Il principio di Dirichlet

Transcript

1 Università di Torino Laboratorio di Combinatorica Prof.ssa Daniela Romagnoli Anno accademico Il principio di Dirichlet Tesina a cura di Susanna Berardo

2 Il Principio di Dirichlet Nei suoi "Giochi di aritmetica e problemi interessanti", Giuseppe Peano presenta il seguente problema capzioso. Sei letti per sette viaggiatori Una comitiva di 7 viaggiatori si presenta ad un albergo, e domanda un letto per ogni viaggiatore. L'oste risponde: "Ho solo sei letti distinti colle lettere A, B, C, D, E, F. Ma guarderò di aggiustarvi." Perciò destinò: due viaggiatori a dormire nel letto A, poi uno nel letto B, e fa tre, poi uno nel letto C, e conta quattro, poi uno nel letto D, e conta cinque, poi uno nel letto E, e conta sei; poi prende uno di quelli che erano in A e lo conduce in F, e conta sette. Così i 7 viaggiatori dormono in 6 letti, uno per letto. Come ha fatto? Chi fa il gioco, rappresenta i letti con 6 carte e procede rapido, onde l'uditore non si accorga che un viaggiatore è stato contato due volte. Questo gioco stupisce molto perché sembra dimostrare un fatto palesemente impossibile: che 7 persone possano dormire in 6 letti, una per letto. L'impossibilità di fatti come questo viene espressa da un importante principio matematico: in inglese si chiama "pigeonhole principle", in italiano è stato tradotto con "principio della piccionaia", ovvero "principio dei cassetti". 7 piccioni in 9 gabbie Il principio dei cassetti afferma che se n oggetti sono messi in m cassetti, e n > m, allora almeno un cassetto deve contenere più di un oggetto. Un altro modo di vedere il principio è che una piccionaia con m gabbie può contenere al più m piccioni, se non se ne vogliono mettere più di uno in nessuna gabbia: un ulteriore volatile dovrà necessariamente condividere la gabbia con un suo simile. Formalmente, il principio afferma che se A e B sono due insiemi finiti e B ha cardinalità strettamente minore di A, allora non esiste alcuna funzione iniettiva da A a B.

3 Funzione iniettiva Un esempio di funzione iniettiva Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno un'immagine distinta, o equivalentemente se ogni elemento del codominio corrisponde al più ad un elemento del dominio; formalmente: o equivalentemente: è iniettiva sse è iniettiva sse Il principio dei cassetti è un esempio di argomento combinatorio, che può essere applicato a molti problemi formali, compresi quelli relativi a insiemi infiniti che non possono essere messi in corrispondenza biunivoca. Si ritiene che il principio sia stato esplicitato per la prima volta da Dirichlet nel 1834 col nome Schubfachprinzip ("principio del cassetto"). In alcune lingue, (ad esempio il russo) questo principio è pertanto noto come il principio di Dirichlet, da non confondersi con il principio dello stesso nome sulle funzioni armoniche. In inglese, invece, si parla di pigeonhole principle, dove il "pigeonhole" si riferisce alle cassette postali aperte in uso in alcuni uffici e università.

4 Peter Gustav Lejeune Dirichlet «Siede all'alta scrivania di fronte a noi, poggia la testa su entrambe le mani e dentro le sue mani vede un calcolo immaginario che ci legge ad alta voce; quel calcolo lo comprendiamo come se lo vedessimo anche noi.» (Uno studente di Dirichlet, parlando del professore) Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, 13 febbraio maggio 1859) è stato un matematico tedesco, ricordato soprattutto per la moderna definizione "formale" di funzione. La sua famiglia proveniva dalla città di Richelet nel Belgio, da cui deriva il cognome "Lejeune Dirichlet" ("le jeune de Richelet" = "il ragazzo di Richelet"). Dirichlet nacque a Düren, dove il padre lavorava come direttore dell'ufficio postale. Fu educato in Germania e quindi in Francia, dove conobbe molti dei più celebri matematici del tempo. Il suo primo lavoro riguardava l'ultimo teorema di Fermat, una famosa congettura, ora dimostrata, che asseriva che per n > 2, l'equazione x n + y n = z n non ammette soluzioni non banali. Elaborò una dimostrazione parziale per il caso n = 5, che fu poi completata da Adrien-Marie Legendre. Dirichlet produsse successivamente una dimostrazione completa del caso n = 14. Sposò Rebecca Mendelssohn, nipote del filosofo Moses Mendelssohn, e sorella del compositore Felix Mendelssohn. Dopo la morte, gli scritti di Dirichlet e altri risultati nella teoria dei numeri furono raccolti, curati e pubblicati dal matematico Richard Dedekind con il titolo Vorlesungen über Zamlentheorn (Lezioni sulla teoria dei numeri).

