Le grandezze scalari e le grandezze vettoriali

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1 VETTORI I VETTORI DEL PINO Le grndezze slri e le grndezze ettorili Esistono grndezze determinte dl nmero he le misr rispetto n prefisst nità, ome per esempio l lnghezz, l re, il olme, il tempo Qeste grndezze sono dette grndezze slri ltre grndezze, ome per esempio lo spostmento e l eloità, sono rppresentte d n nmero, n direzione e n erso Tli grndezze engono himte grndezze ettorili e engono desritte medinte ettori Segmenti orientti e ettori Un segmento pò essere perorso in de modi: d erso oppre d erso Nel primo so, lo indihimo on e diimo he è il primo estremo e il seondo estremo; nell ltro so, indihimo il segmento on e diimo he è il primo estremo e il seondo estremo In generle, n segmento orientto è rtterizzto dll lnghezz del segmento, dll direzione dell rett e d n erso, ossi dl senso di perorrenz dl primo estremo l seondo estremo direzione erso Figr Il erso di n segmento pò essere indito medinte l pnt di n frei lnghezz De segmenti orientti EF e GH hnno erso opposto, o ontrrio, se hnno l stess direzione m non lo stesso erso E F DEFINIZIONE Segmenti eqipollenti De segmenti orientti e CD si diono eqipollenti, e sriimo = CD, se hnno: l stess lnghezz, ioè sono ongrenti; l stess direzione, ioè pprtengono rette prllele; lo stesso erso H G Indihimo on S l insieme dei segmenti orientti del pino Nell insieme S l eqipollenz è n relzione di eqilenz perhé gode delle proprietà riflessi (ogni segmento orientto è eqipollente se stesso), simmetri (se MN è eqipollente PQ, llor PQ è eqipollente MN ) e trnsiti (se MN è eqipollente PQ e PQ è eqipollente RS, llor MN è eqipollente RS ) Qindi, l relzione di eqipollenz inde in S n prtizione in lssi di eqilenz Dt n relzione di eqilenz s n insieme S, preso n elemento! S, l lsse di eqilenz di è l insieme di ttti gli elementi di S he sono in relzione on Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

2 DEFINIZIONE Vettore Si him ettore liero, o sempliemente ettore, ogni lsse di eqilenz relti ll relzione di eqipollenz fr segmenti orientti ettore Indihimo on V l insieme dei ettori lieri del pino Figr Ogni segmento orientto è eqipollente infiniti ltri segmenti L insieme dei segmenti fr loro eqipollenti è n ettore D E F H C G Figr 3, CD, EF e GH sono segmenti orientti eqipollenti, ioè rppresentnti dello stesso ettore: isno di essi è n ettore pplito Per indire n ettore liero simo n letter minsol sormontt d n frei (,,, f ), oppre no dei segmenti orientti (, CD, f ) Ogni segmento orientto pprtenente n medesim lsse di eqilenz è, inftti, n prtiolre rppresentnte di qell lsse, ioè del ettore, e si die ettore pplito Il primo estremo di n ettore pplito si him pnto di pplizione Un ettore è rtterizzto d: il modlo, ossi l misr dell lnghezz del segmento rispetto n nità prefisst; l direzione, ioè l direzione dell rett i pprtiene il segmento; il erso Il modlo di n ettore si indi on no dei segenti simoli: ; ; ersore Figr 4 = 3 0 Per esempio, il ettore dell figr 4 h modlo 3 rispetto ll nità Sriimo = 3 oppre = 3 o nhe = 3 Si him ersore del ettore n ettore di modlo nitrio on l stess direzione e erso di Si him ettore nllo l lsse di eqilenz dei segmenti on estremi oinidenti L s direzione e il so erso sono indeterminti Esso si rppresent medinte n pnto e si indi on 0 oppre on 0 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

3 Dto n ettore =, si him ettore opposto di, e si indi on -, il ettore ente lo stesso modlo e l stess lnghezz e direzione m erso opposto di, ioè l lsse di eqilenz del segmento orientto Prime operzioni on i ettori = = ddizione di ettori Dti de ettori e, l loro somm s = + è n ettore he si ottiene nel modo desritto di segito; rppresentimo on il segmento e on il segmento C onsetio l primo Se i ettori e hnno l stess direzione e erso (figr 5), il ettore somm s h l stess direzione e lo stesso erso di e e modlo gle ll somm dei modli Se i ettori e hnno l stess direzione m erso opposto (figr 5), il ettore somm s h l stess direzione di e, erso gle qello del ettore on modlo mggiore e modlo pri ll differenz dei modli Diimo he de segmenti orientti sono onsetii qndo il seondo estremo del primo segmento oinide on il primo estremo del seondo segmento Se i ettori e hnno direzioni dierse (figr 5), il ettore somm s è rppresentto dl segmento C he h lnghezz e direzione del terzo lto del tringolo indiidto di ettori e (regol del tringolo) È eqilente onsiderre l digonle C del prllelogrmm determinto di de rppresentnti di e D di ppliti entrmi in (regol del prllelogrmm) (figr 5d ) C C s = + s = + s = + C D C s = + Somm di de ettori e enti stess direzione e stesso erso Somm di de ettori e enti stess direzione e erso opposto Somm di de ettori e enti direzioni dierse, medinte l regol del tringolo d Somm di de ettori e enti direzioni dierse, medinte l regol del prllelogrmm Rissmendo, possimo dre l segente definizione Figr 5 DEFINIZIONE Somm di de ettori Il ettore somm s di de ettori e è rppresentto d n segmento orientto he si ottiene rffigrndo onsetimente i ettori dti e onsiderndo ome primo estremo il primo estremo di e ome seondo il seondo estremo di s = + C Il ettore somm s si him nhe risltnte Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 3

