CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO

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1 INEMTI DE ORPO RIGIDO o tudo della geometra degl potament de punt d un tema materale potzzato come rgdo rentra n quella parte della Meccanca laca che è la nematca. a cnematca tuda pobl movment d un corpo ndpendentemente dalle caue che l poono generare. In partcolare la cnematca delle trutture occupa otanzalmente d potament, coè d dentfcare le pozon che un dato tema materale aume nello pazo enza precare la ucceone temporale con cu ueguono. Occorre nnanztutto defnre la geometra del tema materale, detta anche confgurazone del tema. a confgurazone d un tema materale conte nell neme d coordnate d tutt uo punt materal, n un dato tema d rfermento. onderando un generco corpo n una generca confgurazone d rfermento, tratta d defnre l neme d tutt pobl potament de punt del tema da una confgurazone ad una quala altra. P (P) P Spotamento del tema o campo degl potament (P) è l neme d tutt pobl potament (P -P) de punt P. Il vettore potamento coì defnto è funzone oltanto delle coordnate d P e P n un dato tema d rfermento. Spotamento d un corpo rgdo è un campo d potament n cu tutte le mutue dtanze retano nvarate. Un tema d punt materal, o un tema materale, defnce nfatt rgdo quando poono conderare nvarabl le mutue dtanze tra due qualunque de uo punt, per qualunque potamento d aeme ubca. Un corpo rgdo può avere olo potament rgd. Se n uno potamento pano conocono gl potament d due punt, l campo d potament è defnto. Soltamente punt d un tema materale, anzché mobl lberamente, poono eere, come vedremo, obblgat ad aumere olo le pozon compatbl con certe condzon, dette d vncolo. Qualunque dpotvo atto a lmtare la mobltà d un corpo nel pano o nello pazo aume l generco nome d vncolo. Un vncolo rappreenta una conneone del tema con l ambente eterno (vncolo eterno) o d part del tema tra d loro (vncolo nterno), che analtcamente eprme con qualche equazone nelle coordnate del tema che fa dmnure l numero d coordnate lbere (grad d lbertà del tema). S defnce potamento tralatoro uno potamento n cu tutt punt ubcono lo teo potamento. oneguenza d tale defnzone è che lo potamento tralatoro è rgdo pano (tutte le drezon ono drezon prncpal, coè rmangono nvarate).

2 Un corpo rgdo ha un moto d tralazone e pota n modo tale che le traettore d tutt punt del corpo ono lnee parallele e vettor che defncono gl potament ono parallel e d uguale modulo. Il campo vettorale formato dagl potament d tutt punt rulta coì unforme. a ucceone de punt occupat dal punto cottuce una lnea che chama traettora, la quale, a econda della ua forma, può eere rettlnea, curvlnea, o mta. S dce potamento rotatoro uno potamento rgdo n cu a tutt punt d una retta compete potamento nullo. Tale retta dce ae d rotazone. ae d rotazone e l corrpondente angolo d rotazone determnano lo potamento rotatoro. O P P O centro d rotazone. Ogn potamento rgdo pano non tralatoro è rotatoro. Se n uno potamento rgdo un punto è fo, allora tutt punt d un ae retano f, e qund lo potamento è rotatoro. Per decrvere lo potamento rgdo nello pazo occorrono 6 parametr ndpendent (tre component della tralazone e tre component della rotazone), mentre nel pano ne occorrono 3 (due component della tralazone e una componente della rotazone). a rotazone non è con tutt drtt un vettore, n quanto non egue le regole dell algebra vettorale. Due ucceve rotazon non compongono econdo le regole del parallelogramma. Dveramente verfca e gl potament ono nfntem. Sano OXYZ e O z due terne d a cartean ortogonal, la prma oldale con lo pazo d rfermento e la econda oldale con l tema. Per la defnzone d rgdtà non varano le coordnate de punt materal del tema rpetto alla terna O z. Pertanto la pozone del tema è fata quando a fata quella della terna O z rpetto alla terna OXYZ. E noto che per tablre la pozone della terna d a O z rpetto alla terna OXYZ è necearo e uffcente fare valor d 6 parametr tra loro ndpendent qual ad eempo le tre coordnate d O rpetto ad OXYZ e tre angol d Eulero che determnano la pozone d rpetto a O z. Per defnre le pozon d un tema rgdo nello pazo occorre qund ndvduare 6 parametr ndpendent q,., q 6 che decrvono le pozon occupate dal corpo rgdo rpetto alla terna d rfermento OXYZ. Tal parametr ono denomnat coordnate generalzzate o coordnate lagrangane. Nello pazo le coordnate generalzzate della pozone del corpo ono: 3 coordnate dell orgne O d un tema d a local d rfermento rpetto ad una terna fa; 3 parametr angolar che defncono le rotazon degl a local rpetto alla terna fa. Ogn poble varazone d quet parametr dce grado d lbertà del tema. Qund l concetto d grado d lbertà è aocato alla pobltà d un determnato potamento del corpo. Il numero d grad d lbertà d un tema rgdo è uguale al numero d parametr tra loro ndpendent che defncono la pozone del tema. Eendo 6 le coordnate generalzzate del corpo rgdo nello pazo, ne egue che lo teo poede 6 grad d lbertà. Nel pano un corpo rgdo ha 3 grad d lbertà. a pozone d un corpo rgdo nel pano è defnta da tre ol parametr ndpendent (coordnate generalzzate) q, q 2, q 3. Infatt tre ono parametr necear per fare la pozone degl a local rpetto ad un tema d rfermento fo XY. 2

