I sottoinsiemi di un insieme e il triangolo di Tartaglia

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1 I sottoinsiemi di un insieme e il triangolo di Tartaglia 20 febbraio 205 Introduzione Consideriamo l insieme Luca Goldoni PhD Università di Trento Dipartimento di Informatica Università di Modena Dipartimento di Ingegneria A = {a, b, c} e scriviamo tutti i suoi sottoinsiemi, sia propri che impropri:. Sottoinsiemi con 0 elementi:. 2. Sottoinsiemi con elemento: {a},{b},{c} 3. Sottoinsiemi con 2 elementi: {a, b},{b, c},{a, c} Possiamo allora osservare che: Il numero di sottoinsiemi dipende da quanti elementi essi contengono. Il numero complessivo di sottoinsiemi è una potenza del 2, nel nostro caso 2 3 e cioè ci sono 8 sottoinsiemi. Esistono alcune regolarità: ad esempio, il numero di sottoinsiemi contenenti un elemento è uguale a quello dei sottoinsiemi contenenti 3 elementi.

2 Ci chiediamo se tutto ciò è vero in generale e se esiste un modo efficace per rappresentare il numero dei vari sottoinsiemi di un insieme. Facciamo dunque un analisi metodica 2 Analisi di alcuni casi speciali 2. Insieme con 0 elementi Esiste un unico sottoinsieme di questo tipo ed è l insieme vuoto Insieme Sottoinsiemi Quindi, in questo caso abbiamo solo sottoinsieme contenente 0 elementi. 2.2 Insiemi con elementi Possiamo scrivere il nostro insieme come In questo caso abbiamo: A = {a}. Un sottoinsieme con 0 elementi e cioè. 2. Un sottoinsieme con elemento e cioè A. e quindi Insieme Sottoinsiemi 0 elementi Sottoinsiemi elementi A = {a} A 2.3 Insiemi con 2 elementi Possiamo scrivere il nostro insieme come In questo caso abbiamo: A = {a, b}. Un sottoinsieme con 0 elementi e cioè. 2. Due sottoinsiemi con elemento e cioè {a},{b}. 2

3 3. Un sottoinsieme con 2 elementi e cioè. e quindi Insieme 0 elementi elemento 2 elementi A = {a, b} {a}, {b} A = {a, b} 2.4 Insiemi con 3 elementi Lo abbiamo già visto nell introduzione. Riassumiamo solo quello che abbiamo scoperto: Insieme 0 elementi elemento 2 elementi 3 elementi A = {a, b, c} {a}, {b}, {c} {a, b}, {a, c}, {b, c} A = {a, b, c} 2.5 Insiemi con 4 elementi Possiamo scrivere il nostro insieme come In questo caso abbiamo: A = {a, b}. Un sottoinsieme con 0 elementi e cioè. 2. Quattro sottoinsiemi con elemento e cioè {a},{b},{c},{d}. 3. Sei sottoinsiemi con 2 elementi e {a, b},{a, c},{a, d},{b, c},{b, d},{c, d}. 4. Quattro sottoinsiemi con 3 elementi e cioè {b, c, d},{a, c, d},{a, b, d},{a, b, c}. 5. Un sottoinsieme con 4 elementi e cioè A. e quindi Insieme A = {a, b, c, d} 0 elementi elemento {a}, {b}, {c}, {d} 2 elementi {a, b}, {a, c}, {a, d} {b, c}, {b, d}, {c, d} 3 elementi {b, c, d}, {a, c, d}, {a, b, d}, {a, b, c} 4elementi A = {a, b, c, d} 3

4 3 Il triangolo di Tartaglia Potremmo anche continuare ma quello che abbiamo ottenuto già ci basta per formulare delle congetture. Disponiamo i numeri dei sottoinsiemi ottenuti nel seguente schema: A = A = {a} 2 A = {a, b} 3 3 A = {a, b, c} A = {a, b, c, d} Questo schema triangolare è noto come triangolo di Tartaglia o di Pascal 2,o anche semplicemente come triangolo binomiale, ma in realtà era già noto ben prima agli antichi Cinesi 3. Tale schema ha così tante proprietà che sono stati scritti interi libri per elencarle e dimostrarle. Ne ricordiamo solo pochissime:. Ogni riga inizia e termina con. 2. La somma degli elementi di ogni riga è una potenze del Ogni elemento di una riga, che non sia il primo o l ultimo, è la somma dei due elementi che gli stanno sopra, nella riga precedente: Questa proprietà permette di costruire qualsiasi riga del triangolo. Per esempio, se vogliamo scrivere la riga successiva all ultima che abbiamo trovato, essa sarà Essa ci dice che se cosnideriamo A = {a, b, c, d, e} allora avremo: Nicolò Fontana detto il Tartaglia, perchè era balbuziente, visse in Italia nel XVI secolo. 2 Blaise Pascal fu un matematico e filosofo francese del XVII secolo. 3 I manoscritti cinesi che riportano questo schema precedono di vari secolo Tartaglia e quindi anche Pascal. 4

5 . sottoinsieme da 0 elementi sottoinsiemi da elemento sottoinsiemi da 2 elementi sottoinsiemi da 3 elementi sottoinsiemi da 4 elementi. 6. sottoinsieme da 5 elementi. per un totale di 32 = 2 5 sottoinsiemi. Esercizio. Scrivere in modo ordinato tutti i sottoinsiemi del caso precedente. Esercizio 2. Scrivere alcune righe del triangolo successive a quelle trovate. Esercizio 3. Inserire nella scheda I matematici che ho incontrato sia Tartaglia che Pascal. 4 Altre proprietà del triangolo di Tartaglia cioè la seconda diagonale è costituita dalla successione dei numeri naturali positivi cioè se il secondo numero di una riga è primo allora tutti gli altri numeri di quella riga eccetto l ultimo sono divisibili per esso. 5

6 Il triangolo è simmetrico rispetto a una retta verticale tracciata per il vertice e ciè i numeri della seconda diagonale sono i numeri triangolari: = = 3 = 6 = 0 Ci sono numerosissime altre proprità ma queste possono bastare. Ricordiamo solo che torneremo ad incontrare il triangolo di Tartaglia in un contesto completamente diverso, quando cercheremo di calcolare (a + b) n per esempio (a+) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4. Omnia tempus habent. 4 4 Ogni cosa a suo tempo. 6

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