4 ESEMPIO Troimo il ettore somm dei de ettori e dell figr, enti i modli = 48 e = 0 (figr 6) C C D C D H Figr 6 Considerimo i il prllelogrmm l formto di de ettori (figr 6) Clolimo il modlo di D Considerimo l proiezione H del pnto D sll rett (figr 6) Nel tringolo rettngolo DH, poihé D = 0 e DH V = 60 o, si h H = 0 e DH = 0 3 pplihimo il teorem di Pitgor l tringolo HD: - D = H + HD = 58 + ( 0 3) = , 5 Il teorem di Crnot o del oseno fferm he in n tringolo il qdrto dell misr di n lto è gle ll somm dei qdrti delle misre e degli ltri de lti, diminit del doppio prodotto delle misre di qesti de lti per il oseno dell ngolo he essi formno: = + - $ os In generle, per lolre il modlo dell somm di de ettori e si ppli il teorem del oseno Osserndo l figr 7, imo s = + - $ $ os, ed essendo = r -, e qindi os = - os, ottenimo: s = + + $ $ os α s β Figr 7 s = + Il simolo 6 signifi per ogni L operzione he de ettori ssoi l loro somm si die ddizione Si pò dimostrre he l ddizione di ettori gode delle segenti proprietà: proprietà ommtti: + = +, 6,! V; proprietà ssoiti: ( + ) + w = + ( + w), 6,, w! V; il ettore nllo 0 è l elemento netro: + 0 = 0 + =, 6! V; per ogni! V esiste il ettore opposto - : + (- ) = (- ) + = 0 4 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

5 Dti tre o più ettori,, w, f, l loro somm si ottiene sommndo i primi de e poi sommndo l ettore ottento + il terzo w e osì i Grfimente il ettore risltnte si ottiene riportndo di segito, prtire d n pnto, i segmenti orientti he rppresentno i ettori d sommre (figr 8) w s = + + w w Figr 8 Si ottiene n poligonle l il i lto he onginge on l ltimo lti estremo dell poligonle rppresent il ettore somm Sottrzione di ettori L esistenz dell opposto di n qlsisi ettore permette di definire l differenz di de ettori riondendol n somm DEFINIZIONE Differenz di de ettori Si him differenz di de ettori, selti in n dto ordine, l somm del primo on l opposto del seondo d = L operzione he de ettori ssoi l loro differenz si die sottrzione Moltiplizione di n ettore per no slre Dto n ettore, possimo determinre i ettori 3, -, f, medinte ddizioni ripette Per esempio: 3 = + +, - =- + (- ) In generle le l segente definizione 3 Moltiplizione del ettore per lo slre 3 Moltiplizione del ettore per lo slre Figr 9 DEFINIZIONE Prodotto di n ettore per no slre Dto n ettore e n nmero rele k, si him prodotto di k per il ettore k $ he h l stess direzione di, modlo gle l prodotto del lore ssolto di k per il modlo di e lo stesso erso di se k 0, erso opposto se k 0 L operzione he h ome risltto qesto prodotto iene dett moltiplizione di n ettore per no slre Si pò dimostrre he gode delle segenti proprietà: proprietà distriti rispetto ll ddizione dei nmeri reli: ( k+ p) $ = k$ + p$, 6k, p! R e 6! V; Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 5

