Capitolo 4. Funzioni continue e limiti. 4.1 Intorni

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1 Capitolo 4 Funzioni continue e iti In questo capitolo definiremo la nozione di funzione continua e ne studieremo le proprietà fondamentali. Introdurremo inoltre l operazione fondamentale dell analisi infinitesimale, la nozione di ite di una funzione. 4. Intorni Per a rontare lo studio della continuità e dei iti di funzioni di una variabile, è opportuno introdurre la nozione di intorno di un punto in R. Definizione 4. (Intorno di un punto). Siano 0 2 R e U R. (a) Se 0 2 R, diciamo che U è intorno di 0 se esiste >0 tale che ] 0, 0 + [ U. (b) Se 0 =+, diciamo che U è intorno di + se esiste M>0 tale che ]M,+] U. (c) Se 0 =, diciamo che U è intorno di se esiste M>0 tale che [, M[ U. Il seguente lemma contiene alcune proprietà degli intorni che utilizzeremo in seguito. Lemma 4.2 (Proprietà degli intorni). Valgono i seguenti fatti. (a) Per ogni intorno U di 0 2 R, esiste I intervallo tale che I è intorno di 0 e I U. (b) Se, 2 2 R con < 2, allora esistono un intorno U di ed un intorno U 2 di 2 tali che per ogni a 2 U e b 2 U 2 si ha a<b. In particolare U \ U 2 = ;. (c) Se U,U 2 sono due intorni di 0 2 R, allora anche U \ U 2 è intorno di 0. 59

2 4.. INTORNI A.A (d) Se, 2 2 R sono tali che la somma + 2 sia ben definita, allora per ogni intorno U di + 2 esistono un intorno U di ed un intorno U 2 di 2 tali che per ogni a 2 U e b 2 U 2 si ha che a + b è ben definito e a + b 2 U. (e) Se, 2 2 R sono tali che il prodotto 2 sia ben definito, allora per ogni intorno U di 2 esistono un intorno U di ed un intorno U 2 di 2 tali che per ogni a 2 U e b 2 U 2 si ha che ab è ben definito e Dimostrazione. (a) Immediato dalla definizione. ab 2 U. (b) Consideriamo innanzitutto il caso 2 R: puòessereallora 2 2 R o 2 =+. Se 2 2 R, possiamoconsideraregliintervalli d U := 2, + d apple d e U 2 := 2 2 2, 2 + d apple 2 dove d = 2. Se 2 =+, possiamoscegliere Sia ora = scegliere U :=], +[ e U 2 :=] +, +]. : può essere ancora 2 2 R o 2 =+. Se 2 2 R, possiamo U := [, 2 [ e U 2 :=] 2, 2 +[, mentre se 2 =+ si può scegliere U := [, 0[ e U 2 :=]0, +]. (c) Immediato dalla definizione. (d) Supponiamo che + 2 = s 2 R. Allora, 2 2 R. Sia U intorno di s. Per definizione, esiste >0taleche ]s, s + [ U. Allora otteniamo la tesi se poniamo U := 2, + 2 apple e U 2 := 2 2, apple. Infatti se a 2 U e b 2 U 2,sihachea + b è b e n d e fi n i t a e s = <a+ b< = s + 60

3 A.A FUNZIONI CONTINUE cioè a + b 2]s, s + [ U, cioè che è la tesi. a + b 2 U Supponiamo che + 2 =+, e senza perdere di generalità che apple 2. Questo può accadere se 2 R e 2 =+ oppure se = 2 =+. Sia U un intorno di +. PerdefinizioneesisteM>0 tale che ]M,+[ U. Latesi si ottiene ponendo nel primo caso mentre nel secondo U :=] M,+] e U 2 :=]2M, +] U :=] M,+] e U 2 :=]2M,+]. Il caso + 2 = è simile. (d) Omettiamo la dimostrazione. 4.2 Funzioni continue Siano E R un insieme, f : E! R una funzione e 0 2 E.. Poniamo la seguente definizione. Definizione 4.3. Siano E R, 0 2 E e f : E! R. Diciamo che f è continua in 0 se per ogni intorno V di f( 0 ) esiste un intorno U di 0 tale che f(u \ E) V. Diremo che f è continua su E se f è continua in ogni 0 2 E. Possiamo interpretare la continuità di f in 0 2 E nei seguenti modi. (a) Da un punto di vista analitico, possiamo dire che f()èprossimo a f( 0 )se è vicino a 0, cioè a piccole variazioni della variabile vicino a 0 corrispondono piccole variazioni della funzione. 6

4 4.2. FUNZIONI CONTINUE A.A ( 0,f( 0 )) (, f()) 0 (b) Da un punto di vista geometrico, possiamo dire all avvicinarsi di 2 E a 0,ilpunto (, f()) 2G f si approssima sempre più al punto ( 0,f( 0 )). 2. La continuità delle funzioni è una proprietà stabile per somma e prodotto. Proposizione 4.4 (Continuità di somma e prodotto). Siano E R, 0 2 E e f,g : E! R due funzioni. Se f e g sono continue in 0, allora risultano continue in 0 anche le funzioni f + g e fg. Dimostrazione. Iniziamo con la funzione somma. Sia V un intorno di f( 0 )+g( 0 ). Allora esistono due intorni V di f( 0 )ev 2 di g( 0 )talicheperognia 2 V e b 2 V 2 si ha che a + b è b e n d e fi n i t o e a + b 2 V. Per la definizione di continuità esistono U e U 2 intorni di 0 tali che f(u \ E) V e g(u 2 \ E) V 2. Sia U := U \ U 2 : U è intorno di 0.Perogni 2 U \ E si ha così che Concludiamo dunque che f() 2 V e g() 2 V 2 f()+g() 2 V. (f + g)(u \ E) V ecioèchef + g è c o n t i n u a i n 0. Passiamo alla funzione prodotto. Sia V un intorno di f( 0 )g( 0 ). Allora esistono due intorni V di f( 0 )ev 2 di g( 0 )talicheperognia 2 V e b 2 V 2 si ha che ab è b e n d e fi n i t o e ab 2 V. 62

5 A.A FUNZIONI CONTINUE Per la definizione di ite esistono U e U 2 intorni di 0 tali che f(u \ E) V e g(u 2 \ E) V 2. Sia U := U \ U 2 : U è intorno di 0.Perogni 2 U \ E si ha f() 2 V e g() 2 V 2 così che Concludiamo dunque che f()g() 2 V. (fg)(u \ E) V ecioèchefg è c o n t i n u a i n 0. La continuità è una proprietà stabile anche per composizione. Proposizione 4.5 (Continuità della composizione). Siano E,F R, f : E! R e g : F! R due funzioni tali che f(e) F. Sia 0 2 E tale che f è continua in 0 e g è continua in f( 0 ). Allora la funzione composta g f : E! R è continua in 0. Dimostrazione. Per la continuità di g in g(f( 0 )), per ogni intorno V di g(f( 0 )) esiste un intorno V di f( 0 )taleche g(v \ F ) V. Per la continuità di f in 0 esiste U intorno di 0 tale che Si ha allora che f(u \ E) V \ F da cui f(u \ E) V. (g f)(u \ E) g(v \ F ) V che implica dunque la continuità di g f in La nozione di continuità può riformularsi in modo classico nel seguente modo. Proposizione 4.6. Siano E R, f : E! R e 0 2 E. Allora f è continua in 0 se e solo se per ogni ">0 esiste >0 tale che 8 2] 0, 0 + [ \E : f() f( 0 ) <". 63

