Gestione della produzione e della supply chain Logistica distributiva. Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Siena

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1 Gestione della produzione e della supply chain Logistica distributiva Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Università di Siena

2 Problemi di Distribuzione: Il problema del Vehicle Rou:ng

3 Problemi di Distribuzione L avità logisca relava al trasporto ed alla distribuzione dei beni costuisce una delle principali voci nei bilanci delle aziende industriali e più in generale un capitolo di spesa non trascurabile dell economia dei pase industrializza. Il Na&onal Council of Phisical Distribu&on nel 9 valutava la spesa totale degli Sta& Uni& per il trasporto di beni e persone nel % del PIL.

4 Problemi di Distribuzione: Il Vehicle Roung Il Vehicle Routing Problem (VRP) è un tipico problema di distribuzione e di trasporto, che consiste nell ottimizzare l uso di un insieme di veicoli a capacità limitata per prelevare e consegnare merci o persone presso stazioni (geograficamente) distribuite. Gli obiettivi sono molteplici: - Minimizzazione dei costi di trasporto (distanze percorse, consumo di carburante); - Minimizzazione del numero di veicoli utilizzati - massimizzazione della qualità del servizio (puntualità, confort, ecc...)

5 Il problema del Vehicle Roung Nel problema del Vehicle Routing sono dati: un deposito (origine) da cui hanno inizio le spedizioni del bene un numero di veicoli m a disposizione una capacità Q per ogni veicolo un insieme V di stazioni o punti vendita da visitare una domanda d i del bene per ogni punto vendita i le distanze c ij tra ogni coppia di punti (punti vendita o deposito) Il problema Assegnare a ciascun punto vendita un solo veicolo in modo tale che: - la domanda complessiva dei punti vendita assegnati ad un solo veicolo non ecceda la capacità Q del veicolo; - la distanza totale percorsa dai veicoli per effettuare tutte le consegne nei punti vendita assegnati, partendo e tornando al deposito, sia minima.

6 Il problema del Vehicle Roung Il problema Assegnare a ciascun punto vendita un solo veicolo in modo tale che: - la domanda complessiva dei punti vendita assegnati ad un solo veicolo non ecceda la capacità Q del veicolo; - la distanza totale percorsa dai veicoli per effettuare tutte le consegne nei punti vendita assegnati, partendo e tornando al deposito, sia minima. deposito Q d i m = Q = = d = = 0

7 Il problema del Vehicle Roung Il problema Assegnare a ciascun punto vendita un solo veicolo in modo tale che: - la domanda complessiva dei punti vendita assegnati ad un solo veicolo non ecceda la capacità Q del veicolo; - la distanza totale percorsa dai veicoli per effettuare tutte le consegne nei punti vendita assegnati, partendo e tornando al deposito, sia minima. deposito Q d i m = Q = = d = = 0

8 Il problema del Vehicle Roung Il problema Assegnare a ciascun punto vendita un solo veicolo in modo tale che: - la domanda complessiva dei punti vendita assegnati ad un solo veicolo non ecceda la capacità Q del veicolo; - la distanza totale percorsa dai veicoli per effettuare tutte le consegne nei punti vendita assegnati, partendo e tornando al deposito, sia minima. deposito Q d i m = Q = = d = = 0

9 Il problema del Vehicle Roung Il problema Assegnare a ciascun punto vendita un solo veicolo in modo tale che: - la domanda complessiva dei punti vendita assegnati ad un solo veicolo non ecceda la capacità Q del veicolo; - la distanza totale percorsa dai veicoli per effettuare tutte le consegne nei punti vendita assegnati, partendo e tornando al deposito, sia minima. deposito m = Q d i = Q = d = = 0

10 Il problema del Vehicle Roung Formulazione del problema Si consideri un grafo orientato G=(V,A) dove i nodi rapprentano il deposito (nodo ) ed i punti vendita (nodi di V \ ). Ad ogni nodo-punto vendita i è associata la domanda d i. Ad ogni arco in A è associata la distanza c ij. Il problema è quello di determinare un insiemi di cicli C={C,..., C m } sul grafo con le seguenti caratteristiche: - il nodo (deposito) appartiene ad ogni ciclo C ; - ciascun nodo i (punto vendita) diverso da appartiene ad un solo ciclo C ; - la somma delle domande dei nodi nel ciclo C non eccede la capacità Q. In modo da minimizzare la somma delle lunghezze dei cicli: L( C ) Z( C) = = : somma delle distanze degli archi nel ciclo C m L( C )

