Esercizi su risposta libera e modi naturali nel dominio del tempo
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- Adelmo Pippi
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1 Esercizi su risposta libera e modi naturali nel dominio del tempo. Effettuare l analisi modale del sistema µ ẋ (t) x (t) y (t) x (t) per µ x () Soluzione. Il polinomio caratteristico è µ µ µ det λ µ λ + det λ + p A (λ) λ +4λ +3 perciò λ, Autovettore relativo a λ : µ µ a b λ 3 µ a b µ a b a b µ una soluzione è µ u
2 Autovettore relativo a λ 3: µ µ a b µ a 3 b µ a b a + b µ una soluzione è µ u Bisogna determinare i coefficienti in modo che x () c u + c u,cioè µ c µ + c µ da cui si ricava c, c per cui µ x (t) µ e t + e 3t einuscita y (t) Cx(t) µ [ µ e t + e 3t ] y (t) e t +3e 3t. Effettuare l analisi modale del sistema µ ẋ (t) x (t) y (t) x (t)
3 per x () Soluzione. Il polinomio caratteristico è Autovalori: p A (λ) λ λ +5 λ ± j In generale, per gli autovettori complessi, si può scrivere avendo posto A (u a + ju b )(α + jω)(u a + ju b ) λ α + jω che, in forma compatta, separando la parte reale da quella immaginaria, diventa A µ α ω u a u b ua u b ω α Con i dati del problema µ µ a c b d µ a c b d µ da cui, una soluzione è µ u a µ, u b Bisogna determinare i coefficienti in modo che x () c a u a + c b u b,cioè µ µ c a + c b 3
4 da cui si ricava c a, c b e m s µ + µ sin ϕ cos ϕ perciò ϕ 3π 4 in conclusione x (t) e t [sin µ t + 3π 4 µ µ +cos t + 3π 4 µ ] x (t) e t µ cos t + 3π µ 4 sin t + 3π 4 e y (t) µ e t [cos t + 3π 4 µ +sin t + 3π 4 ] 4
5 3. Effettuare l analisi modale del sistema ẋ (t) x (t) 4 3 y (t) x (t) per x () Soluzione. Il polinomio caratteristico è e gli autovalori p A (λ) λ 3 5λ +λ 5 λ 3, λ ± i Per trovare gli autovettori si deve risolvere il sistema Au 3u e quindi a b 3 a b 4 3 c c ecioè a c 3a a c a + b c 3b a c b 4a b +3c 3c a b da cui si ricava subito una soluzione u 5
6 Analogamente, per gli autovettori corrispondenti ad autovalori complessi coniugati, si dieve risolvere A µ α ω u a u b ua u b ω α e quindi 4 3 a b c d e f a b c d e f µ da cui si ricava a c a d c d d f a + d a f a + b c b e a c e d + e f b + e b d f 4a b +3c c f b d f 4d e +3f c + f e d + f e quindi una soluzione èlaseguente Coefficienti: da cui eindefinitiva x (t) e 3t u c + j + c a c, c a, c b +e t [sin (t) + c b +cos(t) ] 6
7 4. Determinare per quali valori delle condizioni iniziali, l evoluzione libera del sistema µ 3 ẋ (t) x (t) è non divergente. Soluzione. Autovalori e autovettori: λ λ µ u µ, u per cui l evoluzione libera èdeltipo x (t) c e t µ + c e t µ e per non essere divergente, deve essere c,cioè µ x () c 5. Effettuare l analisi modale del sistema descritto dalla matrice µ 4 A Soluzione. Poichè e At γ I + γ A in questo caso e At γ µ + γ µ 4 con le condizioni e t γ γ e 3t γ 3γ 7
8 da cui γ 3e t e 3t, γ e 3t + e t e quindi e At 3e t e 3t µ + e 3t + e t µ 4 e At µ e t +e 3t e 3t e t e 3t + e t e t e 3t L esponenziale di matrice si può calcolare in un altro modo, utilizzando la forma di Jordan. Autovalori e autovettori: λ, λ 3 µ u,u µ ricordando che con e At U U µ e t e 3t U µ si ottiene e At µ e t +e 3t e t +e 3t e t e 3t e t e 3t 6. Effettuare l analisi modale del sistema ẋ (t) x (t) 8
