[4] che, nel caso piano, assume la seguente forma: T = [4 ] Denominate a x, a y e a z le componenti del vettore traslazione t ed indicando con

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1 L'LLINEMENTO DELLE SCNSIONI LSER SCNNER MEDINTE L'IMPLEMENTZIONE DI UN INSIEME RIDONDNTE DI SISTEMI RISOLUTIVI Massimo CHILLEMI, Luigi GICOBBE DISI Facoltà di Ingegneria Università di Messina, , Riassunto Un uso corretto e consaevole della tecnologia laser scanning 3D non uò rescindere da un aroccio ragionato sui termini di recisione conseguibili in relazione al risultato atteso. Il roblema assume rilevanza articolare quando dello stesso oggetto è necessario eseguire iù scansioni, che devono essere allineate, cioè georeferenziate risetto al medesimo sistema di riferimento, er giungere alla costruzione del modello digitale. Con la resente nota si vuole introdurre una rocedura oerativa che, mediante l'imlementazione di un insieme ridondante di sitemi risolutivi, consenta l'ottimizzazione della fase di registrazione delle scansioni, riducendone le conseguenze negative sulla recisione del modello finale. bstract correct and aware use of the laser scanning 3D technolog cannot ut aside from a reasoned aroach on the achievable terms of recision in relationshi to the attended result. The roblem assumes articular imortance when is necessar to erform more scannings of the same object, that must have aligned u to reach the construction of the digital model. With the resent note is introduced an oerational rocedure that, through the imlementation of redundant sstems, allows the otimization of the hase of recording of the scannings reducing the negative consequences on the recision of the final model.. Finalità dell allineamento e tecniche di registrazione Un uso aroriato della metodologia laser scanning 3D richiede l arontamento di un accurato rogetto del modello finale già in una fase recedente al rilievo, quando è necessario redisorre le oortune condizioni oerative er garantire il conseguimento del risultato atteso anche in termini di recisione. La ossibilità offerta dal laser scanner di osizionare un unto nello sazio con una recisione elevata (di ordine sub-millimetrico er i laser triangolatori a iccola ortata, da ±3 mm a ± 7 mm er i laser distanziometrici a media ortata) è un atrimonio di fondamentale imortanza, che erò uò essere deauerato da una rocedura di rilievo e restituzione non adeguata. In articolare, il roblema si one quando la forma, l estensione e/o le condizioni di accessibilità visiva dell oggetto da rilevare non ne consentono l acquisizione con una sola scansione ed occorre quindi oerare con iù stazioni di resa, ognuna delle quali riferita ad un articolare sistema di riferimento locale arbitrariamente orientato. Di conseguenza, i modelli risultanti dalle singole scansioni sono fra loro indiendenti e rivi di una relazione geometrica nota. In fase di restituzione sarà quindi indisensabile ricostruire il legame geometrico tra i modelli arziali rilevati, che dovranno essere georeferenziati risetto ad un unico sistema di riferimento redefinito, introducendo inevitabilmente, er effetto dell incertezza di osizionamento dei unti, ulteriori arossimazioni. llineare due scansioni significa quindi renderle congruenti e tale obiettivo viene conseguito determinando i arametri delle trasformazioni geometriche necessarie er raresentare le coordinate di tutti i unti in un sistema di riferimento comune. L allineamento (o registrazione) dei modelli laser scanner uò essere definito (Beinat, Crosilla) come un insieme di tecniche mediante le quali modelli rilevati con diverse scansioni, esressi ognuno in un rorio sistema di riferimento, sono riferiti al medesimo datum. Le tecniche utilizzate ossono essere essenzialmente ricondotte alle seguenti metodologie: allineamento mediante individuazione di unti omologhi; allineamento mediante sovraosizione di atches comuni; allineamento analitico tramite nalisi Procustiana. Il contributo dei due utori alla stesura del resente articolo è da intendersi aritetico.

