Possiamo calcolare facilmente il valore attuale del bond A e del bond B come segue: VA A = = 1000/1.08 VA B = = 1000/(1.

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1 Appendice 5A La struttura temporale dei tassi di interesse, dei tassi spot e del rendimento alla scadenza Nel capitolo 5 abbiamo ipotizzato che il tasso di interesse rimanga costante per tutti i periodi futuri. In realtà, i tassi variano nel tempo. Ciò accade principalmente perché i tassi di inflazione tendono a modificarsi nel tempo. Per fare un esempio illustrativo, consideriamo due bond zero coupon. Il bond A è annuale e il bond B è biennale. Hanno entrambi un valore nominale di Il tasso di interesse, r, è l 8%. Il tasso di interesse a due anni, r 2, è il 10%. Questi due tassi di interesse sono tassi spot. Forse questa diseguaglianza dei tassi si determina perché l inflazione si prevede superiore nel secondo anno rispetto al primo. I due bond vengono rappresentati graficamente nel seguente diagramma temporale: 0 Anno 1 1 Anno 2 2 Bond A 8% 1000 Bond B 10% 1000 Possiamo calcolare facilmente il valore attuale del bond A e del bond B come segue: VA A = = 1000/1.08 VA B = = 1000/(1.10) 2 Naturalmente, se VA A e VA B fossero osservabili e i tassi spot non lo fossero, potremmo determinare i tassi spot con la formula del valore attuale, perché VA A = = 1000/1 + r 1 r 1 = 8% e VA B = = 1000/(1 + r 2 ) 2 r 2 = 10% Possiamo vedere ora come si determinano i prezzi di bond più complicati. Cercate di risolvere il prossimo esempio, che illustra la differenza tra tassi spot e rendimenti alla scadenza. Esempio 5A1. On the spot. Se il tasso spot r 1 è uguale all 8% e il tasso spot r 2 è uguale al 10%, quanto dovrebbe costare un bond a due anni che dà una cedola dell 8%? I cash flow C 1 e C 2 sono illustrati in questo diagramma temporale: 0 Anno 1 1 Anno 2 8% 50 Il bond si può assimilare a portafoglio di bond zero coupon in scadenza, rispettivamente, tra un anno e due anni. Perciò: VA = 50/ /( ) 2 = (A.1) Adesso vogliamo calcolare un tasso singolo per il bond. Lo facciamo risolvendo per y nella seguente equazione: = 50/1 + y /(1 + y) 2 (A.2) nell Equazione (A.2) y è uguale al 9.95%. Come abbiamo detto nel capitolo, definiamo y rendimento alla scadenza del bond. Risolvere per y nel caso di un bond poliennale significa generalmente andare per tentativi. 1 Anche se può richiedere molto tempo quando si usano carta e penna, questo esercizio diventa praticamente istantaneo se si usa una calcolatrice portatile. 1 La formula quadratica si potrebbe usare per risolvere per y nel caso di un bond biennale. Ma in genere le formule non si applicano ai bond che hanno più di quattro date di pagamento.