5 Problemi risolubili tramite il principio di Dirichlet Sempre nei "Giochi di aritmetica e problemi interessanti" di Giuseppe Peano si trova il seguente problema capzioso. 1. Due persone hanno lo stesso numero di capelli Dimostrare che in una città di abitanti vi sono due persone che hanno lo stesso numero di capelli. Van Etten, 1624 Peano precisa: si stima che la superficie del capo umano portante capelli è di 775 cm^2 e che ogni cm^2 contiene al massimo 165 capelli. E conclude: il massimo numero che può avere una persona è 775 * 165 = < Nota storica (fonte: David Singmaster) Le prime versioni di "Due persone hanno lo stesso numero di capelli" sono di van Etten, 1624, E. Fourrey, 1899 e dei logici di Port-Royal. La domanda se in una grande foresta esistono alberi che hanno lo stesso numero di foglie si dice sia stata posta da Immanuel Kant ( ) quando era un ragazzo. Lietzmann dice che una quercia ha circa 2 milioni di foglie e un pino ha circa 10 milioni di aghi. 2. La biblioteca In una grande biblioteca ci sono almeno due libri che contengono lo stesso numero di parole. Abraham, 1933 Una riga di libro contiene al massimo 20 parole; una pagina contiene al massimo 50 righe; un libro contiene al massimo 1000 pagine; un libro contiene al massimo un milione di parole. Se nella GRANDE BIBLIOTECA ci sono libri di quel tipo allora almeno due libri conterranno lo stesso numero di parole. 3. Guanti e calzini in una stanza buia Sei in una stanza buia e devi prendere dei guanti e dei calzini pescando a caso in due cassetti. - In un cassetto ci sono 10 paia di calzini marroni e 10 paia blu. Quanti calzini devi prendere per essere sicuro di avere un paio di calzini dello stesso colore? - In un cassetto ci sono 10 paia di guanti marroni e 10 blu. Quanti guanti devi prendere per essere sicuro di avere un paio di guanti dello stesso colore? Perelman, FMP, c1935? Nel primo caso è sufficiente pescare 3 calzini. Nel secondo caso occorre tener conto che i guanti destri sono diversi da quelli sinistri. Le possibilità colore-mano sono: MD-MS-BD-BS Io devo essere sicuro di avere un guanto destro e uno sinistro dello stesso colore.

6 Nella peggiore delle ipotesi potrei pescare: 10 MD + 10BD (oppure S). Ma al 21-esimo guanto sono sicuro di averne preso almeno un paio dello stesso colore. 4. Palline nere, rosse e bianche In un cassetto ci sono 12 palline nere, 8 rosse e 6 bianche. Pescando a caso, quante se ne devono prendere per essere sicuri di averne 3 dello stesso colore? H. Phillips, 1937 Nella peggiore delle ipotesi, 6 palline non sono sufficienti. Infatti potrebbero essere B-B-N-N-R-R. Supponiamo di essere arrivati a 6 palline senza averne 3 dello stesso colore. Visto che i colori sono 3 e che la settima deve per forza essere B o N o R allora se ne avranno almeno 3 dello stesso colore. In conclusione bisogna pescarne almeno Compleanni e giorni della settimana Mostrare che in un gruppo di 8 persone almeno due hanno il loro compleanno nello stesso giorno della settimana. Naturalmente il problema è riferito ad un dato anno in quanto il giorno della settimana del compleanno cambia di anno in anno. Le persone sono i piccioni e i giorni della settimana sono le caselle. Siccome 8>7 vale la tesi. Nota: senza utilizzare direttamente il principio della piccionaia, avremmo dovuto ragionare così: Nella più ampia situazione il gruppo potrebbe essere formato da: a) una persona che compie gli anni di LUN, e contiamo 1. b) una persona che compie gli anni il MAR, e fanno 2 c) una persona che compie gli anni il MER, e fanno 3 d) una persona che compie gli anni il GIO, e fanno 4 e) una persona che compie gli anni il VEN, e fanno 5 f) una persona che compie gli anni il SAB, e fanno 6 g) una persona che compie gli anni la DOM, e fanno 7 L'ottava persona deve necessariamente compiere gli anni in uno dei giorni già citati perciò, in questo caso esisteranno 2 persone che compiono gli anni nello stesso giorno della settimana. Ma questo è il "caso peggiore", perciò la tesi vale anche per gli altri casi. 6. L'iniziale del nome Mostrare che in un gruppo di 27 persone ce ne sono almeno due il cui nome inizia con la stessa lettera. I nomi (27) sono i piccioni e le lettere dell'alfabeto sono le caselle. Siccome 27>26 vale la tesi.