2 La rima di queste tecniche, di chiara derivazione fotogrammetrica, consiste nella ricerca ed accoiamento di unti omologhi in modelli diversi nelle aree di sovraosizione. Per utilizzare con risultati soddisfacenti tale rocedura, è necessario garantire un ricorimento del 30% tra due scansioni laser adiacenti. I unti omologhi ossono essere di tio naturale, cioè già resenti all interno dell area oggetto di scansione, ovvero resegnalizzati, cioè aositamente introdotti mediante l inserimento di lacchette rifrangenti e di altri segnali geometrici. La rocedura di registrazione mediante sovraosizione di atches comuni, roosta nel 992 da Besl e McKa, viene sesso definita Iterative Closet Point (I.C.P.) ed è una tecnica iterativa, che erò necessita di un allineamento iniziale sommario dei modelli. ssegnati due insieme di unti i e q i, risettivamente afferenti alle due scansioni P e Q di un oggetto, la rocedura iterativa revede i seguenti ste: ) si cerca il unto aartenente alla suerficie di P iù vicino a ciascun unto dell insieme Q; 2) si calcolano la rotazione e la traslazione che rendono minime le distanze tra i due insieme di unti; 3) si aggiornano le osizioni dei unti aartenenti all insieme Q; 4) si rietono le oerazioni dallo ste allo ste 3 fino ad ottenere la convergenza. Pre-allineamento Si stabiliscono le coie di unti tra gli insiemi P e Q Si calcolano i arametri della matrice di rototraslazione Si aggiornano le osizioni dei unti dell insieme Q Convergenza NO STOP SI Figura - tecnica di allineamento er sovraosizione: diagramma di flusso La conoscenza di unti in numero sovrabbondante in entrambi i sistemi, consente la stima dei arametri necessari con un criterio ai minimi quadrati. Se a=[a a 2 a 3 ] T è il vettore delle coordinate di un unto nel sistema e b=[b b 2 b 3 ] T il suo corrisondente nel sistema B, i due insiemi ossono essere relazionati sulla scorta della seguente trasformazione di similitudine: b= g+(+m)t T [] in cui T è una matrice di rotazione ortogonale 33, (+m) è un fattore di scala, g=[g g 2 g 3 ] T è una traslazione. Oerando su un sistema sovrabbondante, la soluzione che si ottiene ai minimi quadrati è quella che minimizza la somma esata dei quadrati dei residui. In altri termini, se Σ - è la matrice dei esi ozionale, contenente gli eventuali esi globali assegnati ai unti di legame e corrisondente all inverso della matrice di covarianza, il criterio di stima ai minimi quadrati imone che sia soddisfatta la condizione: v T Σ - v= [min] [2] essendo v il vettore degli scarti. Tale soluzione è effettivamente rigorosa quando i arametri della rotazione sono infinitesimali, mentre, in caso contrario, è necessario attribuire agli stessi arametri un valore iniziale arossimato.

3 Il metodo dell allineamento analitico mediante unti di legame con l alicazione dell nalisi Procustiana, consente invece la determinazione dei arametri della trasformazione di similitudine senza valori iniziali arossimati, sulla base delle coordinate di alcuni unti comuni (di legame) nei risettivi sistemi di riferimento. L nalisi Procustiana è una tecnica statistica ormai largamente diffusa nell ambito dell analisi delle forme (Goodall, 99; Drden e Mardia, 998), alicata nel corso degli ultimi anni nel camo geodetico e toografico (Crosilla, 999) e, in articolare, all allineamento delle scansioni laser (Beinat e Crosilla, 200). Le tecniche rocustiane ortogonali oerano su coie di configurazioni matriciali indicate come origine e destinazione, consentendo di determinare direttamente i arametri di trasformazione