Trasformazioni nello spazio Grafica 3d

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1 Trasformazioni nello spazio Grafica 3d Giancarlo RINALDO Dipartimento di Matematica Università di Messina Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 1

2 Introduzione In questa lezione estenderemo quanto detto nella precedente lezione allo spazio a 3 dimensioni. In particolare I punti in coordinate omogenee avranno 4 coordinate (x,y,z, 1); Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 2

3 Introduzione In questa lezione estenderemo quanto detto nella precedente lezione allo spazio a 3 dimensioni. In particolare I punti in coordinate omogenee avranno 4 coordinate (x,y,z, 1); Alle trasformazioni saranno associate matrici 4 4. Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 2

4 Introduzione In questa lezione estenderemo quanto detto nella precedente lezione allo spazio a 3 dimensioni. In particolare I punti in coordinate omogenee avranno 4 coordinate (x,y,z, 1); Alle trasformazioni saranno associate matrici 4 4. La rappresentazione su un piano dovrà essere effettuata tramite una proiezione. Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 2

5 Introduzione In questa lezione estenderemo quanto detto nella precedente lezione allo spazio a 3 dimensioni. In particolare I punti in coordinate omogenee avranno 4 coordinate (x,y,z, 1); Alle trasformazioni saranno associate matrici 4 4. La rappresentazione su un piano dovrà essere effettuata tramite una proiezione. In un primo momento visualizzeremmo sul nostro schermo solo le coordinate x, y, scartando la z, successivamente considereremo le proiezioni. Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 2

6 Orientamento Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 3

7 Orientamento Nel proseguio considereremo il nostro spazio in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, cioè tali che x y, x z, y z. Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 3

8 Orientamento Nel proseguio considereremo il nostro spazio in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, cioè tali che x y, x z, y z. Inoltre orienteremo i nostri assi nel seguente modo: se x e y sono disegnati nel modo standard sul nostro schermo, allora l asse z sarà perpendicolare al piano (schermo) ed uscente nella nostra direzione. Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 3

9 Orientamento Nel proseguio considereremo il nostro spazio in un sistema di coordinate cartesiane ortogonali, cioè tali che x y, x z, y z. Inoltre orienteremo i nostri assi nel seguente modo: se x e y sono disegnati nel modo standard sul nostro schermo, allora l asse z sarà perpendicolare al piano (schermo) ed uscente nella nostra direzione. Analogamente possiamo usare la regola della mano destra : si punta il pollice nella direzione dell asse x, l indice in quella dell asse y, il medio dà la direzione dell asse z. Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 3

10 Traslazione nello spazio Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 4

11 Traslazione nello spazio I punti nello spazio xyz possono essere traslati in una nuova posizione aggiungendo le quantità, T x, T y, T z, cioè considerando la trasformazione: Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 4

12 Traslazione nello spazio I punti nello spazio xyz possono essere traslati in una nuova posizione aggiungendo le quantità, T x, T y, T z, cioè considerando la trasformazione: (x,y,z, 1) = T x T y T z x y z 1 Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 4

13 Traslazione nello spazio I punti nello spazio xyz possono essere traslati in una nuova posizione aggiungendo le quantità, T x, T y, T z, cioè considerando la trasformazione: (x,y,z, 1) = T x T y T z Ovviamente l applicazione di una traslazione di T z unità, non ha effetto apparente sul nostro schermo. x y z 1 Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 4

14 Scala. Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 5

15 Scala Anche i punti nello spazio possono essere scalati (stirati/accorciati) di un fattore S x lungo l asse x, di un fattore S y lungo l asse y e di un fattore S z lungo l asse z. Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 5

16 Scala Anche i punti nello spazio possono essere scalati (stirati/accorciati) di un fattore S x lungo l asse x, di un fattore S y lungo l asse y e di un fattore S z lungo l asse z. La trasformazione è data da: (x,y,z, 1) = S x S y S z x y z 1 Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 5

17 Scala Anche i punti nello spazio possono essere scalati (stirati/accorciati) di un fattore S x lungo l asse x, di un fattore S y lungo l asse y e di un fattore S z lungo l asse z. La trasformazione è data da: (x,y,z, 1) = S x S y S z Anche in questo caso l applicazione di una scala S z, non ha effetto apparente sul nostro schermo. x y z 1 Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 5

18 Scala Anche i punti nello spazio possono essere scalati (stirati/accorciati) di un fattore S x lungo l asse x, di un fattore S y lungo l asse y e di un fattore S z lungo l asse z. La trasformazione è data da: (x,y,z, 1) = S x S y S z Anche in questo caso l applicazione di una scala S z, non ha effetto apparente sul nostro schermo. x y z 1 Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 5

19 Rotazione R z La rotazione in 2D non è altro che la rotazione rispetto all asse z, R z. Dunque essa avrà la forma: Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 6

20 Rotazione R z La rotazione in 2D non è altro che la rotazione rispetto all asse z, R z. Dunque essa avrà la forma: cos θ sinθ 0 0 x (x,y,z, 1) = sinθ cos θ 0 0 y z Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 6

21 Rotazioni R x, R y La rotazione rispetto all asse x, R x, sarà: Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 7

22 Rotazioni R x, R y La rotazione rispetto all asse x, R x, sarà: (x,y,z, 1) = 0 cosθ sin θ 0 0 sin θ cosθ x y z 1 Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 7

23 Rotazioni R x, R y La rotazione rispetto all asse x, R x, sarà: (x,y,z, 1) = 0 cosθ sin θ 0 0 sin θ cosθ x y z 1 La rotazione rispetto all asse y, R y, sarà: (x,y,z, 1) = cosθ 0 sinθ sin θ 0 cos θ x y z 1 Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 7

24 Una traslazione utile Proviamo ad effettuare la seguente traslazione Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 8

25 Una traslazione utile Proviamo ad effettuare la seguente traslazione x (x,y,z, 1) = y z Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 8

26 Esercizi Ruotare la casa rispetto al suo centro di simmetria tramite R x, R y ed R z ; Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 9

27 Esercizi Ruotare la casa rispetto al suo centro di simmetria tramite R x, R y ed R z ; Ruotare la casa rispetto ad un suo lato (che dunque giace su un asse di rotazione); Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 9

28 Esercizi Ruotare la casa rispetto al suo centro di simmetria tramite R x, R y ed R z ; Ruotare la casa rispetto ad un suo lato (che dunque giace su un asse di rotazione); Scalare la casa rispetto al suo centro di simmetria; Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 9

29 Esercizi Ruotare la casa rispetto al suo centro di simmetria tramite R x, R y ed R z ; Ruotare la casa rispetto ad un suo lato (che dunque giace su un asse di rotazione); Scalare la casa rispetto al suo centro di simmetria; Tentare di visualizzare la profondità della casa. Trasformazioni nello spaziografica 3d p. 9

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