3 Y Y O O X X O Per l pote fatta ulla rgdtà del corpo non cambano le dtanze relatve O, O,. e coordnate neceare a defnre la pozone del corpo rgdo ono: 2 coordnate (X O, Y O ) dell orgne O degl a local rpetto agl a f; parametro angolare che defnce l orentamento degl a local rpetto agl a f (ad eempo l angolo che forma l ae con l ae X). e coordnate generalzzate che defncono la pozone del corpo ono qund: q X O q 2 Y O q 3 qund un corpo rgdo nel pano ha tre grad d lbertà. Uno potamento rgdo condera pano e gl potament d tutt punt del tema rultano parallel ad uno teo pano α. Eendo rgdo l tema, gl potament d tutt punt d una retta b perpendcolare ad α, rultano ugual e qund poono eere decrtt nel pano α conderando gl a d rfermento. b z α α α α 2 2 α α α 2 2 b α Spotamento rgdo pano Y Spotamento del corpo Pozone O 2 Pozone 2 O O 2 2 X Il vettore relatvo alla Pozone è: M { q Il vettore relatvo alla Pozone 2 è: M 2 { q 2 q 2 2 q 2 q 3} 2 q 3 } (tre component) (tre component) 3

4 2 2 2 a varazone delle coordnate generalzzate da valor q; q 2 ; q 3 a valor q ; q 2 ; q 3 defncono uno potamento generalzzato del corpo rgdo pano: {} { M 2 M }, ovvero: q O O {} q 2 O q3 dove O è lo potamento dell orgne degl a, O e O ono le component d O, e è la rotazone (vettore normale al pano ). Rotazon nfnteme pote d potament nfntem permette d effettuare gnfcatve emplfcazon nella caratterzzazone degl potament, a che tratt d rotazon che d tralazon. a ae d rotazone a P O P P t O r t P Nella rotazone ono null gl potament de punt d una retta propra a chamata ae d rotazone. Gl potament d tutt punt P che gaccono u pan ortogonal ad a decrvono arch d crconferenza con centro nell nterezone tra l ae d rotazone e la crconferenza (punto ) e raggo uguale alla dtanza P. o potamento può eprmer come la omma d un vettore t tangente alla traettora (crconferenza) ed un vettore r dretto econdo l raggo vero l centro. t + r r P ( - co) r (r è l verore della drezone radale, dretto vero l centro d rotazone ) t P en t (t è l verore della drezone tangenzale, dretto nel vero dello potamento) t + r P ( - co) r + P en t Se vluppamo l co e l en n ere d Mcaurn, e tracuramo gl nfntem d ordne uperore al prmo, ottene: 2 co en Pertanto ottene: che può eere anche epreo come: P t 4

