Generalizzazione dell equazione logistica (UN) Autore: Antonello Urso - 07/07/07

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1 Generalizzazione dell equazione logistica (UN) Autore: Antonello Urso - 07/07/07 Pianetagalileo - (ultimo aggiornamento: 23/07/07)

2 Introduzione: L equazione logistica uò descrivere lo sviluo di una oolazione biologica (batteri, animali ecc.) che cresce fino al raggiungimento di un valore costante nel temo. Tale crescita sarà rovocata da una fonte energetica da cui tale oolazione si nutre. E lecito suorre che sia una singola fonte energetica rinnovabile erogata in modo costante nel temo in un ambiente rivo di materia inquinante verso una oolazione omogenea di una singola secie. Quindi er esemio in resenza di una fonte energetica rinnovabile (FER) costante e biologicamente assimilabile, una oolazione tenderà a sviluarsi nel temo con un certo tasso di crescita fino a raggiungere un livello massimo M dato dalla seguente equazione differenziale del tio Bernoulli: d k = M () La cui soluzione orta alla seguente: M = (2) [ k( t t )] + ex 0 Come abbiamo detto questo sviluo diende dall energia erogata dalla nostra fonte, cioè fornendo una variazione Q di energia nell unita di temo, otterremo il flusso energetico f della nostra FER. Quindi er definizione: ( t ) f ( t ) dq = (3) Stabiliamo adesso er la (2) che la oolazione raggiunga il livello M sotto l effetto fornito di un flusso costante f, e che sia quindi: f = c M (4) Dove c è una costante ositiva. Avremo quindi secondo la (4) una diretta roorzionalità tra un flusso energetico costante e il numero della oolazione stabilizzata. Questo significa che se er esemio vogliamo raddoiare la oolazione dovremo raddoiare anche il flusso energetico erché ogni singolo elemento della oolazione della secie biologica considerata avrà bisogno er vivere di una recisa razione ro-caite di energia c nell unita di temo. Il calcolo di questa razione energetica si otrà fare agevolmente una volta raggiunto l equilibrio tra il numero di nascite e morti usando semre la (4). La domanda che ci ossiamo orre adesso è se sia ossibile una generalizzazione della () che descriva la crescita di una oolazione in resenza dell erogazione di una FER variabile nel temo, e dell effetto di un generico ambiente di dimensioni limitate che certamente influisce sullo sviluo demografico. Per oter trovare una risosta dobbiamo rima chiarire che la dinamica dello sviluo di una oolazione biologica risentirà non solo delle dimensioni dell ambiente nel quale si svilua, ma anche di una roria inerzia che chiameremo: inerzia demografica. Tale inerzia non è altro che la resistenza alla crescita o alla decrescita numerica (descritta dalla funzione di evoluzione demografica (t) er una oolazione di una singola secie) quando una secie biologica si trova 2

3 sottoosta ad un flusso energetico, del quale si nutre, variabile nel temo. Stabiliamo adesso la seguente legge di sviluo isodinamico: In assenza di fenomeni di inerzia demografica e di limitazioni dello sazio ambientale, la funzione che descrive l evoluzione numerica di una oolazione nel temo è uguale, a meno di una costante moltilicativa, al flusso energetico che ermette tale sviluo. Quindi abbiamo: ( t ) c( t ) f = (5) Con: c > 0. Notiamo subito che la (5) è molto iù generale della (4) e ci fornirà la chiave er risolvere il nostro roblema, dato che dovrà essere una soluzione articolare dell equazione differenziale che dobbiamo trovare. La rima idea che ci otrebbe venire in mente er tener in debito conto l inerzia demografica è di usare la (5) nella () in modo da avere: ( t ) d ( t ) ( ) c = k( t )? (6) f t Così se il flusso energetico è costante allora la (6) mediante la (4) sarà nuovamente uguale alla (). Sebbene questa sia un iotesi semlice e suggestiva in realtà non soddisfa la legge di sviluo isodinamico. t un flusso energetico continuo tale Infatti se suoniamo di avere in un intervallo di temo ] ;t 2 [ che: ( t ) 0 dovrà essere: d ( t ) 0. Alicando erò la (5) nella (6) si ottiene: ( t ) = 0 df in tutto l intervallo considerato, avremo allora che in assenza di inerzia er la (5) d in tutto l intervallo, che è una contraddizione ovvero la (5) non è in generale una soluzione articolare della (6). Notiamo che la () uò essere riscritta anche nel seguente modo: d ( ) + k M = 0 (7) Questo ci otrà aiutare er costruire il nostro modello. Modello matematico Stabiliamo adesso er definizione la seguente funzione d inerzia: u ( t ) c = a (8) ( t ) f ( t ) 3