6 Per sempliità, tilizzimo per le operzioni fr ettori gli stessi simoli di qelle fr nmeri reli Tli simoli ssmono qindi signifito dierso seond del ontesto in i sono sti Per esempio, il segno + fr de nmeri reli denot l ddizione dei de nmeri, il segno + fr ettori indi l ddizione di ettori proprietà distriti rispetto ll ddizione dei ettori: k$ ( + ) = k$ + k$, 6k! R e 6,! V; proprietà ssoiti mist: kp ( $ ) = ( kp) $, 6k, p! R e 6! V; il nmero è l elemento netro: $ = $ =, 6! V L somposizione di n ettore Considerimo il ettore e le semirette O e O dell figr 0 C O O Figr 0 O Dll estremo C di trimo le prllele l O e O (figr 0) e ottenimo i pnti e, he indiidno i segmenti orientti O e O, ioè i ettori e, he hnno ome somm In generle, dti n ettore e de direzioni r e s, si pò somporre in de ettori he hnno direzioni r e s e per somm In prtiolre, se onsiderimo gli ssi rtesini, possimo somporre n ettore in de ettori e enti le direzioni dell sse e dell sse I VETTORI LINERMENTE DIPENDENTI E INDIPENDENTI Figr L ominzione linere Considerimo i ettori,, 3 dell figr e i nmeri reli, 3, - Determinimo il risltto (figr ) dell segente espressione: Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

7 Il ettore ottento è detto ominzione linere dei ettori,, 3 di oeffiienti, 3, - Cmindo l tern di nmeri reli o il loro ordine, ottenimo differenti ominzioni lineri dei ettori dti In generle, dimo l segente definizione DEFINIZIONE Cominzione linere Si die he il ettore è ominzione linere dei ettori,, f, n, non ttti nlli, se rislt = + + f + nn, doe i oeffiienti,, f, n sono nmeri reli Un ominzione linere di ettori on oeffiienti ttti nlli h per risltto il ettore nllo Qesto pò dere nhe se i oeffiienti non sono ttti nlli Per esempio, on i ettori onsiderti prim, segliendo i oeffiienti, -, -, 3 ottenimo il ettore nllo In qesto so i ettori,, 3 si diono linermente dipendenti In generle, dimo l segente definizione O 3 3 DEFINIZIONE Vettori linermente dipendenti I ettori,, f, n sono linermente dipendenti se esistono n nmeri reli,, f, n non ttti nlli tli he: = 0 f n n Considerimo or de ettori del pino e, enti direzioni dierse (figr ) Qlsisi ominzione linere + dei de ettori on oeffiienti non ttti nlli non dà mi il ettore nllo, perhé l somm di e l rire di e è sempre rppresentt dll digonle del prllelogrmm formto di de ettori Tle digonle pò essere nll solo se = = 0 I de ettori e si diono linermente indipendenti DEFINIZIONE Vettori linermente indipendenti I ettori,, f, n sono linermente indipendenti se l ni ominzione linere di qesti ettori he h ome risltto il ettore nllo è qell on i oeffiienti ttti nlli Se de ettori del pino e sono prlleli, llor sono linermente dipendenti Inftti, se ', si pò sriere: = k " - k = 0 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 7

8 3 Vieers, se de ettori sono linermente dipendenti, llor sono prlleli Si pò dimostrre he nel pino il nmero mssimo di ettori linermente indipendenti è de, mentre nello spzio è tre Se de ettori e del pino sono linermente indipendenti, llor ogni ltro ettore del pino si pò sriere ome n ominzione linere di e Diimo llor he e sono n se del pino ESEMPIO I ettori dell figr, poihé non sono prlleli, ostitisono n se del pino Ogni ettore del pino si pò ottenere ome ominzione linere di e Per esempio, il ettore nell figr si ottiene on l somm In prtiolre, nel pino rtesino, de ettori e on le direzioni degli ssi rtesini ostitisono n se nlogmente, per lo spzio, tre ettori non omplnri,, z, on le direzioni degli ssi rtesini, ostitisono n se 3 IL PRODOTTO SCLRE E IL PRODOTTO VETTORILE Il prodotto slre Considerimo de ettori e non nlli e si l ngolo he essi formno O = 3 = 4 0 DEFINIZIONE Prodotto slre Il prodotto slre di de ettori e è il nmero os Si indi on $ ESEMPIO Il prodotto slre dei de ettori dell figr preedente è: $ = os 0 o = 3 $ 4 $ - l =-6 Il prodotto slre di de ettori e non nlli pò essere positio, negtio o nllo seond dell ngolo he essi formno In prtiolre: $ = 0 se = 90 o e ieers Possimo llor sriere l segente ondizione di perpendiolrità De ettori e non nlli sono perpendiolri se e solo se il loro prodotto slre è nllo: = + $ = 0 8 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

9 Se de ettori e sono prlleli, si h = 0 o, qindi os = e il prodotto slre rislt: $ = Per il prodotto slre lgono le segenti proprietà: $ = $, proprietà ommtti; ( + ) $ = $ + $, proprietà distriti Il prodotto ettorile Considerimo de ettori e non nlli he formno n ngolo DEFINIZIONE Prodotto ettorile Il prodotto ettorile di de ettori e è il ettore he h: modlo gle d sen ; direzione perpendiolre l pino indiidto di de ettori; erso dto dll regol dell mno destr, illstrt nell figr Si indi on # Il prodotto ettorile non gode dell proprietà ommtti, #! #, m gode dell proprietà distriti: # ( + ) = # + # Per il prodotto ettorile si h: # =- # Se de ettori sono prlleli, il loro prodotto ettorile è nllo: se ', llor # = 0 In prtiolre, # = 0 4 L RPPRESENTZIONE CRTESIN DEI VETTORI I ettori nel pino Le omponenti rtesine Considerimo il pino rtesino O e disegnimo n ettore he prte dll origine Indihimo on i il ersore ente l direzione e il erso dell sse e on j il ersore ente l direzione e il erso dell sse j O i P Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 9