6 4.3. CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI ELEMENTARI A.A Dimostrazione. Supponiamo che f sia continua in 0.Dato">0, consideriamo l intorno di f( 0 ) V :=]f( 0 ) ", f( 0 )+"[. Per la definizione di continuità, esiste U intorno di 0 tale che f(u \ E) V.Scegliamo >0taleche] 0, 0 + [ U. Allora per ogni 2 ] 0, 0 + [ \E si ha f() 2 V, cioè f() f( 0 ) <",cosìchelaproprietàèverificata. Supponiamo viceversa che la proprietà sia verificata. Consideriamo V intorno di f( 0 ). Esiste ">0con ]f( 0 ) ", f( 0 )+"[ V. Sia >0 il numero associato a ": ponendou :=] 0, 0 + [sihasubitoche f(u \ E) ]f( 0 ) ", f( 0 )+"[ V cioè f è c o n t i n u a i n 0. Osservazione 4.7. Grazie alla proposizione precedente, possiamo rendera quantitativa l interpretazione geometrica della continuità di f in 0 in termini di G f. Sia f continua in 0 e sia " >0. Consideriamo ">0taleche p 2"< ". Sia >0talecheperogni 2] 0, 0 + [\E f() f( 0 ) <". Allora, non essendo restrittivo supporre <", siha dist[(, f()), ( 0,f( 0 ))] = p f() f( 0 ) 2 < p 2 + " 2 < p 2"< ". Vediamo dunque che per 2] 0 di "., 0 + [\E il punto (, f()) dista da ( 0,f( 0 )) meno 4.3 Continuità delle funzioni elementari Grazie alle proposizioni precedenti, possiamo vedere che le funzioni elementari sono funzioni continue. Procediamo per passi.. Le funzioni costanti f : R! R 7! c con c 2 R, lafunzioneidentica g : R! R 7! 64

7 A.A CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI ELEMENTARI elafunzionereciproco h : R \{0}! R 7! sono continue. Per verificarlo, è conveniente la reinterpretazione della continuità data dalla Proposizione 4.6. Per quanto riguarda la funzione costante, per ogni " > 0possiamoscegliereun qualsiasi. Passiamo alla funzione identica g: la continuità nel generico punto 0 segue scegliendo = ". Passiamo infine alla funzione reciproco h. Siano 0 6= 0 e " > 0. Poiché per 6= 0con 0 < 0 /2 siha > 0 /2 ricaviamo allora Dunque se ">0, basta scegliere 0 = 0 0 apple =min 2, 0 2 " 2 per avere che se 0 < allora 6= 0(cioè appartiene al dominio di h) e 0 <" cioè la continuità desiderata. 2. I polinomi e le funzioni razionali fratte sono funzioni continue. Essendo la funzione 7! continua, allora per la stabilità della continuità rispetto al prodotto risultano continue tutte le sue potenze! n. Inoltre anche la funzione costante è continua. Dunque per la stabilità della continuità rispetto alla somma si ha che i polinomi sono funzioni continue. Per la stabilità per composizione, ricaviamo che se g() è un polinomio, la funzione 7! g() è continua sul suo dominio di definizione, cioè per diverso dalle eventuali radici di g. Grazie alla stabilità rispetto al prodotto, ricaviamo che se f() èunpolinomio,allorala funzione 7! f() g() 65

8 4.4. LIMITI DELLE FUNZIONI A.A è continua sul suo dominio di definizione. Dunque le funzioni razionali fratte sono continue. 3. Si può verificare che le funzioni potenza -esima, radice n-esima, le funzioni esponenziali e logaritmiche, le funzioni circolari e quelle iperboliche sono continue nel loro dominio di definizione. 4. La funzione modulo 7! è continua su R. Latesiseguedalladisuguaglianza a b apple a b a, b 2 R che implica 0 apple 0. Dunque dato ">0, si può scegliere = ". 5. Le osservazioni precedenti sulla continuità delle funzioni elementari, insieme con la stabilità della proprietà di continuità rispetto a somme, prodotti e composizioni, permettono di dimostrare agevolmente la continuità (nel loro dominio di definizione) di molte funzioni che si incontrano nelle applicazioni. Ad esempio è continua su R \ { } la funzione f() = sin( + )cos Limiti delle funzioni Siano E R e f : E! R una funzione. La nozione di ite codifica il comportamento di f vicino ai punti di accumulazione di E; se tali punti non appartengono ad E, la nozione di ite permette, in un certo senso, di calcolare f anche dove essa non è definita, assegnandole un valore che ne riassume l andamento asintotico.. Il concetto di punto di accumulazione è alla base della formulazione della teoria dei iti. Definizione 4.8. Siano E R e 0 2 R. Diciamo che 0 è di accumulazione per E se per ogni intorno U di 0 si ha U \ (E \{ 0 }) 6= ;. Geometricamente, 0 è d accumulazione per E se esistono punti di E diversi da 0 ed arbitrariamente vicini ad esso. Esempio 4.9. Il punto èd accumulazionepere =[, +[: infatti per ogni >0si ha che ], + [ \ ], +[6= ;. 66

9 A.A LIMITI DELLE FUNZIONI Invece il punto 2nonèd accumulazionepere: infattisihache apple 2 2, 2+ \ E = ;. 2 Infine + è d accumulazione per N ma non per E = { n : n 2 N}. Osservazione 4.0. Notiamo che se 0 è d a c c u m u l a z i o n e p E, e r allorapuòessereche 0 62 E: ad esempio 0 è d accumulazione per ]0, ] ma 0 62]0, ]. Èfacilevederechegliinsiemiconunnumerofinitodielementinonposseggonopuntidi accumulazione. Questo non accade per gli insiemi infiniti: si può dimostrare infatti che ogni insieme con un numero infinito di elementi ammette almeno un punto di accumulazione. 2. La definizione di ite è la seguente. Definizione 4.. Siano E R, f : E! R una funzione e 0 2 R un punto di accumulazione per E. Diciamo che l 2 R è il ite di f per tendente a 0 e scriviamo l =!0 f() se per ogni intorno di V di l esiste un intorno U di 0 tale che f(u \ (E \{ 0 })) V. Diamo un interpretazione analitica della precedente definizione. (a) Se l 2 R è i l l i m i t fe per d i tendente a 0, f assume vicino a 0 un valore prossimo a l, eccettuatoalpiùin 0 se 0 2 E. Dunquef si stabilizza vicino a l per tendente a 0.Sidicechef è convergente per! 0 al valore l. (b) Se!0 f() =+, alloraf() assumeper vicino a 0 con 6= 0 valori sempre più grandi: si dice che f diverge positivamente per tendente a 0. Se!0 f() =, alloraf() assume per vicino a 0 con 6= 0 valori sempre più negativi: si dice che f diverge negativamente per tendente a 0. In termini geometrici, possiamo dire quanto segue. (a) Se 0 2 R e f() =l 2 R si ottiene un interpretazione geometrica simile a quella vista per la continuità. l è i l ite di f per tendente a 0 se il grafico di f ristretto ad un intervallo centrato in 0 intersecato E, eccettutato al più il punto ( 0,f( 0 )), si trova vicino al punto ( 0,l). 67

10 4.4. LIMITI DELLE FUNZIONI A.A l + " l + " l l l " l " E (b) Se 0 2 R e f() =+, allora f() assumevalorisemprepiùaltiper che si avvicina a 0. Il grafico di f si approssima sempre più a quello della retta verticale = 0.Diciamoallorachef ammette un asintoto verticale in 0.Undiscorsoanalogosihase!0 f() =. = f() 0 (c) Se 0 =+ e f() =l 2 R,!+ il grafico di f si approssima sempre più a quello della retta orizzontale = l. Sidice allora che f ammette la retta = l come asintoto orizzontale. 68

11 A.A LIMITI DELLE FUNZIONI l = f() (d) Se f() =+!+ allora f()assumevalorisemprepiùaltialcresceredi. Dunquefissatounaqualsiasi M>0, il grafico di f per grande si trova sopra la retta = M. Se f() =!+ allora f() assumevalorisemprepiùnegativialcresceredi. Dunque fissata un qualsiasi M>0, il grafico di f per grande si trova sotto la retta = M = f() M N N M = f() 3. La nozione di ite può riformularsi in termini più classici nel seguente modo. Conviene distinguere i casi 0 2 R e 0 = ±. Le dimostrazioni sono analoghe a quella della Proposizione

