FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

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1 FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A R è periodica di periodo T 0 se R f (+T) = f() La funzione f(): A R è pari se f (- ) = f() ; è dispari se f (- ) = - f() Funzioni Composte : f g = f ( g() ); g f = g (f()); esempio: f() = 2; g()= 2 ; f g = ( 2 ) 2 = 2 2 invece g f = ( 2 ) 2 = 4 2 g= ^2 2 f=radd. 2( 2 ) f= radd 2 g=^2 ( 2 ) 2. Dominio o Campo di esistenza : è il Codominio della funzione, cioè il sottoinsieme di R in cui attraverso f() si trovano i corrispondenti y di ; sottoinsieme di R formato da tutti gli per cui esiste la funzione. Lo studio del C.D.E. riguarda le seguenti funzioni: Frazione: una frazione esiste solo se il suo denominatore è diverso da zero: basta uguagliare a zero il denominatore, trovarne le sue radici (1,2,...n) ed escluderle da D. f() = A() ; B()=0 D : R { 1, 2,...n }. B() Esempio: f() = (-1) / (-2) deve essere -2 0 D: R : 2; n Radicale: f() = A() ( con n=numero pari ) f () R : A() 0; esempio: f() = ( -2) D: R : 2; Funzioni Trigonometriche: arcsen(a()) ed arcos(a()) : D: R : -1 a() 1 ; tg (a()): D: R : { a() ½ Π + kπ } con k Z ; cotg (a()): D: R : { a() kπ } con k Z ; sec ( a() ): D: R : { a() ½ Π + 2kΠ } con k Z ; cosec ( a()): D: R : { a() 2kΠ } con k Z ; Funzioni Trascendenti: f() = B() P ( X ) : D (f()) = { D (B()) D (P()) ; B() >0 } ; f() = Log B() ( A() ) : D (f()) = { D (B()) D (A()) ; B() 1; B()>0; A() >0 ; } il dominio è la soluzione comune del Sistema tra parentesi {... }. Logaritmo a base numerica: f() = Log b (A()) con b Z: D: R : A() > 0 ; 35

2 GRAFICI DI FUNZIONI NOTEVOLI 36

3 Funzioni Esponenziali Funzioni Logaritmiche 37

4 Funzioni Goniometriche 38

5 Funzioni Iperboliche 39

6 GRAFICI DI FUNZIONI TRIGONOMETRICHE 40

7 ISOMETRIE Una affinità è una trasformazione lineare che ad ogni punto P(; y) del piano fa corrispondere un altro punto P (X; Y) le cui coordinate sono date da una loro combinazione lineare. Tra le principali affinità si hanno le ISOMETRIE, che si distinguono in dirette (dette anche rototraslazioni) o inverse (tra cui le simmetrie). Le isometrie dirette sono dunque del tipo: identità (=X e y=y), traslazioni e rotazioni. Traslazione degli Assi: Dati due sistemi cartesiani ortogonali monometrici (Oy) e (O XY), con la stessa unità di misura, se O (a; b) è l origine del nuovo sistema, le coordinate di uno stesso punto P visto dai due sistemi sono legate dalle formule: Rotazione degli Assi: Rotazione degli Assi: Le formule per la rototraslazione sono la combinazione di quelle per la traslazione e di quelle per la rotazione. 41

8 Simmetria rispetto all origine degli assi: = = L origine O del sistema di riferimento è il punto medio del segmento che unisce i due punti simmetrici P e P. Simmetria rispetto ad un punto qualsiasi: =2 = 2 =2 = 2 Il punto C (a,b) (centro di simmetria) è il punto medio del segmento che unisce i due punti simmetrici P e P. Ad esempio, l equazione della retta r simmetrica rispetto al punto C(1,-2) alla retta r: 3+2y-1=0 si ottiene risolvendo il sistema =2(1) = 2( 2) sostituendo nella retta r : 3( 2- ) +2 ( -4 y ) =0 da cui: r : 3+2y+3; Simmetria rispetto ad una retta: Rispetto all asse X Rispetto all asse Y Rispetto ad una retta qualsiasi = = = = La retta r simmetrica della retta r rispetto alla retta s la determino da M = punto medio dell asse che unisce r e r 42

