(Come noto, il risultato finale dell importo dei capitali, espresso in euro, deve essere arrotondato al centesimo più prossimo)

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1 MATEMATICA FINANZIARIA ISTITUZIONI L - Z) Pavia 11/ 11/004 COGNOME e NOME:... n.dimatricola:... CODICE ESAME:... Come noto, il risultato finale dell importo dei capitali, espresso in euro, deve essere arrotondato al centesimo più prossimo) Questioniditeoria T.1) Definisci il tasso unitario di interesse e il tasso unitario di sconto relativi a una legge di capitalizzazione ft); T.) scrivi la definizione di tassi equivalenti; T.3) scrivi e commenta le condizioni di chiusura di un ammortamento graduale di un prestito indiviso; T.4) scrivi definizione e proprietà dell indice tasso interno di un progetto finanziario. T.5 per studenti del II anno) Definisci e giustifica la condizione di coerenza tra una legge a pronti e una legge a termine, entrambe pattuite nello stesso istante s. T.5 per studenti di anno di corso superiore al II) A partire da una assegnata funzione positiva δt), trova, facendo tutti i passaggi necessari, il fattore di capitalizzazione che ammette δt) come propria intensità istantanea di interesse. Esercizio n. 1 In relazione a un capitale di importo pari a C= 7.000, 00, esigibile fra due anni e cinque mesi, calcolare quanto segue: 1.a) il valore V a fra sei anni, in regime di capitalizzazione semplice, al tasso del 4%, annuo; 1.b) il valore attuale V b, in regime di capitalizzazione semplice, al tasso dello 0, % mensile; 1.c) il valore V c fra sei anni, in regime di capitalizzazione composta, convenzione lineare, al tasso del 3% annuo; 1.d) il valore attuale V d, in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, al tasso 3% annuo. Esercizio n. Oggi sconti due crediti di importo pari a C=.000, 00 ec= , 00, il primo, che ha scadenza fra tre mesi, con lo sconto razionale al tasso di interesse del 6, 50%, annuo, e il secondo, che scade fra nove mesi, con lo sconto commerciale al tasso di sconto commerciale dell 8% annuo. Calcola la somma complessiva V 0 che, oggi, incassi. Esercizi n. 3 e n. 4 SUL RETRO DEL FOGLIO 1

2 Esercizio n. 3 3.a) Concedi oggi in prestito un capitale pari a C= , 00 da rimborsare, al tasso del 6%, annuo, nominale convertibile semestralmente, con otto rate semestrali, ciascuna di importo R, la prima delle quali prevista fra due anni. Calcola R. 3.b) Sapendo che le rate, man mano esigibili, saranno investite presso una banca, al tasso del 5%, annuo, in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, calcola il fondo F 4, costituito il quarto anno, e il montante M,che otterrai all atto dell esigibilità dell ultima rata. 3.c) Determina, infine, iltassox, annuo, in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, al quale investi il tuo denaro. Esercizio n. 4 Considerato il seguente progetto finanziario: anni 0 1 C= , , , 00 calcolaquantosegue: 4.a) il REA 5%) al tasso del 5%, annuo composto; 4.b) la scadenza media aritmetica dei costi SMA e del ricavo SMA +. 4.c) Determina se il progetto è dotato di tasso interno.

3 MATEMATICA FINANZIARIA ISTITUZIONI Corso L-Z) 11/ 11/ 004 RISOLUZIONE Questioniditeoria Per quanto riguarda le domande relative alla teoria, vedasi il manuale consigliato. Risoluzione esercizio n. 1 µ 1.a) V a = 7.000, , b) V b = 7.000, , c) V c = 7.000, 00 [1 + 0, 03] 3 1+0, 03 7 = 8.003, 3 ' 8.003, 33 ; = 6.616, ' 6.616, 6 ; = 7.78, ' 7.78, 95 ; 1.d) V d = 7.000, 00 [1 + 0, 03] + 5 ) = 6.517, ' 6.517, 41. Risoluzione esercizio n. V 0 = µ.000, , , , 08 9 = = 1.968, , 00 = , ' , 0 ; Risoluzione esercizio n. 3 3.a) j =6% i =3% , 00 = Ra 8e0,03 1, , 00 = R , 03 3 R =.334, '.334, 99 ; 3.b) i =5% i =0, ', 47% semestrale; F 4 =.334, 99s 5e0,047 =.334, 99 5, =.66, '.66, 11 ; M =.334, 99s 8e0,047 =.334, 99 8, = 0.377, ' 0.377, 09 ; 3.c) 0.377, 09 = , x) 5,5 x =0, ' 5, 73% annuo. 3

4 Risoluzione esercizio n. 4 4.a) REA5%) = , , 00 1, , 00 1, 05 =04, ' 04, 08 ; 4.b) SMA = SMA + =1anno; 4.500, 00 =0, ' 7 mesi e 13 giorni; , , 00 con SMA <SMA + il progetto è un investimento; 4.c) TI? , , 00 v 4.500, 00 v =0 45v 150v +100=0 v 1 =0, i =0, ' 8, 54% annuo v =, i = 0, ; a seguito di quanto determinato, il progetto non è dotato di TI. 4

5 MATEMATICA FINANZIARIA ISTITUZIONI L - Z) MATEMATICA FINANZIARIA 1 L - Z) appello del 7/ /005 COGNOME e NOME: n. di matricola: CODICE ESAME: Il risultato finale dell importo dei capitali, espresso in euro, deve essere arrotondato al centesimo più prossimo Esercizio n. 1 1a) In riferimento ad un progetto nanziario A = [a; t], scrivi la relazione che governa l aggiornamento dei saldi di cassa, rispettivamente, al tasso i; con i = 0; al tasso j, con j > 0; alla coppia di tassi x e y; con x > 0 e y > 0: 1b) De nisci i progetti puri, rispettivamente, al tasso i; con i = 0; al tasso j, con j > 0; alla coppia di tassi x e y; con x > 0 e y > 0: In riferimento a tali progetti, precisa l applicabilità del criterio di scelta del tasso interno: 1c) Caratterizza le fasi che costituiscono la procedura di applicazione del metodo di bisezione per determinare una soluzione approssimata di una equazione. 1d) In relazione al simbolo a nei ; precisa cosa permette di ricavare e scrivi le ipotesi necessarie e tutti i passaggi per ottenere l espressione 1 v n : i Esercizio n. In ciascuno dei seguenti casi, calcola il montante prodotto, fra tre anni e quattro mesi, da un capitale C 0 pari a e :000; 00 ; oggi investito..a) il capitale C 0 è investito al tasso del 3%; annuo, in regime di capitalizzazione semplice, e produce un montante M A ;.b) il capitale C 0 è investito, in regime di capitalizzazione semplice, al tasso del %; annuo, per i primi due anni e sei mesi, mentre successivamente è investito al tasso del ; 50%; annuo, e produce un montante M B ;.c) il capitale C 0 è investito al tasso del 3; 50%; annuo, in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, e produce un montante M C ;.d) il capitale C 0 è investito al tasso del 4%; annuo, in regime di capitalizzazione composta, convenzione lineare, e produce un montante M D :

