Base generica: B A = {... }, con A = B, sequenze di n simboli (cifre) c n

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1 Rappresentare le informazioni con un insieme limitato di simboli (detto alfabeto A) in modo non ambiguo (algoritmi di traduzione tra codifiche) Esempio: numeri interi assoluti Codifica decimale (in base dieci) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } sette : 7 ventitre : 23 centotrentotto : 138 Notazione posizionale dalla cifra più significativa a quella meno significativa ogni cifra corrisponde a una diversa potenza di dieci Notazione posizionale: permette di rappresentare un qualsiasi numero naturale (intero non negativo) nel modo seguente: la sequenza di cifre c i : c n c n-1 c 1 rappresenta in base B 2 il valore: c n B n-1 + c n-1 B n c 1 B 0 avendosi: c i {0, 1, 2,, B-1} per ogni 1 i n La notazione decimale tradizionale è di tipo posizionale (ovviamente con B = dieci) Base generica: B A = {... }, con A = B, sequenze di n simboli (cifre) c n c n-1... c 2 c 1 = c n x Bn c 2 x B 1 + c 1 x B 0 Con n cifre rappresentiamo B n numeri: da 0 a B n -1 ventinove in varie basi B = otto A={0,1,2,3,4,5,6,7} = 35 8 B = cinque A={0,1,2,3,4} = B = tre A={0,1,2} = B = sedici A={0,1,...,8,9,A,B,C,D,E,F} = 1D 16 Codifiche notevoli Esadecimale (sedici), ottale (otto), binaria (due) Usata dal calcolatore per tutte le informazioni B = due, A = { 0, 1 } BIT ( BInary digit ): unità ELEMENTARE di informazione Dispositivi che assumono due stati Ad esempio due valori di tensione V A e V B Numeri binari naturali: la sequenza di bit b i (cifre binarie): b n b n-1 b 1, avendosi b i {0, 1} rappresenta in base 2 il valore: b n 2 n -1 + b n-1 2 n b Il calcolatore tratta diversi tipi di dati (numeri, caratteri, ecc.) tutti rappresentati con la codifica binaria Problema: assegnare un codice univoco a tutti gli oggetti compresi in un insieme predefinito. Esempio: associare un codice binario ai giorni della settimana 1

2 Quanti oggetti diversi posso codificare con parole binarie composte da k bit? 1 bit: 2 1 = 2 stati (0, 1) 2 oggetti 2 bit: 2 2 = 4 stati (00, 01, 10, 11) 4 oggetti 3 bit: 2 3 = 8 stati (000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111) 8 oggetti k bit: 2 k stati 2 k oggetti Quanti bit mi servono per codificare N oggetti? N 2 k k log 2 N k = log 2 N Ipotesi implicita le parole di un codice hanno tutte la stessa lunghezza. Se passiamo da una parola binaria di k bit ad una parola di k+1 bit si raddoppia il numero di oggetti che si possono rappresentare (2 k+1 ) Identificare due insiemi: Insieme delle configurazioni ammissibili; Insieme degli oggetti da rappresentare Insieme delle configurazioni ammissibili Associare gli elementi dei due insiemi Esempio: Associare una codifica binaria ai giorni della settimana Quanti bit devono avere le parole binarie usate per identificare i giorni della settimana (7 oggetti diversi)? k = log 2 7 = Insieme degli oggetti da codificare VEN LUN MAR SAB GIO DOM MER Codice LUN MAR VEN MER GIO SAB DOM bit rappresenta 2 stati: 0 oppure 1. Byte rappresenta 8 bit 2 8 = 256 stati KiloByte [KB] = 2 10 Byte = 1024 Byte 10 3 Byte MegaByte [MB] = 2 20 Byte = Byte 10 6 Byte GigaByte [GB] = 2 30 Byte 10 9 Byte TeraByte [TB] = 2 40 Byte Byte 2