5 ( P) a epreone generale per defnre lo potamento d un generco punto P è: ( P ) a eendo l centro d rotazone. Qund e l angolo d rotazone è pccolo può tracurare la componente radale dello potamento del punto P amlandolo alla ola componente tangenzale alla traettora. Detto altrment, una rotazon nfntema d ampezza ntorno all ae d rotazone a produce uno potamento n drezone perpendcolare al raggo P, d grandezza par al prodotto della dtanza P per la rotazone. Il vettore rotazone è ortogonale al pano formato da vettor potamento e dtanza d da P. P t P P P P e component d potamento d due punt econdo la loro congungente ono ugual. d P P Q d P P t Q P Q Q Q P ( P) a Q ( Q) a Q d P d P Q E una coneguenza dell netenbltà del egmento PQ. Per la trattazone d potament nfntem non è pù necearo dtnguere tra a local e a f. Nell ambto della cnematca lnearzzata vale l prncpo d ovrappozone degl effett. Una ucceone d potament rgd nfntem determna uno potamento rultante ndpendente dall ordne d applcazone de ngol potament. Spotamento nfntemo pano d tralazone S conder un corpo rgdo pano che ubce una tralazone nfntema caratterzzata dallo potamento O dell orgne. e component O e O del vettore O poono eere conderate come parametr della tralazone rgda nfntema. 5

6 P P O O O O o potamento generalzzato d un corpo rgdo pano oggetto ad una tralazone nfntema è: O O O o potamento d un punto quala P del tema rgdo pano che ubce una tralazone nfntema è uguale allo potamento dell orgne O, qund: O O O epreone può anche crvere n forma matcale: O [I] { O } O Spotamento nfntemo pano d rotazone S conder ora un corpo rgdo pano che ubce una rotazone nfntema attorno ad un punto. // ae z P O Nello potamento d ola rotazone nfntema ha O, qund lo potamento generalzzato del corpo rgdo pano è: O o potamento d un generco punto P ( ; ) dovuto ad una rotazone nfntema può eere determnato conderando l rultato del prodotto vettorale del vettore ( P ) per l vettore rotazone applcato n e perpendcolare al pano. ( P ) Eendo e le coordnate del punto e e le coordnate del punto P, le component del vettore ( P ) ono: ( P ) ( P ) ( P ) z 6

7 Il vettore ha componente oltanto nella drezone z, qund: z α z P ( P ) ( P ) o potamento del punto P dovuto alla rotazone nfntema rulta: ( P ) ( ) ( ) k j ottene qund: ( ) ( ) ( ) ( ) j Ponendo l orgne degl a n O, rulta: P O a formulazone matrcale dello potamento del punto P dovuto alla rotazone nfntema rulta n queto cao: ( P ) (O P ) j k ome può vedere dalla fgura e rcordando che le component d potamento d due punt econdo la loro congungente ono ugual, ha che le component dello potamento d P concdono con modul degl potament delle proezon d P ugl a e, a caua dell netenbltà de egment all nterno d un corpo rgdo. entro tantaneo d rotazone Poché ogn potamento rgdo pano nfntemo può eere conderato come una rotazone ntorno ad un certo punto del pano, rconoce l etenza d un centro tantaneo d rotazone (.R.), che corrponde a quel punto n cu l ae tantaneo del moto ncontra l pano. In altre 7

8 parole, un generco potamento pano nfntemo d un corpo può ntender come generato da una rotazone nfntema ntorno al centro tantaneo d rotazone. Il.R. è caratterzzato dal fatto che l uo potamento è nullo. P 2 O.R. O P 2 P.R. P 2.R. 2 O O R R.R. O O + Se cerchamo le coordnate del centro tantaneo d rotazone ha: R O R R O + R n quanto l.r. ha potamento nullo. O R R O e precedent forncono le coordnate del centro tantaneo d rotazone. o potamento pano nfntemo del tema rgdo OP può eere vto anche: P * O R.R. O* O O P O O + O (.R. P ) R. ome compoto da una tralazone O e da una rotazone ntorno a O*. 2. ome generato da una rotazone ntorno al centro tantaneo d rotazone.r. S oerv che, per l pote d potament nfntem, l centro tantaneo d rotazone è ndvduato dall nterezone delle normal agl potament de punt condott per la loro pozone nzale. onocendo parametr dello potamento del corpo, le coordnate del.r. poono determnare mmedatamente, utlzzando le epreon: R O 8