che meglio adattano una configurazione sull altra secondo il rinciio dei minimi quadrati ed il vincolo di ortogonalità. I modelli rocustiani ortogonali alicabili al roblema della registrazione di scansioni laser ossono essere distinti in: modello OP (Orthogonal Procrustes nalsis): consente di ricavare i arametri di rototraslazione tra due datum; modello WOP (Weighted Orthogonal Procrustes nalsis): ermette di definire la rotazione e la traslazione tra coie di unti singolarmente esati; modello GP (Generalized Procrustes nalsis): consente di trattare simultaneamente un numero virtualmente illimitato di configurazione matriciali. Diversamente dai metodi di trasformazione classici, la rocedura rocustiana consente il calcolo diretto e non arossimato dei arametri di trasformazione. I arametri da determinare er oter riferire ad un sistema i unti acquisiti con una scansione B sono: la rotazione ortogonale T; la traslazione t. Nel modello OP la trasformazione er rototraslazione tra due insieme di unti e B è esressa dalla relazione: B = t + T [3] in cui t è un vettore traslazione, mentre T è una matrice di rotazione, genericamente indicata con la seguente notazione: r r2 r3 T = r2 r22 r23 [4] r 3 r22 r33 che, nel caso iano, assume la seguente forma: cosθ senθ T = [4 ] senθ cosθ Denominate a, a e a z le comonenti del vettore traslazione t ed indicando con B B B z z = B = z B B B z i database origine e destinazione, la [3], assume la forma estesa: B B B z r r2 r3 = [ ] a a az r2 r22 r23... B B B z r3 r32 r33 e, nel caso iano:... z... z [5]

4 B... B B... = B [ a a ] cosθ + senθ senθ... cosθ... Se i database e B fossero stati acquisiti senza alcuna incertezza di osizionamento, la differenza tra il rimo ed il secondo membro della [3] sarebbe nulla, mentre in realtà, a causa degli errori accidentali in fase di rilievo, si hanno degli scarti e i, che formano la matrice dei residui: B B e e cosθ senθ E = = [ a ] + a senθ cosθ [7] B B e e I arametri incogniti della trasformazione a, a e θ) vengono determinati imonendo la condizione di minimo della norma euclidea della matrice E dei residui: 2 E 2 ( t + T ) B = min E [8] = E La condizione [8] equivale alla seguente: tr(e T E)= min [9] Di articolare interesse è il modello GP di Gower (975), Ten Berge (977) ed altri,che consente l allineamento simultaneo di iù scansioni, In sintesi, assegnate m matrici [3] contenenti le coordinate di unti di legame negli m sistemi di riferimento locali i (i=,2,,m) e definita una matrice incognita Z relativa ad un sistema di riferimento medio comune, si iotizza che ogni insieme i sia legato a Z attraverso una trasformazione di similitudine secifica a meno di uno scarto casuale E i : Z + T + E i = i = iti jt i [0] La condizione da soddisfare er ogni matrice i, esressa in termini comatti, è la seguente: i< j i j 2 = [min] Il soddisfacimento di tale relazione, che esrime la condizione di migliore adattabilità simultanea reciroca, consente di stimare la matrice Z, giungendo a definire la matrice centroide geometrico dell insieme delle configurazioni i come la stima della matrice delle coordinate dei unti di legame esresse in un sistema di riferimento medio: C = m m i= i 3. L eserienza di rilievo e la registrazione delle scansioni L eserienza di rilievo con laser scanner 3D riguarda la Piazza San Giovanni di Siracusa. Il rilievo, eseguito con un laser scanner a temo di volo LEIC HDS 3000, è stato articolato in venti scansioni ed integrato con un inquadramento toografico dei target realizzato utilizzando una stazione totale