9 per x () α Soluzione. Autovalori ed autovettori: λ u, λ u, λ 3 u 3 Coefficienti: α c + c + c 3 da cui c α,c c 3 e quindi x (t) αet 7. Effettuare l analisi modale del sistema µ ẋ (t) x (t) Soluzione. Autovalori ed autovettori: µ µ λ u, λ u imodisono c u µ,c e t µ 9
10 e quindi x (t) e At x () Ue Λt U x () µ µ µ e t 8. Dato il sistema descritto da ẋ (t) µ 6 3 µ +e t x () e t x () x (t) determinare per quali valori delle condizioni iniziali, l evoluzione libera risulta costante. Soluzione. Autovalori ed autovettori µ µ 3 λ u, λ 5 u e quindi x (t) e At x () Ue Λt U x () µ µ µ 3 3 e 5t 5 5 x () 5 5 µ e5t 3 µ e5t x () e5t e5t x () µ x 5 () + 3x 5 () e5t (x () x ()) x 5 () + 6x 5 () + 5 e5t (x () x ()) L evoluzione libera resta costante se x () x () ecioèperstatiinzialideltipo µ α x () α 9. Dato il sistema descritto da ẋ (t) 3x (t)+x (t) ẋ (t) x (t) u (t) ẋ 3 (t) x 3 (t)+u (t) y (t) x 3 (t)
11 (a) Determinare le matrici A, B, C, D; (b) Determinare i modi naturali; (c) Calcolare l evoluzione libera nello stato e nell uscita a partire dallo stato iniziale x () x (), x 3 () Soluzione. 3 A,B Autovalori ed autovettori: u λ,u,c,d λ,u 3 λ 3 3 imodinaturalisonoquindi c e t Si vuole poi che ottenendo c,c e t + c,c 3 e 3t c,c 3,c + c 3 epertanto x l (t) e t
12 y l (t) Cx l (t) e t e t. Un reattore chimico continuo a mescolamento perfetto (CSTR), isotermo, a sezione costante S, è schematizzato in figura: dove h (t) rappresenta il livello del liquido interno. Il reattore èalimen- tato da due ingressi di portata variabile q (t)eq (t) con concentrazioni costanti c e c di una stessa sostanza della quale si vuole determinare la dinamica della concentrazione c (t) nelflusso d uscita. Le equazioni che caratterizzano il reattore sono le seguenti: con ḣ (t) c (t)+q (t)+q (t) ċ (t) c (t) h (t)+q (t) q (t) h () c () ; Determinare: (a) le matrici A, B, C e D di una rappresentazione con lo spazio di stato del reattore; (b) la matrice e At
13 (c) l evoluzione libera nell uscita; (d) l istante di tempo per cui si ha, in assenza di ingresso, la scomparsa della sostanza nel flusso d uscita. Soluzione. Assumendo come variabili di stato: x h, x c, u q,u q,y x si ricava µ A µ,b,c,d µ x () pertanto e t Ue t U dove λ ± j e µ u a µ, u b Quindi µ cos t +sint e At e t sint sin t cos t sin t x l (t) e At x () e t µ sin t cos t sin t y l (t) Cx l (t) e t sint cos t sin t oppure, alternativamente, si poteva calcolare µ µ µ c a + c b c a,c b 3
14 µ x (t) e t [sin t m, sin ϕ, cos ϕ ϕ µ +cost ] e t µ sin t cos t sin t ottenendo (ovviamente!) lo stesso risultato. Infine, per avere x (t) c (t) deve accadere che cos t sin t e quindi t π 4.. Dato un sistema descritto da ẋ (t) x (t)+ 3 y (t) x (t) determinare: (a) i modi naturali del sistema (b) la matrice e At u (t) (c) l evoluzione libera nello stato e nell uscita a partire dallo stato iniziale x () Soluzione. Autovalori ed autovettori: u λ,u λ,u 3 λ 3 3 imodinaturalisonoquindi c e t,c e t,c 3 e 3t 4
15 Si vuole poi che ottenendo c + c c c c 3 + c 3 epertanto x l (t) e t e t e 3t y l (t) Cx l (t) e t e t e t + e t + e 3t e 3t 5
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