Prova scritta di Analisi Matematica I - 1 febbraio 2011 Proff. B. CIFRA F. ILARI. Compito A

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1 SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / Prova sritta di Aalisi Matmatia I - fbbraio Proff. B. CIFRA F. ILARI Compito A COGNOME NOME. Matr... Corso di Laura o o o Ambit Trritorio Risors Iformazio Maia firma Prova oral I appllo II appllo i forma sritta oral Cotrassgar l opzio prslta Giustifiar adguatamt tutti i passaggi. Dtrmiar pr quali valori di R il umro omplsso è a ral b sist ll itrvallo [;] uo d u sol valor di pr ui z risulti ssr u immagiario puro?. Data la fuzio dtrmiar il domiio, gli vtuali asitoti, motivado l vtual assza, i puti di miimo di massimo i flssi [fa. il grafio]. Studiar al variar di il arattr dlla sri. Studiar al variar di la ovrgza dll itgral 5. Data l quazio diffrzial trovar la famiglia di soluzioi C i R

2 SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / Prova sritta di Aalisi Matmatia I - fbbraio Proff. B. CIFRA F. ILARI Compito B COGNOME NOME. Matr... Corso di Laura o o o Ambit Trritorio Risors Iformazio Maia firma Prova oral I appllo II appllo i forma sritta oral Cotrassgar l opzio prslta Giustifiar adguatamt tutti i passaggi 6. Dtrmiar pr quali valori di R il umro omplsso è a ral b sist ll itrvallo [;] uo d u sol valor di pr ui z risulti ssr u immagiario puro? 7. Data la fuzio dtrmiar il domiio, gli vtuali asitoti, motivado l vtual assza, i puti di miimo di massimo i flssi [fa. il grafio] 8. Studiar al variar di il arattr dlla sri 9. Studiar al variar di la ovrgza dll itgral. Data l quazio diffrzial trovar la famiglia di soluzioi C i R

3 SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / Soluzioi prova sritta dl fbbraio Compito A E. Si ha z i i i i i Prhé z risulti ral dv ssr ossia ± 9 Quidi è impossibil quidi sarà o. Pr rispodr alla domada b si osidri la fuzio siuramt otiua llitrvallo [, ], ioltr si ha 8 f > f 5 <, 5 f R z h è quidi f assum valori di sgo opposto agli strmi di [, ], pr il torma di sistza dgli zri [,] tal h f ioè z è immagiario puro. Pr mostrar h è uio è suffiit mostrar h f è mootoa llitrvallo [, ], ifatti si ha 8 f < pr [, ] quidi f drst.

4 SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / E. osh La fuzio f è dfiita otiua pr R. N osgu h o sistoo sigolarità al fiito quidi o sist alu asitoto vrtial. Si ha pur h f obliquo a siistra. f quidi o vi è alu asitoto orizzotal o Ifi f è asitoto orizzotal dstro. f miimi rlativi. < R quidi la fuzio è drst o sistoo é ma é f > R la fuzio è ovssa o sistoo flssi.

5 E. SAPIENZA UNIVERSITA DI ROMA SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / Poihé la sussio è asitotiamt quivalt alla sussio, la sri log log ha lo stsso arattr dlla sri log la qual pr il ritrio di odsazio appliabil prhé ifiitsima è quivalt alla sri log ovrg pr > sri armoia gralizzata. log log è drst d log h E. Litgral è ovrgt pr <. Pr ossrvar iò osidriamo la fuzio otiua i, f log log. Si ha quidi, R log, f prsta i ua sigolarità, diiamo pur, iabil pr otiuità om tal itgrabil impropriamt. Pr f è ofrotabil o la fuzio f h è itgrabil impropriamt i u itoro di solo s < ioè <. E. 5 Lquazio arattristia dllquazio omoga assoiata è λ da ui λ ± quidi litgral gral dllquazio data avrà la forma soluzio partiolar. ϕ dov ϕ è ua 5

6 SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / La soluzio partiolar si ostruis failmt ol mtodo di similarità: pr poiamo ϕ asi bos quidi ϕ a os bsi ϕ asi bos sostitudo llquazio si prvi a asi bos asi bos si da ui asi b os si quidi a b sgu la soluzio partiolar ϕ si pr < poiamo ϕ a b quidi ϕ a ϕ sostitudo llquazio si prvi a a b da ui a b sgu la soluzio partiolar ϕ i olusio possiamo srivr litgral gral: si s s < da qui si riava h os s s > < ioltr si ha 6

7 SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / 7 si si aalogamt si trova h I altr parol è drivabil a dstra a siistra di o otiuità. Ma prhé risulti di lass C dv aadr h da ui quidi osì la famiglia di soluzioi C i R

8 SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / 8 < s s si

9 SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / Soluzioi prova sritta dl fbbraio Compito B E. Si ha i z i i i i i i i Prhé z risulti ral dv ssr ossia ± 9 Quidi è impossibil quidi sarà o. Pr rispodr alla domada b si osidri la fuzio siuramt otiua llitrvallo [, ], ioltr si ha 8 f > f 5 <, 5 R f z h è quidi f assum valori di sgo opposto agli strmi di [, ], pr il torma di sistza dgli zri [,] tal h f ioè z è immagiario puro. Pr mostrar h è uio è suffiit mostrar h f è mootoa llitrvallo [, ], ifatti si ha 8 f < pr [, ] quidi f drst. 9

10 SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / E. sih La fuzio f è dfiita otiua pr R. N osgu h o sistoo sigolarità al fiito quidi o sist alu asitoto vrtial. Si ha pur h obliquo a siistra. f f quidi o vi è alu asitoto orizzotal o Ifi f è asitoto orizzotal dstro. f rlativi. > R quidi la fuzio è rst o sistoo é ma é miimi f < R la fuzio è oava o sistoo flssi. E. Poihé la sussio è asitotiamt quivalt alla sussio, la sri log log ha lo stsso arattr dlla sri log

11 SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / la qual pr il ritrio di odsazio appliabil prhé ifiitsima è quivalt alla sri log ovrg pr > sri armoia gralizzata. log log è drst d log h E. Litgral è ovrgt pr >. Pr ossrvar iò osidriamo la fuzio otiua i, f log log. Si ha log quidi, R, f prsta i ua sigolarità, diiamo pur, iabil pr otiuità om tal itgrabil impropriamt. Pr ofrotabil o la fuzio u itoro di solo s 5 < ioè >. f è f h è itgrabil impropriamt i 5 E. 5 Lquazio arattristia dllquazio omoga assoiata è λ da ui λ ± quidi litgral gral dllquazio data avrà la forma soluzio partiolar. ϕ dov ϕ è ua La soluzio partiolar si ostruis failmt ol mtodo di similarità: pr <

12 SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / poiamo ϕ asi bos quidi ϕ a os bsi ϕ asi bos sostitudo llquazio si prvi a asi bos asi bos si da ui asi b os si quidi a b sgu la soluzio partiolar ϕ si pr poiamo ϕ a b quidi ϕ a ϕ sostitudo llquazio si prvi a a b da ui a b sgu la soluzio partiolar ϕ i olusio possiamo srivr litgral gral: si s s < da qui si riava h os s s < > ioltr si ha

13 SEDE DISTACCATA DI LATINA a.a. / si si aalogamt si trova h I altr parol è drivabil a dstra a siistra di o otiuità. Ma prhé risulti di lass C dv aadr h da ui quidi osì la famiglia di soluzioi C i R < s s si

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