3 Quanti sono gli oggetti da rappresentare? 26 lettere maiuscole 26 lettere minuscole 10 cifre Circa 30 simboli d interpunzione (, ; ) Circa 30 caratteri di controllo (EOF, CR, ) Totale circa 120 oggetti complessivi k = log = 7. Codice ASCII (American Standard Code for Information Interchange) utilizza 7 bit può rappresentare 2 7 = 128 caratteri detti caratteri ASCII Standard. Codice ASCII esteso utilizza 8 bit (1 Byte) può rappresentare 2 8 = 256 caratteri detti caratteri ASCII estesi. Tale codice comprende i caratteri ASCII standard e alcuni caratteri semigrafici (cornici, lettere nazionali, simboli matematici, ecc.) Codice UNICODE utilizza 16 bit (2 Byte) Utile nel caso di alfabeti particolarmente complessi quale quello cinese Con n bit codifichiamo 2 n numeri: da 0 a 2 n -1 Con 1 Byte (cioè una sequenza di 8 bit): bin = 0 dec bin = = 8 dec bin = = 43 dec bin = Σ n = 1,2,3,4,5,6,7,8 1 2 n -1 = 255 dec Conversione bin/dec e dec/bin Si calcolano i resti delle divisioni per due In pratica basta: 1. Decidere se il numero sia pari (resto 0) oppure dispari (resto 1), e annotare il resto 2. Dimezzare il numero (trascurando il resto) 3. Ripartire dal punto 1. fino a ottenere 1 oppure 0 come risultato della divisione 19 : : : : : 2 1 bin/dec - Σ i 2 i : bin = ( )= 29 dec dec/bin - metodo dei resti si ottiene 1: fine 19 dec =10011 bin 29 : 2 = 14 (1) 14 : 2 = 7 (0) 7 : 2 = 3 (1) 3 : 2 = 1 (1) 1 : 2 = 0 (1) 29 dec = bin Del resto 76 = 19x4 = Per raddoppiare, in base due, si aggiunge uno zero in coda, così come si fa in base dieci per decuplicare 76 : 2 = 38 (0) 38 : 2 = 19 (0) 19 : 2 = 9 (1) 9 : 2 = 4 (1) 4 : 2 = 2 (0) 2 : 2 = 1 (0) 1 : 2 = 0 (1) 76 dec = bin N.B. Il metodo funziona con tutte le basi! =45 6 =23 13 =10 29 In binario si definisce una notazione abbreviata, sulla falsariga del sistema metrico-decimale: K = 2 10 = (Kilo) M = 2 20 = (Mega) G = 2 30 = (Giga) T = 2 40 = (Tera) È curioso (benché non sia casuale) come K, M, G e T in base 2 abbiano valori molto prossimi ai corrispondenti simboli del sistema metrico decimale, tipico delle scienze fisiche e dell ingegneria L errore risulta < 10 % Casi Notevoli 2 32 = = 4 G importante per sistemi a 32 bit 2 16 = 64KB importante per ragioni storiche 3

4 Aumento dei bit premettendo in modo progressivo un bit 0 a sinistra, il valore del numero non muta 4 dec = 100 bin = 0100 bin = bin = bin 5 dec = 101 bin = 0101 bin = bin = bin Riduzione dei bit cancellando in modo progressivo un bit 0 a sinistra, il valore del numero non muta, ma bisogna arrestarsi quando si trova un bit 1! 7 dec = bin = 0111 bin = 111 bin STOP! 2 dec = bin = 0010 bin = 010 bin = 10 bin STOP! Il primo bit a sinistra rappresenta il segno del numero (bit di segno), i bit rimanenti rappresentano il valore 0 per il segno positivo, 1 per il segno negativo Il bit di segno è applicato al numero rappresentato, ma non fa propriamente parte del numero il bit di segno non ha significato numerico Inefficiente: due codifiche per lo 0 Complessità di implementazione Esempi con n = 9 (8 bit + un bit per il segno) m&s = + 0 = m&s = = 8 dec m&s = = -8 dec e così via Numeri interi in complemento a 2: il C 2 è un sistema binario, ma il primo bit (quello a sinistra, il più significativo) ha peso negativo, mentre tutti gli altri bit hanno peso positivo La sequenza di bit: b n b n-1 b 1 rappresenta in C 2 il valore: b n (-2 n-1 )+ b n-1 2 n b 1 20 Il bit più a sinistra è ancora chiamato bit di segno 000 C2 = = 0 dec 001 C2 = = 1 dec 010 C2 = = 2 dec 011 C2 = = 2+1 = 3 dec 100 C2 = = -4 dec 101 C2 = = -4+1 = -3 dec 110 C2 = = -4+2 = -2 dec 111 C2 = = = -1 dec N.B.: in base al bit di segno lo zero è considerato positivo Se usiamo 1 Byte: da 128 a 127 dec. 127 m&s C L inverso additivo (o opposto) di un numero in C 2 si ottiene: Invertendo (negando) ogni bit del numero Sommando 1 alla posizione meno significativa Esempio: C2 = = = 11 dec = C2 = = = -11 dec Si provi a invertire C2 = -5 dec Si verifichi che con due applicazioni dell algoritmo si riottiene il numero iniziale [ ( A) = A ] e che lo zero in C 2 è (correttamente) opposto di se stesso [ 0 = 0 ] 4

