Proiezioni Grafica 3d

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1 Proiezioni Grafica 3d Giancarlo RINALDO Dipartimento di Matematica Università di Messina ProiezioniGrafica 3d p. 1

2 Introduzione Il processo di visualizzazione in 3D è intrinsecamente più complesso della visualizzazione in 2D. ProiezioniGrafica 3d p. 2

3 Introduzione Il processo di visualizzazione in 3D è intrinsecamente più complesso della visualizzazione in 2D. Per visualizzare un oggetto in 3D (dato che i monitor sono periferiche 2D), dobbiamo proiettare i nostri punti su un piano. ProiezioniGrafica 3d p. 2

4 Introduzione Il processo di visualizzazione in 3D è intrinsecamente più complesso della visualizzazione in 2D. Per visualizzare un oggetto in 3D (dato che i monitor sono periferiche 2D), dobbiamo proiettare i nostri punti su un piano. Ovviamente questo determina una perdita di informazioni. ProiezioniGrafica 3d p. 2

5 Introduzione Il processo di visualizzazione in 3D è intrinsecamente più complesso della visualizzazione in 2D. Per visualizzare un oggetto in 3D (dato che i monitor sono periferiche 2D), dobbiamo proiettare i nostri punti su un piano. Ovviamente questo determina una perdita di informazioni. Questa perdita avverrà o da parte del realismo dell immagine rappresentata o nelle informazioni più geometriche (lunghezze, ampiezze). ProiezioniGrafica 3d p. 2

6 Proiezioni Cos è una proiezione? È la trasformazione di punti in un spazio di dimensone n (nel nostro caso 3), in nuovi punti in uno spazio di dimensione < n (nel nostro caso 2). ProiezioniGrafica 3d p. 3

7 Proiezioni Cos è una proiezione? È la trasformazione di punti in un spazio di dimensone n (nel nostro caso 3), in nuovi punti in uno spazio di dimensione < n (nel nostro caso 2). La proiezione è definita da un insieme di raggi proiettori emanati da un centro di proiezione. ProiezioniGrafica 3d p. 3

8 Proiezioni Cos è una proiezione? È la trasformazione di punti in un spazio di dimensone n (nel nostro caso 3), in nuovi punti in uno spazio di dimensione < n (nel nostro caso 2). La proiezione è definita da un insieme di raggi proiettori emanati da un centro di proiezione. Questi raggi incontrano i punti del nostro oggetto 3D e intersecano un piano (detto piano di proiezione) per formarne la proiezione. ProiezioniGrafica 3d p. 3

9 Proiezioni Cos è una proiezione? È la trasformazione di punti in un spazio di dimensone n (nel nostro caso 3), in nuovi punti in uno spazio di dimensione < n (nel nostro caso 2). La proiezione è definita da un insieme di raggi proiettori emanati da un centro di proiezione. Questi raggi incontrano i punti del nostro oggetto 3D e intersecano un piano (detto piano di proiezione) per formarne la proiezione. Questo tipo di proiezione si dice geometrica piana, nel senso che utilizziamo raggi, che sono rette, e li proiettiamo su di un piano. ProiezioniGrafica 3d p. 3

10 Tipologie di proiezioni Esistono essenzialmente due tipi di proiezioni geometriche piane : ProiezioniGrafica 3d p. 4

11 Tipologie di proiezioni Esistono essenzialmente due tipi di proiezioni geometriche piane : Prospettiva e Parallela. ProiezioniGrafica 3d p. 4

12 Tipologie di proiezioni Esistono essenzialmente due tipi di proiezioni geometriche piane : Prospettiva e Parallela. La distinzione è determinata dalla distanza del piano di proiezione dal centro di proiezione. ProiezioniGrafica 3d p. 4

13 Tipologie di proiezioni Esistono essenzialmente due tipi di proiezioni geometriche piane : Prospettiva e Parallela. La distinzione è determinata dalla distanza del piano di proiezione dal centro di proiezione. Nel primo caso è finita nel secondo è infinita. ProiezioniGrafica 3d p. 4