9 R O Poché ogn potamento rgdo pano nfntemo può eere conderato come una rotazone attorno al centro tantaneo d rotazone, una tralazone rgda può eere vta come cao lmte d rotazone l cu centro d rotazone tende al punto mpropro (coè all nfnto) n drezone perpendcolare a quella della tralazone. Nel cao pù generale qund lo potamento d un generco punto P (, ) arà compoto d una tralazone pù una rotazone, coè rcade nel cao pù generale d potamento rototralatoro. S può dmotrare che per gl potament nfntem vale l prncpo d ovrappozone degl effett, per l quale l generco potamento rgdo nfntemo rototralatoro può eere ottenuto dalla ovrappozone d una tralazone pura e d una rotazone. S può qund crvere: + ( P ) + emplfcando ulterormente la precedente epreone ottene: ( ( ) ) j [V ] {} a matrce [V ] è formata dalla ubmatrce untara e dalla dfferenza tra le coordnate del punto e quelle del punto P. Ponendo l orgne degl a n concdenza con l punto precedentemente conderato le relazon emplfcano. In queto cao la tralazone rulta caratterzzata dallo potamento O dell orgne e la rotazone avvene attorno ad O. o potamento generalzzato del corpo rulta qund: O O O + (O P ) k O O [V ] {} O O + omponente dello potamento d un generco punto econdo una aegnata drezone Sa lo potamento d un generco punto P (, ) appartenente ad un corpo rgdo pano oggetto ad uno potamento generalzzato nfntemo. S vuole determnare la componente r dello potamento econdo una drezone r. 9

10 β r α r r O r r ϕ P ( ; ) r r P ϕ ϕ < π/2 r è potva P r ϕ ϕ > π/2 r è negatva Eendo r r r, l valore della componente r ottene proettando ortogonalmente ulla retta orentata r. Rulta qund: r coϕ ò corrponde al rultato del prodotto calare tra l verore r e l vettore potamento : r r e component del verore r econdo gl a ono date da coen drettor α r e β r della ua drezone, che rcorda eere coen degl angol format dalla drezone r con gl a e rpettvamente. S ottene qund: r r T { α r β r } α r + β r β r α r r r P a componente d potamento r può anche eprmere n funzone de parametr dello potamento generalzzato del corpo: Infatt, eendo: O O + ha: r α r + β r α r ( O ) + β r ( O + ) α r O + β r O + (α r + β r ) Il termne (α r + β r ) d r rappreenta la dtanza dalla retta r paante per P (, ) dall orgne O degl a d rfermento. r α r O + β r O + d r d r β r α r dtanza del punto O dalla retta r Il egno della dtanza d r è potvo e è potvo, coè antoraro, l momento d r rpetto al polo O. o teo rultato trovato precedentemente può eere raggunto operando n termn matrcal: r r T { α r β r } O O [α r ; β r ; (α r + β r )] O O

11 r r T [α r ; β r ; d r ] O O [V r ] {} r β r r r α r α r β r β r P α r O d r P + α r O α r d r a matrce [V r ] ha una rga e tre colonne. I uo termn ono d natura geometrca. Se voglono calcolare le component dello potamento d un punto econdo gl a del tema d rfermento O, rcorre alle eguent epreon: [α r ; β r ; d r ] [α r ; β r ; d r ] O O O O [; ; d r ] [; ; d r ] O O O O INEMTI DE ORPO RIGIDO VINOTO Dal punto d vta cnematco, un vncolo è quala condzone o legame che lmt qualche pobltà d movmento del corpo rgdo o del tema d corp rgd. Qund un vncolo cottuce una lmtazone alle pobltà d potamento. llo copo d evtare ogn potamento che comprometta la funzonaltà e la tabltà della cotruzone vengono realzzate fondazon che ono rappreentat medante dpotv attv ul contorno del corpo rgdo. Il vncolo può anche eere conderato come una conneone del tema con l ambente eterno (vncolo eterno) o d part del tema tra d loro (vncolo nterno) che analtcamente eprme con qualche equazone nelle coordnate del tema, rducendo n tale modo grad d lbertà del tema teo. I vncol che rfercono ad una partcolare confgurazone geometrca, e qund mpongono una retrzone alla ola pozone, defncono vncol d pozone o vncol olonom. E ono ndpendent dal tempo e cottucono legam che lmtano le pobltà d certe forme d potamento del tema. S conder ad eempo l tema rgdo pano defnto da tre punt,, rappreentato nella fgura eguente. Se l punto è cotretto a rmanere aderente alla