5 Se D dec 0: Converti D dec in binario naturale Premetti il bit 0 alla sequenza di bit ottenuta Esempio: 154 dec bin C2 Se D dec < 0: Trascura il segno e converti D dec in binario naturale Premetti il bit 0 alla sequenza di bit ottenuta Calcola l opposto del numero così ottenuto, secondo la procedura di inversione in C 2 Esempio: -154 dec 154 dec bin bin C2 Occorrono 9 bit sia per 154 dec che per -154 dec Il segno è incorporato nel numero rappresentato in C 2, non è semplicemente applicato (come in m&s) Il bit più significativo rivela il segno: 0 per numero positivo, 1 per numero negativo (il numero zero è considerato positivo), ma Se il numero e negativo, NON si può distaccare il bit più significativo e dire che i bit rimanenti rappresentano il valore assoluto del numero Binario naturale a n 1 bit: [0, 2 n ) Modulo e segno a n 2 bit: (-2 n-1, 2 n-1 ) C 2 a n 2 bit: [-2 n-1, 2 n-1 ) In modulo e segno, il numero zero ha due rappresentazioni equivalenti (00..0, 10..0) L intervallo del C 2 è asimmetrico log 2 valore = # di bit per rappresentare il valore (in binario naturale). Esempio: log 2 74 dec = 6,2 = 7 bit In generale: log B valore = # di cifre per rappresentare il valore in base B. Esempio: log dec = 1,8 = 2 cifre E per il C 2? Algoritmo di addizione a propagazione dei riporti È l algoritmo decimale elementare, adattato alla base 2 overflow (o trabocco) Riporto perduto 1 addizione naturale (a 8 bit) overflow risultato errato! addizione naturale con overflow 5

6 Si ha overflow quando il risultato corretto dell addizione eccede il potere di rappresentazione dei bit a disposizione 8 bit nell esempio precedente Nell addizione tra numeri binari naturali si ha overflow ogni volta che si genera un riporto addizionando i bit della colonna più significativa (riporto perduto ) addizione algebrica (a 8 bit) L algoritmo è identico a quello naturale (come se il bit di segno non fosse negativo) nessun riporto perduto Overflow: risultato negativo! ancora overflow risultato errato! addizione algebrica con overflow Si ha overflow quando il risultato corretto dell addizione eccede il potere di rappresentazione dei bit a disposizione La definizione di overflow non cambia Si può avere overflow senza riporto perduto Capita quando da due addendi positivi otteniamo un risultato negativo, come nell esempio precedente Si può avere un riporto perduto senza overflow Può essere un innocuo effetto collaterale Capita quando due addendi discordi generano un risultato positivo (si provi a sommare +12 e -7) Se gli addendi sono tra loro discordi (di segno diverso) non si verifica mai Se gli addendi sono tra loro concordi, si verifica se e solo se il risultato è discorde addendi positivi ma risultato negativo addendi negativi ma risultato positivo Ottale o in base otto (oct): Si usano solo le cifre oct = 5 oct 8 2 dec + 3 oct 8 1 dec + 4 oct 8 dec0 = 348 dec Esadecimale o in base sedici (hex): Si usano le cifre 0-9 e le lettere A-F per i valori B7F hex = B hex 16 2 dec + 7 hex 16 1 dec + F hex 16 dec0 = = 11 dec 16 2 dec + 7 dec 16 1 dec + 15 dec 16 dec0 = 2943 dec Entrambe queste basi sono facili da convertire in binario, e viceversa 6