14 Tipologie di proiezioni Esistono essenzialmente due tipi di proiezioni geometriche piane : Prospettiva e Parallela. La distinzione è determinata dalla distanza del piano di proiezione dal centro di proiezione. Nel primo caso è finita nel secondo è infinita. Nel primo ci riferiremo esplicitamente ad un centro di proiezione nel secondo ad una direzione di proiezione. ProiezioniGrafica 3d p. 4

15 Osservazioni ProiezioniGrafica 3d p. 5

16 Osservazioni La proiezione prospettiva crea un effetto visuale simile a quello della visione umana : ProiezioniGrafica 3d p. 5

17 Osservazioni La proiezione prospettiva crea un effetto visuale simile a quello della visione umana : in particolare gli oggetti più distanti diventano più piccoli e rette parallele che non giacciono sul piano di proiezione perdono il loro parallelismo. ProiezioniGrafica 3d p. 5

18 Prospettiva Per semplificare il nostro lavoro assumiamo che il piano di proiezione, π, sia il piano su cui giacciono gli assi x ed y: cioè il piano di equazione z = 0. ProiezioniGrafica 3d p. 6

19 Prospettiva Per semplificare il nostro lavoro assumiamo che il piano di proiezione, π, sia il piano su cui giacciono gli assi x ed y: cioè il piano di equazione z = 0. Poniamo inoltre il centro di proiezione C nelle coordinate (0, 0,d), dove d è la distanza tra C e π. ProiezioniGrafica 3d p. 6

20 Prospettiva Per semplificare il nostro lavoro assumiamo che il piano di proiezione, π, sia il piano su cui giacciono gli assi x ed y: cioè il piano di equazione z = 0. Poniamo inoltre il centro di proiezione C nelle coordinate (0, 0,d), dove d è la distanza tra C e π. Sia P = (x,y,z) un punto generico dello spazio 3D e vogliamo conoscere la sua proiezione P = (x,y,z ) sul piano π. ProiezioniGrafica 3d p. 6

21 Prospettiva Per semplificare il nostro lavoro assumiamo che il piano di proiezione, π, sia il piano su cui giacciono gli assi x ed y: cioè il piano di equazione z = 0. Poniamo inoltre il centro di proiezione C nelle coordinate (0, 0,d), dove d è la distanza tra C e π. Sia P = (x,y,z) un punto generico dello spazio 3D e vogliamo conoscere la sua proiezione P = (x,y,z ) sul piano π. Applicando le opportune similitudini avremo per x : x d = x d z x = dx d z = x 1 z/d ProiezioniGrafica 3d p. 6

22 Prospettiva Analogamente per y : x d = x d z x = dx d z = x 1 z/d ProiezioniGrafica 3d p. 7

23 Prospettiva Analogamente per y : x d = Ovviamente z = 0. x d z x = dx d z = x 1 z/d ProiezioniGrafica 3d p. 7

24 Prospettiva Analogamente per y : x d = x d z x = dx d z = x 1 z/d Ovviamente z = 0. Scriviamo in forma matriciale queste equazioni (avere una forma matriciale 4 4 è utile perchè potremo combinare in una sola matrice diverse trasformazioni e proiezioni tramite il prodotto matriciale. ProiezioniGrafica 3d p. 7

25 Prospettiva Analogamente per y : x d = x d z x = dx d z = x 1 z/d Ovviamente z = 0. Scriviamo in forma matriciale queste equazioni (avere una forma matriciale 4 4 è utile perchè potremo combinare in una sola matrice diverse trasformazioni e proiezioni tramite il prodotto matriciale. (x,y,z,t ) = /d 1 x y z 1 ProiezioniGrafica 3d p. 7

26 Prospettiva Sviluppando il prodotto matriciale avremo: (x,y,z,t ) = (x,y, 0, 1 z/d). ProiezioniGrafica 3d p. 8

27 Prospettiva Sviluppando il prodotto matriciale avremo: (x,y,z,t ) = (x,y, 0, 1 z/d). D altra parte noi consideriamo il punto che ha come ultima coordinata t = 1. Dunque effettuando la divisione per 1 z/d, avremo le equazioni di partenza. (x,y,z,t ) x = ( 1 z/d, y, 0, 1). 1 z/d ProiezioniGrafica 3d p. 8

