Volume di un solido di rotazione

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Gemma Casadei
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1 Volume di un solido di rotione Si un rco di curv vente equione f. Se f() è un funione continu e non negtiv nell'intervllo limitto e chiuso,, si dimostr che il volume del solido generto dl trpeoide CD in un rotione complet ttorno ll'sse è dto dll seguente formul: V f d f ( ) S o D C Se il trpeoide ruot di un ngolo 0, ttorno ll sse l formul precedente divent: V f d Se l curv ssegnt medinte le equioni prmetriche: t, t, t t funioni continue imo qunto segue: V t t d t se t t V t td t se t Se il volume V è ottenuto medinte un rotione complet ttorno ll sse del settore O delimitto dll rco di equione f 0 o imo: V f sin d t t t t t t è un funione crescente nell intervllo t t t t è un funione crescente nell intervllo t t t con con t,

Secondo teorem di Pppo Guldino Il volume V del solido generto dll rotione complet di un superficie pin limitt S intorno d un rett del suo pino che non l ttrversi, è ugule l prodotto dell re di quest

2 Secondo teorem di Pppo Guldino Il volume V del solido generto dll rotione complet di un superficie pin limitt S intorno d un rett del suo pino che non l ttrversi, è ugule l prodotto dell re di quest superficie per l misur C dell circonferen descritt dl ricentro G dell line stess. V C d dove d è l distn del ricentro G dll sse di rotione, cioè d è il rggio dell circonferen descritt dl punto G nell su rotione complet. Nel cso di un rotione di un ngolo 0, imo: V C d dove C d rppresent l lunghe dell rco di circonferen descritto dl ricentro nell su rotione dell ngolo. Volume di un solido seione qudrile Considerimo un solido compreso tr due pini prlleli, e l cui seione con un generico pino prllelo l pino O ( ) si qudrile ed i re S per. Risult: V S d

3 Per un solido compreso tr due pini prlleli, e l cui seione con un generico pino prllelo l pino O ( ) si qudrile ed i re S per. D C Risult: V S d Volume di un cilindroide Considerimo il cilindroide dell figur, cioè il solido individuto dll superficie S di equione f,, dl cilindro fornito dll seguente formul: V, f, 0 e dl dominio pino. Il suo volume ci viene f dd S f, O i P i i Se e, continue in un dominio Il clcolo di un volume medinte un integrle triplo sono funioni definite e, R regolre del pino O,un dominio dello spio R, che è un solido, si dice normle rispetto l pino O se i punto P,, che lo compongono hnno coordinte che verificno le seguenti relioni:, R,,

4 cioè se il contorno del solido è incontrto l più in due punti, uno di entrt e l ltro di uscit, d ogni rett perpendicolre l pino O e pssnte per il dominio Il volume del solido R. è ugule l vlore del seguente integrle triplo:, V d d d d d d, Utilindo coordinte polri imo: V sin d d d sin cos sin sin cos Utilindo coordinte cilindriche imo: V d d d cos sin ed sono i domini corrispondenti l dominio qundo si pss dlle coordinte crtesine lle coordinte polri o lle coordinte cilindriche. Il volume del solido può essere clcolto utilindo l seguente formul:,, V d d Il volume V di un solido si può clcolre nche medinte un integrle di superficie. Se S è l superficie che delimit il solido, llor vlgono le seguenti formule: dove dove V d d S è l proieione di S sul pino O e, dove V S S è l equione crtesin di S. d d S è l proieione di S sul pino O e, V S è l equione crtesin di S. d d S è l proieione di S sul pino O e, S è l equione crtesin di S. V d d d d d d Se S è dt in form prmetric ( u,v) ( u,v) ( u,v) u u u Ju (,v) imo: v v v 4

5 V u,v J d u d v u,v J d u d v u,v J d u d v u v u v u v D D D dove D ( D, D ) è il dominio del pino Ou v corrispondente l dominio S, ( S, S ) del pino O ( O, O ) (,v) u u J J u u v v v (, ) u u J J u v u v v v (,v) u u J J u u v v v Coordinte polri nello spio 5

6 Coordinte cilindriche 6

7 Clcolre il volume dell ellissoide di rotione 4 9 S() O Ogni pino prllelo l pino O tgli l superficie dell ellissoide secondo l ellisse di equione 4 9 L ellissoide occup il volume dto dl seguente dominio di R :,, : S V dd d d d d d Ho clcolto l integrle triplo utilindo l integrione per strti. Per un generico ellissoide di equione imo: c 4 V c L integrle superficile d d rppresent l re dell ellisse indict in figur. Noi S sppimo che l re dell superficie dell ellisse di equione vle. Nel cso nell nostr ellisse imo:, S 6 6 S d rcsin rcsin 7

8 L integrle indefinito d può essere clcolto per prti o medinte l sostituione sint con t L integrle superficile d d può essere clcolto come integrle doppio considerndo come S dominio l prte di pino del primo qudrnte individut dll ellisse, dll sse e dll sse. D, : S S d d d d 4 d d 4 d d D d d d 6 rcsin rcsin 4 4 d C Si trtt di un integrle del tipo d = d con 4 4 d d d d d = d rcsin d rcsin d rcsin k cos d = sin cos sin cos cos t t t dt t t dt t dt dt d rcsin k dt cos t d( t) t sin t t sin t cos t rcsin k Pongo: sint, d cost d t, sint, t rcsin, cost sin t t 8

9 Primo teorem di Pppo Guldino L re dell superficie di rotione genert dll rotione complet di un line intorno d un sse che non l ttrversi è dt dl prodotto dell lunghe dell line per l lunghe dell circonferen descritt dl ricentro dell line. 9

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