9 GRAFICI DEDUCIBILI DA GRAFICI NOTI Supponiamo che la funzione y = f() o anche f: f() f: R R abbia il grafico di fig.1: le seguenti osservazioni permettono di dedurre il grafico di una funzione g() dal grafico noto della funzione f(): g() Metodo 1 f( + k ) traslazione orizzontale del grafico verso destra (se k<0 ) 2 f()+k traslazione verticale verso il basso ( se k<0 ) 3 f () Simmetria e ribaltamento rispetto all asse X ; 4 f ( ) Simmetria e ribaltamento rispetto all asse Y 5 f ( ) ribaltamento rispetto all asse X e all asse Y 6 f ( ) ribaltamento rispetto all asse X delle Parti Negative 7 f ( ) Il grafico a destra (delle positive) rimane uguale e si copia a sinistra ribaltato rispetto all asse Y 8 f ( ) prima si disegna il grafico f ( ) e poi si ribaltano le parti negat. 9 A f () dilatazione verticale (A > 1) 10 f ( / k) contrazione ( 0 < k< 1) o dilatazione (k>1) orizzontale 1. traslazione orizzontale 2. Traslazione verticale 3. ribaltamento rispetto asse X 4. Ribaltamento rispetto all asse Y 43

10 6: y = f () ; ribaltamento parti negative di f 7. y = f ( ) Dilatazione e contrazione verticale contrazione orizzontale ( 0 < k < 1 ) Funzioni Inverse Data la funzione f: A B o anche y = f(), la sua funzione inversa f -1 : B A o g() = f -1 (y) è il simmetrico rispetto alla bisettrice del 1 e 3 quadrante al grafico di f(). Ad es. le funzioni y=ln () e la funzione g = e X sono funzioni inverse come si vede in figura. Ad esempio, ricavo analticamente l inversa di una y = f() = seguendo 2 passi: 1) si ricava la dall equazione della funzione f(); = ( y 1) / 3 ; 2) in questa nuova espressione si scambiano la con la y; y = ( - 1) / 3 ; Quindi la funzione f() = 3+1 ha come funzione inversa la funzione g() = ( 1 ) / 3; 44

11 1) Limite finito per finito: ()= LIMITI DI FUNZIONI REALI Una funzione f: A B, per tendente a c, ammette come limite finito il numero l, e si scrive ()= se, fissato un numero ε positivo e piccolo a piacere, si può determinare un intorno I completo del punto c tale che, per ogni appartenente ad I, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione f() - l < ε Esempio: lim = = ; dimostrazione: = < ; cioè 2 2 < ; 2 < 2 2 ; 2 > 2 > 2 ( 1 2 )< 2 ( 1+2 )> < ; 2 > ; per definizione di limite dobbiamo trovare un intorno completo di 2, cioè il sistema deve verificare 2 ε < < 2 + ε = 2 + ε ε = = 2 ε ε = >0 ; 2 >0 <<2+ Abbiamo trovato un intorno completo di 2 in cui f() ammette come limite il valore ½. 2) Limite infinito per finito: ()= Una funzione f: A B, per tendente a c, ammette limite infinito, e si scrive ()= se, fissato un numero ε positivo e piccolo a piacere, si può determinare un intorno I completo del punto c tale che, per ogni appartenente ad I, escluso eventualmente c, risulti soddisfatta la disequazione f() > M con M numero grande positivo preso a piacere. In particolare: - se nell intorno I vale sempre la disequazione f() > M si dice che ()=+ ; - se nell intorno I vale sempre la disequazione f() < M si dice che ()= ; 3) Limite finito per infinito: ()= Una funzione f: A B, per tendente a, ammette limite finito l, e si scrive ()= se, fissato un numero ε positivo e piccolo a piacere, si può determinare un numero N>0 tale che, per ogni che soddisfa la condizione > N si ha f() - l < ε ; in particolare:. - se è verificata la disequazione X > N si dice che ()= ; - se è verificata la disequazione X < N si dice che ()= ; 4) Limite infinito per infinito: ()= Una funzione f: A B, per tendente a, ammette limite infinito, e si scrive ()= se, scelto un numero M>0 si può determinare un numero N>0 tale che, per ogni che soddisfi la condizione > N si abbia f() > M. 45