7 o Converti: bin = 0001 bin 0011 bin 1101 bin 0101 bin 1011 bin = = 1 hex 3 hex D hex 5 hex B hex = o = 13D5B hex Converti: A7B40C hex A hex 7 hex B hex 4 hex 0 hex C hex = = 1010 bin 0111 bin 1011 bin 0100 bin 0000 bin 1100 bin = = bin 0,1011 bin (in binario) 0,1011 bin = = 1/2 + 1/8 + 1/16 = = 0,5 + 0, ,0625 = 0,6875 dec Si può rappresentare un numero frazionario in virgola fissa (o fixed point) nel modo seguente: 19,6875 dec = 10011,1011 virgola fissa poiché si ha: 19 dec = bin e 0,6875 dec = 0,1011 bin proporzione fissa: 5 bit per la parte intera, 4 bit per quella frazionaria La codifica esadecimale è utile per rappresentare sinteticamente i valori binari La sequenza di bit rappresentante un numero frazionario consta di due parti di lunghezza prefissata Il numero di bit a sinistra e a destra della virgola è stabilito a priori, anche se alcuni bit restassero nulli È un sistema di rappresentazione semplice, ma poco flessibile, e può condurre a sprechi di bit Per rappresentare in virgola fissa numeri molto grandi (oppure molto precisi) occorrono molti bit Segno La rappresentazione in virgola mobile (o floating point) è usata spesso in base 10 (si chiama allora notazione scientifica): 0, notazione scientifica per intendere dec La rappresentazione binaria si basa sulla relazione R virgola mobile = M 2 E Esponente Mantissa La mantissa e sempre 1.X, per cui si salva solo X. Una parola di memoria è in grado di contenere una sequenza di n 1 bit Di solito si ha: n = 8, 16, 32 o 64 bit Una parola di memoria può dunque contenere gli elementi d informazione seguenti: Un carattere (o anche più d uno) Un numero intero in binario naturale o in C 2 Un numero frazionario in virgola mobile Alcuni bit della parola possono essere non usati Lo stesso può dirsi dei registri della CPU un carattere ASCII, probabilmente è un dato quattro caratteri ASCII impacchettati nella stessa cella un istruzione? (perché no?) indirizzi parole da 32 bit 0 Z bit non usati 1 A (in bin. nat.) (in C 2 ) 4 19,758 (in virg. mob.) 5... la cella resta parzialmente inutilizzata potrebbe essere un dato o ancora una sequenza di caratteri! probabilmente è un dato probabilmente è un dato 7

8 L algebra di Boole (inventata da G. Boole, britannico, seconda metà 800), o algebra della logica, si basa su operazioni logiche Le operazioni logiche sono applicabili a operandi logici, cioè a operandi in grado di assumere solo i valori vero e falso Si può rappresentare vero con il bit 1 e falso con il bit 0 (convenzione di logica positiva) Operatori logici binari (con 2 operandi logici) Operatore OR, o somma logica Operatore AND, o prodotto logico Operatore logico unario (con 1 operando) Operatore NOT, o negazione, o inversione Poiché gli operandi logici ammettono due soli valori, si può definire compiutamente ogni operatore logico tramite una tabella di associazione operandi-risultato A B A or B (somma logica) A B A and B (prodotto logico) Le tabelle elencano tutte le possibili combinazioni in ingresso e il risultato associato a ciascuna combinazione A not A (negazione) Come le espressioni algebriche, costruite con: Variabili logiche (letterali): p. es. A, B, C = 0 oppure 1 Operatori logici: and, or, not Esempi: A or (B and C) (A and (not B)) or (B and C) L operatore not precede l operatore and, che a sua volta precede l operatore or (A and (not B)) or (B and C) = A and not B or B and C Per ricordarlo, si pensi OR come + (più), AND come (per) e NOT come - (cambia segno) A B NOT ( ( A OR B) AND ( NOT A ) ) Specificano i valori di verità per tutti i possibili valori delle variabili 8