12 4.4. LIMITI DELLE FUNZIONI A.A Proposizione 4.2 (Caso 0 2 R). Siano E R, f : E! R una funzione e 0 2 R un punto di accumulazione per E. Valgono i seguenti fatti. (a) Se l 2 R, si ha l =!0 f() se e solo se per ogni ">0 esiste >0 tale che 8 2] 0, 0 + [ \E, 6= 0 : f() l <". (b) Si ha!0 f() =+ se e solo se per ogni M>0 esiste >0 tale che 8 2] 0, 0 + [ \E, 6= 0 : f() >M. (c) Si ha!0 f() = se e solo se per ogni M>0 esiste >0 tale che 8 2] 0, 0 + [ \E, 6= 0 : f() < M. La definizione di ite per tendente a + si riformula nel seguente modo. Proposizione 4.3 (Caso 0 = +). Siano E R e f : E! R una funzione. Supponiamo che + sia un punto di accumulazione per E. Valgono i seguenti fatti. (a) Se l 2 R, si ha l =!+ f() se e solo se per ogni ">0 esiste N>0 tale che 8 2]N,+[ \E : f() l <". (b) Si ha!+ f() =+ se e solo se per ogni M>0 esiste N>0 tale che 8 2]N,+[ \E : f() >M. (c) Si ha!+ f() = se e solo se per ogni M>0 esiste N>0 tale che 8 2]N,+[ \E : f() < M. Il caso tendente a è analogo al precedente. Proposizione 4.4 (Caso 0 = ). Siano E R e f : E! R una funzione. Supponiamo che sia un punto di accumulazione per E. Valgono i seguenti fatti. (a) Se l 2 R, si ha l =! f() se e solo se per ogni ">0 esiste N>0 tale che 8 2], N[ \E : f() l <". (b) Si ha! f() =+ se e solo se per ogni M>0 esiste N>0 tale che 8 2], N[ \E : f() >M. 70

13 A.A LIMITI DELLE FUNZIONI (c) Si ha! f() = se e solo se per ogni M>0 esiste N>0 tale che 8 2], N[ \E : f() < M. 4. Il concetto di ite e quello di continuità in un punto sono legati dal seguente risultato. Proposizione 4.5 (Limiti e continuità). Siano E R, f : E! R una funzione ed 0 2 E. Se 0 è d accumulazione per E, allora f è continua in 0 se e solo se f() =f( 0 ). Dimostrazione. La dimostrazione discende immediatamente dalla definizione di continuità e di ite. La proposizione precedente mostra che la nozione di ite, almeno per le funzioni continue, è interessante solo nei punti d accumulazione del dominio ma non appartenenti ad esso. 5. Il legame con la continuità permette di ricavare l esistenza di molti iti. Tuttavia l esistenza del ite di una funzione non è sempre garantita. Ad esempio la funzione f : R \{0}!R data da f() = non ammette ite per! 0. Ciò è chiaro dal grafico di f vicino a 0 che si avvicina ai valori e. 6. Notiamo che l esistenza ed il valore del ite di f per tendente a 0 dipende solo dal comportamento di f vicino a 0 :inaltreparole,sef e g coincidono su E \U con U intorno di 0,allorailitedif per tendente a 0 esiste se e solo se esiste quello di g ed essi sono uguali. Questa osservazione mostra che il concetto di ite è una proprietà locale. 7. Notiamo la validità dei seguenti iti per le funzioni elementari. Se n 2 N con n!+ n =+ 7

14 4.5. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI A.A e! n = Similmente!+ =+ se >0. Inoltre ( + se n è p a r i se n è d i s p a r. i!+ =! =0. Notiamo anche che il ite per! 0 di non esiste: infatti la funzione diventa arbitrariamente grande sia in positivo che in negativo vicino a =0. Abbiamo inoltre che ( + se a>!+ a =! a = 0 se a< ( 0 se a> + se a<. In particolare per la funzione esponenziale abbiamo Riguardo alle funzioni logaritmiche si ha!+ e =+ e! e =0. log a =!+ log a =!0 In particolare per il logaritmo naturale si ha ( ( + se a> se a< se a> + se a<. ln =+ e ln =.!+!0 Notiamo infine che le funzioni circolari seno e coseno non ammettono ite per! + o! : esse infatti tendono ad oscillare tra i valori ± senzastabilizzarsiverso alcun valore. Nel seguito dimostreremo rigorosamente che tali iti non esistono. 4.5 Primi teoremi sui iti In questa sezione ci occupiamo dei primi teoremi sui iti.. Vale il seguente risultato. 72

15 A.A PRIMI TEOREMI SUI LIMITI Teorema 4.6. Siano E R, f : E! R una funzione e 0 2 R un punto di accumulazione per E. Sia f() =l 2 R. Valgono i seguenti fatti. (a) Unicità del ite. Se si ha allora l = l. f() = l 2 R, (b) Permanenza del segno. Se l 6= 0, allora esiste un intorno U di 0 tale che f ristretta a U \ (E \{ 0 }) ha lo stesso segno di l. (c) Locale itatezza. Se l 2 R, allora esiste un intorno U di 0 tale che f ristretta a U \ E è itata. Dimostrazione. Trattiamo i tre risultati separatamente. (a) Supponiamo per assurdo che l 6= l. Allora esistono due intorni V di l e V 2 di l tali che V \ V 2 = ;. Per la definizione di ite, esistono due intorni U,U 2 di 0 tali che e f (U \ (E \{ 0 })) V f (U 2 \ (E \{ 0 })) V 2. Consideriamo U := U \ U 2.L insiemeu è un intorno di 0 tale per cui f (U \ (E \{ 0 })) V e f (U \ (E \{ 0 })) V 2. Ma questo è assurdo perché f (U \ (E \{ 0 })) 6= ; e V \ V 2 = ;. La tesi è così dimostrata. (b) Supponiamo l>0, il caso l<0 essendo del tutto simile. Allora V =]0, +] è un intorno di l. Perladefinizionediite,esisteU intorno di 0 tale che f (U \ (E \{ 0 })) ]0, +[, cioè f è p o s i t i v a s U u \ (E \{ 0 }). La tesi è dunque dimostrata. (c) Per la definizione di ite, scegliendo V =]l che per ogni 2 U \ (E \{ 0 })siabbia,l+[, esiste un intorno U di 0 tale l apple f() apple l + ecioèf è itata su U \ (E \{ 0 }). Se 0 62 E, la tesi è dimostrata. Se 0 2 E, allora f è l i m i t a t a a n c h e U s u \ E dovendosi aggiungere solo il valore f( 0 ) 2 R. La tesi è dunque dimostrata. 73

16 4.5. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI A.A Vediamo come si comportano i iti di funzioni rispetto alle operazioni di somma, prodotto ecomposizione. Proposizione 4.7 (Somma e prodotto dei iti). Siano E R, f,g : E! R due funzioni, e sia 0 2 R un punto di accumulazione per E. Siano f() =l e g() =l 2!0 con l,l 2 2 R. Allora valgono i seguenti fatti. (a) Se la somma l + l 2 è ben definita, allora la funzione somma f + g : E! R ammette ite per! 0 e (f()+g()) = f()+ g().!0!0 (b) Se il prodotto l l 2 è ben definito, allora la funzione prodotto fg : E! R ammette ite per! 0 e f()g() = f() g().!0!0 Dimostrazione. La dimostrazione è del tutto analoga a quella della stabilità della continuità rispetto a somma e prodotto. 3. Vediamo come si comporta il concetto di ite attraverso una composizione. Proposizione 4.8 (Composizione dei iti). Siano E R, F R, f : E! R e g : F! R due funzioni tali che f(e) F. Sia 0 2 R un punto di accumulazione per E e supponiamo che f() 2 R. Valgono i seguenti fatti. (a) Se!0 f() =l 2 F e g è continua in tale punto, allora la funzione composta g f : E! R ammette ite per! 0 e (g f)() =g(!0 f()) = g(l). 74