2 Vale la pena di mettere a confronto le Equazioni (A.1) e (A.2). In (A.1) usiamo i tassi spot applicati sul mercato in generale per stabilire il prezzo del bond. Una volta ottenuto il prezzo del bond, usiamo (A.2) per calcolarne il rendimento alla scadenza. Poiché l Equazione (A.1) impiega due tassi spot mentre in (A.2) ne appare uno solo, possiamo considerare il rendimento alla scadenza una sorta di media tra i due tassi spot. 2 Utilizzando questi due tassi spot, il rendimento alla scadenza di bond biennale con cedola il cui tasso-cedola è il 12% mentre il VA è uguale a si può calcolare così: = 120/1 + r /(1 + r) 2 r = 9.89% Come dimostrano questi calcoli, due bond con la stessa scadenza hanno di solito rendimenti dissimili alla scadenza, se le cedole differiscono. FIGURA 5A1 Rappresentare graficamente la struttura temporale. La struttura temporale descrive la relazione tra tassi spot che hanno scadenze diverse. La Figura 5A1 visualizza una struttura temporale specifica. Nella Figura 5A1 i tassi spot aumentano con scadenze più lunghe vale a dire che r 3 > r 2 > r 1. Rappresentare graficamente la struttura temporale è facile se possiamo osservare dei tassi spot. Sfortunatamente lo si può fare solo se ci sono abbastanza bon governativi zero coupon. Una determinata struttura temporale, come quella della Figura 5A1, esiste solo per un momento mettiamo, le 10 del mattino del 29 aprile I tassi di interesse tendono a variare da un minuto all altro, perciò alle esisterebbe già una struttura temporale diversa (benché molto simile). FIGURA 5A2 Spiegazioni della struttura temporale Nella Figura 5A1 abbiamo rappresentato una delle tante possibili relazioni tra il tasso spot e la scadenza. Adesso vogliamo analizzarla più in dettaglio. Partiamo dalla definizione di un nuovo termine, il tasso anticipato. Poi lo mettiamo in relazione ai tassi di interesse futuri. Infine consideriamo alcune teorie alternative della struttura temporale. Definizione di tasso anticipato. Abbiamo descritto in precedenza un esempio biennale in cui i tasso spot del primo anno è l 8% e il tasso spot del secondo anno è il 10%. Qui, un individuo che investe in bond biennale zero coupon che rende il 10% avrebbe 1 x (1.10) 2 dopo due anni. Per portare avanti la nostra analisi, conviene riscriverla: 3 1 x (1.10) 2 = 1 x 1.08 x (A.3) L Equazione A.3 ci dice qualcosa d importante sulla relazione tra tassi a un anno e tassi a due anni. Quando un individuo investe in un bond biennale che rende il 10%, la sua ricchezza alla fine del biennio è la stessa che avrebbe se ricevesse un rendimento dell 8% nel primo anno e un rendimento del 12.04% nel secondo anno. Questa tasso ipotetico del secondo anno, 12.04%, si chiama tasso anticipato. Possiamo supporre perciò che l acquirente di un bond biennale zero coupon riceva nel primo anno il tasso spot dell 8% e abbia garantito un tasso del 12.04% nel secondo anno. Questa relazione è visualizzata nella Figura 5A2. Più generalmente, se abbiamo i tassi spot r 1 e r 2, possiamo sempre determinare il tasso anticipato, f 2, in modo che: 2 Il rendimento alla scadenza non è una semplice media tra r 1 ed r 2. Gli economisti finanziari parlano invece di media ponderata temporale tra r 1 ed r % è uguale a: (1.10) 2 /1.08 = 1 quando si effettua l arrotondamento alla quarta cifra.

3 (1 + r 2 ) 2 = ( 1 + r 1 ) x (1 + f 2 ) (A.4) Risolviamo per f 2, ottenendo: f 2 = (1 + r 2 ) 2 /1 + r 1 1 (A.5) Esempio 5A2 Guardare avanti Se il tasso spot a un anno è il 7% e il tasso spot a due anni è il 12%, quant è f 2? Inseriamo il dato nell Equazione (A.5), ottenendo: f 2 = (1.12) 2 / = 17.23% Considerate un individuo che investe in un bond biennale zero coupon al 12%. Diciamo che è come se ricevesse il 7% nel primo anno e avesse simultaneamente garantito il 17.23% nel secondo anno. Notate che sia il tasso spot a un anno sia il tasso spot a due anni sono noti alla data 0. Poiché il tasso anticipato si ricava dai tassi spot a un anno e due anni, possiamo calcolare anch esso alla data 0. I tassi prefissati si possono calcolare anche per gli anni successivi. La formula generale è: f n = (1 + r n ) n /(1 + r n-1 ) n-1-1 (A.6) dove f n è il tasso anticipato dell ennesimo anno, r n è il tasso spot dell ennesimo anno e r n-1 è il tasso spot per gli anni n 1. Esempio 5A3. Tassi prefissati Assumete questa serie di tassi: Anno Tassi spot Quali sono i tassi prefissati per ognuno dei quattro anni? Il tasso