9 A and B or not C A B C X = A and B Y = not C X or Y and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 1 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 1 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 0 = 0 not 0 = 1 0 or 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 0 or 0 = and 1 = 1 not 0 = 1 1 or 1 = and 1 = 1 not 1 = 0 1 or 0 = 1 A modellare alcune (non tutte) forme di ragionamento A = è vero che 1 è maggiore di 2? (sì o no, qui è no) = 0 B = è vero che 2 più 2 fa 4? (sì o no, qui è sì) = 1 A and B = è vero che 1 sia maggiore di 2 e che 2 più 2 faccia 4? Si ha che A and B = 0 and 1 = 0, dunque no A or B = è vero che 1 sia maggiore di 2 o che 2 più 2 faccia 4? Si ha che A or B = 0 and 1 = 1, dunque sì OR, AND e NOT vengono anche chiamati connettivi logici, perché funzionano come le congiunzioni coordinanti o ed e, e come la negazione non, del linguaggio naturale Si modellano ragionamenti (o deduzioni) basati solo sull uso di o, e e non (non è molto, ma è utile) Due espressioni logiche si dicono equivalenti (e si indica con ) se hanno la medesima tabella di verità. La verifica è algoritmica. Per esempio: A B not A and not B not (A or B) and 1 = 1 not 0 = and 0 = 0 not 1 = and 1 = 0 not 1 = and 0 = 0 not 1 = 0 Espressioni logiche equivalenti modellano gli stessi stati di verità a fronte delle medesime variabili L algebra di Boole gode di svariate proprietà, formulabili sotto specie di identità (cioè formulabili come equivalenze tra espressioni logiche, valide per qualunque combinazione di valori delle variabili) Esempio celebre: le Leggi di De Morgan not (A and B) = not A or not B (1 a legge) not (A or B) = not A and not B (2 a legge) Alcune proprietà somigliano a quelle dell algebra numerica tradizionale: Proprietà associativa: A or (B or C) = (A or B) or C (idem per AND) Proprietà commutativa: A or B = B or A (idem per AND) Proprietà distributiva di AND rispetto a OR: A and (B or C) = A and B or A and C e altre ancora Ma parecchie altre sono alquanto insolite Proprietà distributiva di OR rispetto a AND: A or B and C = (A or B) and (A or C) Proprietà di assorbimento (A assorbe B): A or A and B = A Legge dell elemento 1: not A or A = 1 e altre ancora 9

10 Il calcolatore esegue programmi scritti in un opportuno linguaggio: il linguaggio macchina Tale linguaggio differisce nei suoi dettagli da calcolatore a calcolatore Da processore a processore Un programma scritto in linguaggio macchina è formato da una sequenza di istruzioni appartenenti al set di istruzioni del particolare processore Ogni istruzione è formata da: Un codice operativo Zero o più operandi codice operativo operando(i) Tanto il codice operativo quanto gli operandi sono rappresentati nella memoria del calcolatore sotto forma di numeri binari Data la difficoltà per l uomo di interpretare numeri binari si usa il linguaggio assembly al posto del linguaggio macchina La programmazione in linguaggio macchina è troppo complessa e noiosa per i programmatori Al posto delle sequenze di numeri, è più comodo usare delle abbreviazioni simili all inglese per rappresentare le operazioni elementari: Nasce il linguaggio Assembly È necessario un programma (assembler) che traduca in linguaggio macchina i programmi scritti in linguaggio assembly Un programma consiste di 2 parti La parte istruzioni contenente il codice del programma La parte dati costituita dalle celle di memoria destinate a contenere i dati sui quali il programma opera Il processore esegue un programma dalla prima istruzione fino all istruzione halt LOAD 4, R1 LOAD 5, R2 SUB R1, R2 STORE R1, istruzio ni dati La programmazione in linguaggio macchina è improponibile per programmi di una certa complessità e l assembly oltre un certo limite non aiuta I linguaggi di alto livello facilitano la programmazione dei calcolatori Alto livello = Vicino al programmatore Ovviamente è necessario un programma (compilatore) che converta il programma scritto nel linguaggio di alto livello in linguaggio macchina Editazione - Genera il programma sorgente Consiste nella scrittura del codice (testo del programma) in un file Si esegue tramite un programma chiamato editor o Ambiente di sviluppo Compilazione - Genera il programma oggetto Il codice sorgente viene passato al compilatore che si occuperà di tradurre il programma nel codice in linguaggio macchina Linking (collegamento) - Genera il programma eseguibile I programmi scritti in linguaggio ad alto livello, contengono dei riferimenti a funzioni definite altrove (es. Librerie e OS) Il codice oggetto prodotto dal compilatore conterrà dei buchi (riferimenti alle funzioni di libreria) Il linker si occupa di collegare il codice oggetto con quello delle funzioni mancanti Caricamento Prima che possa essere eseguito, un programma dovrà essere caricato in memoria Il programma loader (parte del sistema operativo) si occupa di questa operazione Esecuzione Il computer esegue il programma, una istruzione per volta 10

11 Il calcolatore capisce solo il linguaggio macchina I programmi scritti in linguaggi di alto livello devono essere tradotti in linguaggio macchina prima di essere eseguiti Di ciò si occupa il compilatore In alternativa alcuni linguaggi di alto livello hanno associato un interprete Si tratta di un programma capace di capire quel particolare linguaggio e di eseguirne i programmi Un istruzione per volta 11

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