12 retta a + b, è mpoto un vncolo al tema n quanto l punto non può potar lberamente, ma è cotretto a rmanere aderente alla retta. Tale lmtazone mplca una relazone analtca ndcata dalla eguente relazone: a + b In altr termn le coordnate del punto devono oddfare una relazone d vncolo olonomo blaterale. b O a + b arattertche de vncol S è vto che vncol cottucono condzon mpote al tema o al generco corpo rgdo. E poono eere: Olonom: e comportano oltanto condzon tra le coordnate de punt vncolat, enza ntervento del tempo. Unlateral: e ono effcac n un olo vero. d eempo mpedcono lo potamento n una aegnata drezone, ma n un olo vero. Spotamento mpedto lateral: e ono effcac n due ver oppot. d eempo mpedcono gl potament n una aegnata drezone, a che ano un vero che nell altro oppoto. Spotamento mpedto Spotamento mpedto c: coè prv d attrto. Un corpo che pota u vncol lc non è oggetto a neuna forza reattva nella drezone dello potamento. Perfett: coè non cedevol, capac qund d bloccare completamente lo potamento a cu oppongono. F: coè ndpendent dal tempo. Puntform: coè prv d etenone. Inoltre vncol poono anche clafcar n: Vncol d appartenenza: un punto o un elemento del tema rgdo è cotretto a rmanere aderente ad una uperfce,o a una lnea, o a un punto. Naturalmente tal vncol ono blateral. Vncol d appoggo: ad un punto o a un elemento del tema è mpedto l attraveramento d una uperfce, una lnea, un punto. Tal vncol ono unlateral. Nel trattamento de problem d tatca e cnematca de corp rgd opererà n generale con vncol olonom blateral. S ammetterà noltre nella maggor parte de ca che vncol ano lc. 2

13 In nte la lmtazone alle pobltà d potamento eerctata dal vncolo traduce n una o pù condzon del tpo: Vncolo Eterno F ( ; ; z ) Vncolo Interno G ( ; ; z ; j ; j ; jz ) Quet vncol poono eere epre anche n funzone degl potament generalzzat: Vncolo Eterno f ( O ; O ; Oz ; ; ; z ) Vncolo Interno g ( O; O; Oz; O; O; Oz; j O; j O; j Oz; j O; j O; j Oz;) Un vncolo è detto emplce e è eprmble attravero una delle condzon opra ndcate; è detto molteplce e è eprmble attravero pù condzon. Un vncolo eterno lmta gl potament aolut de punt del corpo cu è applcato; un vncolo nterno lmta gl potament relatv tra due punt de corp che collega. Gl potament generalzzat non poono eere celt n modo arbtraro, ma devono oddfare le uddette condzon o relazon d vncolo, che qund rducono l numero d grad d lberà del tema. Una confgurazone ndvduata da parametr che oddfano tutte le relazon d vncolo è detta compatble o congruente. Modell meccanc de vncol pan Ne problem d cnematca e tatca vncol d un tema rgdo vengono rappreentat medante opportun modell meccanc. Il vncolo pù elementare è l carrello che non permette lo potamento d un punto del corpo n una aegnata drezone. e del carrello, r orpo rgdo orpo rgdo e del carrello, r r Spotament mpedt r Schema Un tale vncolo permette la rotazone attorno all ae paante per (ae del carrello), normale al pano medo, e la tralazone econdo una retta che è la tracca ul pano medo del pano d corrmento. a tuazone corrpondente a quella d un punto appartenente ad un tema rgdo cotretto a rmanere aderente ad una retta può rappreentare medante un carrello che pot n modo tale che le coordnate del punto aumano oltanto valor che oddfano l equazone della retta. r a + b r b O Il punto non può potare nella drezone ortogonale alla retta a +b. Il carrello ottrae un grado d lbertà al corpo rgdo e può qund eere conderato come vncolo emplce. ffnché l comportamento reale del vncolo a l pù poble promo a quello dello chema è necearo che la realzzazone tecnca a tea effettvamente al manfetar delle due component d potamento che l vncolo deve poter conentre. 3