17 A.A PRIMI TEOREMI SUI LIMITI (b) Se!0 f() =l è d accumulazione per F con g(t) 2 R t!l e se esiste un intorno U di 0 tale che f() 6= l per ogni 2 U \ (E \{ 0 }), allora la funzione composta g f : E! R ammette ite per! 0 e (g f)() = t!l g(t). Dimostrazione. (a) Per la continuità di g in l, perogniintornov di g(l) esisteunintornov di l tale che g(v \ F ) V. Per la definizione di ite, esiste U intorno di 0 tale che f(u \ (E \{ 0 })) V. Si ha allora che f(u \ (E \{ 0 })) V \ F da cui (g f)(u \ (E \{ 0 })) g(v \ F ) V che implica dunque!0 (g f)() =g(l). (b) Sia t!l g(t) = l. Per la definizione di ite si ha che per ogni intorno V di l esiste un intorno V di l tale che g(v \ (F \{l})) V. Inoltre sempre per la definizione di ite, esiste U intorno di 0 tale che f(u \ (E \{ 0 })) V. Consideriamo Ũ := U \ U. Poichéf() 6= l per ogni 2 Ũ \ (E \{ 0}), allora si ha da cui che implica dunque!0 (g f(ũ \ (E \{ 0})) V \ (F \{l}) (g f)(ũ \ (E \{ 0})) V f)() = l. 4. Notiamo che i teoremi sulla somma e sul prodotto di iti richiedono che le quantità l +l 2 e l l 2 siano ben definite in R. Ad esempio nel caso della somma, non è contemplata la situazione l =+ e l 2 =. 75

18 4.5. PRIMI TEOREMI SUI LIMITI A.A Si può vedere che in tal caso esistono coppie di funzioni f e g tali che il ite di f +g esiste finito, coppie per cui esso è infinito e coppie per cui non esiste. Infatti se consideriamo le funzioni f() = e g() = + si ha f() =+!+ mentre essendo f + g = si ha Se consideriamo h() = Se infine k() = esiste. g() =!+ (f()+g()) =.!+ 2 si ha invece (f()+h()) = ( ) =.!+!+ +sin, allorasihaf() +k() =sin per cui il ite a + non 5. Nel caso del prodotto, non è contemplata ad esempio la situazione l =+ e l 2 =0 Anche in tal caso è possibile scegliere coppie di funzioni f,g in modo che il ite di fg esiste finito, coppie per cui esso è infinito e coppie per cui non esiste. Basta scegliere le funzioni f() = 4 elefunzioni g() = 4, h() = 2, k() = 3 per avere che f()g() =, f()h() =+!0!0 eche!0 f()k() nonesiste. 6. Nei casi in cui le operazioni tra l e l 2 non siano ben definite in R, siparladiforme indeterminate: ogni caso va trattato singolarmente, potendo portare a diverse conclusioni. Troviamo dunque le forme indeterminate 0 (+)+( ) 0 () 0 dove sta sia per + che per. Ad esse si aggiungono le forme che provengono dalle precedenti a partire da funzioni in forma di potenza f() g() tramite la riscrittura f() g() = e g()ln(f()). 76

19 A.A CRITERI DI CONFRONTO TRA I LIMITI 4.6 Criteri di confronto tra i iti In questa sezione vediamo come il concetto di ite interagisce con la relazione d ordine in R.. Iniziamo con il seguente risultato. Proposizione 4.9 (Confronto I). Siano E R, f,g : E! R due funzioni e sia 0 2 R un punto di accumulazione per E. Supponiamo che f e g ammettano ite per! 0 e che f() apple g() per ogni 2 E. Allora si ha f() apple g().!0 = g() 0 = f() Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che!0 g() =l 2 <l =!0 f(). Siano V e V 2 due intorni di l e l 2 tali che per ogni 2 V e 2 2 V 2 si abbia > 2. Dalla definizione di ite, ricaviamo l esistenza di due intorni U e U 2 di 0 tali che f(u \ (E \{ 0 })) V e g(u 2 \ (E \{ 0 })) V 2. Poniamo U := U \ U 2. Se 2 U \ (E \{ 0 }) 6= ;, sihaf() >g() control ipotesi. Dunque concludiamo che l apple l 2 elatesièdimostrata. 2. Un secondo risultato di confronto è il seguente. Proposizione 4.20 (Confronto II: teorema dei due carabinieri). Siano E R, f,g,h : E! R tre funzioni e sia 0 2 R un punto di accumulazione per E. Supponiamo che per ogni 2 E h() apple f() apple g(). 77

20 4.6. CRITERI DI CONFRONTO TRA I LIMITI A.A Se h() = g() =l!0 allora anche f ammette ite per! 0 e si ha f() =l. = g() l 0 = f() = h() Dimostrazione. Sia V un intorno di l. EsisteI intervallo tale che I è intorno di l e I V. Per la definizione di ite, esistono due intorni U e U 2 di 0 tali che h(u \ (E \{ 0 })) I e g(u 2 \ (E \{ 0 })) I. Se U := U \ U 2 ese 2 U \ (E \{ 0 })siha cioè f() 2 [h(),g()] I V f(u \ (E \{ 0 })) V. Di qui il fatto che!0 f() =l così che la tesi è dimostrata. 3. Notiamo che una funzione h : E! R è t a l e c h e se e solo se h() =0 h() =0. Partendo da questa osservazione e dal teorema dei due carabinieri, si deduce la validità del seguente risultato. 78

21 A.A UN PRIMO LIMITE FONDAMENTALE Proposizione 4.2. Siano E R, f,g : E! R due funzioni e sia 0 2 R un punto di accumulazione per E. Supponiamo che e che g sia itata. Allora f() =0 f()g() =0. Dimostrazione. In base all osservazione precedente, basta verificare che f()g() =0. Se g applem su E, notiamocheperogni 2 E vale la disuguaglianza Essendo 0 apple f()g() applem f(). (M f() ) =0, per il teorema dei due carabinieri si ha che!0 f()g() =0,cosìchelatesièdimostrata. L importanza del risultato precedente sta nel fatto che non si suppone nulla sull esistenza del ite di g per! 0 : esso potrebbe anche non esistere. Ad esempio, nel caso f() = e g() =sin si ha che g è l i m i t a t a e s s e n d o p e r o g 6= n i 0 apple sin apple edunque sin!0 = Un primo ite fondamentale: ite di sin tendente a zero per Vogliamo mostrare che sin!0 =. Esso non può essere calcolato grazie alle proprietà dei iti viste in precedenza dal momento che si presenta la forma indeterminata 0/0. 79

22 4.7. UN PRIMO LIMITE FONDAMENTALE A.A M M 0 O B A. Seguiamo un ragionamento geometrico. Consideriamo la circonferenza di raggio unitario centrata nell origine di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Considerando l angolo = AÔM piccolo e positivo, un confronto tra le aree dei triangoli OMB e OM 0 A con l area del settore circolare 0AM mostra che 2 sin cos < 2 < 2 tan da cui le relazioni cos < sin < cos. Tali relazioni valgono anche per piccolo e negativo dal momento che sin( ) cos( ) =cos e Notiamo che per la continuità della funzione coseno si ha = sin. cos = e!0!0 cos =. Per il teorema dei due carabinieri otteniamo dunque che sin!0 =. 2. Se avessimo misurato gli angoli in gradi sessagesimali considerando la funzione fsin associata, avremmo ottenuto fsin!0 = sin 80 =!0 80. Chiaramente il fattore numerico crea disturbo nelle formule trascinandosi in modifiche 80 onerose per il calcolo (in particolare complicherebbe alcune formule sulle derivate come vedremo in seguito). Ciò giustifica l utilità della misura degli angoli in radianti nell analisi infinitesimale. 80