6 Esercizio n. 3 Una rendita annua, perpetua, immediata anticipata, prevede le prime 6 rate di importo pari a e100, poi le successive di importo pari a e300: Calcola il valore della rendita fra 3 anni dall origine della rendita, sapendo che il tasso annuo in capitalizzazione composta varia come segue: 3% nei primi 3 anni, tasso annuo nominale convertibile semestralmente del 4% nei successivi. Esercizio n. 4 Un prestito, oggi contratto, al tasso del 4%; annuo, composto, è ammortizzato con tre rate R 1 ; R ; R 3 ; così schematizzato: anni 0 1 t rate di rimborso R 1 R R 3 Sapendo che I 1 = e 3:500; 00; R 1 = e 0:000; 00; D = e 10:000; 00; I 3 = e 816; 00, 4.a) calcolare t; 4.b) redigere il piano d ammortamento. Esercizio n. 5 Considerato il seguente progetto nanziario A: anni A: capitali 1:000; ; ; 00 P 3 5.a) calcola la posta P 3 in modo che il tasso interno del progetto sia del 5% annuo composto; Con P 3 = +1:100; 00; calcola 5.b) la scadenza media aritmentica dei costi e la la scadenza media aritmetica dei ricavi. I risultati vanno espressi nella forma anni, mesi e giorni con riferimento all anno commerciale di 360 giorni) 5.c) la scadenza media nanziaria dei ricavi al tasso del 5%; annuo composto. Esprimi il risultato nella forma anni, mesi e giorni con riferimento all anno commerciale di 360 giorni) MATEMATICA FINANZIARIA ISTITUZIONI L - Z) MATEMATICA FINANZIARIA 1 L - Z) appello del 7/ /005 Risoluzione Risoluzione esercizio n. 1 Per quanto riguarda le domande relative alla teoria, vedasi il manuale consigliato. Risoluzione esercizio n. Il montante prodotto, fra tre anni e quattro mesi, da C 0 = :000; 00 ; oggi investito, è ottenuto come segue: M A = :000; ; = :00; 00 ; M B = :000; ; ; = :141; 6 ' :141; 67 M C = :000; ; 035) 3+ 4 = :43; ' :43; 01 ; M D = :000; ; 04) ; 04 4 = :79; ' :79; 7 :

7 Risoluzione esercizio n. 3 Visualizzati tempi, tassi e capitali, calcolo il valore 1 + 0:04 1 = :0 404 V = 1001; ;03 + 1;03 + 1) ; ;0404 ) ; ; ; : : : ) = 1; = ; ;0404 ) + 3 1; ;03 0; 0404 = 7467: 10 4 ' 7467: 10 Risoluzione esercizio n. 4 4.a) L epoca di esigibilità della terza rata può essere ottenuta come segue: con t = 4 anni; I 3 = D 1 + i) t 3 t 1! 816; 00 = 10:000; 00 1; 04 t 1 4.b) gli elementi del piano di ammortamento sono ottenuti come segue: t 0 epoca del prestito: I 1 = D 0 i! 3:500; 00 = D 0 0; 04! D 0 = 87:500; 00 ; t 1 = 1 anno: C 1 = R 1 I 1 = 0:000; 00 3:500; 00 = 16:500; 00 D 1 = D 0 C 1 = 87:500; 00 16:500; 00 = 71:000; 00 E 1 = C 1 = 16:500; 00 ; t = anni: I = D 1 i = 71:000; 00 0; 04 = :840; 00 ; C = D 1 D = 71:000; 00 10:000; 00 = 61:000; 00 ; R = C + I = 61:000; 00 + :840; 00 = 63:840; 00 ; E = E 1 + C = 16:500; :000; 00 = 77:500; 00 ; t 3 = 4 anni: C 3 = D = 10:000; 00 ; R 3 = C 3 + I 3 = 10:000; ; 00 = 10:816; 00 ; E 3 = E + C 3 = 77:500; :000; 00 = 87:500; 00 ; a seguito di quanto ottenuto, il piano di ammortamento risulta k t k R k C k I k D k E k 0 0 0; 00 0; 00 0; 00 87:500; 00 0; :000; 00 16:500; 00 3:500; 00 71:000; 00 16:500; 00 63:840; 00 61:000; 00 :840; 00 10:000; 00 77:500; :816; 00 10:000; ; 00 0; 00 87:500; 00

8 Risoluzione esercizio n. 5 5.a) La posta P 3 è ottenuta come segue: REA5%) = 0; cioè da cui si ha P 3 ' 1:5; 87 1:000; ; 00 1; ; 00 1; 05 + P 3 1; 05 3 = 0 con P 3 = +1:100; 00 si ha quanto segue: anni A: capitali 1:000; ; ; 00 1:100; 00 5.b) la scadenza media aritmetica dei costi, SMA C : SMA C = 800; 00 1:800; 00 la scadenza media aritmetica dei ricavi, SMA R : = 0; 8 ' 0 anni, 10 mesi e 0 giorni; SMA R = 1 700; :100; 00 1:800; 00 = ; ' anni, mesi e 0 giorni; con SMA C < SMA R ; il progetto è un investimento in senso lato; 5.c) la scadenza media nanziaria dei ricavi, t R : 1:800; 00 1; 05 t R = 700; 00 1; :100 1; 05 3 t R = ; ' anni, mesi e giorni. t R = ; ' anni; mesi e giorni:

9 Matematica Finanziaria Istituzioni ed 1) corso L-Z 15/11/06 1) Una rendita prevede 3 rate annue, tutte di importo 100 euro, la prima delle quali scade fra 3 mesi. Calcola in c.c., convenzione lineare, il valore della rendita fra anni e 9 mesi, alle seguenti condizioni: tasso annuo del 4% nei primi due anni, tasso annuo del 3% in seguito. Due possibili svolgimenti sono stati accettati: capitalizzazione dopo un anno: [ 100 1, , ,03 3 ) 1 + 0,03 6 ) , ,03 3 ) 1 + 0,03 6 ) ,03 6 )] 316,3; capitalizzazione a fine anno [ 1 + 0,04 9 ) 1, ,03 9 ) ,04 9 ) 1 + 0,03 9 ) ,03 6 )] 316,35. ) Una rendita perpetua prevede rate triennali di euro ciascuna, la prima delle quali scade tra 4 anni. Calcola il valore attuale della rendita in c.c. al tasso annuo nominale convertibile semestralmente del 10%. Calcolo il tasso semestraleeffettivo i = 10% = 5% ed, esprimendo le scadenze in semestri, calcolo in c.c. il valore attuale della rendita: V = 1 000v 8 +v 14 +v 0 +v 6 + ) = 1 000v 8 1 v 6) n lim n + 1 v 6 = , , ,05 6 In alternativa, prima calcolo in c.c. il tasso triennale x equivalente al tasso semestrale del 5%, poi calcolo il valore attuale della rendita: x = 1, ,01%, V = ,3401 1,05 666,95. La differenza fra i due risultati è dovuta all arrotondamento di x. 3) Data la funzione f t) = 3 e αt, t 0, α reale + Trova per quali valori di α la funzione f t) rappresenta una legge di capitalizzazione. Calcola il valore di α per il quale il tasso unitario di interesse è il 5%. Calcola l intensità istantanea di interesse per t = e α = 0,. 1