12 Limiti Notevoli esponenziali e logaritmici goniometrici Le 7 forme indeterminate ( i 7 peccati capitali )

13 Limiti di forme indeterminate Teorema di De L Hospital: Se lim f() = oppure lim f() = 0 g() g() 0 allora lim f() = lim f () = lim f () g() g () g () =. Altre forme indeterminate possono ricondursi a 0/0 o / ed applicare il Th suddetto: Forma indeterminata 0 : lim f() =0; lim g() = ; f() g() = f() = g() 1 1 g() f() Forma indeterminata - : lim f() = ± ; lim g() = ± ; Bisogna porre la forma f() - g() sotto forma di quoziente o di prodotto per essere ricondotti ai casi precedenti. Forma indeterminate del tipo 0 0 ; 0 ; 1 ; lim [ f()] g() Bisogna eseguire la trasformazione: e quindi [ f()] g() g() ln f() = e lim [ f()] g() = e lim g() ln ( f() ) Forma indeterminate del tipo: log 0 0 ; log 1 1 ; log 0 ; log 0 ; log Valendosi della proprietà : log a b = ln (b) ln (a) si ritorna alla forme 0/0 o /. Alcuni limiti particolari: lim sin() = N = 0 ; essendo -1 sin() 1 X lim (n) = 1 lim 0 + log () = - lim log a () = + ; lim a = 0 ; lim a = tutte 3 valide se a >1 lim sin() = NON ESISTE lim cos() = NON ESISTE lim tan() = NON ESISTE 47

14 Forme Simboliche: (+ )+(+ ) = + ; (- )+(- ) = - ; (+ )+N = + ; N/± = 0; (+ ) (+ ) = + ; (+ ) (- ) = - ; se N>0 valgono le 2 proprietà: (+ ) N = + ; se N<0 valgono le 2 proprietà: (+ ) N = - ; (+ )/N = + ; (+ )/N = - ; LIMITI DA RICORDARE lim sin () = non esiste! -> lim cos () = non esiste! -> lim [sin () ] = 1 -> 0 lim [ sin () ] tan () = 1 -> 0 lim [ e - 1 ] = 1 -> 0+ lim [ 1 + ] ln () = 1 -> 0 lim sin () = 0 -> Dim: essendo lim 1 = 0 -> sapendo che il limite di tale prodotto risulta essere nullo. Stessa dimostrazione per i due limiti seguenti: sin() 1 lim cos () = 0 -> lim sin 1 = 0 -> Altro limite importante: Dim: dal Binomio di Newton lim = 1 -> = e facendo il limite per ->0 lim = 0 = 0! = 1 -> 0 0 stessa dim. vale per lim 1-1 -> 0 = 1 I grafici delle due funzioni con (+) e (-) sono rispettivamente in figura: y y e 1 1/e

15 F O R M U L A R I O : tavola delle derivate fondamentali 49

16 REGOLE DI DERIVAZIONE Derivata della Funzione Inversa g() e g() sono simmetriche rispetto alla retta y = ; f (y o) = tg (α); g ( o) = tg (β) essendo α+ β = 90 ; tg (α) = tg ( 90 β ) = ctg (β); risulta ; Esempi: y = arctg (); si pone = tg (y) ; ; y = arcsin (); si pone = sin(y); y = arcos (); si pone = cos(y); Nel caso di funzioni composte bisogna moltiplicare per la derivata dell argomento: arcsin ; sin

17 DIFFERENZIALI Data una funzione = () definita e derivabile in un intervallo (,), si definisce differenziale della funzione data relativo al punto di ascissa 0, il prodotto della derivata della funzione, calcolata in quel punto, per l incremento della variabile, cioè: = (0) Δ o anche in modo generico = () Δ Esempio () = 3 e X0=2. Il differenziale relativo a tale punto è =3 X 2 Δ = Δ = 12 Δ Applicando la definizione di differenziale alla funzione = si ottiene: = 1 Δ, cioè il differenziale della variabile indipendente è uguale all incremento della variabile stessa. In base a ciò è possibile scrivere: = ( ) Dalla formula precedente risulta: SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL DIFFERENZIALE QM = incremento della f() = = Δf = f ( o + Δ) f( o) TM = tg (α) RM = f ( o) Δ TM = df = differenziale di f Spesso risulta utile sostituire l incremento della funzione con il suo differenziale, cioè Δf = df il che significa approssimare nell intorno di 0 la curva f() con la sua Tangente in 0 f ( o + Δ ) f ( o ) ) R Q T M Δf = f (o+ Δ) f(o) = df = ( o ) Δ Esempi: 1) Calcola il valore approssimato di: 9,1635 : posto 9,1635 = 9 + 0,1635 ; o = 9; Δ = 0,1635 ; essendo ()= ; ()= = 9,1635= (9+0,1635) (9)+ (9) = 9+ ; (9+0,1635) (9)= (9) (0,1635)=3+ 0,1635=3,02725 Il valore preciso è invece 3,02713 ; nell approssimazione si commette un errore σ = 0, ) Approssima ln (0,98): 0,98 = 1 0,02 ; o = 1; Δ = 0,02; ()= (ln )= ln (0,98) (1)+ (1) = ln (1)+ ( 0,02)= 0,02 ; il valore reale è: -0,

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