23 A.A FUNZIONI MONOTONE E LIMITI 4.8 Funzioni monotone e iti In questa sezione dimostreremo un risultato di esistenza di ite per la classe delle funzioni monotone.. La definizione di monotonia per una funzione è la seguente. Definizione Siano I un intervallo e f : I! R una funzione. a) f è monotona crescente su I se per ogni, 2 2 I con < 2 si ha f( ) apple f( 2 ). (b) f è monotona decrescente su I se per ogni, 2 2 I con < 2 si ha f( ) f( 2 ). Se le disuguaglianze sui valori di f valgono con il segno di minore o maggiore stretto, cioè f( ) <f( 2 )ef( ) >f( 2 ), si parla di funzioni monotone strettamente crescenti e strettamente decrescenti. Geometricamente, le funzioni monotone crescenti hanno per grafico una linea che cresce al crescere di, possibilmenteanchecontrattiorizzontali.talitrattimancanoincasodi stretta monotonia crescente. = f() = f() Un interpretazione simile vale per le funzioni decrescenti. Un punto importante da notare è che le funzioni monotone possono anche essere non continue, potendo presentare a priori tanti punti di discontinuità. 2. Possiamo formulare ora il risultato fondamentale riguardante il ite di funzioni monotone. Teorema Siano a, b 2 R con a<be sia f :]a, b[! R una funzione. 8

24 4.8. FUNZIONI MONOTONE E LIMITI A.A = f() (a) Se f è monotona crescente su ]a, b[, si ha f() =inf!a f e ]a,b[!b (b) Se f è monotona decrescente su ]a, b[, si ha!a Dimostrazione. Dimostriamo la relazione f() =supf. ]a,b[ f() =supf e f() =inf f. ]a,b[!b ]a,b[ f() =inf f!a ]a,b[ del punto (a), essendo la dimostrazione delle altre del tutto simili. Sia dunque f monotona crescente e sia V un intorno di inf ]a,b[ f.perdefinizionediintornoesistel 0 > inf ]a,b[ f tale che [inf ]a,b[ f,l0 [ V. Per la caratterizzazione dell estremo inferiore di una funzione, esiste 2]a, b[ taleche f( ) <l 0. Consideriamo allora U := [, [. L insieme U è u n i n t o r n o d a. i Inoltreperlamonotonia di f si ha che per ogni 2 U\]a, b[ inf f apple f() apple f( ) <l 0 ]a,b[ così che f() 2 [inf ]a,b[ f,l 0 [ V.Deduciamodunqueche f(u\]a, b[) V 82

25 A.A UN SECONDO LIMITE FONDAMENTALE: IL NUMERO E così che il teorema è dimostrato. Notiamo che il teorema precedente vale anche nel caso in cui a = e b =+, cioè l intervallo di definizione di f è i l l i m i t a t o. 3. La nozione di monotonia può essere formulata anche per funzioni definite su sottoinsiemi generici E di R. Il teorema di esistenza del ite può essere adattato al caso generale di f : E! R considerando i iti per tendente a sup E oinfe apattocheessisianodi accumulazione per E. 4.9 Un secondo ite fondamentale: il numero e Vogliamo mostrare che + = +!+ = e! dove e è un numero compreso tra 2 e 3 detto il numero di Nepero. Esso ricorre spesso in Analisi matematica con un importanza non inferiore a quella di. Notiamo che il ite si presenta nella forma indeterminata.. Dobbiamo innanzitutto richiamare la formula del binomio di Newton. Un calcolo diretto mostra che il quadrato del binomio + con, 2 R è d a t o d a mentre il cubo del binomio + è d a t o d a ( + ) 2 = , ( + ) 3 = Per scrivere la formula del caso generale ( + ) n ci servono alcune definizioni. Definizione Sia n 2 N. Diciamo fattoriale di n il numero n! definito nel seguente modo: 0! =, n!=n(n )(n 2) Si ha così! =, 2! = 2, 3! = 3 2=6ecosìvia. Definizione Siano n, k 2 N con n k. Poniamo n n! = k k!(n k)! 83

26 4.9. UN SECONDO LIMITE FONDAMENTALE: IL NUMERO E A.A Notiamo che vale la simmetria n k = n n k Esempio Si ha ad esempio 2 = 2! 0 0!2! =, 2 = 2!!! =2, 2 2 = 2! 2!0! =. Similmente si ha 3 0 = 3 3 = 3! 0!3! =, 3 = 3 2 = 3!!2! =3. La formula per la potenza ( + ) n è la seguente (ne omettiamo la dimostrazione): si parla di formula del binomio di Newton. È utile la seguente notazione che abbrevia la scrittura di una somma: nx a k = a 0 + a + a a n. k=0 P è detto simbolo di sommatoria. Proposizione 4.27 (Formula del binomio di Newton). Siano, 2 R e n 2 N. Vale la formula nx n ( + ) n = n k k. k k=0 Notiamo che la formula precedente si riduce alle usuali formule del quadrato e del cubo di un binomio sopra ricordate. 2. Risulta utile inoltre la seguente relazione: da ricaviamo relazione valida per ogni q 6= en. ( q)( + q + q 2 + q q n )= q n+ +q + q 2 + q q n = qn+ q, 3. Torniamo al nostro ite e facciamo prima variare nell insieme dei numeri naturali non nulli: consideriamo cioè la funzione n 7! + n n, n. 84

27 A.A UN SECONDO LIMITE FONDAMENTALE: IL NUMERO E Poiché + è punto di accumulazione per N \{0}, siamonellecondizionidipotercalcolare + n. n!+ n Applicando lo sviluppo del binomio si ha + n =+n n n n(n ) n(n )(n 2) + + 2! n2 3! n n n = ! n 3! n n + n! n 2 n n. n La somma a secondo membro cresce al crescere di n coinvolgendo sempre più termini. Di conseguenza n 7! + n n è una funzione monotona strettamente crescente di n. Si ha certamente per n> 2 < + n n. Inoltre, poiché i binomi, 2... sono minori di, si ha n n + n n < ++ 2! + 3! + + n! < n. Calcolando la somma a secondo membro si ottiene + n < + 2 n n 2 =3 2 n edunqueperognin> 2 < + n n < 3. Grazie alla monotonia della successione, esiste il ite e = + n n!+ n erisulta2<e<3. 4. Per ottenere il ite con 2 R e! +, basta notare che se n ètaleche n apple apple n +,siha + n + apple + apple + n 85

28 4.0. UN TERZO LIMITE FONDAMENTALE A.A da cui Ma si ha e + n apple + apple + n + n n+. + n+ = + n!+ n n + = e =e n!+ n n + n = n!+ n + Per il criterio del confronto si ha allora!+ n!+ + n+ n+ + n+ + = e. = e = e. 5. Per ottenere il ite con 2 R e!,bastaporre = ( +) con >0per ottenere = = = per cui + = +! + = e.!+ 6. Notiamo infine la relazione + n = e n!+ n valida per ogni 2 R. Essa si ottiene ponendo = n (per 6= 0altrimentiilrisultato è banale) ottenendo + apple n = +. n Il risultato si ottiene passando al ite per! + o!. 4.0 Un terzo ite fondamentale: il ite di a per tendente a zero Vogliamo vedere che dato a>0 a!0 86 =loga.