10 Risulta f0) = 1. Con α = 0 è f t) costante; con α > 0 è decrescente il denominatore è positivo e crescente); con α < 0 è f t) crescente il denominatore è positivo e decrescente) e questo è proprio il caso che mi interessa. Lo posso vedere anche riconoscendo il segno di f t) = 3αeαt + e αt ). Per ottenere i = 5% impongo f 1) 1 = 0,05, cioè e risolvo in α, per cui α 0, Definisco ora l intensità istantanea di interesse δ t) = f t) f t) = Valuto l intensità in t = e α = 0,: δ ) = 3 + e α 1 = 0,05, 3αe αt + e αt ) = 3 + e αt 0, 5,0%. 1 + e0, αe αt + e αt = α 1 + e αt. 4) Concedo un mutuo di importo euro, che ammortizzo con 4 rate annue costanti di importo pari euro, la prima delle quali scadrà tra anni. a) Scrivi l equazione che ti serve per calcolare il tasso interno annuo composto. b) Fissato l intervallo iniziale [11%; %], calcola il tasso interno annuo composto, usando il metodo degli zeri errore massimo tollerato: 10 di punto %). a) Il tasso interno è quel tasso x tale che il valore attuale dei flussi di cassa è nullo. L equazione per il calcolo del tasso interno è quindi [ x) x) x) x) 5] = 0. Posto [ f x) = x) x) x) x) 5], notiamo che f 0,11) 61,99 < 0 ed f 0,) 37,09 > 0. La seguente tabella, mostra le iterazioni del metodo degli zeri. ) b passo k a k b k +a k k f bk +a k b k a k 0 0,11 0, 0,115 89,14 > 0 0,01 1 0,11 0,115 0,15 13,98 > 0 0,005 0,11 0,15 0,115 3,90 < 0 0, ,115 0,15 0,005 0,00 Quindi, il tasso interno appartiene all intervallo 11,5%;11,5%). 5) Considera un prestito indiviso stipulato alla data t 0 = 0, con scadenza dopo n anni, di cui conosciamo la successione delle rate annue, delle quote capitale annue, delle quote interesse annue. Definisci il valore del prestito, la nuda proprietà, l usufrutto all epoca k {0,1,... n} in c.c., al tasso di valutazione annuo x. [Vedi testo.] 6.1) Esercizio per studenti iscritti al e 3 anno. Sul mercato dei titoli a reddito fisso sono quotati 3 titoli zero coupon con queste caratteristiche:

11 uno con 6 mesi di vita residua dal corso P 0, 1 ) = 98,535, uno con 1 anno di vita residua dal corso P 0,1) = 96,850, uno con 18 mesi di vita residua dal corso P 0, 3 ) = 94,970. Calcola: a) i tassi a pronti h 0, 1 ), h0,1), h 0, 3 ), b) i tassi a termine h 0, 1,1), h 0, 1, 3 ). Calcolo: a) i tassi a pronti: h 0, 1 ) ) ,5 = 1,3% 98, 535 ) 100 h0,1) = 1 3,5, h0, 3 ) ) = ,5%; b) Una volta calcolati i prezzi a termine P 0, ),1 P = 96, ,90, 98,535 0, 1, 3 ) = 94, ,38, 98,535 risalgo ai tassi a termine: h 0, ) 100,1 = 98,90 h 0, 1, 3 ) 100 = 96,38 ) 1 0,5 1 3,51%, ) 1 3,75%. 6.) Questo esercizio è in alternativa al numero 6.1 SOLO per studenti NON iscritti al e 3 anno. a) Definisci il criterio del valore attuale. b) Il criterio è detto soggettivo in quanto il tasso di valutazione riflette le caratteristiche del soggetto valutatore Indica come scegliere il tasso. c) Discuti l ipotesi di simmetria del tasso commentando i casi in cui questa ipotesi conduce ad anomalie e i casi in cui l ipotesi non genera anomalie. [Vedi testo.] 3

12 Matematica Finanziaria Istituzioni corso L-Z) 9/01/007 1) Una rendita annua, perpetua, immediata, anticipata prevede le prime 6 rate di importo pari a 100û, poi le successive di importo pari a 00. Calcola il valore della rendita dopo 3 anni dall origine della rendita al tasso annuo nominale convertibile semestralmente del 4%. ) Data la funzione f t) = 0,1t 1 + 0,04t, t 0, mostra che si tratta di una legge di capitalizzazione, calcola l intensità istantanea di interesse per t = 3. 3) Una rendita prevede 4 rate mensili, ciascuna di importo pari a 100û, la prima delle quali scade dopo mesi dall origine della rendita. Calcola il valore della rendita dopo 3 mesi e mezzo dall origine della rendita, in c.s. ai tassi semestrali del 6% nei primi 3 mesi, poi del % mensile per la durata residua. 4) Ammortizzi il debito di 1 000û, oggi contratto, così: tra, 4, 6 e 8 anni versi le quote interessi calcolate in c.c. al 6% annuo. Il capitale, che rendi assieme all ultima quota interessi, lo costituisci versando gli importi: A tra 1 anno, A tra 3 anni, A tra 5 anni. Su questi importi sono riconosciuti interessi composti al % annuo per i primi 4 anni, poi del 3% annuo per gli anni successivi. Calcola il t.i.c. annuo dell operazione con il metodo degli zeri errore massimo 3 tollerato: 10 di punto %). Spiega perché questo tasso esiste ed è unico. 5) Definisci la scadenza media finanziaria con riferimento ad un generico progetto. Dato il progetto mesi capitali calcola la scadenza media finanziaria dei ricavi in c.s. al tasso semestrale del 6%. I risultati vanno espressi nella forma: A anni e G giorni su 365, arrotonda al giorno più prossimo). 6.1) Esercizio per studenti iscritti al e 3 anno. Supponendo la coesistenza di un mercato a pronti e uno a termine. Scrivi e commenta la condizione di coerenza o condizione di parità pronti-termine. 6.) Questo esercizio può essere svolto in alternativa la 6.1 SOLO dagli studenti NON iscritti al e 3 anno. Elenca le proprietà richieste a qualunque funzione che trasformi un progetto in un indice di preferenza o di scelta) e commentale con riferimento al criterio del rendimento economico attualizzato.

13 Soluzioni 1) Dato il tasso annuo nominale semestralmente del 4%, calcolo il tasso il annuo composto equivalente i = 1 + 0,04) 1 = 4,04%. Calcolo il valore della rendita a t = 3: V = 100 1, , , ) , ,0404 ) , , , ) = [ 1, ] 1 = , ,0404 ) + 1, ,89. 0,0404 0,0404 ) Verifico che si tratti di una legge di capitalizzazione: f 0) = 1, f t) = t 10 0,1ln 1 + 0,04t) t 10 0, ,04t) = t 10 [0,1ln ) 1 + 0,04t) 0,04], 1 + 0,04t) e vedo che f t) ha lo stesso segno della funzione entro [ ]. Quest ultima cresce linearmente con t e per t = 0 è positiva 0,09), perciò permane positiva t 0. Dunque, f t) è strettamente crescente t 0, sicché f t) è una legge di capitalizzazione. L intensità istantanea di interesse è: perciò g t) = f t) f t) g 3) = 0,1ln ) = = 0,1ln ) 0, ,04t, 0,04 0, ,36% ,04 3 3) Il tasso mensile è 6% 6 = 1% per 3 mesi, poi de % per la durata residua. Rappresento tempi tra quadre l epoca di valutazione 3,5), capitali e tassi: mesi: [3,5] 4 5 rate: tasso mensile: 1% % Calcolo il valore V della rendita tra 3,5 mesi dall inizio: V = ,01 + 0,0 ) ,0 ) , , ,50,0) 4) Il debito contratto è di 1 000û. Le quote interessi sono tutte pari a ) = 3,60û.I versamenti devono verificare la condizione A 1,0 3 1, ,0 1, ,03 3) = 1 000, dalla quale si ricava A 0,85û.In definitiva pago: 0,85ûtra 1 e tra 3 anni, 441,71ûtra 5, 3,60ûtra, 4, 6 e 8 anni. Posto v = 1 1+x, il t.i.c. incognito x risolve l equazione f x) = 0, con f x) = ,85 v + v 3 + v 5) 3,60 v + v 4 + v 6 + v 8).