PULSE LSER STTION NPL-350 della NIKON. Nella tabella sono riortate le coordinate dei target nelle venti scansioni. licando la rocedura OP dell nalisi Procustiana, è stato effettuato l allineamento nel iano delle scansioni 8, 9, 0 e 4, scegliendo di calcolare i valori dei arametri di rototraslazione non soltanto a artire dall insieme dei target disonibili, ma anche er un numero inferiore, in modo da controllare l influenza della numerosità dei unti di legame sulla recisione dell allineamento. ssunto come riferimento assoluto il sistema adottato nella scansione n 8, risetto ad esso è stata eseguita la georeferenziazione delle scansioni n 9, n 0 e n 4, ottenendo i arametri di rototraslazione rieilogati nella tabella 2. [2] [] [6]

5 Scan. Targ. X Y Scan. Targ. X Y Scan. Targ. X Y 4,5524 -,866 4,2884 2, , , ,6276-6,205 2,3484-2, , , ,4064-5, ,0800-2, ,896 -, ,2759 4, ,5068-5, ,0759-9, ,4729 4, ,568-0, ,0333-2, ,599 6, ,8345-9, ,6662-2, ,7735 3, ,9809 3, ,4440 -, ,2205-2, ,5565-0, ,6282 2, ,6223 6, ,992-4, ,27 5,4986-8,974 30, ,2088 -, ,3008-9, ,5698 8, ,3769 8, ,3705-3,695 3,928 8, ,9592, ,5590-2, ,2488-7, ,2928-5, , , ,03-4, ,355-5, ,3499-2, ,386-0, ,4530-7, ,7053-2, ,5764 9,6432-2,564-8, ,9727-9, ,5937, ,2674-3, ,956 5, ,644-2,8580 Tabella : coordinate dei target rilevate con il laser scanner I risultati sono stati elaborati e sottoosti a controlli incrociati in modo da oter ricavare delle indicazioni in merito a due asetti fondamentali: a) effetti della ridondanza dei target sul calcolo dei arametri di trasformazione; b) ordine di grandezza delle incertezze introdotte dalla rocedura di allineamento. Scansione a a a a a a θ θ θ 9 n= ,06 0,026-9,5550 0,30 0, , ,0000 0,0000 n= ,62 0,092-9,5553 0,90 0, , ,0000 0,0000 n= ,000 0,0000-9, ,000 0, , ,0000 0, n=2 6, ,00 0,027 4, ,730 0,053 97,6383 0, ,0059 n=3 6,493600,300 0,0079 4,75456,370 0, , , ,004 n=4 6, ,000 0,0000 4, ,000 0, , , , n=2 2, ,390 0,033-3,4883,300 0, , , ,0084 n=3 2, ,320 0,009-3,4893 0,300 0, , , ,0032 n=4 2, ,000 0,0000-3,4896 0,000 0, , , ,0000 Tabella 2: arametri di rototraslazione Per quanto riguarda il rimo dei due unti su indicati, è intuitivo ensare che la rogressiva crescente ridondanza dei unti di legame comorti la convergenza dei valori dei arametri di rototraslazione verso la soluzione iù robabile e che quindi sia oortuno, in sede di rilievo, aumentare convenientemente il numero dei target. È allora lecito attendersi che, confrontando tra loro i valori dei arametri di trasformazioni ottenuti er un medesimo allineamento utilizzando un numero crescente di target, si ossa desumere un trend di convergenza verso la soluzione iù robabile. I risultati di tale controllo, rieilogati nella tabella 3 non sembrano erò confermare tale iotesi. Scansione a a a a a a θ θ θ ( ) ( )

6 ( ) ( ) 9 n= ,06 0,026-9,5550 0,30 0, , ,0000 0,0000 n= ,62 0,092-9,5553 0,90 0, , ,0000 0,0000 n= ,000 0,0000-9, ,000 0, , ,0000 0, n=2 6, ,00 0,027 4, ,730 0,053 97,6383 0, ,0059 n=3 6,493600,300 0,0079 4,75456,370 0, , , ,004 n=4 6, ,000 0,0000 4, ,000 0, , , , n=2 2, ,390 0,033-3,4883,300 0, , , ,0084 n=3 2, ,320 0,009-3,4893 0,300 0, , , ,0032 n=4 2, ,000 0,0000-3,4896 0,000 0, , , ,0000 Tabella 3: arametri di trasformazione Se si considera, ad esemio, la scansione 9, si nota che i valori dei arametri a ed a calcolati er n= 2 ed n=3 differiscono dai valori calcolati er n=4 di quantità dell ordine di 0-4 m, mentre la recisione del osizionamento con laser scanner è di 60-3 m. ddirittura, il valore del arametro θ non varia, se non oltre la sesta