29 A.A LIMITE SUPERIORE E LIMITE INFERIORE Possiamo supporre anche a 6= dal momento che in tal caso il ite risulta banalmente nullo (essendo = ). Notiamo che si presenta una forma indeterminata Poniamo per 6= 0 + z = a. Allora si ha da cui Se! 0, si ha z! + o z! logaritmo Abbiamo dunque che log a + z = z log z a + = z a a = log a + z. z,mainognicaso,grazieallacontinuitàdellafunzione a!0 a!0 = log a e =lna. =lna. 2. Nel caso particolare a = e otteniamo il ite notevole e!0 Da tale ite deriva immediatamente anche che ln( + )!0 Infatti se poniamo ln( + ) =t, siricava = e t ln( + )!0 =. =. ediliteinquestionediventa t = t!0 e t =. 4. Limite superiore e ite inferiore. Abbiamo visto in precedenza che esistono funzioni che non ammettono ite in un punto di accumulazione del loro dominio. In questa sezione introdurremo due concetti che qualificano il comportamento asintotico di un funzione vicino ad un punto e che si riducono all ordinario concetto di ite quando esso esiste.. Siano E R, f : E! R una funzione e 0 2 R un punto di accumulazione per E. Poniamo la seguente definizione. 87

30 4.. LIMITE SUPERIORE E LIMITE INFERIORE A.A Definizione Diciamo che M 2 R è un maggiorante definitivo per f in 0 se esiste un intorno U di 0 tale che 8 2 U \ (E \{ 0 }):f() apple M. Similmente diciamo che m 2 R è un minorante definitivo per f in 0 se esiste un intorno U di 0 tale che 8 2 U \ (E \{ 0 }):m apple f(). Indichiamo con L(f; 0 )em(f; 0 )l insiemedeiminorantiemaggiorantidefinitividi f in 0.Valeilseguenterisultato. Lemma Valgono i seguenti fatti. (a) L(f; 0 ) e M(f; 0 ) sono intervalli non vuoti. (b) Per ogni m 2L(f; 0 ) e per ogni M 2M(f; 0 ) si ha m apple M. Dimostrazione. Chiaramente 2 L(f; 0 )e+2m(f; 0 ), per cui tali insieme sono non vuoti. Inoltre dato m 2L(f; 0 )conassociatointornou, sem 0 <msi ha 8 2 U \ (E \{ 0 }):m 0 <mapple f() cioè m 0 è un minorante definitivo in 0 per f. Dunque L(f; 0 ) è un intervallo. Un ragionamento simile vale per M(f; 0 ) così che il punto (a) è dimostrato. Siano invece m 2L(f; 0 )em 2M(f; 0 ). Esistono U e U 2 intorni di 0 tali che e 8 2 U \ (E \{ 0 }):m apple f() 8 2 U 2 \ (E \{ 0 }):f() apple M. Posto U := U \ U 2 otteniamo per ogni 2 U \ (E \{ 0 }) da cui m apple M. m apple f() apple M 2. Poniamo la seguente definizione. Definizione 4.30 (Limsup e Liminf). Siano E R, f : E! R una funzione e 0 2 R un punto di accumulazione per E. Poniamo inf f() =supl(f; 0 ) e sup f() = inf M(f; 0 ). 88

31 A.A LIMITE SUPERIORE E LIMITE INFERIORE La definizione è ben posta grazie al Lemma Deduciamo inoltre che inf f() apple sup f(). Al contrario del ite, i iti superiore ed inferiore esistono sempre e forniscono un indicazione del comportamento asintotico di f vicino a 0.Essisileganoalconcettodiite nel seguente modo. Teorema 4.3. Siano E R, f : E! R una funzione e 0 2 R un punto di accumulazione per E. Allora il ite di f per tendente a 0 esiste se e solo se inf f() = sup f() ed in tal caso coincide con il loro valore comune. Dimostrazione. Supponiamo che f() =l. Trattiamo il caso l 2 R, icasil = ± essendo del tutto simili. Sia ">0. Per la definizione di ite esiste U intorno di 0 tale che f(u \ (E \{ 0 })) ]l ", l + "[. Deduciamo che l " è u n m i n o r a n t e d e fi n i t i v o e l c + h e " è u n m a g g i o r a n t e d e fi n i t i v o p e r f in 0.Dunquesiha l " apple inf Essendo " arbitrario, concludiamo Supponiamo viceversa che inf inf f() apple sup f() apple l + ". f() =supf() =l. f() = sup f() =l. Trattiamo il caso l 2 R, icasil = ± essendo del tutto simili. Sia V intorno di l esia ">0taleche[l ", l + "] V.EssendoM(f; 0 )unintervalloel =infm(f; 0 ), si ha che l + " 2M(f; 0 ). Similmente l " 2L(f; 0 ). Detti U,U 2 gli intorni di 0 associati, posto U := U \ U 2 si ha cioè Deduciamo allora che l =!0 f(). 8 2 U \ (E \{ 0 }):l " apple f() apple l + " f(u \ (E \{ 0 })) [l ", l + "] V. Vale il seguente risultato che giustifica la notazione sup e inf. 89

32 4.. LIMITE SUPERIORE E LIMITE INFERIORE A.A Proposizione Siano E R, f : E! R una funzione e 0 accumulazione per E. Valgono i seguenti fatti. (a) Se 0 2 R, si ha e inf f() = sup f() = inf f!0, >0 ] 0, 0 + [\(E\{ 0 }) sup!0, >0 ] 0, 0 + [\(E\{ 0 }) f. 2 R un punto di (b) Se 0 =+, si ha e inf!+ f() = sup f() =!+ inf f M!+ ]M,+[\E sup M!+ ]M,+[\E f. (b) Se 0 = e, si ha inf f() =! sup f() =! inf f M!+ ], M[\E sup M!+ ], M[\E f. Dimostrazione. Prendiamo il caso (a) e vediamo che inf f() = inf f.!0, >0 ] 0, 0 + [\(E\{ 0 }) Notiamo che per ogni >0laquantitàinf ]0, 0 + [\(E\{ 0 }) f è un minorante definitivo di f in 0. Si ha allora inf f apple inf f(). ] 0, 0 + [\(E\{ 0 }) Poiché l applicazione è monotona decrescente, mandando! inf ] 0, 0 + [\(E\{ 0 }) f!0, >0 ] 0, 0 + [\(E\{ 0 })! 0 + si ha (il ite è ben definito) inf f apple inf f(). Viceversa, sia m un minorante definitivo per f in 0 con associato intorno U. Sia 0 > 0 tale che ] 0 0, [ U. Sihaallora m apple inf f apple sup ] 0 0, [\(E\{ 0 }) >0 inf ] 0, 0 + [\(E\{ 0 }) f = inf!0, >0 ] 0, 0 + [\(E\{ 0 }) l ultima uguaglianza derivando dalla monotonia di! inf ]0, 0 + [\(E\{ 0 }) f. Ricaviamo allora inf f() apple inf da cui la tesi. f!0, >0 ] 0, 0 + [\(E\{ 0 }) 90 f,

33 A.A LIMITI DESTRO E SINISTRO 3. La precedente proposizione può essere usata per vedere che i iti per! + eper! delle funzioni circolari non esistono. Consideriamo la funzione seno ad esempio. È facile vedere che inf!+ Infatti si ha per ogni M>0 sin = e supsin =.!+ inf sin = e sup sin = 2]M,+[ 2]M,+[ da cui il risultato grazie alla Proposizione Discorsi analoghi valgono a eper la funzione coseno. Considerazioni simili mostrano che anche la funzione tangente non ammette ite per! + (così come per! ). Infatti si ha inf!+ tan = e suptan =+.!+ 4.2 Limiti destro e sinistro Siano E R, f : E! R e 0 un punto di accumulazione di E. Vogliamodareunsensoal ite di f quando tende a 0 assumendo valori più grandi o più piccoli di 0.. Siano E R un insieme e 0 2 R. Diciamoche 0 è un punto di accumulazione sinistro per E se 0 è punto di accumulazione per E\], 0 [. Similmente diciamo che 0 è u n punto di accumulazione destro per E se 0 è punto di accumulazione per E\] 0, +[. punti di accumulazione sinistri punti di accumulazione destri Geometricamente, 0 è punto di accumulazione sinistro per E se è punto di accumulazione per la parte di E asinistradi 0. Un interpretazione simile vale per il punto di accumulazione destro. 2. Se 0 è punto d accumulazione sinistro di E, possiamo applicare la teoria dei iti alla restrizione di f : E! R all insieme E\], 0 [. Se il ite per! 0 di tale restrizione esiste, esso si dice il ite sinistro di f in 0 esiindicacon f(). 9