14 Essendo f x) strettamente crescente x > 1, ed osservando che f 0) < 0 e f + ) > 0, la soluzione esiste unica. Risolvendo con il metodo di bisezione, si deve ottenere un intervallo di ampiezza non superiore a 3 10 di punto percentuale e contenente il t.i.c 8,63%. 5) Definizione: vedi libro di testo. La scadenza media finanziaria dei ricavi mesi 0 capitali calcolata in c.s., è quel tempo t, espresso in anni, tale che ) ,t = ,, dove 0, = 0,006, è il tasso annuo equivalente al 6% semestrale. Quindi t 0, anni, ovvero 0, = 0 giorni. 6.1) Vedi libro di testo. 6.) Vedi libro di testo.

15 Matematica Finanziaria Istituzioni ed 1 corso L-Z) /0/007 Risultati: 16//07 ore Registrazione: 16//07 ore aula a) Data la funzione f t), con t 0, presenta e commenta le proprietà richieste a tale funzione affinché rappresenti un fattore di montante. 1.b) La funzione f t) = 1 + α) tα, t 0, α > 0, rappresenta un fattore di montante? È fattore di montante scindibile? ) Una rendita certa e perpetua prevede rate di 300ûciascuna agli anni dispari cioè tra 1, 3, 5,... anni) e di 400ûagli anni pari tra, 4, 6,... anni). Calcola il valore attuale a t = 0) in c.c., al tasso annuo del 6%. 3) Un prestito di ûèammortizzato in 5 anni come segue: le quote interessi sono versate agli anni 1, 3, 4 e 5, calcolate al tasso annuo composto del 15% per i primi anni, poi del 18%; il capitale finale è costituito mediante versamenti d importo A all anno e all anno 4, in c.c. al tasso annuo del 6% per i primi 3 anni, poi del 7%. Calcola, col metodo degli zeri errore massimo tollerato: dell intera operazione. 4) Considera i progetti A e B che prevedono i seguenti flussi di cassa: anni 0 1 A B di punto %), il tasso interno Rispondi motivatamente a queste domande: Puoi scegliere il progetto migliore applicando il criterio del tasso interno? Se non puoi scegliere secondo quel criterio, puoi comunque effettuare una scelta ragionata fra i due progetti sfruttando le proprietà fondamentali dei criteri di scelta razionale. 5.1) Esercizio per studenti iscritti al e 3 anno. a) Definisci la struttura per scadenza dei tassi d interesse a pronti. b) I prezzi d acquisto di 100ûdi valore nominale di titoli zero coupon con durate rispettivamente di 6 mesi, 1 anno e 18 mesi sono 98, 533, 96, 805, 94, 833. Calcola i tassi annui a pronti. 5.) Questo esercizio può essere svolto in alternativa la 5.1 SOLO dagli studenti NON iscritti al e 3 anno. Con riferimento al criterio rea calcolato ad un assegnato tasso i > 0: Che cosa si intende dicendo che il rea è un criterio soggettivo? Spiega come scegliere il tasso i. Nella pratica si incontrano forti differenze tra i tassi di provvista di fondi e quelli di impiego, perciò si parla infatti di non-simmetria dei tassi. Ora, visto che, una volta che un progetto è stato assegnato e qualificato, il tasso i che si fissa per calcolarne il rea è unico, quali problemi possono sorgere a causa di questa non-simmetria?

16 Soluzioni 1.a) Vedi libro di testo. 1.b) Dopo aver controllato che f t) è definita per t 0, calcolo f 0) = 1 + α) 0 = 1, quindi questa proprietà vale. Per controllare che la funzione è crescente calcolo la derivata prima [ ] f t) = 1 + α) tα ln 1 + α) α che è positiva in quanto 1 + α) tα > 0, t, { ln 1 + α) > 0 α > 0 α > 0 Per discutere la scindibilità, siccome f C 1, calcolo l intensità istantanea di interesse δ t) = f t) f t) 1 + α)tα ln 1 + α)α = = ln 1 + α)α. 1 + α) tα Siccome δ t) non dipende da t, concludo che la funzione è scindibile. ) Scompongo la rendita nelle due rendite biennali: quella con rate da 300ûgli anni dispari e quella con rate da 400ûgli anni pari. Calcolo il tasso biennalie i b, quivalente al 6% annuo: i b = 1,06 1 0,36. Il valore attuale della rendita è quindi: 300v + 400v + 300v v v v 6 + = = 300 v + v 3 + v 5 + ) v + v 4 + v 6 + ) = = 300u v + v 4 + v 6 + ) v + v 4 + v 6 + ) = = 300u = 300 1,06 i b i b 0, , ,06 3) Rappresento in una tabella quanto occorre: epoche: I k : I 1 I I 3 I 4 tassi passivi: 15% 18% versamenti: A A tassi attivi: 6% 7% Calcolo allora le quote interessi I k e i versamenti A e A: I 1 = ,15) = 1 500, I = ,15 1,18 1) = I 3 = I 4 = ,18 = 1 800, A 1,06 1,07 + 1,07 ) = , A 4 379,06. L operazione complessiva può essere rappresentata come segue epoche: capitali: , , Il tasso interno è l unico tasso che rende nullo il rea, o il montante dell intera operazione: M u) = u u ,06u u 6 179,06u 1 800, ed è pari al 0, 5% annuo.

17 4) Il tasso interno di A è il 5%, mentre B è privo di tasso interno, perché l equazione v + 110v = 0 non ammette radici reali. Però noto che B è ottenuto a partire da A anticipando l incasso di 100 dalla data alla data 0, perciò B è banalmente preferito ad A. Lo posso controllare confrontando i rispettivi vettori dei saldi: s B = [100, 100, 10] s A = [0, 00, 10] 5.1) a) Vedi dispense. b) Dai prezzi ricavo i tassi annui di mercato: h0, 0, 5) = h0, 1) = h0, 1, 5) = ) ,5 1 3%, 98,533) , 30%, 96, ,833 ) 1 1,5 1 3, 60%. 5.) Vedi libro di testo.