anticipato del primo anno è uguale per definizione al tasso spot a un anno. Perciò non parliamo quasi mai di tasso anticipato per il primo anno. I tassi prefissati degli anni successivi sono: f 2 = (1.06) 2 / = 7.01% f 3 = (1.07) 3 /(1.06) 2 1 = 9.03% f 4 = (1.06) 4 /(1.07) 3-1= 3.06% Un individuo che investe 1 nel bond biennale zero coupon riceve [ 1 x (1.06) 2 ] alla data 2. È come se ricevesse il tasso spot a un anno del 5% nel primo anno e il tasso anticipato del 7.01% nel secondo. Un individuo che investe 1 in un bond triennale zero coupon riceve [ 1 x (1.07) 3 ] alla data 3. È come se ricevesse il tasso spot a due anni del 6% per i primi due anni e il tasso anticipato del 9.03% nel terzo. Un individuo che investe 1 in un bond quadriennale zero coupon riceve [ 1 x (1.06) 4 ] alla data 4. È come se ricevesse al tasso spot a tre anni del 7% per i primi tre anni e il tasso anticipato del 3.06% nel quarto anno. Osservate che tutti e quattro i tassi spot sono noti alla data zero. Poiché i tassi prefissati vengono ricavati dai tassi spot, si possono determinare anch essi alla data 0. Il materiale illustrato in quest appendice sarà di difficile comprensione per lo studente che non ha familiarità con la struttura temporale. Aiuta a stabilire che cosa dovrebbe sapere a questo punto. In base alle Equazioni (A.5) e (A.6), lo studente dovrebbe essere in grado di calcolare una serie di tassi prefissati partendo da una serie di tassi spot. Può apparire un conteggio meccanico. Ma oltre a

4 effettuare i calcoli, lo studente dovrebbe anche comprendere l intuizione che sta alla base della Figura 5A2. Esaminiamo ora la relazione tra il tasso anticipato e i tassi spot attesi per il futuro. Stimare il prezzo di un bond a una data futura. Nell esempio riportato nel testo, abbiamo considerato dei bond zero coupon che pagano 1000 alla scadenza e si vendono a sconto prima della scadenza. Modifichiamo lievemente l esempio. Ora i bond si vendono inizialmente al nominale, perciò il pagamento alla scadenza è superiore a Mantenendo i tassi spot all 8% e al 10%, abbiamo questo quadro: Data 0 Anno 1 Data 1 Anno 2 Data 2 Bond A % Prezzo d acquisto Pagamento iniziale alla scadenza Bond B % Prezzo d acquisto Pagamento iniziale alla scadenza Il tasso spot a un anno tra la data ? e la data 2 è ignoto alla data 0 I pagamenti alla scadenza sono rispettivamente 1080 e 1210 per i bond zero coupon a un anno e a due anni. Il prezzo annuale di acquisto, 1000 per ciascun bond, si determina così: 1000 = 1080/ = 1210/(1.10) 2 Chiameremo bond A il bond a un anno e bond B il bond a due anni. Alla data 1 ci sarà un tasso spot diverso. Sarà il tasso spot dalla data 1 alla data 2. Possiamo anche chiamarlo tasso spot dell anno 2. Questo tasso spot non è noto alla data 1. Per esempio, se il tasso di inflazione dovesse aumentare tra la data 0 e la data 1, probabilmente il tasso spot dell anno 2 sarebbe basso. Adesso che abbiamo determinato il prezzo di ciascun bond alla data 0, vogliamo stabilire quale sarà il prezzo rispettivo alla data 1. Il prezzo del bond a un anno (bond A) dev essere 1080 alla data 1 perché il pagamento alla scadenza avviene allora. Il difficile è stabilire quale sarà alla data 1 il prezzo del bond a due anni (bond B). Supponete di scoprire che alla data 1 il tasso spot a un anno dalla data 1 alla data 2 è il 6%. Noi affermiamo che è il tasso spot a un anno per l anno 2. Significa che potete investire 1000 alla data 1 e ricevere 1060 ( 1000 x 1.06) alla data 2. Poiché è già passato un anno per il bond B, gli rimane solo un anno di vita residua. Poiché il bond B paga 1210 alla data 2, il suo valore alla data 1 è: = 1210/1.06 (A.7) Notate che nessuno sapeva prima a che prezzo si sarebbe venduto il bond B alla data 1, perché nessuno sapeva che il tasso spot a un anno per l anno 2 sarebbe stato il 6%. Supponete che a partire dalla data 1 il tasso spot a un anno si riveli non il 6%, ma il 7%. Significa che potete investire 1000 alla data 1 e ricevere 1070 ( 1000 x 1.07) alla data 2. In questo caso, il valore del bond B alla data 1 sarebbe: = 1210/1.07 (A.8) Supponete infine che il tasso spot a un anno alla data 1 non sia né il 6% né il 7%, ma il 14%. Significa che potete investire 1000 alla data 1 e ricevere e1140 ( 1000 x 1.14) alla data 2. In questo caso, il valore del bond B alla data 1 sarebbe: = 1210/ La modifica delle assumptions semplifica la presentazione ma non altera le nostre conclusioni.