4 Dove a è una costante che nel nostro caso è ositiva o nulla, e che chiameremo costante ambientale. Allora un buon modello matematico che descriverà la crescita di una oolazione biologica con la (5) come soluzione articolare, che fornisce la (2) nel caso di flusso energetico costante, e che tiene conto dell inerzia demografica e delle dimensioni finite dell ambiente uò essere descritto dalla seguente equazione differenziale lineare omogenea a coefficienti costanti. ( n ) h0 u + hu + h 2u + h3u h n u = 0 (9) Le costanti h i (con i = 0; ; 2; 3;...n) saranno stabilite serimentalmente in base al roblema studiato. Le ossibili soluzioni della (9) sono ben note: u λt λ2t λ3t λnt ( t ) = s e + s e + s e s e 2 3 n (0) Se λ è radice multila di ordine r dell equazione caratteristica associata alla (9), allora le r funzioni: λt λt 2 λt r λt e, xe, x e,..., x e () sono integrali dell equazione (9). Se oi esistono radici comlesse dell equazione caratteristica allora sono ossibili soluzioni del tio: x m e bt m bt cos βt ; x e sin βt (2) con: m = 0 ;; 2 ;...; r La legge di sviluo isodinamico in questo caso è verificata, infatti: u ( t ) = 0 è una soluzione della (9). Quindi er a = 0 mediante la (8) è facile vedere che si ottiene la relazione (5). Suonendo di avere un flusso energetico costante f ( t ) = q ; se rendiamo: u( t ) = s ex( kt) e a 0 otterremo mediante la (8) l equazione (2). Cioè tale modello è riconducibile alla soluzione dell equazione logistica classica. Esemi: ) Dato un flusso energetico costante f ( t ) = c ; se una oolazione ha un inerzia tale che: u ( t ) = 3ex( 2t) ex( ) ed inoltre a = 0, (cioè non ci sono limitazioni dello sazio ambientale t alla crescita) avremo allora mediante la (8) la seguente funzione: nella figura la funzione in verde. = + 3ex ( 2t ) ex( t ). Vedi 2) Se una oolazione è sottoosta ad un flusso energetico costante f ( t ) = c, con un inerzia tale che: u ( t ) = 3ex( 4t) +.5ex( t)sin( 4t ), e con a = 0 ; allora si avrà la seguente funzione: 2 =. Vedi nella figura la funzione in rosso. + 3ex ( 4t ) +.5ex( t ) sin ( 4t ) 4

5 Figura - Due esemi di sviluo di una oolazione con un inerzia u (t) e u 2(t). Conclusioni Nel semlice modello di crescita esonenziale di Malthus er esemio una oolazione di una secie qualsiasi se uò avere accesso ad una fonte energetica illimitata e ad un ambiente rivo di limitazioni seguirà una crescita in relazione ad una funzione di inerzia comosta da un singolo esonenziale. Nel caso della funzione logistica l inerzia della oolazione rimane la stessa di quella del modello di Malthus, ma in iù si tiene conto di limitazioni tali da stabilizzare il fenomeno di crescita (o decrescita). Il concetto fondamentale qui è la funzione di inerzia demografica, che nella maggior arte dei casi non è comosta da una singola funzione esonenziale, ma bensì dalla somma di una serie di funzioni descritte dalle ossibili soluzioni della (9). Questo uò valere naturalmente anche er il caso di dinamiche di libero sviluo di tio Maltusiano, solo che nella maggioranza dei casi con il assare del temo da un unto di vista ratico c è un semlice esonenziale che revalendo su tutte le altre funzioni fornisce al fenomeno la sua evoluzione tiica. Bibliografia Zwirner G.- Lezioni di analisi matematica: arte seconda, Ed. Cedam Padova 976 Comincioli V - Problemi e modelli matematici nelle scienze alicate, Ed. Ambrosiana 993 Murray J.D. : Mathematical Biology I: An Introduction, Sringer Verlag