11 Il problema del Vehicle Roung Varianti del problema - Tipo di operazione ai punti vendita: consegna, prelievo, consegna e prelievo (pic-up and delivery); - Numero di veicoli: fissato o da minimizzare; - Tipo di veicoli: veicoli identici, o con capacità e caratteristiche differenti; - numero dei depositi: presenza di più punti di partenza per i veicoli; - Natura della domanda: domande presso i punti vendita deterministiche o stocastiche; - Struttura delle rotte (percorsi): vincoli di precedenza tra i nodi, vincoli sul massimo numero di nodi o sulla massima distanza percorribile da un veicolo;

12 Il problema del Vehicle Roung Varianti del problema (segue) - Vincoli temporali: presenza di finestre temporali ai nodi per la consegna/ prelievo del bene; - Consegne e prelievi periodici: nella distribuzione di beni deperibili c è l esigenza di organizzare percorsi giornalieri su un orrizzonte temporale di più giorni (una settimana per esempio), per garantire una determinata frequenza di visita di ciascun cliente; - Funzione obiettivo: distanza percorsa, tempi di percorrenza, numero di veicoli, costo complessivo del servizio, livelli di sicurezza e confort

13 Una Formulazione Matemaca Un consideriamo il caso in cui esiste un solo deposito ed il numero di veicoli è dato (pari a m). Definizione delle variabili: " x ij = se il veicolo va da i a j,(i, j) A # $ 0 altrimenti

14 Una Formulazione Matemaca Funzione obievo: min m i, j V, i j = c ij x ij

15 Una Formulazione Matemaca Vincoli: Differenza tra archi uscen ed entran ad ogni nodo: x ij x ji j V,i j j V,i j = 0 i =,...,n, =,...,m Eliminazione dei sohocilci tra pun- vendita: x ij S S V\{}, S, =,...,m i,j S,i j

16 Una Formulazione Matemaca Vincoli (segue): Numero di archi uscen dal deposito (limita il numero di veicoli impiega): m = j V,j x j m Numero di archi uscen dai pun- vendita: m x ij = i =,...,n = j V,j

17 Una Formulazione Matemaca Vincoli (segue): Capacità massima dei veicoli: d i x ji Q =,...,m i,j V i i j Interezza delle variabili: {,} x ij = 0 i, j =,..., n, i j =,..., m

18 Una Formulazione Matemaca $ m & ( & min% c ij x ij ) '& i,j V,i j = *& x ij x ji = 0 i =,...,n, =,...,m j S,i j j V,i j x ij S S V\{}, S, =,...,m i,j V,i j m = j V,j x j m m x ij = i =,...,n = j V,j d i x ji Q =,...,m i,j V i i j x ij = 0, { } i, j =,...,n, i j =,...,m

19 Vincoli aggiunvi Limitazioni temporali Durata massima del viaggio del veicolo, : Sia t i tempo di servizio al nodo i t ij tempo di viaggio tra i nodi i e j durata massima del viaggio del veicolo T (t i x ij ) + t ij x ij T =,...,m i V i j V i j i,j V i j T

20 Vincoli aggiunvi Limitazioni temporali Finestre temporali ai nodi pun- vendita: Sia l i, L ] la finestra temporale in si cui deve espletare il servizio al centro i [ i a j una variabile reale che rappresenta l istante d inizio del servizio al centro j A a j (a i + t i + t ij ) ( x ij )A una costante posiva molto grande =,...,m, i, j V,i j a j (a i + t i + t ij ) + ( x ij )A =,...,m, i, j V,i j l j a j + t j L j =,...,m, i, j V

21 Definizione delle variabili: Un altra formulazione Consideriamo il caso in cui esista un solo deposito ed il numero di veicoli sia dato (pari a m). Sia P l insieme delle rotte ammissibili per il veicolo.! y p = se la rotta p in P è assegnata al veicolo " # 0 altrimenti