5 Il prezzo a cui si venderà il bond B alla data 1 non è noto prima della data 1, perché il tasso spot a un anno che prevarrà nell anno 2 non è noto fino alla data 1. È importante ribadire che mentre il tasso anticipato è noto alla data 0, il tasso spot a un anno a partire dalla data 1 è ignoto fino ad allora. Dunque il prezzo del bond B alla data 1 resta sconosciuto fino a quella data. Prima della data 1, possiamo parlare solo della cifra a cui il bond B si dovrebbe vendere alla data 1. Lo scriviamo come segue: 5 Prezzo a cui si dovrebbe vendere il bond B alla data 1: 1210/1 + Tasso spot atteso per l anno 2 (A.9) Ci sono due osservazioni da fare a questo punto. Primo, poiché ognuno è un individuo a sé, il valore atteso del bond B differisce da una persona all altra. Parleremo più avanti di un valore atteso condiviso dagli investitori. Secondo, l equazione (A.9) rappresenta la previsione individuale di quello che dovrebbe essere il prezzo del bond alla data 1. La previsione viene fatta in anticipo, ossia alla data 0. La relazione tra tasso anticipato del secondo anno e tasso spot atteso per il secondo anno. In presenza di una previsione di prezzo per il bond B, un investitore può scegliere tra due strategie alla data 0: 1 Acquistare un bond a un anno. I proventi alla data 1 sarebbero: 1080 = 1000 x 1.08 (A.10) 2 Acquistare un bond a due anni ma venderlo alla data 1. I proventi attesi sarebbero: 1000 x (1.10) 2 /1 + Tasso spot atteso nell anno 2 (A.11) Tenuto conto di quanto abbiamo detto sui tassi prefissati, possiamo riscrivere così (A.11): 1000 x 1.08 x /1 + Tasso spot atteso nell anno 2 (A.12) (Ricordatevi che 12.04% era il tasso anticipato per l anno 2: ossia f 2 = 12.04%). A quali condizioni il rendimento derivante dalla strategia 1 sarà uguale al rendimento atteso dalla strategia 2? In altre parole, a quali condizioni (A.10) sarà uguale a (A.12)? Le due strategie daranno lo stesso rendimento atteso solo quando: 12.04%= Tasso spot atteso nell anno 2 (A.13) In altre parole, se il tasso anticipato è uguale al tasso spot atteso, l investitore si aspetterebbe lo stesso rendimento nel primo anno se (a) investisse in un bond a un anno; (b) investisse in un bond a due anni ma lo rivendesse dopo un anno. L ipotesi dell aspettativa. L Equazione (A.13) sembra alquanto ragionevole. È ragionevole cioè che gli investitori fissino i tassi di interesse in maniera tale che il tasso anticipato eguagli il tasso spot atteso dal mercato tra un anno. 6 Immaginate per esempio che gli individui presenti sul mercato non si preoccupino del rischio. Se il tasso anticipato, f 2, è inferiore a al tasso spot atteso per l anno 5 Tecnicamente, l Equazione (A9) è solo un approssimazione, a causa della ineguaglianza di Jensen. In altre parole, i valori attesi sono: 1210/1 + Tasso spot > 1210/ 1 + Tasso spot atteso per l anno 2 Ignoriamo tuttavia questo aspetto secondario nel prosieguo dell analisi. 6 Naturalmente, ogni individuo avrà aspettative diverse, perciò l Equazione (A.13) non può valere per tutti. Tuttavia, gli economisti finanziari parlano generalmente di un aspettativa consensuale. È l aspettativa del mercato nel suo complesso.