28 Prospettiva Sviluppando il prodotto matriciale avremo: (x,y,z,t ) = (x,y, 0, 1 z/d). D altra parte noi consideriamo il punto che ha come ultima coordinata t = 1. Dunque effettuando la divisione per 1 z/d, avremo le equazioni di partenza. (x,y,z,t ) x = ( 1 z/d, y, 0, 1). 1 z/d Si osservi che per valori di z crescenti (con x ed y costanti) avremo un progressivo avvicinamento all origine. ProiezioniGrafica 3d p. 8

29 Prospettiva Sviluppando il prodotto matriciale avremo: (x,y,z,t ) = (x,y, 0, 1 z/d). D altra parte noi consideriamo il punto che ha come ultima coordinata t = 1. Dunque effettuando la divisione per 1 z/d, avremo le equazioni di partenza. (x,y,z,t ) x = ( 1 z/d, y, 0, 1). 1 z/d Si osservi che per valori di z crescenti (con x ed y costanti) avremo un progressivo avvicinamento all origine. ProiezioniGrafica 3d p. 8

30 Esercizi Osserviamo la nostra casa: Al variare del fattore 1/d cosa succede? ProiezioniGrafica 3d p. 9

31 Esercizi Osserviamo la nostra casa: Al variare del fattore 1/d cosa succede? Come si comportano gli spigoli della casa? ProiezioniGrafica 3d p. 9

32 Esercizi Osserviamo la nostra casa: Al variare del fattore 1/d cosa succede? Come si comportano gli spigoli della casa? Cos è un punto all infinito rispetto ad alcuni di questi spigoli? ProiezioniGrafica 3d p. 9

33 Esercizi Osserviamo la nostra casa: Al variare del fattore 1/d cosa succede? Come si comportano gli spigoli della casa? Cos è un punto all infinito rispetto ad alcuni di questi spigoli? Se ruotiamo la casa di alcuni gradi rispetto all asse y e dopo applichiamo la nostra prospettiva cosa succede? ProiezioniGrafica 3d p. 9

34 Esercizi Osserviamo la nostra casa: Al variare del fattore 1/d cosa succede? Come si comportano gli spigoli della casa? Cos è un punto all infinito rispetto ad alcuni di questi spigoli? Se ruotiamo la casa di alcuni gradi rispetto all asse y e dopo applichiamo la nostra prospettiva cosa succede? Dare una definizione di linea d orizzonte. ProiezioniGrafica 3d p. 9

35 Proiezione ortogonale Le più semplici proiezioni parallele sono quelle ortografiche. Sono le seguenti: π contiene gli assi x ed y e la direzione è quella dell asse z; ProiezioniGrafica 3d p. 10

36 Proiezione ortogonale Le più semplici proiezioni parallele sono quelle ortografiche. Sono le seguenti: π contiene gli assi x ed y e la direzione è quella dell asse z; π contiene gli assi x e z e la direzione è quella dell asse y; ProiezioniGrafica 3d p. 10

37 Proiezione ortogonale Le più semplici proiezioni parallele sono quelle ortografiche. Sono le seguenti: π contiene gli assi x ed y e la direzione è quella dell asse z; π contiene gli assi x e z e la direzione è quella dell asse y; π contiene gli assi y e z e la direzione è quella dell asse x. ProiezioniGrafica 3d p. 10

38 Proiezione ortogonale Le più semplici proiezioni parallele sono quelle ortografiche. Sono le seguenti: π contiene gli assi x ed y e la direzione è quella dell asse z; π contiene gli assi x e z e la direzione è quella dell asse y; π contiene gli assi y e z e la direzione è quella dell asse x. ProiezioniGrafica 3d p. 10

39 Proiezione ortogonale Le più semplici proiezioni parallele sono quelle ortografiche. Sono le seguenti: π contiene gli assi x ed y e la direzione è quella dell asse z; π contiene gli assi x e z e la direzione è quella dell asse y; π contiene gli assi y e z e la direzione è quella dell asse x. Molto semplici sono le loro espressioni matriciali. ProiezioniGrafica 3d p. 10