14 lafcazone de vncol pan on rfermento alla fgura llutrata nel eguto, analzzano dver tp d vncolo eterno che verranno utlzzat nelle notre applcazon. I vncol ono aunt blateral, per cu l vncolo non conente l dtacco dalla retta d corrmento. I vncol etern agcono ugl potament aolut d un dato corpo. Vncolo Eterno Rappreentazone ondzone ugl potament RREO ERNIER GIFO INSTRO Il carrello è un vncolo emplce, che mpedce la componente d potamento del punto del corpo nella drezone normale a quella d corrmento del carrello. S rcord che a un corpo vncolato da un carrello retano due grad d lbertà, una tralazone parallela alla retta d corrmento e la rotazone. a cernera è un vncolo doppo, che mpedce lo potamento del punto del corpo cu è applcata. l corpo reta un olo grado d lbertà, la rotazone. Il glfo, o pattno, è un vncolo doppo, che mpedce la tralazone n drezone normale alla retta d corrmento e la rotazone del corpo. l corpo reta una ola componente d tralazone. Il glfo equvale dunque ad una cernera pota all'nfnto. ncatro è un vncolo trplo, che mpedce la tralazone d e la rotazone del corpo cu appartene. l corpo non retano grad d lbertà. 4

15 I vncol ntern agcono ugl potament relatv tra due corp. d eempo, eamnando l prmo cao llutrato nella eguente fgura, la condzone d vncolo mpone che lo potamento del punto del prmo corpo nella drezone dell ae del carrello a uguale allo potamento j del punto j del econdo corpo nella tea drezone. In nte, le condzon d vncolo mpongono che gl potament relatv tra punt e j nelle drezon vncolate devono annullar. Se lo potamento relatvo vncolato è una rotazone le rotazon de due corp devono eere ugual. Vncolo Interno Rappreentazone ondzone ugl potament RREO j - j j ERNIER j j j j - j - GIFO j j j - - j j INSTRO j j j j - j - - j Un vncolo equvalente al carrello è la bella o pendolo, che mpedce lo potamento d un punto del tema n una drezone prefata. Eo è uppoto cottuto da un ata rgda collegata da una parte a un punto fo del uolo e dall altra ad un punto del tema. In generale, un vncolo d molteplctà m equvale, da un punto d vta analtco, a m vncol emplc (ad eempo m pendol o carrell). Quando pù corp rgd ono collegat tra d loro (medante vncol ntern) e/o anche con l uolo (medante vncol etern) è n preenza d un tema artcolato d corp rgd (SR). Un tema cottuto da n c corp rgd ha, come gà detto, 6n c grad d lbertà nello pazo e 3n c grad d lbertà nel pano. Rcordando l epreone che permette d determnare la componente d potamento d un generco punto econdo una data drezone: r r T [α r ; β r ; d r ] O O α r O + β r O + (α r + β r ) [V r ] {} 5

16 a condzone d vncolo emplce è eprea dalla relazone: [V r ] {} [α r ; β r ; d r ] O O r eendo nullo lo potamento nella drezone r,mpedto dal vncolo. a relazone precedente eprme una condzone fra tre parametr (e nello pazo), gl potament generalzzat, che decrvono lo potamento del tema rgdo. Se n v vncol emplc vncolano l tema d corp rgd econdo r drezon, poono crvere altrettante matrc del tpo [V r ], cacuna d una rga e tre colonne (6 nello pazo). Raccoglendo le n v rghe [V r ] n un unca matrce [] l tema d potament mpedt da vncol è epreo dalla relazone: [] {} Se vncol non ono n grado d annullare una o pù component d potamento nella drezone della loro retta d azone, r, l epreone precedente modfca n: [] {} {q} ovvero q n cu q è un vettore che contene tutt gl potament mpot ne vncol, dett anche cedment vncolar. Tramte l nverone della matrce (detta anche matrce cnematca) determnano parametr dello potamento rgdo delle tema, coè le ue coordnate generalzzate che ne defncono la pozone. d eempo, conderamo l eguente corpo rgdo nel quale vene aegnato un cedmento vncolare n par a δ. p δ onderando come polo d rfermento. S aumono come potve le rotazon antorare. egnamo, n corrpondenza de vncol le component d potamento,, con ver ndcat n fgura (tal ver ono tat pre concord con gl a d rfermento e ). Tal potament aranno tutt ugual a zero, ad eccezone d che arà nvece par a δ. O O r [ α r β r ( α r + β r )] O [ α r β r dr ] O ϑ ϑ Per cu, ad eempo, lo potamento arà dato da (α e β ono coen dell angolo formato dalla drezone d potamento d con gl a e rpettvamente del tema d rfermento centrato nel polo ): 6