6 2, coloro che desiderano investire per un anno acquisterebbero sempre un bond annuale. Il nostro lavoro dimostra cioè che un individuo che investe in un bond biennale ma pensa di venderlo alla fine del primo anno si aspetterebbe di guadagnare meno di quanto guadagnerebbe se acquistasse un bond annuale. L Equazione (A.13) è stata formulata per il caso specifico in cui il tasso anticipato era il 12.04%. Possiamo generalizzarla come segue: Ipotesi dell aspettativa: f 2 = Tasso spot atteso per l anno 2 (A.14) L Equazione (A.14) dice che il tasso anticipato per il secondo anno coincide con il tasso spot che a giudizio del mercato dovrebbe prevalere nel secondo anno. È la cosiddetta ipotesi dell aspettativa. Afferma che gli investitori fisseranno dei tassi di interesse in base ai quali il tasso anticipato per il secondo anno è uguale al tasso spot a un anno atteso per il secondo anno. Ipotesi della preferenza per la liquidità. A questo punto, molti studenti pensano che l Equazione (A.14) debba valere universalmente. Notate tuttavia che abbiamo sviluppato l Equazione (A.14) assumendo che gli investitori fossero indifferenti al rischio. Supponete invece che gli investitori siano avversi al rischio. Quale strategia apparirebbe più rischiosa a un individuo che vuole investire per un anno? 1. Investire in un bond annuale. 2. Investire in un bond biennale ma venderlo alla fine del primo anno. La strategia 1 non presenta rischi di sorta perché l investitore sa che il tasso di interesse dev essere r 1. La strategia 2, per contro, comporta un rischio più elevato: il rendimento finale dipende da ciò che accade ai tassi di interesse. Poiché la strategia 2 è più rischiosa della strategia 1, nessun investitore avverso al rischio la sceglierà se entrambe le strategie hanno lo stesso rendimento atteso. Gli investitori avversi al rischio possono non avere preferenze tra le due strategie solo quando il rendimento della strategia 2 è nettamente superiore al rendimento della strategia 1. Poiché le due strategie hanno lo stesso rendimento atteso quando f 2 è uguale al tasso spot atteso per l anno 2, la strategia 2 può avere un rendimento percentuale più elevato solo quando si verifica la seguente condizione: Ipotesi della preferenza per la liquidità: f 2 > Tasso spot atteso per l anno 2 (A.15) Vale a dire che per indurre gli investitori a detenere i più rischiosi bond a due anni, il mercato fissa il tasso garantito per il secondo anno al disopra del tasso spot atteso per il secondo anno. L Equazione (A.15) è detta ipotesi della preferenza per la liquidità. Abbiamo sviluppato tutto il discorso in base all assunto che gli individui intendano investire a un anno. Abbiamo osservato che per questo tipo di investitori un bond biennale non comporta rischi aggiuntivi perché dev essere venduto prima della scadenza. Cosa possono fare gli individui che vogliono investire per due anni? (Diciamo che questi investitori hanno un orizzonte temporale di due anni). Potrebbero scegliere una delle seguenti strategie: 3. Acquistare un bond biennale zero coupon. 4. Acquistare un bond annuale, e acquistarne immediatamente un altro quando il primo viene a scadenza. La strategia 3 non presenta nessun rischio per un investitore che ha un orizzonte temporale di due anni, perché i proventi da incassare alla data 2 sono già noti alla data 0. Ma la strategia 4 è a rischio perché il tasso spot dell anno 2 è ignoto alla data 0. Si può dimostrare che gli investitori avversi al rischio saranno indifferenti tra le strategie 3 e 4 quando: f 2 < Tasso spot atteso per l anno 2 (A.16)