40 Proiezione obliqua Per costruire la proiezione obliqua si considera il segmento di estremi O = (0, 0, 0), A = (0, 0, 1), e si proietta P su π. ProiezioniGrafica 3d p. 11

41 Proiezione obliqua Per costruire la proiezione obliqua si considera il segmento di estremi O = (0, 0, 0), A = (0, 0, 1), e si proietta P su π. Il punto proiettato, Q avrà coordinate note fissate dai valori l ed α e sarà Q = (l cosα,l sinα, 0). ProiezioniGrafica 3d p. 11

42 Proiezione obliqua Per costruire la proiezione obliqua si considera il segmento di estremi O = (0, 0, 0), A = (0, 0, 1), e si proietta P su π. Il punto proiettato, Q avrà coordinate note fissate dai valori l ed α e sarà Q = (l cosα,l sinα, 0). Valori spesso usati sono l = 1 o l = 1/2, α = π/4, α = π/6 e così via. ProiezioniGrafica 3d p. 11

43 Proiezione obliqua Per trovare la proiezione di un punto generico P = (x,y,z) sul piano z = 0, si osservi ad esempio il piano yz, di equazione x = 0. ProiezioniGrafica 3d p. 12

44 Proiezione obliqua Per trovare la proiezione di un punto generico P = (x,y,z) sul piano z = 0, si osservi ad esempio il piano yz, di equazione x = 0. Il coefficiente angolare della retta AQ sul piano x = 0, sarà l sin α. ProiezioniGrafica 3d p. 12

45 Proiezione obliqua Per trovare la proiezione di un punto generico P = (x,y,z) sul piano z = 0, si osservi ad esempio il piano yz, di equazione x = 0. Il coefficiente angolare della retta AQ sul piano x = 0, sarà l sin α. Dato che i raggi proiettori sono paralleli, considero una retta parallela ad AQ e passante per P. ProiezioniGrafica 3d p. 12

46 Proiezione obliqua Per trovare la proiezione di un punto generico P = (x,y,z) sul piano z = 0, si osservi ad esempio il piano yz, di equazione x = 0. Il coefficiente angolare della retta AQ sul piano x = 0, sarà l sin α. Dato che i raggi proiettori sono paralleli, considero una retta parallela ad AQ e passante per P. Essa incontra l asse y nel punto (y p, 0) dove y p è uno dei valori cercati. ProiezioniGrafica 3d p. 12

47 Proiezione obliqua Per trovare la proiezione di un punto generico P = (x,y,z) sul piano z = 0, si osservi ad esempio il piano yz, di equazione x = 0. Il coefficiente angolare della retta AQ sul piano x = 0, sarà l sin α. Dato che i raggi proiettori sono paralleli, considero una retta parallela ad AQ e passante per P. Essa incontra l asse y nel punto (y p, 0) dove y p è uno dei valori cercati.dunque y = l sinαz + y p y p = y l sinα. ProiezioniGrafica 3d p. 12

48 Proiezione obliqua Per trovare la proiezione di un punto generico P = (x,y,z) sul piano z = 0, si osservi ad esempio il piano yz, di equazione x = 0. Il coefficiente angolare della retta AQ sul piano x = 0, sarà l sin α. Dato che i raggi proiettori sono paralleli, considero una retta parallela ad AQ e passante per P. Essa incontra l asse y nel punto (y p, 0) dove y p è uno dei valori cercati.dunque y = l sinαz + y p y p = y l sinα. Analogamente per il piano xz, di equazione y = 0, avrò: x = l cos αz + x p x p = x l cos α. ProiezioniGrafica 3d p. 12

49 Proiezione obliqua La sua forma matriciale dunque sarà: ProiezioniGrafica 3d p. 13

50 Proiezione obliqua La sua forma matriciale dunque sarà: (x,y,z, 1) = 1 0 l cos α l sinα x y z 1 ProiezioniGrafica 3d p. 13

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