34 4.2. LIMITI DESTRO E SINISTRO A.A Similmente se 0 è p u n t o d a c c u m u l a z i o n e d e s t r o Ed ei se il ite per! 0 della restrizione di f a E\] 0, +[ esiste,essosidiceilite destro di f in 0 esiindica con f().! + 0!0 f() = f()! + f() 0 0 Ad esempio si ha!0 = e!0 + = e!0 = e!0 + =+. Per il ite destro e sinistro valgono definizioni e proprietà simili a quelle viste per il caso del ite ordinario. Se ad esempio! + f() =l con l 2 R, ciòsignificacheper 0 ogni ">0esiste >0talecheperogni 2] 0, 0 + [\E si ha f() l <". Vale la seguente proposizione di facile verifica. Proposizione Siano E R, f : E! R e 0 2 R un punto di accumulazione destro e sinistro di E. Allora il ite per tendente a 0 di f esiste se e solo se esistono i iti destri e sinistri ed essi coincidono: in tal caso il ite risulta uguale al loro valore comune. 92

35 A.A LIMITI DESTRO E SINISTRO = L esistenza del ite a partire dall uguaglianza dei iti destro e sinistro è un caso particolare dell esistenza del ite rispetto a restrizioni che esauriscono l insieme di definizione di f. Se ad esempio E = F [ F 2 e 0 è d a c c u m u l a z i o n e p Fe r e F 2,allorail ite per! 0 di f esiste se e solo se esistono i iti di f ristretta a F e F 2 etali iti coincidono. 3. Sia 0 2 E di accumulazione destro e sinistro per E tale che f() =l e f() =l 2! + 0 con l,l 2 2 R e l 6= l 2.Diremointalcasochef ammette un salto in 0 di ampiezza l l 2. l l 2 = f() 0 Notiamo che se 0 2 E, f non è certamente continua in 0 :sidicespessochef ammette in 0 una discontinuità di prima specie. 4. Si possono infine adattare al caso di ite destro e sinistro anche le nozioni (e le relative proprietà ) di ite superiore ed inferiore: si scriverà ad esempio sup f() 93

36 4.3. INFINITESIMI ED INFINITI A.A per indicare il ite superiore per tendente a 0 della restrizione di f a E\], 0 [. 4.3 Infinitesimi ed infiniti Siano E R un insieme, f,g : E! R due funzioni e sia 0 2 R un punto di accumulazione di E.. Poniamo la seguente definizione. Definizione Diremo che f è infinitesima in 0 se f() =0. Il confronto fra diverse funzioni infinitesime si conduce nel seguente modo. Definizione Siano f e g infinitesime in 0 e supponiamo che g non si annulli in un intorno di 0 (salvo al più in 0 ). (a) Se (b) Se (c) Se f() g() = l 2 R \{0} diremo che f e g sono infinitesime dello stesso ordine in 0. f() g() =0 diremo che f è un infinitesimo di ordine superiore a g in 0. f() g() =+, diremo che f è un infinitesimo di ordine inferiore a g in 0. (d) In tutti gli altri casi, diremo che f e g sono infinitesimi non confrontabili con il criterio del rapporto dei iti. Se si usa spesso scrivere f() g() =0 f = o(g). 94

37 A.A INFINITESIMI ED INFINITI Si dice in tal caso che f è un o-piccolo dig per! 0. Allora nel caso in cui f è u n infinitesimo di ordine superiore a g in 0 avremo che f = o(g). Se f e g sono infinitesime dello stesso ordine in 0, possiamo invece scrivere f = lg + o(g) dove l 2 R, l 6= 0. Laquantitàlg si dice l infinitesimo principale di f rispetto a g per! 0,intendendocheilrestoètrascurabilerispettoadesso:vedremotrapocoinquale senso tale a ermazione è vera. 2. Se 0 2 R, spessosiutilizzalafunzione 7! ( 0 )comeinfinitesimodiconfronto: diremo che f è infinitesima di ordine n in 0 se f è infinitesima dello stesso ordine di ( 0 ) n in 0.Possiamoscrivere f() =l( 0 ) n + o(( 0 ) n ) con l 6= 0el( 0 ) n è l i n fi n i t e s i m o p r i n c i fp a per l e d i! 0. Ad esempio la funzione f() =e è infinitesima di ordine in =0essendo e!0 L infinitesimo principale di e per! 0risultaparia. Similmente f() = cos è i n fi n i t e s i m a d i o r d i n e 2 =0essendo i n =. cos =!0 2 2 e 2 2 è l i n fi n i t e s i m o p r i n c i p a l cos e d i per! La nozione di infinitesimo dello stesso ordine è utile nello studio dei iti dei rapporti. Se vogliamo calcolare il ite f () f 2 () esappiamochef è i n fi n i t e s i m a d e l l o s t e s s o o r d gi n mentre e d i f 2 è i n fi n i t e s i m a d e l l o stesso ordine di g 2,siha f () f 2 () = l g ()+o(g )() l 2 g 2 ()+o(g 2 )() = g () g 2 () l + o(g )() g () l 2 + o(g 2)() g 2 () =!0 l g () l 2 g 2 (). Dunque il ite di partenza è equivalente al ite del rapporto l g ()/l 2 g 2 (), cioè al ite del rapporto degli infinitesimi principali: in tal senso gli infinitesimi di ordine superiore possono essere trascurati. Se ad esempio f è i n fi n i t e s i m a d i o r d ni n ee f 2 è infinitesima di ordine n 2,allorasiha f () f 2 () = l ( 0 ) n l 2 ( 0 ). n 2 95

38 4.3. INFINITESIMI ED INFINITI A.A Il secondo ite è di facile studio, dipendendo solo dai numeri n e n 2. Ad esempio si ha e cos!0 sin 2 2 =!0 =0 cos 2!0 (e ) = 2 2!0 = Poniamo la seguente definizione. Definizione Diremo che f è infinita in 0 se f() =+. Il confronto tra infiniti si opera nel seguente modo. Definizione Siano f e g infinite in 0. (a) Se (b) Se (c) Se f() g() = l 2 R \{0}, diremo che f e g sono infinite dello stesso ordine in 0. f() g() =0, diremo che f è un infinito di ordine inferiore a g in 0. f() g() =+, diremo che f è un infinito di ordine superiore a g in 0. (d) In tutti gli altri casi, diremo che f e g sono infiniti non confrontabili con il criterio del rapporto dei iti. Se f e g sono infinite dello stesso ordine in 0,possiamoscrivere f = lg + o(g) dove l 2 R, l 6= 0. Laquantitàlg si dice l infinito principale di f rispetto a g per! 0 e come nel caso degli infinitesimi è la quantità a cui si deve guardare per il calcolo dei iti 96