7 Notate che l assunto dell avversione al rischio genera previsioni di segno contrario. La relazione (A.15) vale per un mercato dominato da investitori con un orizzonte temporale di un anno. La relazione (A.16) vale per un mercato dominato da investitori con un orizzonte temporale di due anni. Gli economisti finanziari hanno concordemente affermato che l orizzonte temporale del tipico investitore è generalmente molto più breve rispetto alla scadenza dei bond offerti dal mercato. Dunque per gli economisti (A.15) è la relazione che meglio fotografa la situazione di equilibrio in un mercato dei bond dominato da investitori avversi al rischio. Ma abbiamo veramente un mercato di investitori indifferenti o avversi al rischio? In altre parole, si può dare credito all ipotesi delle aspettative dell Equazione (A.14) o all ipotesi della preferenza per la liquidità dell Equazione (A.15)? Come vedremo più avanti, gli economisti ritengono gli investitori in massima parte avversi al rischio. Ma gli economisti non si accontentano mai di un esame superficiale delle assumptions su cui si fonda una teoria. Per loro, il giudice definitivo dev essere l evidenza empirica delle previsioni che discendono da una teoria. Ci sono ormai molte evidenze empiriche sulla struttura temporale dei tassi di interesse. Sfortunatamente (ma fortunatamente per alcuni studenti), non abbiamo la possibilità di illustrarle in tutti i dettagli. Ci limitiamo a dire che, a nostro avviso, i dati di fatto corroborano più l ipotesi della preferenza per la liquidità che l ipotesi delle aspettative. Basterebbe un risultato per dare agli studenti una percezione adeguata delle nostre ricerche- Considerate un individuo che deve scegliere tra uni di queste due strategie: 1. Investire in un bond annuale. 2. Investire in un bond ventennale ma venderlo alla fine del primo anno. (La strategia 2 è identica alla strategia 2, con la sola differenza che si tratta di un bond ventennale anziché biennale). L ipotesi delle aspettative afferma che i rendimenti attesi delle due strategie sono identici. L ipotesi della preferenza per la liquidità afferma che il rendimento atteso della strategia 2 dovrebbe essere superiore al rendimento atteso della strategia 1. Benché nessuno sappia quali ritorni siano attesi effettivamente su un determinato periodo di tempo, i rendimenti effettivi del passato potrebbero consentirci di sviluppare delle aspettative. I risultati relativi agli Stati Uniti per il periodo gennaio 1926 dicembre 1999 sono illuminanti. Su questo arco temporale, il rendimento medio annuo della strategia 1 è il 3.8% e il rendimento medio annuo della strategia 2 è il 5.5%. 7,8 Questo dato si considera generalmente coerente con l ipotesi della preferenza per la liquidità e incoerente con l ipotesi delle aspettative. Problemi 1. Pricing dei bond. Il tasso di interesse spot a un anno è l 8% e il tasso spot a due anni è il 10%. (a) Qual è il prezzo di un bond biennale che paga una cedola annua del 6%. (b) Qual è il rendimento alla scadenza di questo bond? 2. Pricing dei bond. Il tasso spot a un anno è l 11% e il tasso spot a due anni è l 8%. Qual è il prezzo di un bond biennale che paga una cedola annua del 5%? 3. Tassi anticipati. Se il tasso spot un anno è il 7% e il tasso spot a due anni è l 8.5%, qual è il tasso anticipato a un anno nel secondo anno? 4. Tassi anticipati. Assumete i seguenti tassi spot 7 Tratto da Stocks, Bonds,, Bills and Inflation 2000 Yearbook (Ibbotson Associates, inc., Chicago). Ibbotson Asociates aggiorna ogni anno il lavoro di Roger G. Ibbotson e Rex A. Sinquefield. 8 È importante rilevare che la strategia 2 non comporta l acquisto di un bond ventennale e la sua detenzione fino alla scadenza. Consiste nell acquistare un bond ventennale e nel venderlo un anno dopo ossia quando è diventato un bond a 19 anni. Questa transazione ripetitiva si verifica 74 volte nel campione di 74 anni che va da gennaio 1926 a dicembre 1999.

8 Anno Tasso spot (%) (a) Calcolate il tasso anticipato a un anno per il secondo anno. (b) Calcolate il tasso anticipato a un anno per il terzo anno. 5. Struttura temporale. Assumete i seguenti tassi anticipati: Scadenza Tasso anticipato (%) Calcolate i tassi spot per gli anni 1 e Struttura temporale. Di fronte a questi due scenari, per quale range di tassi spot attesi nell anno 2 vi converrebbe adottare la strategia 1? Spiegate. Strategia 1: acquistare un bond biennale e poi venderlo nell anno 1. Strategia 2. acquistare un bond annuale.