10 Se dl pnto P mndimo le prllele gli ssi rtesini, ottenimo i pnti e he indiidno i segmenti orientti O e O Se i modli di O e O sono rispettimente e, possimo sriere: O = i e O = j Rissmendo, se somponimo il ettore lngo gli ssi rtesini, ottenimo: I ersori i e j sono n se per il pino rtesino Ogni ettore pò inftti essere sritto ome ominzione linere dei de ersori, seondo le se omponenti rtesine 5 = i+ j e sono le omponenti rtesine del ettore Per identifire il ettore on le se omponenti rtesine sriimo nhe = ( ; ) ESEMPIO I ettori = ( ; - ) e = (- 35 ; ) nel pino rtesino hnno l rppresentzione dell figr lto In prtiolre, per i ersori i e j: i ( 0 ; ) e j( 0 ; ) 3 O Il modlo e l direzione Se onsiderimo il ettore = ( 3 ; ), possimo trore il so modlo pplindo il teorem di Pitgor l tringolo OPH: = OH + PH = 4+ 9 = 3 P Possimo nhe determinre l ngolo he il ettore form on l direzione positi dell sse, riordndo le relzioni lide in n tringolo rettngolo, OH = OP os e PH = OP sen, O α H e ioè d i: = 3os e 3 = 3sen, 3 os = e sen = 3 3 Con l loltrie, sndo il tsto sin - o il tsto os -, ottenimo - 56, 3 In generle, dto n ettore = ( ; ), il modlo di è = +, mentre l ngolo he form on l direzione positi dell sse si ottiene on le formle: os = e sen = Risriimo tli formle e ottenimo le omponenti rtesine di in fnzione del modlo e dell ngolo on l direzione positi dell sse : = os e = sen 0 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

11 Considerimo = ( ; ) e = ( ; ) ed esprimimo medinte le omponenti rtesine i risltti delle operzioni on i ettori Somm + = ( i+ j) + ( i+ j) = Qindi: = ( + ) i+ ( + ) j + = ( + ; + ) ESEMPIO Dti i ettori = (- 4 ; ) e = ( ; - ), il ettore somm s è: s = + = (- 4+ ; - ) = (- ; ) Differenz - = + (- ) = i+ j+ (- i- j) = Qindi: = ( - ) i+ ( - ) j - = ( - ; - ) ESEMPIO Dti i ettori = (- 3; ) e = ( 5; - 8), il ettore differenz d è: - = (- 3-5; + 8) = (-8; 0) Prodotto di n ettore per no slre Dti il ettore = ( ; ) e lo slre k, si h: Qindi: k = k( i+ j) = k i+ k j k = ( k ; k ) ESEMPIO Dto il ettore = ; - l, si h: -8 = -8$ ; -8$ - lm = (-6; 4) Prodotto slre $ = ( i+ j) $ ( i+ j) = = i$ i+ i$ j+ j$ i+ j$ j pplihimo l proprietà distriti Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

12 Poihé: i$ i =, j$ j = perhé ettori prlleli di modlo, i$ j = 0 perhé ettori perpendiolri, llor il prodotto slre di e dient: $ = + ESEMPIO Dti i ettori = ( ; - 3) e = ( 5; - ), il prodotto slre è: $ = $ 5 + (-3) $ (- ) = 0+ 3 = 3 È possiile determinre l ngolo formto d de ettori = ( ; ) e = ( ; ) onsiderndo he: $ $ = os " os = Essendo $ = + : os = + ESEMPIO Troimo l ngolo formto di ettori = ( ; ) e = ( 3; - ) Clolimo = + 4 = 5 e = 9 + = 0 ; Qindi: $ 3+ ( - ) 3- os = = = 5 $ Con l loltrie, si ottiene - 8 o I ettori nello spzio Considerimo n sistem rtesino Oz e indihimo on i, j, k i ersori degli ssi,, z Un ettore si pò osì sriere in form rtesin, = i+ j+ zk, e le se omponenti sono ( ; ; z ) z k i J Figr Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