17 [ α β ( α + β )] [ ] δ ϑ ϑ Procedendo allo teo modo per le altre due component d potamento, amo ora n grado d cotruamo ora la matrce cnematca α ( ) α β α + β ( ) α β α + β ϑ δ q ϑ δ Rolvendo l tema d equazon ( - q), rcavano le component dello potamento generalzzato: δ ϑ Una volta noto lo potamento generalzzato può procedere al calcolo degl potament degl alt punt del corpo medante le note relazon: O O + n cu O. d eempo, le component d potamento del punto ono: + δ ( ) δ δ + Il centro d rotazone arà dato da: β ( α + β ) R R e qund avrà le eguent coordnate: R R Per cu concderà con l polo d rfermento. Se vncol emplc vengono dpot tra due punt appartenent a due corp rgd dtnt, gl potament relatv tra due punt ono condzonat ad aumere l valore mpoto dal vncolo. a condzone d vncolo mpota da un pendolo (o una bella) che collega due punt appartenent a due corp rgd dfferent può ancora eere epreo da: I r [V r ] { I } II r [V r ] { II } Dove gl apc I e II tanno ad ndcare due dver corp rgd. a condzone d vncolo mpone che lo potamento relatvo tra due punt collegat dal vncolo, coè l allontanamento de due corp nella drezone del pendolo, a uguale a : I r + r I V II r II I II r [ r Vr ] a matrce che compare nell epreone precedente contene n un unca rga le due matrc d vncolo relatve a due corp. a relazone d vncolo per l tema artcolato d corp rgd è ancora: q 7

18 dove l vettore contene parametr d potamento generalzzato d tutt corp rgd che cottucono l tema artcolato: 3n c (n c numero d corp) nel pano e 6n c nello pazo. a matrce cotruce aemblando aeme le matrc corrpondent a cacun corpo n relazone a vncol etern, e a coppe per vncol ntern. Il vettore q raccogle gl potament mpot, che aranno potament aolut nella drezone del vncolo per vncol etern, o potament relatv tra punt vncolat d due corp, convenzonalmente potv e comportano allontanamento, pre anch e nella drezone del vncolo. onderamo l eguente eempo d tema artcolato d corp rgd cottuto da due corp (corpo ) e (corpo 2) vncolat a terra cacuno con una cernera rpettvamente n e, e vncolat recprocamente con una cernera nterna n. Queto chema è noto come arco a tre cernere. In fgura ono ndcat le drezon e ver, quet ultm potzzat, delle component d potamento n corrpondenza de vncol. E aegnato un cedmento vncolare n n drezone vertcale con l vero ndcato n fgura. p 2 + M δ Per cacun corpo deve eere defnto uno potamento generalzzato n corrpondenza d un polo quala per mezzo del quale eprmere gl potament d tutt uo punt. S poono uare ndfferentemente gl te a d rfermento, con la tea orgne, per tutt corp, o rferment dfferent. In genere è pù comodo ceglere un rfermento propro per ogn corpo. Famo come pol d rfermento punt e. Per determnare qund l campo d potamento d tutt punt del corpo è necearo calcolare preventvamente gl potament generalzzat de due pol. Per queto motvo dobbamo rolvere l tema d equazon q. Per valutare la matrce, è necearo calcolare le component d potament de punt vncolat medante: O O r [ α r β r ( α r + β r )] O [ α r β r dr ] O ϑ ϑ e po aemblare coeffcent not nella matrce. d eempo, lo potamento arà dato da (α e β ono coen dell angolo formato dalla drezone d potamento d, una volta uppoto appartenente al corpo e una volta al corpo 2, con gl a e rpettvamente del tema d rfermento O centrato rpettvamente nel polo e n ): 8