22 Un altra formulazione Una rotta p è descritta dai coefficienti (binari) a ip, pari a se la stazione i è visitata dalla rotta p e 0 altrimenti. Sia c p il costo complessivo della rotta p, se eseguita dal veicolo. Funzione obievo: #% min$ &% m = p P ' c % p y p ( )%

23 Un altra formulazione Vincoli: massimo numero di rohe da selezionare m = p P y p m Ogni stazione deve essere visitate da una sola roha m a ip y p = i V \ = p P

24 #% min$ &% m Formulazione complessiva m = p P y p m a ip y p = i V \ = m = p P p P c p y p '% ( )% y p { 0,} =,...,m;p P

25 Metodi eurisci per il Vehicle Roung Tipologia dei metodi: Metodi costruvi Metodi in Due Fasi Metodi Miglioravi

26 Metodi eurisci per il Vehicle Roung Metodi costruvi: La soluzione è costruita in modo graduale, assegnando via via i pun vendita ai veicoli. L assegnamento dei pun vendita in generale avviene ahraverso criteri greedy. Metodi in Due Fasi: La soluzione è costruita risolvendo due problemi in cascata:.clustering: Si assegnano ai veicoli gli insiemi di pun vendita da visitare C,..., C m..rou:ng: Individuazione di un ciclo hamiltoniano relavo ad ogni insieme di pun C i. Due pologie di algoritmi:. Cluster First- Router Second e. Router First- Cluster Second

27 Metodi eurisci per il Vehicle Roung Metodi Miglioravi: Le fasi di Clustering e Roung sono applicate alternavamente e più di una volta.

28 Metodi eurisci per il Vehicle Roung Metodi Costruvi: Algoritmo di Clare e Wright (per problemi di VRP con veicoli idenci) Algoritmo iteravo in cui, ad ogni iterazione, la soluzione corrente è costuita da un insieme di cicli orienta T,..., T q disgiun (a parte il nodo ), con la proprietà che ogni punto vendita appartenga ad un ciclo (si assume che tu i veicoli abbiano la stessa capacità Q). Ad ogni iterazione la soluzione corrente si oene fondendo insieme due cicli della soluzione precedente. Th = {, p( h),..., u( h) } T = {, p( ),..., u( ) } T = {, p( h),..., u( h), p( ),..., u( ) }

29 Algoritmo di Clare e Wright Fusione tra due cicli T T h = = {, p( h),..., u( h) } {, p( ),..., u( ) } T = {, p( h),..., u( h), p( ),..., u( ) } u(h) p() T u() T h p(h)

30 Algoritmo di Clare e Wright Fusione tra due cicli T = T T h = = {, p( h),..., u( h) } {, p( ),..., u( ) } {, p( h),..., u( h), p( ),..., u( ) } u(h) T h La fusione è effehuata solo se: p() d j j T h T T " Risparmio" se : cu h), + c, p( ) cu( h), p( ) Q ( > u() 0 p(h)

31 Algoritmo di Clare e Wright Fusione tra due cicli La quantà cu ( h), + c, p( ) cu( h), p( ) se posiva rappresenta il risparmio che si oene servendo con un solo veicolo i centri relavi ai due cicli. Ad ogni iterazione dell algoritmo si fondono i due cicli con massimo risparmio. Se nessuna coppia di cicli consente una fusione con risparmio posivo e se il numero di cicli della soluzione corrente è inferiore o uguale al numero di veicoli m, l algoritmo si ferma

32 Inizializzazione: j=0,, STOP=false While (STOP=false) begin Calcola il massimo guadagno di fusione max- fus tra ogni coppia di cicli, tale che: T dove: h T Algoritmo di Clare e Wright T j = { T,...,T n }, con T i =,i max - fus dq q T h T Q = max j T,T T, h h { } i =,...,n { c + c c } u ( h ),, p ( ) u ( h ), p ( ) end If (max- fus <0) AND (numero di cicli in T j minore o uguale di m) STOP=true, T j è la soluzione dell algoritmo Else fondi insieme i cicli T h e T, che generano il massimo guadagno di fusione max- fus, nella soluzione T j, j = j +

33 Algoritmo di Clare e Wright: Esempio 9 c ij 9 9 d i i 0 = = m Q

34 Algoritmo di Clare e Wright: Esempio r ij Matrice dei risparmi derivan: dalla fusione di due cicli iniziali: non tuf ammissibili! (somma d i <=0) 9 9 d i i