13 Fornimo i risltti delle operzioni prinipli per i ettori nello spzio, onsiderndo i ettori = ( ; ; ) e = ( ; ; ) Somm z z + = ( + ) i+ ( + ) j + ( + ) k; Prodotto slre z z $ = + + zz Prodotto ettorile Per i ersori degli ssi rtesini, si h: i# i = 0, j# j = 0, k# k = 0, perhé ettori prlleli; i# j = k, j # k = i, k# i = j; j # i =- k, k# j =- i, i# k =- j Se onsiderimo or i de ettori = i+ j + zk e = i+ j + zk e lolimo il prodotto ettorile, ottenimo: # = ( i+ j+ k) #( i+ j+ k) = z z = ( - ) i+ ( - ) j+ ( - ) k z z z z Lo stesso risltto si pò ottenere nhe on il lolo del determinnte simolio: i j k # = z z pplihimo le regole di lolo dei determinnti n tell he non è n mtrie, in qnto è ompost d nmeri (le omponenti) e d ettori (i ersori) ESEMPIO Determinimo il prodotto ettorile di = ( ; - ; 0) e = (- 0 ; ; ): # = i - j k - 0 =- i+ 0j+ 0k- ( k+ 0i+ j) = 0 =- i-k- j Si h llor: # =- i- j - k Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 3

14 ESPLORZIONE: LO SPZIO COLORE RG è l ronimo di Red (rosso), Green (erde) e le (l), mentre CMYK st per Cn (ino), Mgent (mgent), Yellow (gillo) e lk (nero) Qeste de sigle indino i modelli stndrd per l rppresentzione grfi dei olori nhe se pò semrre strno, dietro n stmpnte o n monitor è moltissim mtemti Inftti, per riprodrli s n pprehio digitle, i olori sono stti pensti ome ettori on tre omponenti, ioè ettori nello spzio tridimensionle Lo spzio RG Nel sistem RG il ettore (; 0; 0) rppresent n rosso, (0; ; 0) rppresent n erde e (0; 0; ) n l Ttti gli ltri olori si ottengono ome ettori generti dll se ostitit di tre ettori preedenti Un ettore moltiplito per no slre positio è n ettore orrispondente llo stesso olore, m on intensità dierse l rire dello slre Per esempio, 5 (0; ; 0) = (0; 5; 0) è nor n erde, m più intenso Se si sommno de ettori orrispondenti olori diersi, si ottiene il ettore orrispondente n terzo olore he deri dl «mesolmento» dei primi de Per esempio, (; 0; 0) + (0; 0; ) = (; 0; ) è n mgent, ottento dll somm del rosso e del l dell se Il sistem RG è qello tilizzto sgli shermi in modo dditio, ioè ggingendo energi l nero Che os signifi? In ogni pnto dello shermo, inizilmente nero, i sono tre elle fosforesenti he emettono le se olpite d n fsio di elettroni, oero se si gginge energi Ognn delle elle orrisponde no dei tre olori primri: rosso, erde o l l lore mssimo di intensità lminos, prodott d ttte e tre le elle ontempornemente, orrisponde il ino; ll minim, ossi elle spente, il nero Ttti gli ltri olori si ottengono d ominzioni di intensità dierse dei tre olori primri In genere, l intensità di ognno dei tre olori pò ssmere lori riili fr i ntrli d 0 55 Qindi, dello spzio ettorile esminto si onsider n sottoinsieme ostitito d 56 3 ettori, orrispondenti oltre 6 milioni di olori! Grfimente, per drne n ide, possimo tilizzre n o (figr ) Il grigio è il olore he si ottiene, nelle se rie intensità, on i ettori he stnno sll digonle he dl nero l ino Inee, i ettori he rppresentno il gillo stnno nell digonle, dell tri inferiore, he nise il nero l gillo più intenso, in qnto ttti i «gilli» hnno l omponente ross gle qell erde e qell l nll Si die nhe he il gillo è il omplementre del l nlogmente, il ino è il omplementre del rosso e il mgent è il omplementre del erde D n pnto di ist romtio, il ttto è rppresentile on il o dell figr Lo spzio CMYK Nello spzio CMYK, tilizzto soprtttto nelle stmpnti, i olori di se sono il ino, il mgent e il gillo Il nero è presente nell sigl, m non orrisponde n rele qrt dimensione; pò essere inftti ottento ominndo gli ltri tre olori nhe nel sistem CMYK ogni olore è rppresentto d n tern di nmeri, he nno qest olt d 0 00 Ogni lore indi l perentle di inhiostro di isn olore dell se, neessrio per relizzre sll rt il olore erto Per esempio, n olore desritto on il ettore (0; 5; 0) è stmpto depositndo sll rt il 0% di ino, il 5% di mgent e il 0% di gillo IN CINQUE SLIDE pprofondisi l rgomento on n rier nel We e relizz n ree presentzione mltimedile Cer nel We: RG, CMYK, olori ino = (55; 55; 55) mgent = (55; 0; 55) Spzio dei olori RG ino = (0; 55; 55) l = (0; 0; 55) line dei grigi gillo = (55; 55; 0) rosso = (55; 0; 0) erde = (0; 55; 0) nero = (0; 0; 0) 4 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

