulle derivate 7 - Esercitazione sulle derivate Luigi Starace gennaio 0 Indice Dimostrare il teorema 5.5.3.a................................................b............................................... Dimostrazioni.a

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1.

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 11 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 1 quesiti scelti nel questionario 1. PROBLEMA 1 Si considerino le funzioni f e g definite, per

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y

0 < a < 1 a > 1. In entrambi i casi la funzione y = log a (x) si può studiare per punti e constatare che essa presenta i seguenti andamenti y INTRODUZIONE Osserviamo, in primo luogo, che le funzioni logaritmiche sono della forma y = log a () con a costante positiva diversa da (il caso a = è banale per cui non sarà oggetto del nostro studio).

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 00 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Se il polinomio

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

Vademecum studio funzione

Vademecum studio funzione Vademecum studio funzione Campo di Esistenza di una funzione o dominio: Studiare una funzione significa determinare gli elementi caratteristici che ci permettono di disegnarne il grafico, a partire dalla

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

Esami d Analisi Matematica 1. Filippo De Mari e Marina Venturino

Esami d Analisi Matematica 1. Filippo De Mari e Marina Venturino Esami d Analisi Matematica 1 Filippo De Mari e Marina Venturino Indice Parte 1. ANNO ACCADEMICO 1999-000 5 1. Corso di Studi in Ingegneria Meccanica 5 Parte. ANNO ACCADEMICO 001-00 15 1. Corso di Studi

Dettagli

Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni

Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni Esercizi proposti 1. Calcolare la derivata prima f () per le seguenti funzioni: a) f() = c) f() = ( 1 + 1 b) f() = 1 arctan ) d) f() = cos ( ( + ) 5) e) f() = 1 + sin 1 f) f() = arcsin 1. Determinare i

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere)

l insieme Y è detto codominio (è l insieme di tutti i valori che la funzione può assumere) Che cos è una funzione? Assegnati due insiemi X e Y si ha una funzione elemento di X uno e un solo elemento di Y. f : X Y se esiste una corrispondenza che associa ad ogni Osservazioni: l insieme X è detto

Dettagli

UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE a cura del prof. Guida. 4 x

UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE a cura del prof. Guida. 4 x UNO STUDIO DI FUNZIONE CON DERIVE a cura del prof. Guida Con questa guida si vuol proporre un esempio di studio di funzione con Derive. La versione che ho utilizzato per questo studio è la 6.0. Consideriamo

Dettagli

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1.

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1. NOME:... MATRICOLA:.... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 007/008 Analisi Matematica, Esame scritto del 08.0.008 Indicare per quali R vale la seguente diseguaglianza : + >. Se y - - è il grafico

Dettagli

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

Esercizi sullo studio completo di una funzione

Esercizi sullo studio completo di una funzione Esercizi sullo studio completo di una funzione. Disegnare il grafico delle funzioni date, utilizzando ogni informazione utile che si può ricavare dalla funzione e dalle sue derivate prima e seconda. a.

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente

Dettagli

G3. Asintoti e continuità

G3. Asintoti e continuità G3 Asintoti e continuità Un asintoto è una retta a cui la funzione si avvicina sempre di più senza mai toccarla Non è la definizione formale, ma sicuramente serve per capire il concetto di asintoto Nei

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

Determinare il dominio e la derivata delle seguenti funzioni e studiarne la monotonia ed eventuali massimi/minimi. ( ) x + 2.

Determinare il dominio e la derivata delle seguenti funzioni e studiarne la monotonia ed eventuali massimi/minimi. ( ) x + 2. Determinare il dominio e la derivata delle seguenti funzioni e studiarne la monotonia ed eventuali massimi/minimi (1) (2) (3) (4) f (x) = log ( ) x + 2 x 1 f (x) = x exp( x 3 ) ( f (x) = arctan x ) x 1

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

Funzioni e loro invertibilità

Funzioni e loro invertibilità Funzioni e loro invertibilità Una proposta didattica di Ettore Limoli Definizione di funzione Sono dati due insiemi non vuoti A (dominio) e B (codominio) Diremo che y=f(x) è una funzione, definita in A

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

Prove d'esame a.a. 20082009

Prove d'esame a.a. 20082009 Prove d'esame aa 008009 Andrea Corli settembre 0 Sono qui raccolti i testi delle prove d'esame assegnati nell'aa 00809, relativi al Corso di Analisi Matematica I (trimestrale, 6 crediti), Laurea in Ingegneria

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f(x)

Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f(x) Studio grafico analitico delle funzioni reali a variabile reale y = f() 1 Ecco i passi utili allo studio di una funzione reale: Determinare il dominio della funzione Ricercare l eventuale intersezione

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Funzioni periodiche. Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che

Funzioni periodiche. Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che Funzioni periodiche Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che -T T In ogni intervallo di ampiezza pari a T il grafico di tale funzione si ripete.

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico

Dettagli

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R?

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R? PROVA N 1 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(). Studiare la funzione f()= 8+ 7 9 (Sono esclusi i flessi) 3. Data la funzione f()= 1 6 3 - +5-6

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT 1 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEM 1 Si consideri la funzione reale

Dettagli

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2 CAPITOLO 2 Funzioni reali di variabile reale Nel capitolo precedente è stata introdotta la nozione generale di funzione f : A B, con A e B insiemi arbitrari. Nel presente capitolo si analizzeranno più

Dettagli