18 Matematica Finanziaria Istituzioni LZ 13/04/007 1) Una rendita annua, perpetua, immediata, anticipata prevede le prime 3 rate di importo pari a 100e, poi le successive di importo pari a 50e. Calcola il valore della rendita dopo 3 anni dall origine, in capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, al tasso annuo nominale convertibile trimestralmente del %. ) Data la funzione f t) = 0,1t 1 + 0,04t, t 0, mostra che si tratta di una legge di capitalizzazione, calcola l intensità istantanea di interesse per t = 3. 3) Un prestito di e è ammortizzato in 5 anni come segue: le quote interessi sono versate agli anni 1, 3, 4 e 5, calcolate al tasso annuo composto del 5%; il capitale finale è costituito, in c.c. al tasso annuo del %, mediante versamenti d importo A all anno e all anno 4. 3.a) Giustifica la seguente affermazione: L operazione nel suo complesso ammette tasso interno. 3.b) Si tratta di un tir o di un tic? 3.c) Calcola, col metodo degli zeri errore massimo tollerato: 10 di punto %), il tasso interno dell intera operazione. 3.d) Giustifica, dal punto di vista finanziario, la scelta dell intervallo iniziale della procedura di ricerca del tasso interno con il metodo degli zeri. 4.a) Definisci la proprietà di scindibilità di una legge di capitalizzazione. Presenta inoltre un esempio di legge scindibile ed uno di legge non scindibile. Per ciascuno degli esempi mostra che la legge è/non è scindibile. 4.b) Dai la definizione di tassi equivalenti e presenta un esempio in capitalizzazione composta ed uno in capitalizzazione semplice. 5.1) Esercizio per studenti iscritti al e 3 anno regolare. Sul mercato dei titoli a reddito fisso sono quotati 3 titoli zero-coupon con le seguenti caratteristiche: un titolo con 6 mesi di vita residua dal corso P 0, 1 ) = 98,75; un titolo con un anno di vita residua dal corso P 0,1) = 97,150; un titolo con 18 mesi di vita residua dal corso P 0, 3 ) = 95,5. Calcola a) i tassi a pronti h 0, 1 ), h0,1) ed h 0, 3 ) ; b) i tassi a termine h 0, 1,1) e h 0,1, 3 ). 5.) Questo esercizio può essere svolto in alternativa al 5.1 SOLO dagli studenti NON iscritti al e 3 anno regolare. Considera i due progetti A e B che prevedono i seguenti flussi di cassa: anni 0 1 A B C Trova il valore di C tale che i progetti A e B abbianoo lo stesso rea calcolato al tasso del 5% annuo. Trova il valore di C tale che i progetti A e B abbiano lo stesso tasso interno di rendimento.

19 Soluzioni 1) Dato il tasso annuo nominale trimestralmente j 4 = %, calcolo il tasso il annuo composto equivalente i = 1 + 0,03) 4 1 0,550881, cioè il,55%. Calcolo il valore della rendita a t = 3: V = 100 1, ,55 + 1,55 ) , ,55 + 1, ) = = 100 1, ,55 1 1, ,55 830,0. ) Verifico che si tratti di una legge di capitalizzazione: f 0) = 1, f t) = t 10 0,1ln 1 + 0,04t) t 10 0, ,04t) = t 10 [0,1ln ) 1 + 0,04t) 0,04], 1 + 0,04t) e vedo che f t) ha lo stesso segno della funzione entro [ ]. Quest ultima cresce linearmente con t e per t = 0 è positiva 0,09), perciò permane positiva t 0. Dunque, f t) è strettamente crescente t 0, sicché f t) è una legge di capitalizzazione. L intensità istantanea di interesse è: g t) = f t) f t) = = 0,1ln ) 0, ,04t, perciò g 3) = 0,1ln ) 0,04 0, ,36% ,04 3 3) Rappresento in una tabella quanto occorre: epoche: I k : I 1 I I 3 I 4 versamenti: A A Calcolo allora le quote interessi I k e i versamenti A e A: I 1 = ,05) = 500, I = ,05 1 ) = 1 05 I 3 = I 4 = ,05 = 500, A 1, ,0 ) = , A 4 804,90. L operazione complessiva può essere rappresentata come segue epoche: capitali: , , Il tasso interno è l unico tasso che rende nullo il rea, o il montante dell intera operazione: M u) = u 5 500u ,90u u 5 304,90u 500, 10000u 5 500u u 3 105u u 500 = 0 ed è pari al 6,65% annuo. 4) Vedi libro di testo

20 5.1) Calcolo i tassi pronti: h 0, 1 ) ) ,5 = 1,60%; 98,75 ) h0,1) = 1,93%; h 0, 3 ) = Calcolo i prezzi a termine P 0, ),1 P 97, ,5 ) 1 1,5 1 3,3%. = ,150 98,75 98,405, 0,1, 3 ) = ,5 97,150 98,019, che mi servono per trovare i tassi a termine h 0, ) 100,1 = 98,405 h 0,1, 3 ) = ,019 5.) Calcoliamo i rea al 7% dei due progetti: ) 1 0,5 1 3,7%, ) 1 0,5 1 4,08%. rea 0,05 A) = , ,05, rea 0,05 B) = , C 1,05 tali rea sono uguali se [ C = rea A) ] ,05 1) 1,05 = 63,5. 0,05 Per definizione il tir è quel tasso che annulla il rea di un progetto. Osservo che A è un progetto p.i.c.o. perciò ammette tir, se C 0 lo è anche B. Calcolo tira) = y pongo v = 1 + y) v + 100v = 0 { 13 v = , da cui y 0, , la scarto perché negativa lo uso come tirb) e risolvo in C , ) 1 + C 1, ) = 0 ) 100 C = 150 1, , ,

21 Matematica Finanziaria Istituzioni LZ /06/07 1) Una rendita perpetua prevede rate annue ciascuna di 100e, la prima delle quali scade tra 3 anni. Scrivi l espressione del valore attuale della rendita troncata alla rata che scade tra n anni. Calcola il valore attuale della rendita perpetua. Le valutazioni sono effettuate in c.c. al tasso annuo del 6% per i primi 5 anni, poi del 5%. ) Trova tutte le possibili scelte delle costanti reali a e b tali per cui la funzione ft) = at + rappresenta una legge di capitalizzazione. b 1 + t + 3 4, t 0, 3) 4 anni fa hai contratto un mutuo di importo e, da ammortizzare al tasso annuo composto i = 10%, con 7 rate annue immediate posticipate che sono in progressione geometrica di ragione 1 + i). Trova la prima rata. Trova i tassi annui composti x > 0 in corrispondenza ai quali il valore del prestito ad oggi è almeno pari al debito residuo ad oggi. 4) 7 mesi fa ho concesso un prestito di e, con l intesa che, decorsa la durata t, avrei ottenuto il capitale dato a prestito con gli interessi semplici al 6% annuo. Oggi, avendo bisogno di liquidità, cedo il mio credito ad una Banca, che me lo sconta al tasso di sconto commerciale del % annuo, ricevendo in cambio 9 88e. Calcola la durata del prestito che ho concesso esprimendola nella forma t = a anni + m mesi. 5.1) Esercizio per studenti iscritti al e 3 anno regolare. Sul mercato dei titoli a reddito fisso sono quotati 3 titoli zero-coupon con le seguenti caratteristiche: un titolo con 6 mesi di vita residua dal corso P 0, 1 ) = 98,75; un titolo con un anno di vita residua dal corso P 0,1) = 97,150; un titolo con 18 mesi di vita residua dal corso P 0, 3 ) = 95,5. Calcola a) i tassi a pronti h 0, 1 ), h0,1) ed h 0, 3 ) ; b) i tassi a termine h 0, 1,1) e h 0,1, 3 ). 5.) Questo esercizio può essere svolto in alternativa la 6.1 SOLO dagli studenti NON iscritti al e 3 anno regolare. Elenca tutte le proprietà che vengono richieste a qualunque funzione che trasformi un progetto in un indice di preferenza o di scelta).