15 LORTORIO DI MTEMTIC I VETTORI CON DERIVE ESERCITZIONE GUIDT Con Derie lolimo le omponenti p e q dei ettori = ( p; - ) e = (; q) del pino in modo he l espressione + ( - ) lg r = (-3; - ) Le oordinte p e q Dimo Cre_Espressione e sriimo nell rig di editzione l definizione del ettore, = [p, -], e on INVIO l immettimo nell # (figr ) Operimo in modo simile per l definizione del ettore, sriendo = [, q] e immettendol nell # Sriimo r = [-3, -], l definizione di r, e l inserimo nell #3 Digitimo l espressione + /*( - ) = r e l ponimo nell #4 pplihimo sll #4 il omndo Risoli_Espressione e simo dll orrispondente finestr di dilogo on n li s Risoli, ottenendo l impostzione dell solzione nell #5 e l solzione medesim nell #6 Figr Eseritzioni I ettori e del pino formno n ngolo onesso, i loro modli sono = 5 e = 8 Il ettore è gle h + e form on l ngolo onesso Con Derie determin le grndezze rihieste nei segenti eserizi ttrerso i dti ssegnti e poi tri il grfio dei ettori,, h e Dti l ngolo = r e lo slre h = 3, tro il modlo e l ngolo [ = 3 e = 0,56] 3 Dti il modlo = 0 e l ngolo = r, lol lo slre h e l ngolo 3 [h = 4,55 e = 0,3537; h = -,95 e = - 0,3537] 3 Dti il modlo = 0 e l ngolo = r, lol lo slre h e l ngolo 9 [h =,9 e =,056 0 h = -,93 e =,59] Dti i ettori = ( ; - 3), = ( k; - 4) e w = ( 5; h), determin h e k in modo he lgno le segenti gglinze Verifi grfimente i risltti w = ( 3 ; ) [h = 0 e k = - 4] 5 + ( - w) = ( ; - 0) [h = 0 e k = 7] 6 3-w- = (- ; 9) [h = - 9 e k = 3] Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 5

16 I VETTORI DEL PINO Teori pg VERO O FLSO? ) Il ettore - 4 h modlo - 4 V F ) Se de ettori hnno lo stesso ersore, llor hnno l stess direzione e lo stesso erso V F ) Se de segmenti orientti hnno l stess lnghezz, sono eqipollenti V F 4 5 d) Il ettore opposto di è V F 5 4 e) Ogni pnto del pino rppresent il ettore nllo V F Indi qle o qli tr le segenti grndezze è rppresentt d n ettore: tempertr, mss, forz, età, re, olme 3 Dto il ersore, indi modlo, direzione e erso di Rppresent n ettore to piimento e i segenti ettori: 3 ; - ; - 4; Le operzioni on i ettori ddizione di ettori Tri il ettore somm dei ettori disegnti nelle figre Dti i ettori e, enti modlo = 6, =, rppresent il ettore somm e determin il so modlo nel so he l ngolo d essi formto si: ) 90 o ; ) 80 o ; ) 0 o ; d) 60 o [) 0; ) 4; ) 8; d) - 4, 3] 8 Se de ettori e onsetii e il loro ettore somm hnno lo stesso modlo, gle 0, qnto le l ngolo formto d e? [0 o ] 6 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

17 9 ESERCIZIO GUID Disegnimo l somm s dei de ettori dell figr e lolimo il modlo di s s 7 = 8 = 6 Il ettore s = + è l digonle del prllelogrmm formto d e Il modlo di s si ottiene on il teorem del oseno: s = + + os 7 o Sostitimo i lori di e e lolimo: o s = $ 8 $ 6 os $ 0, 3 = 8, 8 -, 3 Disegn il ettore somm s dei de ettori e di i è ssegnto il modlo e l ngolo he formno Clol il modlo di s 0 = 3, = 5, = 0 o [ s - 44, ] = 4, =, = 50 o [ s - 88, ] = 0, = 6, = 80 o [ s -, 5] 3 =, = 9, = 90 o [ s - 5] 4 = 5, = 8, = 05 o [ s - 5, ] Tro grfimente il ettore somm dei ettori inditi 5 7 d 6 8 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 7

18 Sottrzione di ettori 9 Disegn i ettori opposti dei ettori inditi d 0 Tri il ettore differenz - dei ettori e disegnti in figr Se l somm e l differenz di de ettori hnno lo stesso modlo, qnto misr l ngolo tr i de ettori? [90 o ] Moltiplizione di n ettore per no slre Disegn n ettore e rppresent poi i ettori: -,, I ettori e, on modlo = 8 e = 6, formno n ngolo di 90 o Determin il modlo dei ettori: - ; ( + 3 ) ; -3(- + 4 ) [- 4, 4; - 98, ;- 865, ] 4 Disegn de ettori e e erifi le proprietà: k ( + ) = k+ k, on k = 3; ( + ) = +, on = 4 e =- L somposizione di n ettore 5 Somponi il ettore lngo le de direzioni ssegnte d 8 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