39 A.A SUCCESSIONI dei rapporti: se f è infinita dello stesso ordine di g mentre f 2 è i n fi n i t a d e l l o s t e s s o o r d i n e di g 2,siha f () f 2 () = l g () l 2 g 2 () cioè il ite di partenza è equivalente al ite del rapporto degli infiniti principali. 5. Se 0 =+ o 0 =, si usa prendere come infinito di confronto la funzione 7! n : diremo che f è infinita di ordine n all infinito se f è infinita dello stesso ordine di n per! + o!.possiamoscrivere f() =l n + o( n ) con l 6= 0el n è l i n fi n i t o p r i n c i p fa l per e d i! + o!. Ad esempio si ha che f() = è infinita di ordine 5 per! + essendo = =3.!+ 5!+ 5 L infinito principale è dunque dato da 3 5, cioè dal termine di grado massimo del polinomio. Volendo calcolare il ite ! possiamo calcolare il ite degli infiniti principali e si ha ! Successioni =! = 7 Diciamo successione di numeri reali ogni funzione da N in R a : N! R n 7! a(n).!+ 3 =+. Si scrive solitamente a n al posto di a(n) esiindicalasuccessioneconisimboli(a n ) n2n o {a n } n2n.. Da un punto di vista geometrico, essendo una successione una particolare funzione, il grafico associato è composto di una quantità infinita di punti. Un altra utile rappresentazione geometrica di una successione consiste nel pensarla come un insieme di punti {a 0,a,a 2,...,a n...} in R indicizzati dall insieme N dei numeri naturali. 97

40 4.4. SUCCESSIONI A.A n a 0 a 2 a 3 a n a 2. Essendo delle funzioni speciali, possiamo particolareggiare alle successioni molte nozioni introdotte in precedenza. Ad esempio si dice che una successione (a n ) n2n è itata se esiste M>0talecheperognin 2 N a n applem. Geometricamente, ciò significa che l insieme dei punti della successione è contenuta nell intervallo itato [ M,M]. Una successione si dice monotona crescente se per ogni n 2 N a n apple a n+ esidicemonotona decrescente se per ogni n 2 N a n a n+. Geometricamente (a n ) n2n è m o n o t o n a c r e s c e n t e s e a l c r e s c e r ne ipuntidellasuccessione d i si spostano a destra (eventualmente rimanendo fermi) sulla retta reale. Similmente (a n ) n2n è monotona decrescente se al crescere n ipuntidellasuccessionesispostanoasinistra di (eventualmente rimanendo fermi) sulla retta reale. 3. La teoria dei iti può applicarsi alle successioni per n tendente a +: infatti+ è l unico punto di accumulazione di N. Si scrive n! a n essendo chiaro che l infinito menzionato è quello positivo. Si usa la seguente nomenclatura. Definizione Si dice che la successione di numeri reali (a n ) n2n 98

41 A.A SUCCESSIONI (a) converge se esiste finito n! a n ; (b) diverge positivamente se n! a n =+; (c) diverge negativamente se n! a n = ; (d) oscilla se non esiste n! a n. Se n! a n = a si scrive spesso a n! a. Esempio In base al ite notevole, sappiamo ad esempio che è convergente la successione a n = + n n eprecisamenteessaconvergeade per n!.esempidisuccessionidivergentisono a n = n 2 e b n = n 3. Un esempio di successione oscillante è invece a n =( ) n. 4. Valgono per le successioni tutti i concetti e le proprietà visti in precedenza nella teoria dei iti per funzioni di variabile reale: ad esempio valgono i risultati sulla somma ed il prodotto dei iti, i teoremi del confronto, i teoremi di esistenza dei iti per successioni monotone e così via. In particolare vale la seguente proposizione. Lemma Sia (a n ) n2n una successione convergente. Allora (a n ) n2n è itata. Dimostrazione. Per il teorema di locale itatezza, esistono M > 0 ed un intorno U di + tale che per ogni n 2 U a n applem. Sia N 2 N tale che ]N,+] U: dunquepern>n si ha a n applem. Poniamo Allora si ha per ogni n fm =ma{m, a 0, a, a 2,..., a N }. a n apple f M cioè la successione è itata. La dimostrazione è completa. 5. Sia (a n ) n2n una successione. Consideriamo una successione di numeri naturali n 0 <n < n 2 <n 3 <... elasuccessione {a n0,a n,a n2,a n3,...,a nk,...}. 99

42 4.4. SUCCESSIONI A.A La nuova successione (a nk ) k2n è d e t t a u n a sottosuccessione della successione (a n ) n2n. Ad esempio data la successione, 2, 3,, n, la successione 2, 4, 6,, 2n, è la sottosuccessione ottenuta considerando solo gli indici pari. Geometricamente, una sottosuccessione di una successione data è semplicemente un suo campionamento. Èchiarocheseunasuccessioneèconvergenteal 2 R, allora ogni sua sottosuccessione converge ancora ad l. Selasuccessionediverge,ognisuasottosuccessioneèdivergente.Se invece una successione è oscillante, potrebbero esistere sottosuccessioni convergenti: questo è i l c a s o a d e s e m p i o d i a n =( ) n. Si ha che la successione non converge, ma risultano convergenti le sottosuccessioni date dagli indici pari e dispari. Infatti la prima converge a mentre la seconda a. Teorema 4.4 (Teorema di Bolzano-Weierstrass). Sia (a n ) n2n una successione itata. Allora essa ammette una sottosuccessione convergente. Dimostrazione. Per ipotesi, si ha a n 2 I =[ M,M] conm > 0opportuno. Poniamo I 0 = I e n 0 =0. DividiamoI 0 in due intervalli chiusi di uguale ampiezza: almeno uno dei due intervalli, diciamolo I,contieneinfinitielementidellasuccessione. Sian un indice tale che a n 2 I. Dividiamo I in due sottointervalli chiusi di ugual ampiezza: almeno uno dei due, diciamolo I 2 contiene infiniti elementi della successione. Sia n 2 >n tale che a n2 2 I 2.Proseguiamoinquestomodocostruendo I I 2 I k... famiglia di intervalli chiusi inclusi uno nel successivo ed individuando n <n 2 < <n k <n k+ <... indici tali che a nk 2 I k. Notiamo che I k è u n i n t e r v a l l o d i a m p i e z M)/2 z a ( 2 k eche(a nk ) k2n è una sottosuccessione adi n ) n2n ( tale che a nk 2 I k per ogni k. Per il principio degli intervalli inclusi di Cantor, esiste 0 2 T k=0 I k.essendo a nk 0 apple 2M 2 k ricaviamo che a n k 0 =0 k! cioè (a nk ) k2n converge a 0 2 I. Latesièdunquedimostrata. 6. Poniamo la seguente definizione. 00

43 A.A SUCCESSIONI Definizione 4.42 (Successione di Cauch). Diciamo che (a n ) n2n una successione di Cauch se per ogni ">0 esiste N 2 N tale che per ogni m, n 2 N con m N e n N Vale il seguente risultato. a n a m <". Teorema Una successione (a n ) n2n è convergente se e solo se è di Cauch. Dimostrazione. Sia a n! 0.Perogni">0esisteN>0talecheperognin N a n 0 < " 2. Se dunque n, m N si ha a n a m apple a n a m < " 2 + " 2 = ", cioè la successione è di Cauch. Viceversa, sia (a n ) n2n una successione di Cauch. Innanzitutto (a n ) n2n è u n a s u c c e s - sione itata. Infatti, fissando " =,troviamon tale che per n, m N Dunque in particolare per n N a n a m apple. a n a N apple. Sia I =[ M,M] cosìgrandedacontenerea 0,a,...,a N el intervallocentratoina N edi raggio : la successione (a n ) n2n è a l l o r a t u t t a c o n t e n u t a I i epertantorisultaitata. n Per il teorema di Bolzano-Weierstrass, (a n ) n2n ammette una sottosuccessione (a nk ) k2n convergente a 0 2 R. Vediamo che tutta la successione converge a 0. Essendo la successione di Cauch, dato ">0esisteN>0talechepern, m N a n a m apple " 2. Esiste inoltre K>0conn K N etalecheperk K a nk 0 < " 2. Allora per n N abbiamo cioè (a n ) n2n converge a 0. a n 0 apple a n a nk + a nk 0 apple " 2 + " 2 = ", 7. Le nozioni di estremi superiore/inferiore e di punti di accumulazione per un insieme possono riformularsi in termini di successioni. 0

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