22 Soluzioni 1) Con questi dati, e con anni: n rate: tasso: 6% 5% v = 1 1,06, w = 1 1,05, il valore attuale V n della rendita troncata all anno n è V n = S [ v 3 + v 4 + v 5 + v 5 w + w + + w n 5)] = ) = S v 3 + v 4 + v 5 + v 51 wn 5 0,05 ed il limite V per n + fornisce il valore della rendita perpetua: ) V = lim V n = S lim v 3 + v 4 + v 5 + v 51 wn 5 = n + n + 0,05 ) = 100 v 3 + v 4 + v 5 + v ,41. 0,05 ) La funzione f t) è definita t 0. Per avere f 0) = 1 dev essere quindi la legge diventa Calcolo f t): f 0) = b = 1, b = 1 4, ft) = at + f t) = a t) + 3 4, t t). Osservo che f 0) = a 1 4, inoltre la quantità 1 decresce strettamente con t 0 41+t) e vale 1 4 per t = 0. Dunque con a 1 4 ho f 0) = 0, però f t) > 0, t > 0. Al contrario, con a < 1 4 ho ft) strettamente decrescente per qualche t 0. Quindi b = 1 4, a ) Le rate sono descritte dalla progressione geometrica di ragione 1,1 R k = R 1 1,1 k 1, k {1,,...,7}. Per una condizioni di equità, il valore attuale di tale rendita al 10% annuo deve eguagliare l importo del prestito: = 7 R k1,1 k = 7 R 1 1,1 k 1) 1,1 k = 7 R 11,1 1 = 7R 1 1,1 1, k=1 k=1 k=1 dunque devo avere R 1 = 1, ,43

23 Il valore V 4 del prestito ad oggi, calcolato al 10%, è pari al debito residuo D 4. Dato che R 5, R 6 ed R 7 sono positive, V 4 è funzione strettamente decrescente del tasso di valutazione x. Perciò sarà V 4 D 4 solo per 0 < x 10%. 4) L importo che dovrei incassare alla scadenza del prestito è M = ,06t), perciò il netto ricavo dell operazione odierna di sconto è calcolato come segue [ ,06t) 1 0, t 7 )] = Risolvendo in t questa equazione si ottiene 7t 558t = 988, Scartata la radice t < 0 ottengo t = { ) Calcolo i tassi pronti: t = = 16 = 1 anno e 4 mesi. h 0, 1 ) ) ,5 = 1 3,54%; 98,75 ) h0,1) = 1,93%; h 0, 3 ) = Calcolo i prezzi a termine P 0, ),1 P 97, ,5 ) 1 1,5 1 3,3%. = ,150 98,75 97,855, 0,1, 3 ) = ,5 97,150 97,916, che mi servono per trovare i tassi a termine 5.) Vedi libro di testo h 0, ) 100,1 = 97,855 h 0,1, 3 ) = ,916 ) 1 0,5 1 4,43%, ) 1 0,5 1 4,30%.

24 Matematica Finanziaria Istituzioni LZ 0/07/07 1) Una rendita perpetua prevede rate triennali di 1 000e ciascuna, la prima delle quali scade tra 4 anni. Calcola il valore attuale della rendita in c.c. al tasso annuo nominale convertibile semestralmente del 10%. ) Data la funzione ft) = 3 e αt, t 0, α reale + Trova per quali valori di α la funzione ft) rappresenta una legge di capitalizzazione. 3) Una Banca mi concede oggi un prestito di e, da ammortizzare in 6 anni con 6 rate annuali immediate posticipate, alle seguenti condizioni: le prime 3 quote capitali sono eguali ad un comune importo C = 0 000e; le ultime 3 rate sono tra loro eguali; il tasso annuo d interesse composto) è del 6% nei primi 3 anni, poi del 8%; ogni quota interessi viene, all occorrenza, arrotondata al centesimo di euro più prossimo; arrotonda quanto basta, l ultima quota capitale e perciò anche l ultima rata) in modo da azzerare esattamente il debito residuo finale. Redigi il piano d ammortamento completo. 4) Impiego il capitale C per anni in c.c. ai seguenti tassi annui d interesse: nel primo anno, il tasso annuo d interesse è pari ad un valore incognito i; nel secondo anno tale tasso viene diminuito di punti percentuali. Calcola i sapendo che gli interessi maturati nel secondo anno sono pari al 5% di C. 5.1) Esercizio per studenti iscritti al e 3 anno regolare. Supponendo la coesistenza di un mercato a pronti e uno a termine scrivi e commenta la condizione di coerenza o condizione di parità pronti-termine. 5.) Questo esercizio è in alternativa al numero 6.1 SOLO per studenti NON iscritti al e 3 anno regolare. a) Definisci il criterio del valore attuale. b) Discuti l ipotesi di simmetria del tasso commentando i casi in cui questa ipotesi conduce ad anomalie e i casi in cui l ipotesi non genera anomalie.

25 Soluzioni 1) Al tasso semestrale del 5% ed esprimendo le scadenze in semestri, calcolo V = v 8 + v 14 + v 0 + v 6 + ) = 1 000v 8 1 v lim 6 ) n n + 1 v 6 = , ,98 1 1,05 6 o in alternativa, calcolo il tasso triennale equivalente in c.c. al tasso semestrale del 5%, cioè 1, = 0, e quindi V = , ,05 666,98. ) Risulta f0) = 1. Con α = 0 è ft) costante; con α > 0 è decrescente il denominatore è positivo e crescente); con α < 0 è ft) crescente il denominatore è positivo e decrescente) e questo è proprio il caso che mi interessa. Lo posso vedere anche riconoscendo il segno di f t) = 3αeαt + e αt ). 3) Con ottengo i debiti residui C 1 = C = C 3 = C = calcolo le quote interessi: e quindi le rate D 1 = , D = , D 3 = , I 1 = ,06 = 5 400, I = ,06 = 4 00, I 3 = ,06 = 3 000, R 1 = 5 400, R = 4 00, R 3 = Ricopio nel piano i dati finora ottenuti e aggiorno i debiti residui agli anni 4, 5 e 6 al tasso del %: D 4 = 1,08D 3 R = 1, R = R, D 5 = 1,08D 4 R = 1, R) R = 34 99,08R, D 6 = 1,08D 5 R = 1, ,08R) R = , R, D 6 si azzera solo per R = , ,00, importo che ricopio nelle caselle del piano come ultime 3 rate. Oppure posso calcolare l importo R delle ultime 3 rate ricordando D 3 deve essere pari al valore a t = 3 delle rate future: D 3 = Ra 3 0,08 ; = Ra 3 0,08 ; R ,01. Calcolo ora: I 4 = D 3 0,08 = ,08 = 400, perciò C 4 = R I 4 = 9,41, dunque D 4 = D 3 C 4 = 0 759; I 5 = D 4 0,08 = 1 660,7, perciò C 5 = R I 5 = 9 980,8, dunque D 5 = D 4 C 5 = ,88

26 I 6 = D 5 0,08 = 86,8, perciò C 6 = R I 6 = ,7 perciò D 6 = D 5 C 6 = 0, che aggiungo all ultima quota capitale e all ultima rata. Ecco il piano: k R k C k I k D k E k , , ,7 79 1, ,7 86, ) Il montante dopo un anno genera nel secondo anno gli interessi M 1 = C 1 + i) M 1 i 0,0) = C 1 + i) i 0,0), che eguaglio a 0,05C ottenendo l equazione di secondo grado in i) C 1 + i) i 0,0) = 0,05C che semplifico e risolvo ottenendo a parte una radice < 1, che non mi interessa) i 4,69%. 5.1) e 5.) vedi libro di testo.