19 I VETTORI LINERMENTE DIPENDENTI Teori pg 6 E INDIPENDENTI 6 Srii l ominzione linere dei ettori,, 3 seondo i nmeri -, 4, : D 7 VERO O FLSO? ) De ettori linermente dipendenti hnno ome somm il ettore nllo V F ) De ettori he hnno ome somm il ettore nllo sono linermente dipendenti V F ) De ettori perpendiolri tr loro sono linermente indipendenti V F d) I ettori 3 e - sono linermente dipendenti V F 8 VERO O FLSO? ) Nel pino, de ettori qlsisi ostitisono n se V F ) Nello spzio, i ersori enti le direzioni degli ssi rtesini formno n se V F ) Un se del pino è n oppi di ettori he gener ttti i ettori del pino V F d) De ettori on direzioni he formno fr loro n ngolo di 45 o ostitisono n se del pino V F 9 Dti i ettori e dell figr, indi qle loro ominzione linere permette di ottenere il ettore 30 Dti i ettori dell figr, rppresent il ettore, ominzione linere di oeffiienti -, -, 3 Determin il modlo di 3 [5] 3 IL PRODOTTO SCLRE Teori pg 8 E IL PRODOTTO VETTORILE 3 VERO O FLSO? ) Se de ettori sono perpendiolri, il prodotto slre è nllo V F ) Il prodotto slre di de ettori è n ettore V F ) Se de ettori opposti hnno lo stesso modlo, il prodotto slre è nllo V F d) Se il prodotto slre di de ettori è nllo, i ettori hnno l stess direzione V F Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 9

20 3 VERO O FLSO? ) Se de ettori sono perpendiolri, il loro prodotto ettorile è nllo V F ) # = # V F ) Il risltto di ( # ) $ è n nmero V F d) Se il prodotto ettorile di de ettori è nllo, i ettori hnno l stess direzione e erso V F 33 Consider i ettori dell figr, he si trono nel pino Determin $ e # α 60 = = 3 O [3; # = 3 3] 34 Clol il prodotto slre e il prodotto ettorile dei ettori e he hnno = 9 e = 5 e he formno n ngolo di 30 o ; ; # = E 35 Dti i ettori e, on = 6 e = 8, lol $, spendo he l ngolo fr essi ompreso è: ) 0 o ; ) 80 o ; ) 90 o ; d) 60 o [ ) 48; ) - 48; ) 0; d) 4] 36 Dti i ettori e, on = 0 e = 6, lol #, spendo he l ngolo fr essi ompreso è: ) 90 o ; ) 0 o ; ) 45 o ; d) 30 o [ # : ) 60; ) 0; ) 30 ; d) 30] 37 Clol $ e #, spendo he = 6 [ 36; 0] I ettori e, on = 4 e =, formno n ngolo di 60 o Clol le segenti espressioni 38 (- ) $ ; ( ) # ; ( # ) $ [- 4; # = 48 3; 0] 39 $ 3; ( # ) $ ( # ) ; $ ( # ) [ 7; -78; 0] 40 I ettori e, di modli = 3 e = 8, hnno prodotto slre - Determin l ngolo formto di ettori [0 o ] 4 Il prodotto slre dei ettori e w, he formno n ngolo di 50 o, è - 90 Spendo he il modlo di è 0, tro il modlo di w [ 6 3] 4 Spieg perhé il prodotto ettorile di de ettori h modlo gle ll re del prllelogrmm he h per lti i de ettori 43 Dimostr he per ogni ettore è ero he $ = e # = 0 0 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

21 4 L RPPRESENTZIONE CRTESIN Teori pg 9 DEI VETTORI I ettori nel pino 44 Rppresent i ettori = (- 4 ; ), = (-3; - ), = ( 86, ) nel pino rtesino 45 ESERCIZIO GUID Dto il ettore = (- 6; ), determinimo il modlo e l direzione di Rppresentimo nel pino rtesino e lolimo il modlo on l forml = + : = = 40 = 0 Determinimo l direzione di lolndo l ngolo he form on l direzione positi dell sse α Utilizzimo le formle: 6 O os = e sen = Ottenimo: 6 3 os =- =- 0 0 Con l fnzione os - dell loltrie, ottenimo - 6 o Osserimo he, tilizzndo l forml del seno, imo sen = =, 0 0 e on l fnzione sen - dell loltrie ottenimo il lore dell ngolo, on seno he le per ottenere doimo lolre: = 80 o -, del primo qdrnte; 0 6 O α α Tro il modlo e l direzione dei segenti ettori 46 = ( 34 ; ); = (- 55 ; ); = ( 4 ; ) [ = 5, - 53 o ; = 5, = 35 o ; = 5, - 63 o ] 47 = (- 3 3 ; 3) ; = ( 4; - 5) ; = ( 96 ; ) [ = 6, = 50 o ; = 6, 4, -309 o ; = 0, 8, -34 o ] 48 =- 3i+ 4j; =- i- j; = i+ 6j o o o [ = 5, - 7 ; =, = 5 ; - 0, = 7 ] Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