19 9 ( ) [ ] [ ] ϑ ϑ + β α β α I ( ) [ ] [ ] ϑ ϑ + β α β α II emblamo due contrbut e ottenamo: I + II [ ] ϑ ϑ oè lo potamento relatvo tra due corp n drezone è nullo. Procedendo allo teo modo per gl altr potament de vncol e aemblando coeffcent nella matrce, ha: δ [] {} {q} che permette d rcavare lo potamento generalzzato: {} δ δ δ 2 2 PROEM INEMTIO NE PINO S conder un tema d corp rgd cottuto da n c corp, mutuamente vncolat, e d norma vncolato al uolo. Sa n v l numero globale de vncol emplc, ntern ed etern. S conderno po de cedment vncolar, che vengono applcat a partre da una data confgurazone d rfermento. S formula l eguente problema cnematco (d congruenza o compatbltà cnematca): aegnat cedment vncolar, determnare, e etono, le confgurazon compatbl del tema. Rprendamo la condzone q. è la matrce d compatbltà cnematca del tema, d dmenon n v 3n c, è l vettore degl potament generalzzat ncognt, d dmenon 3n c, e q è l vettore de cedment vncolar not, d dmenon n v. on queta formulazone analtca la natura del problema fco vene a dpendere dalle propretà della matrce. Infatt, per trovare

20 parametr dello potamento generalzzato, che defncono la pozone del corpo o de corp rgd nel pano (o nello pazo), dobbamo nvertre la matrce cnematca : - q a pobltà qund d trovare una oluzone del tema d equazon opra ndcato dpende dalla nvertbltà della matrce. Può accadere che cò non a poble n quanto la matrce cnematca può preentare delle ngolartà. d eempo è noto che e due rghe d una matrce quadrata ono proporzonal l uo determnante è nullo, e l nverone è mpoble. lafcazone cnematca In bae alle carattertche della matrce è poble procedere ad una clafcazone de Stem d orp Rgd (SR). S dtnguono quattro ca fondamental. a) n v 3n c : l numero de vncol è par a grad d lbertà del tema. Il tema defnce tema cnematcamente determnato, o ocnematco. a matrce è quadrata ed ha rango mamo, poché det. Il problema cnematco ammette una ed una ola oluzone. I vncol devono eere ben dpot, nel eno che non devono rpetere delle condzon gà epree da altr vncol e qund cacuno d e deve eere rappreentato da una equazone che a lnearmente ndpendente dalle altre n v equazon. Un tema cnematcamente determnato non può aumere confgurazon dvere da quella d rfermento e non ntervengono cedment vncolar. Qualunque e ano, l tema trova empre una nuova confgurazone cnematcamente ammble. onderamo un tema cnematcamente determnato, o ocnematco, cottuto da un olo corpo, n cu ha: p n [ ] { } { q} v c c v 3 n 3n n otruamo la matrce cnematca conderando come polo d rfermento. α β ( α + β ) ( ) α β α + β ( ) α β α + β ϑ q ϑ a matrce è quadrata e non ngolare per cu può eere nvertta. b) n v <3n c : Il numero d vncol è nferore a grad d lbertà del tema per cu l tema defnce come tema lable, o cnematcamente ndetermnato, o percnematco. a matrce è rettangolare baa, con un numero d colonne maggore del numero delle rghe, 2

21 per cu l tema d equazon è ndetermnato. In queto cao vncol lacano al tema d corp rgd 3n c - n v grad d lbertà a qual corrpondono altrettante pobltà d potamento. nche n aenza d cedment vncolar l tema può aumere confgurazon dvere da quella d rfermento, e per queto motvo è detto lable. onderamo l eguente tema lable cottuto da un olo corpo. p ome nell eempo precedente cotruamo la matrce cnematca conderando come polo d rfermento. q ϑ In queto cao la matrce è rettangolare con un numero d colonne maggore del numero d rghe, per cu l tema è ndetermnato: ϑ Il tema d equazon può eere rolto aegnando valor arbtrar a o ϑ e calcolare l rmanente. c) n v >3n c. Il numero d vncol è maggore del numero d grad d lbertà per cu l tema defnce come tema cnematcamente mpoble, o pocnematco. a matrce è rettangolare alta, con numero d rghe maggore del numero d colonne, per cu l tema d equazon è ovradetermnato. Il tema ha pù equazon che ncognte. In queto cao è mpoble aegnare a punt vncolat potament arbtrar. Il problema cnematco, n generale, non ammette oluzone. onderamo l eguente tema cnematcamente mpoble cottuto da un olo corpo. p 2

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