35 Algoritmo di Clare e Wright: Esempio Passo 0. T i = {,i } i =,..., Passo. il max risparmio ammissibile (somma d i <=0) si ha fondendo T e T T = {,, } T i = {,i } i =,..., Passo. calcolo il risparmio di fusione con il ciclo T. Fusioni ammissibili possibili: - T U T = ; T U T = r ij - T U T = ; T U T = T = {,,, } T i = {,i } i =,...,

36 Algoritmo di Clare e Wright: Esempio Passo. il max risparmio ammissibile (somma d i <=0) si ha fondendo T e T T = {,,, }; T i = {,i } i =,; T = {,, } Passo. il max risparmio ammissibile (somma d i <=0) si ha fondendo T e T T = {,,, }; T = {,, }; T = {,, } r ij Passo. non esiste altra fusione ammissibile Il numero di cicli è pari a <=m. STOP

37 Metodi eurisci per il Vehicle Roung Metodi in Due Fasi: Algoritmo di Clare e Wright modificato La soluzione è costruita risolvendo due problemi in cascata:.clustering: l algoritmo di Clare e Wright (leggermente modificato) è ulizzato per assegnare ai veicoli gli insiemi di pun vendita da visitare C,..., C g..rou:ng: l eurisca - OPT è impiegata per determinare l ordine con cui i pun vendita di ogni insieme C,..., C g sono visita.

38 Metodi eurisci per il Vehicle Roung Fase di Rou:ng Eurisca - OPT L eurisca - OPT è un algoritmo di ricerca locale che a parre da un ordinamento di visita (roung) iniziale dei pun vendita dell insieme C i, costruisce un insieme di soluzioni esplorando un intorno del roung iniziale. L intorno è generato applicando la procedura - scambio in tu i modi possibili.

39 Procedura - scambio Metodi eurisci per il Vehicle Roung Fase di Rou:ng Da due archi non adiacen, (u i, u i+ ) e (u h, u h+ ), nel roung iniziale, la procedura - scambio produce il seguente nuovo roung. u i+ u h u i+ u h u i u h+ u i u h+ Roung iniziale Nuovo Roung

40 Metodi eurisci per il Vehicle Roung Fase di Rou:ng Eurisca - OPT Input: roung T iniziale dei pun vendita dell insieme C i ;. Applica la procedura - scambio ad ogni coppia di archi non adiacen in T. Sia R l insieme dei nuovi roung dei pun vendita ohenu, e sia T* il roung in R con costo L(T*) minore.. Se L(T*)< L(T) poni T=T* e vai al passo. Altrimen STOP.

41 Fusione tra due cicli T h T { } { } =,p(h),...,u(h) =,p(),...,u() Algoritmo di Clare e Wright modificato Fase di Clustering T = {,p,...,u } dove p=argmin { q Th T \ c },q u=argmin { c } q Th T \{,p} q,

42 Algoritmo di Clare e Wright modificato (caso con un numero illimitato di veicoli, m>=n) Fase di Clustering Inizializzazione: j=0, T j = { T,...,T n }, con T i = {,i } i =,...,n, STOP=false While (STOP=false) Begin Calcola il massimo guadagno di fusione max- fus tra ogni coppia di cicli, tale che: dove: If (max- fus <0) Then STOP=true, T j è la soluzione dell algoritmo Else fondi insieme i cicli T h e T, che generano il massimo guadagno di fusione, max- fus, nella soluzione T j, j = j + Determina il primo nodo p e l ulmo nodo u nel ciclo ohenuto dalla fusione: end T h T dq q T h T Q max-fus = max Th,T T j,h { c u(h), + c,p( ) c u(h),p( ) } p=argmin c q Th T \{,q } u=argmin q Th c T \{,p} { q, }

43 Algoritmo di Clare e Wright modificato (caso con un numero illimitato di veicoli, m>=n) Fase di Rou:ng input: i cluster T = { T,...,T } g ohenu& nella fase di clustering. Applica - OPT ad ogni cluster in T per determinare l ordinamento di visita dei pun& vendita in ogni cluster.

44 Algoritmo di Clare e Wright modificato: Esempio 9 c ij 9 9 d i i Q = m r ij

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