22 Con i dti forniti, determin iò he è rihiesto 49 = 8; = 30 o?? [ 4 3, 4] 50 = 6; = 35 o?? [-3, 3 ] 5 = ; = 60 o?? [ 4, 3] 5 =- 0; = 0 o?? [ 0, -0 3] Dti i ettori = (; - 5), = (; - ), = (- 6; 3), esegi le segenti operzioni 53 + ; - ; + [( 3; -7); ( ; -3); (-5; )] 54 - ; + 4; ( - ) [( 6; -);( 6; -3);( 4; -0)] ; - + ; - 4+ [(-0; );( -5; 0);( 5; -4)] 56 Dti i ettori =- 4i+ 3j e = 6i+ 8j, tro modlo e direzione dei ettori,, +, - o o o o [ = 5, - 43 ; = 0, - 53 ; + = 5 5, - 80 ; - = 5 5, - 07 ] Il prodotto slre 57 ESERCIZIO GUID Dti i ettori = i- j e =-4i- 3j, determinimo il loro prodotto slre e l ngolo formto di de ettori Rppresentimo e nel pino rtesino e lolimo $ on l forml $ = + : $ = ( - 4) + (-)(- 3) = =- 5 Per lolre l ngolo, tilizzimo l forml: os = $ Clolimo i modli dei de ettori: = 4+ = 5, = = 5, e sostitimo: os =- 5 =- 5 $ 5 5 " - 7 o 4 O α 3 Clol il prodotto slre delle segenti oppie di ettori 58 =- i- j, = i+ j [- ] 59 = ( 4 ; ), = ( 8; - ) [ 8] 60 = (- 5 ; ), = (-6; - 3) [- 9] 6 =- i, = 5 j [ 0] 6 = 9i, =- i [- 3] 3 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi

23 Clol l ngolo formto dlle segenti oppie di ettori 63 =- i+ j, = j [45 o ] 64 = 5 i, =- 6 i [80 o ] 65 = i- j, =- i+ 4 j [3 o ] 66 = 3i+ 4j, =-i- 3j [77 o ] 67 I ettori ( ; 3 ) e -; - l sono prlleli? Moti l rispost [sì] I ettori nello spzio 68 Tro l somm dei ettori = i+ j + k e =- i+ 3k [ s =- i+ J + 4 k] 69 Tro i modli dei segenti ettori: = (; - ; 4); = (- ; 0; ); = ( 3 ; ; - ) [ 3 ; 5; 4] 70 Clol il prodotto slre dei ettori = i- k e =- 4i+ j + k [- 5] Il prodotto ettorile 7 ESERCIZIO GUID Dti i ettori = ( ; 0; - 4) e = ( 0 ; ; ), lolimo # Clolimo # on il determinnte simolio: i j k # = z z Sostitimo e ottenimo: i j k # = 0-4 = 0i+ 0j+ k-( 0k- 4i+ 4j) = k+ 4i- 4j 0 Il ettore # h ome omponenti ( 4; - 4; ) Clol il prodotto ettorile delle segenti oppie di ettori 7 ( 03, ; ; ) ( 0; - ; ) [5 i ] 73 ( 400, ; ; ) ( ; ; 0 ) [ 4k] 74 =- i- j, = i [ k] 75 =- 3j + k, = j - k [- i ] 76 = i+ j - k, =- i+ j + k [ i+ j + 3k] Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi 3

24 77 Dti i ettori = ( ; - 4) e = (- 5 ; ), determin: ) i modli dei de ettori; ) $ ; ) l ngolo formto di de ettori; d) il modlo del prodotto ettorile # 78 ssegnti i ettori =- i+ j e = 4i- 4j, lol: ) i modli di e ; ) $ ; ) # o [ ) 5; 6; ) - 4; ) - 8 ; d) 8] [ ) 5;4 ; ) -; ) -4k] 79 Dti i ettori = i- 3j, = - i-k e = 3k, lol: ) $ ; $ ; $ ; ) # ; # ; ) ( # ) $ ; ( # ) # ; d) ( - ) # ; ( - ) $ [ ) -0 ; ;- 3; ) 3i+ j-3k; 3j; ) 96 ; i-9j-6k; d) -9i-9 j; 3] 4 Copright 00 Znihelli editore Sp, ologn [68 der] Qesto file è n estensione online dei orsi di mtemti di Mssimo ergmini, nn Trifone e Grziell rozzi