27 Matematica Finanziaria Istituzioni LZ 14/11/07 Cognome e nome... Anno di corso.... Numero di matricola... Tutti i fogli ricevuti, testo incluso, vanno consegnati. Tracciare una X sopra le parti che costituiscono l eventuale brutta copia. In caso contrario, solo una delle versioni dell esercizio sarà corretta. Esiti, orali e registrazione: mercoledì 1 novembre, ore 9, aula F 1) Data la funzione ft) = 1 + ekt, t 0, trova per quali valori della costante reale k la funzione è fattore di montante; trova inoltre per quali valori di k il tasso unitario di interesse è del %. ) Presento allo sconto una cambiale di importo pari a 4 000e con mesi di vita residua. La banca mi applica le seguenti condizioni: tasso di sconto commerciale % trimestrale; commissioni pari allo 0,5% dell importo della cambiale; spese 10 e. Calcola il netto ricavo. Dimostra inoltre se la legge dello sconto commerciale è legge scindibile. 3) Una rendita perpetua prevede rate biennali di importo pari a 700e, la prima delle quali scade tra 5 anni. Calcola il valore della rendita tra 6 anni, in capitalizzazione composta, al tasso annuo nominale convertibile quadrimestralmente del 6%. 4) Un impiego prevede le seguenti condizioni: capitalizzazione semplice, tassi di interesse annui x nei primi 6 mesi e x in seguito. Trova x, sapendo che il montante prodotto da 3 500e in 9 mesi e 0 giorni è 3 610e? tempi calcolati secondo l anno commerciale) 5) Un prestito di 0 000e ammortizzato in 4 anni col metodo americano cioè a due tassi): interessi e quote di costituzione sono corrisposti semestralmente. Tasso passivo annuo nominale convertibile semestralmente 8%, tasso attivo 3% annuo. Determina il tasso interno dell operazione approssimazione 1 5 %). Spiega perché, con riferimento all operazione in esame, il tasso interno esiste ed è unico. Giustifica la scelta del primo intervallo in cui valgono le ipotesi del teorema degli zeri. 6.1) Esercizio obbligatorio per studenti iscritti al anno regolare. Dato un prestito obbligazionario che prevede annualmente e per n anni il pagamento delle cedole ed il rimborso di titoli, definisci la nuda proprietà, l usufrutto ed il valore del prestito al tasso x di una obbligazione circolante all epoca k [0,n]. Un prstito obbligazionario prevede obbligazioni, ognuna dal valore nominale di 000e, cedole annue al 4% annuo, rimborso in 10 anni col metodo italiano, valore di rimborso 050e. Calcola, al 3% annuo composto, la nuda proprietà, l usufrutto ed il valore del prestito di una obbligazione circolante al termine del sesto anno. 6.) Esercizio in alternativa al numero 6.1 SOLO per studenti NON iscritti al anno regolare. Considera i seguenti tre zero coupon bonds con vita residua 1, e 4 anni i cui corsi odierni sono rispettivamente: 96,3, 9,4 e 85,1. Calcola i tassi a pronti per impieghi ad 1, e 4 anni e il tasso annuo a termine h0,,4). Scrivi la condizione di coerenza o parita pronti-termine) e commentala. Sfruttando la relazione di coerenza, mostra che i prezzi a pronti ed a termine che soddisfano tale relazione non lasciano opportunità di arbitraggio.

28 Soluzioni 1) Il denominatore non si annulla mai, quindi la funzione è definita. Per t = 0, abbiamo f 0) = 1. La derivata prima di f è f t) = kekt 1 + e kt ) è positiva, quindi f crescente, per k < 0. Perciò per k < 0, la funzione f è un fattore di montante. Il tasso unitario di interesse è il % per k che verifica cioè per k 0, ) Il netto ricavo è f 1) 1 = 0,, 1 + e k = 1,, 1 0,0 ) , ,67. 3 Una legge f t) è scindibile se 0 < t 1 t è verificata f t 1 )f t t 1 ) = f t). Per lo sconto commerciale è immediato notare che 1 1 dt dt t 1 ) 1 1 dt. 3) Inanzi tutto calcolo il tasso biennale equivalente al 6% annuo nominale convertibile quadrimestralmente. Il tasso effettivo quadrimestrale è i 3 = 6% 3 = %, perciò il tasso effettivo biennale è i b = 1, ,616,6%. Il valore della rendita a t = 6 è quindi [ 700 1, ] 0,6 1, ,10. 4) La relazione fra capitale impiegato e montante è x x + 0 )) = 3 610, 360 cioè x 0,08857,83%. 5) Calcoliamo i tassi semestrali: tasso passivo 8% = 4%, attivo 1, ,49%. Gli interessi I e le quote di costituzione A semestrali sono pari a I = ,04 = 800, A = s 8 0, ,5. Quindi il tasso interno semestrale x è quel tasso, se esiste unico, che annulla il valore attuale dell operazione, cioè I + A) a 8 x = 0, tale tasso è x 5,6% semestrale cioè 11,56% annuo). altri punti: vedi libro di testo. 6.1) primo punto: vedi libro di testo. Ogni anno vengono rimborsate = obbligazioni e pagate le cedole a quelle circolanti fino a quel momento. L importo della cedola di ciascuna obbligazione è 000 0,04 = 80e.

29 Al termine del sesto anno sono in circolazione = obbligazioni, per cui la nuda proprietà, calcolata al 3% annuo, di uno di questi titoli è , , , ) , = a 4 0, ,01; il suo usufrutto è , , , ) , ,60; il valore dell obbligazione è la somma di nuda proprietà ed usufrutto, 1 905, ,60 = 093,61. 6.) I tassi pronti ad 1, e 4 anni sono, rispettivamente, cioè , ,84%, 96, , ,03%, 9, , ,%. 85,1 Per la condizione di coerenza posso calcolare il prezzo a termine P 0,,4) = 100 P 0,4) P 0,) = 10085,1 9,4 9,1, da cui ricavo il tasso a termine h0,,4) 100 h0,,4) = 9,1 1 4,0%.

