Corso di Laurea in Matematica, Università di Roma La Sapienza Corso di ANALISI NUMERICA Esercitazioni in Laboratorio, 16 Maggio 2011

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1 Corso di Laurea in Matematica, Università di Roma La Sapienza Corso di ANALISI NUMERICA Esercitazioni in Laboratorio, 16 Maggio 2011 Foglio 4: Metodi diretti per i sistemi lineari Scrivere un programma che implementi i seguenti metodi : 1. Metodo di Gauss 2. Metodo di Cholesky 3. Metodo di Thomas per la soluzione del sistema lineare Ax = b, dove A è una matrice n n ed x, b sono vettori di IR n. Il dettaglio degli algoritmi è descritto nel testo. Evidentemente è necessario che le proprietà sulla matrice A necessarie al buon funzionamento del metodo siano verificate. Quindi, per testare i metodi, occorre saper generare in modo casuale delle matrici con proprietà particolari (simmetriche, tridiagonali, dominanti diagonali,...). Dati in INPUT: A, matrice n n non singolare b vettore dei termini noti si vogliono avere in OUTPUT: le coordinate della soluzione approssimata x, il valore del residuo r(x ) A(x ) b in una norma opportunamente scelta, il numero di condizionamento della matrice (noto o approssimato). 1. Generazione casuale della matrice La prima parte del programma serve a generare una matrice A con le proprietà richieste. A questo scopo dobbiamo generare una sequenza di numeri casuali. Il seguente programma descrive come fare in C. 1.1 Generazione dei numeri casuali (random) La funzione principale per generare numeri casuali in C è : int random (int n); che genera un numero intero compreso tra 0 ed n 1. Ad esempio, se si usa il comando 1

2 y = random(100); y sarà un intero tra 0 e 99. Se si esegue nuovamente la funzione per generare 100 numeri otterranno 100 numeri casuali, ma se si riesegue il programma si otterrà la stessa sequenza y n perchè essa è generata a partire da un numero seme che è sempre lo stesso. Per cambiare il numero seme della sequenza e generare una sequenza differente bisogna usare la funzione randomize() che calcola il seme usando il clock della macchina (che cambia in continuazione). Per ottenere una sequenza casuale di numeri reali basta moltiplicare ogni y n per una funzione reale (sin, cos, exp,...). WARNING: nella versione attuale del C++ sulle macchine del Laboratorio i comandi sono leggermente diversi: # include <time.h> include la libreria time.h srand(time(null)); ricalcola il seme della sequenza rand()%100; calcola un numero intero random da 0 a 100 /* Program RANDOM1.C Generates three random numbers in range of 0 to 99 and reports as to which is the largest and which is the smallest. Intended to show the use of functions randomize(), random() and the use of functions. */ #include &ltstdio.h> #include &ltstdlib.h> /* required for randomize() and random() */ #include &ltconio.h> /* required for clrscr() */ int gen_rand(void); /* note these are declarations of functions */ int find_max(int x, int y, int z); int find_min(int x, int y, int z); FILE *f1; void main(void) int num1, num2, num3, max, min; clrscr(); /* clear the screen */ f1=fopen("output.dat", "wt"); /* open a file for output */ 2

3 /* randomize(); */ /* uncomment this if you want a random start */ num1=gen_rand(); num2=gen_rand(); num3=gen_rand(); max=find_max(num1, num2, num3); min=find_min(num1, num2, num3); printf("random numbers are %d, %d, and %d\n", num1, num2, num3); fprintf(f1, "Random numbers are %d, %d, and %d\n", num1, num2, num3); printf("largest is %d. Smallest is %d.\n", max, min); fprintf(f1, "Largest is %d. Smallest is %d.\n", max, min); fclose(f1); int gen_rand(void) /* returns random number in range of 0 to 99 */ int n; n=random(100); /* n is random number in range of 0-99 */ return(n); int find_max( int x, int y, int z) /* returns largest number */ int max; if ((x>=y) && (x>=z)) max = x; else if ((y>=x) && (y>=z)) max = y; else max = z; return(max); 3

4 int find_min( int x, int y, int z) /* returns smallest number */ int min; if ((x<=y) && (x<=z)) min = x; else if ((y<=x) && (y<=z)) min = y; else min = y; return(min); Le seguenti istruzioni descrivono come creare in MATLAB vettori e matrici di numeri casuali: num=100*rand(1,3); % Crea un vettore (num) di numeri casuali tra 0 e 100 nmin=min(num); % Trova il minimo tra le componenti di num nmax=max(num); % Trova il massimo tra le componenti di num mat=100*rand(3,3); % Crea una matrice (mat) 3 x 3 di numeri casuali tra 0 e 100 matmin=min(min(mat)); % Trova il minimo tra tutte le componenti di mat matmax=max(max(mat)); % Trova il massimo tra tutte le componenti di mat rand restituisce numeri casuali di una distribuzione uniforme (tra 0 e 1); randn restituisce numeri casuali di una distribuzione normale di media zero e deviazione standard 1 (ossia tra -1 e 1). 1.2 Costruzione delle matrici La sequenza dei numeri casuali servirà a riempire gli elementi della matrice, ma proprio per questo dovremo poi modificare la matrice ottenuta per far in modo che essa verifichi le proprietà cercate. A simmetrica Basta rimpire gli elementi di metà matrice (sopra o sottodiagonale) e poi ricopiarli 4

5 nell altra metà. In alternativa, si puo riempire la matrice B e poi ottenere A come A = B T B. A a banda Basta riempire gli elementi della matrice corrispondenti a: diagonale principale (matrice diagonale), diagonale principale e le due diagonali vicine (tridiagonale), diagonale principale e le quattro diagonali vicine (pentadiagonale), diagonale principale e le 2k diagonali vicine ((2k + 1)-diagonale). A dominante diagonale Basta riempire gli elementi della matrice fuori dalla diagonale e mettere negli elementi della diagonale (a ii, i = 1,...,n) la somma dei moduli degli elementi della stessa riga più una costante positiva. Alcune problemi su cui testare il programma: 1. Matrice di Hilbert 3 3 A 1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 b = (1.833, 1.083, 0.783) T. [soluzione x = (1, 1, 1)] 2. Matrice di Hilbert n n A i,j 1 con i, j = 1,...,n, b i+j 1 i n+i 1 1 k=i, [soluzione i x = (1,...,1)]. Successivamente, generare un vettore b di numeri casuali, risolvere il sistema e calcolare il residuo. 3. Matrice tridiagonale A 1 1/ /4 1 1/ /4 1 1/ /4 1 1/ /4 1 b (1.25, 1.5, 1.5, 1.5, 1.25) T. [soluzione x = (1, 1, 1, 1, 1) T ] A , b = [soluzione x = (1, 2, 3, 4, 5) T ]

6 5. A [soluzione x = (1, 2, 3, 4, 5)], b = A a i,j dove a i,j cos( i j ) log(i + j) con i, j = 1,..., 5, b (1, 1, 1, 1, 1) T. [soluzione x = ( , , , , ) T ] 7. A a i,j dove a i,j sin(i + j) con i, j = 1,...,5, b (1, 1, 1, 1, 1) T. [soluzione x = ( , , , , ) T ] 8. Marice dominante diagonale 1 A a i,j dove a i,j = con i, j = 1,...,n. i j +1/n Generare un vettore b di numeri casuali, risolvere il sistema e calcolare il residuo., 6

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