7 7. Cinque punti in un triangolo Provare che su 5 punti comunque scelti all'interno di un triangolo equilatero di lato 1, ve ne sono almeno due che distano al più 1/2. Tracciando le congiungenti dei punti medi dei lati si divide il triangolo in 4 triangolini uguali. Ciascun triangolino è equilatero e ha il lato lungo 1/2 perciò qualunque coppia di punti al suo interno (o anche sul perimetro) distano al più 1/2 (si dimostra applicando semplici teoremi di geometria). I 4 triangolini sono le caselle e i 5 punti sono i piccioni. Poiché 5>4, avrò almeno una casella con almeno 2 piccioni da cui la tesi. 8. Diciannove con tre numeri Tre numeri sono scelti a caso. La loro somma e' 19. Mostrare che almeno un numero è maggiore o uguale a 7. I tre numeri sono le caselle mentre i piccioni sono 19. Praticamente suppongo che i numeri siano interi positivi e che ogni piccione sia una unità. Questi 19 piccioni si dividono in tre gruppi e vanno ad occupare le 3 caselle. Poiché 19 > 6*3 allora almeno una casella contiene 6+1 = 7 piccioni (il numero 7). 9. Gli errori degli studenti In una classe ci sono 30 studenti. Nel corso di un test uno studente ha fatto 12 errori, mentre il resto della classe ha fatto meglio. Mostra che almeno 3 studenti hanno fatto lo stesso numero di errori. Gli studenti (30) sono i piccioni e i numeri di errori (da 0 a 12) le caselle: 30 piccioni in 12 caselle. Poiché 30 > 2*12 allora almeno 2+1 = 3 studenti hanno fatto lo stesso numero di errori. In altre parole: con 30 piccioni riempio tutte le 12 caselle con due piccioni per casella e me ne avanzano ancora 6: in alcune ci saranno almeno 3 piccioni. 10. I libri nel cassetto Un cassetto contiene 10 libri francesi, 20 spagnoli, 8 tedeschi, 15 russi e 25 italiani. Quanti ne dobbiamo prendere per essere sicuri di avere 12 libri nella stessa lingua?

8 Vorrei fare un altro ragionamento: quello della peggiore ipotesi. Se prendo 10 libri, potrebbero essere tutti francesi. Se prendo libri, potrebbero essere tutti quelli francesi e tedeschi. Se prendo più di 18 libri, potrei aver preso tutti quelli francesi e tedeschi, e in egual misura delle altre lingue. Per essere sicuro di averne almeno 12 della stessa lingua ne devo prendere: = Le mele nelle ceste Dobbiamo riporre 25 mele in 3 ceste, quante mele ci saranno almeno in ogni cesta? 25 = Usando il principio generale dei piccioni con n = 3 e k = 8, avremo che qualche cesta contiene almeno = 9 mele. 12. Numeri su una circonferenza Supponiamo che i numeri da 1 a 10 siano posizionati casualmente su una circonferenza. Allora la somma di qualche terna di numeri consecutivi è almeno 17. Vi sono 10 terne di numeri consecutivi sulla circonferenza e ogni numero da 1 a 10 compare in tre di esse esattamente : indichiamo con S 1,S 2, S 10 le somme di ognuna di esse. Da quanto osservato si ha che S 1 + S S 10 = 3 ( ) = 165. E come sistemare 165 oggetti in 10 cassetti : qualche S i vale almeno Punti su un quadrato Su un quadrato di lato 1 metro vengono disegnati in modo casuale 51 punti. Provare che almeno 3 di questi punti giacciono su un quadrato di lato 20 centimetri. Se dividiamo il quadrato iniziale in 25 quadrati di lato 20 centimetri, poiché 51 = , uno di essi contiene almeno 3 punti. 14. La differenza di due numeri è un multiplo di 11 Dati dodici numeri interi diversi, provare che almeno due di essi possono essere scelti in modo che la loro differenza sia divisibile per 11. I resti della divisione per 11 sono i numeri da 0 a 10, quindi almeno due dei dodici interi divisi per 11 hanno lo stesso resto e quindi la loro differenza è un multiplo di Il torneo Ci sono cinque persone che vogliono giocare a calcetto in un torneo, e quattro squadre presenti. Nessuno dei cinque vuole giocare nella stessa squadra di uno qualunque degli altri quattro. Trovare, se possibile, una combinazione che accontenti le cinque persone. Per il principio dei cassetti è impossibile suddividerli tra le varie squadre.

9 16. L'algoritmo di compressione Si dimostri che non può esistere un algoritmo di compressione senza perdita di informazioni, che riduca cioè la dimensione di un file di una dimensione qualunque - o anche solo maggiore di un certo numero M di bit - datogli in input. I file composti da M+1 bit sono 2 M+1, ma i file di dimensione da 1 a M bit sono solamente 2 M+1-1; quindi ci devono essere almeno due file in ingresso mappati sullo stesso file in uscita. Ma allora l'ipotesi che la compressione sia senza perdita di informazioni fallisce, dato che non si potrebbe distinguere tra i due file convertiti nello stesso file di output. Bibliografia e fonti: Le parti teorico-biografiche sono tratte da Wikipedia, enciclopedia libera; gli esercizi sono tratti in parte dalla stessa Wikipedia, in parte da un sito a cura di Gianfranco Bo e in parte dalle Dispense di Combinatorica a cura della prof.ssa Daniela Romagnoli.

10