cifra decimale, assando dall allineamento con n=2 ad n=3 e ad n=4. Una tendenza simile, anche se in termini meno marcati, viene registrata anche er le scansioni 0 e 4, come ure evidenziato dal confronto degli scarti ercentuali. Una rima interretazione di questi risultati, ur con tutta la cautela imosta dalla iccola entità del camione a disosizione, sembrerebbe quindi indicare una convergenza ressochè immediata al valore robabile dei arametri di trasformazione, er cui non avrebbe rilevante imortanza l imiego di numerosi target er risolvere il roblema dell allineamento. Lo scenario cambia erò reentinamente se si esegue una verifica dei risultati, calcolando le coordinate dei target nel sistema 8 a artire dai valori rilevati nelle scansioni 9, 0 e 4 mediante i arametri di rototraslazione recedentemente determinati. Nella tabella 4, oltre a riortare le coordinate dei target così calcolate, sono stati evidenziati gli scarti, sia in termini assoluti che in ercentuale, risetto ai valori rilevati nella scansione 8. Scansione origine Target X X X Y Y Y 9 0-6,6222 0,3 0,0020 6,7256 0,90 0,034-8,97 0,27 0, ,55,24 0, ,5699 0,3 0,0236 8,3245 0,9 0,000 3,923 0,45 0,0236 8,3534 0,68 0, ,6230 0,74 0,02 6,7278 3,07 0,0456-8,950 2,43 0, ,507 5,63 0, ,5723 2,54 0,4463 8,3250 0,27 0,005 3,9225 0,7 0,0368 8,3547 2,02 0, ,629 0,38 0,0058 6,7285 3,82 0,0568-8,975 0,09 0,00 30,536 2,75 0, ,5697 0,07 0,027 8,3237,00 0,0055 3,924 0,44 0,0226 8,3525 0,22 0,0026 Tabella 4: verifica delle coordinate dei target Si nota che, mediamente, gli scarti raggiungono in alcuni casi anche l ordine millimetrico e sono quindi comarabili con l incertezza di osizionamento roria del laser scanner. Si consideri che il controllo è stato effettuato sui unti di legame, er i quali la rocedura di allineamento ottimizza la congruenza tra i due sistemi di riferimento origine e destinazione, er cui aare lecito iotizzare che er gli altri unti della nuvola gli scarti ossano assumere valori ancora iù significativi.

7 Contrariamente a quanto inizialmente iotizzato, si uò allora desumere che la ridondanza dei target intervenga sensibilmente nel corretto calcolo dei iù robabili valori dei arametri di trasformazione, ma che la convergenza sia molto lenta. Quest ultima circostanza non è stata evidenziata nel camione a disosizione robabilmente er la scarsa numerosità dei target. È fuor di dubbio che queste considerazioni non ossono essere considerate conclusive, ma, al contrario, necessitano di un adeguato arofondimento sulla scorta di un camione di misure iù amio e, sorattutto, mirato. Si ritiene infatti che un adeguato rogetto dei target, oortunamente dislocati in relazione all oggetto da rilevare, ossa ridurre il numero dei unti di legame necessari er ottenere una significativa convergenza dei arametri di trasformazione ai valori iù robabili. Ringraziamenti Si ringraziano l rchilab ( e, in articolare, i direttori tecnici Paolo Zaulla e Massimiliano Failla er la cortese e reziosa collaborazione. Bibliografia: Guerra F., Balletti C., 2006: Rilievo con laser scanner 3D: alicazioni er la conoscenza dei beni culturali in Laser scanning terrestre ed. CISM Boehler W., Bordas Vicent M., Marbs., 2003: Investigating laser scanner accurac Institute for Satial Information and Surveing Technolog Marbs., 2002: Eeriences with laser scanning at i3mainz Institute for Satial Information and Surveing Technolog Rinaudo F., 2002: La tecnica laser scanning: alicazioni architettoniche e urbanistiche in La tecnica del laser scanning: teoria ed alicazioni ed. CISM