30 Matematica Finanziaria Istituzioni LZ 11/04/08 1) Trova tutte le possibili scelte delle costanti reali a e b tali per cui la funzione rappresenta un fattore di montante. ft) = at + b 1 + t + 3 4, t 0, ) Una rendita prevede 3 rate annue, tutte di importo 50e, la prima delle quali scade fra 3 mesi. Calcola in c.s., il valore della rendita fra anni e 9 mesi, alle seguenti condizioni: tasso annuo del 4% nei primi due anni, tasso annuo del 3% in seguito. 3) Una rendita perpetua prevede rate triennali di 600eciascuna, la prima delle quali scade tra 4 anni. Calcola il valore attuale della rendita in c.c., al tasso annuo nominale convertibile semestralmente del 10%. 4) Concedo un mutuo di importo e, che ammortizzo con 4 rate annue costanti di importo pari 3 600e, la prima delle quali scadrà tra anni. a) Scrivi l equazione che ti serve per calcolare il tasso interno annuo composto. b) Fissato l intervallo iniziale [11%, %], calcola il tasso interno annuo composto, usando il metodo degli zeri errore massimo tollerato: 10 di punto %). 5.1) Esercizio obbligatorio per studenti iscritti al anno regolare. 5.1.a Definisci il valore, la nuda proprietà e l usufrutto di un obbligazione di età k, con k {0, 1,... n}, al tasso annuo composto x. 5.1.b Spiega passo per passo il metodo di ammortamento francese con gestione dei residui), nel caso di rimborso in n anni di un prestito obbligazionario di importo S, diviso in N obbligazioni di comune taglio pari al valore nominale A, emissione e rimborso alla pari, cedole pagate annualmente al tasso annuo i. 5.) Esercizio in alternativa al numero 5.1 SOLO per studenti NON iscritti al anno regolare. 5..a Supponendo la coesistenza di un mercato a pronti e uno a termine scrivi e commenta la condizione di coerenza o condizione di parità pronti-termine. Spiega inoltre perché questa condizione non consente arbitraggi. 5..b Sul mercato dei titoli a reddito fisso sono quotati 3 titoli zero coupon con queste caratteristiche: uno con 6 mesi di vita residua dal corso P 0, 1 ) = 98, 535, uno con 1 anno di vita residua dal corso P 0, 1) = 96, 850, uno con 18 mesi di vita residua dal corso P 0, 3 ) = 94, 970. Calcola: a) i tassi a pronti h 0, 1 ), h0, 1), h 0, 3 ), b) i tassi a termine h 0, 1, 1), h 0, 1, 3 ).

31 1) La funzione ft) è definita t 0. Affinché sia f0) = 1 occorre e basta che sia col che la legge diventa Calcolo f t) ed f 0): b = 1, cioè: b = 1 4, ft) = at + f t) = a t) + 3 4, t t),, f 0) = x Osservo che decresce strettamente con t 0 e vale 1 41+t) 4 per t = 0. Dunque con a 1 4 ho f 0) = 0, però f t) > 0, t > 0. Al contrario, con a < 1 4 ho ft) strettamente decrescente per qualche t 0. Concludendo devo prendere b = 1 4, a 1 4. ) Calcolo il valore della rendita fra anni e 9 mesi: [ , ) + 0,03 9 ) , ,03 9 ) ,03 9 )] 791,88. 3) Il tasso annuo convertibile semestralmente è il 10%, quindi il tasso semestrale effettivo è il 5%. Esprimendo le scadenze in semestri, calcolo V = 600 v 8 + v 14 + v 0 + v 6 + ) = 600v 8 1 v 6) n lim n 1 v 6 = 600 1, ,19 1 1,05 6 o in alternativa, calcolo il tasso triennale equivalente in c.c. al tasso semestrale del 5%: 1, = 0, e quindi 600 V = 0, , ,19 4) Scrivo la condizione di equità iniziale [ = x) x) x) x) 5], vale a dire: [ 1 0, x) x) x) x) 5] = 0 Pongo a = 0,11 e b = 0,, quindi, siccome fa) 0, < 0 e fb) 0, > 0, posso iniziare il metodo degli zeri, con tolleranza 0,00: a b f ) a+b b a 0,11 0, 0, ,01 0,11 0,115 0, ,005 0,11 0,15-0, ,005 0,115 0,15 0,005 < 0,00 Quindi il tasso interno x è contenuto nell intervallo 11,5%, 11,5%).

32 Matematica Finanziaria 1 e Matematica Finanziaria Istituzioni corso L-Z) Appello del 17/0/09 ESITI 0/0/09 pubblicati solo on-line REGISTRAZIONI 0/0/09, ore 13.00, aula 15 1) Considera la funzione ft) = 1 + e kt, t 0 Trova per quali valori della costante reale k la funzione è fattore di montante. Trova inoltre per quali valori di k il tasso unitario di interesse è del %. Definisci la proprietà di scindibilità di una legge di capitalizzazione. Presenta inoltre un esempio di legge scindibile ed uno di legge non scindibile. Per ciascuno degli esempi, mostra che la legge è/non è scindibile. ) Una rendita perpetua prevede rate triennali di 100e ciascuna, la prima delle quali scade tra 5 anni. Calcola il valore attuale della rendita in c.c. al tasso annuo nominale convertibile semestralmente del 6%. 3) Un impiego prevede le seguenti condizioni: capitalizzazione semplice, tassi di interesse annui x nei primi 6 mesi e x in seguito. Trova x, sapendo che il montante prodotto da 3 500e in 9 mesi e 0 giorni è 3 610e? tempi calcolati secondo l anno commerciale) 4) Tre anni fa avevo deciso di costituire presso la mia Banca il capitale di e dopo 6 anni versando 6 rate annue, immediate, posticipate tutte di un comune importo R. Avevo fatto i conti al tasso che la banca mi riconosceva, cioè al tasso annuo composto del 4%. Oggi, appena pagata la terza rata, decido di costituire il mio capitale di e due anni dopo quanto inizialmente stabilito, sempre versando rate annue, immediate, posticipate, costanti il cui importo sarà ora R ; inoltre, la Banca mi comunica che, a partire da oggi, il tasso annuo di interesse passa al 5,5% annuo composto. Calcola R e R. 5) Un prestito obbligazionario prevede obbligazioni, ognuna dal valore nominale di 100e, cedole annue al 5% annuo, rimborso in 15 anni col metodo italiano, valore di rimborso 105 e. Calcola, al 4% annuo, in capitalizzazaione composta, la nuda proprietà e l usufrutto di una obbligazione circolante al termine dell ottavo anno.

33 1) Il denominatore non si annulla mai, quindi la funzione è definita. Per t = 0, abbiamo f0) = 1. La derivata prima di f è f t) = kekt 1 + e kt ), è positiva, quindi f è crescente, per k < 0. Perciò, per k < 0, la funzione f è un fattore di montante. Il tasso unitario di interesse è il % per k che verifica f1) 1 = 0,, cioè per k 0, ) Calcolo il tasso semestrale effettivo i = 6% = 3% ed il tasso triennale x equivalente in c.c. al 3% semestrale: x = 1, ,41%. Calcolo quindi il valore attuale della rendita: v = 100 0,1941 1, ,75 3) La relazione fra capitale impiegato e montante è [ x x + 0 )] = 3 610, 360 cioè x = 0,08857 =,83%. 4) Inizialmente prevedo il seguente piano di costituzione Calcolo l importo della rata anni oggi) capitali R R R R R R R = σ 6 0, ,6. Oggi rivedo i miei progetti e controllo quanto ho già costituito e visualizzo l asse dei tempi e dei capitali F 3 = 507,6s 3 0, ,18; anni 3 oggi) capitali F 3 ) R R R R R Per trovare la nuova rata R devo risolvere la seguente equazione F 3 u 5 + R s 5 0,055 = , da cui R = S F 3 1,055 5) σ 5 0, ,69. 5) La nuda proprietà al termine dell ottavo anno è il valore a t = 8, calcolato al 4% annuo, della rendita aleatoria descritta dal capitale di rimborso. Il prestito prevede il rimborso di = 1 00 obbligazioni all anno per cui a t = 8 sono ancora in circolazione ) = obbligazioni. Ciascuna di esse verrà estratta in uno degli anni successivi con probabilità = 1 7, per cui la nuda proprietà è T 8 = 105 1, , ) 1, ,03e. 7