LEGAME COSTITUTIVO ELASTICO LINEARE

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1 LGAM COSIUIVO LASICO LINAR L equilibrio di forze e tensioni e la congruenza di spostamenti e deformazioni prescindono dalla natura del materiale che costituisce la struttura, e le equazioni che ne governano la Statica e Cinematica si scrivono indipendentemente le une dalle altre. È da tener presente che nella realtà deformazioni e spostamenti nascono in seguito all applicazione di forze esterne e/o di carichi distorcenti (escursioni termiche, ad esempio). Per risolvere il problema strutturale, dunque, occorre associare alle equazioni di equilibrio e di congruenza un ulteriore set di equazioni, dette di legame costitutivo, che descrivano la legge secondo cui il materiale costituente la struttura si deforma per effetto delle tensioni. Note le caratteristiche geometriche e fisico-meccaniche della struttura, le azioni che la sollecitano ed i vincoli che la costringono, si possono così determinare puntualmente le componenti speciali di tensione (raccolte nel tensore s), le componenti speciali di deformazione (raccolte nel tensore e), e gli spostamenti (raccolti nel vettore u). 1

2 COMPORAMNO DL MARIAL Comportamento elastico del materiale elastico lineare elastico non lineare Comportamento elastico lineare σ s σ s Comportamento plastico del materiale Deformazione permanente σ s

3 LGG DI HOOK GNRALIZZAA Se il materiale è elastico lineare, lo stato di tensione è dato dalla legge di Hooke generalizzata, che in forma matriciale: s = e dove i vettori delle componenti speciali di tensione s e di deformazione e sono così definiti: s =[s x s y s z t yz t xz t xy ] legge di Hooke F = Ku e =[e x e y e z g yz g xz g xy ] e dove è una matrice simmetrica detta matrice di elasticità (o anche matrice di rigidezza interna) ed è costituita da 1 costanti indipendenti F δ = = K P A/ L 3

4 NRGIA DI DFORMAZION Si consideri un asta soggetta ad un carico assiale P che cresce lentamente. Si definisce energia (o lavoro) di deformazione il lavoro compiuto da P nel processo di carico. Ψ Ψ = P P 1 nergia complementare di deformazione 1 x 1 Ψ = 0 P( x) dx x Ψ = 0 1 P( x) dx = 1 kx 1 k nergia di deformazione Nel Nel caso caso in in cui cui il il corpo corpo ha ha comportamento elastico lineare l energia di di deformazione coincide con con quella potenziale elastica. nergia di deformazione nergia complementare di deformazione Ψ = 1 x 1 x / P k 1

5 NRGIA DI DFORMAZION Si consideri un asta soggetta ad un carico assiale P che cresce lentamente. Si definisce densità di energia (o specifica) di deformazione?, l energia di deformazione per volume unitario. P dx?= = AL A L x 1 1 Ψ = 0 0 x σ d ε Modulo di resilienza Rottura Modulo di tenacita Rottura nergia dissipata + nergia specifica di deformazione Materiale fragile Materiale duttile Rottura Rottura nergia recuperabile 5

6 NRGIA DI DFORMAZION Confronto tra tra diagramma prove prove sperimentali e schematizzazioni semplificate nergia specifica dissipata Modello elastoperfettamente plastico Modello elasto-plastico con incrudimento lineare Modello rigido plastico Modello elastoplastico perfetto Modello elastoplastico incrudente 6

7 NRGIA DISSIPAA PR CARICHI CICLICI Nel Nel caso caso di di carichi carichi ciclici ciclici se se si si supera supera il il limite limite elastico del del materiale un inversione del del segno segno del del carico carico produce un un ritorno ritorno in in campo campo elastico lineare lineare seguendo una una retta retta parallela a quella quella della della fase fase iniziale iniziale elastica. σ s ε?? σ s? energia specifica dissipata in un ciclo di carico detta anche "energia specifica dissipata per isteresi del materiale"? 7

8 LAVORO VIRUAL DI DFORMAZION Il Il lavoro lavoro virtuale virtualeva va calcolato calcolato in in una una data data configurazione configurazionecinematicamente cinematicamentee/o e/o staticamente staticamente ammissibile. ammissibile. Il Il lavoro lavoro di di deformazione, deformazione, nergia ( ( totale) totale) di di deformazione,invece deformazione,invece in in un un processo processo di di carico caricoche che porta porta la la struttura struttura dalla dalla configurazione configurazione iniziale iniziale C a a quella quella finale finale C 0 f.. δl e = f (,,) xyzδuxyzd (,,) V + p (,) rsδursd (,) S = V = s (,,) xyzδexyzd (,,) V = δl; rrxyz =(,,); ssxyz =(,,) V S L i δle lavoro virtuale forze esterne; δl lavoro virtuale forze interne; i δu δe vettore componenti dello spostamento virtuali; vettore componenti della deformazione virtuali. δl * e = δf (,,)(,,) xyzuxyzdv + δp (,)(,) rsursds = V = δs (,,)(,,) xyzexyzdv = δl V S L * i z r O x y C dv P n u S V S L δ f vettore delle forze di volume virtuali; δ p vettore delle forze di superficie virtuali; δ s vettore delle componenti della tensione virtuali; δl * e lavoro virtuale esterno complementare; * δli lavoro virtuale interno complementare. 8

9 LAVORO VIRUAL DI DFORMAZION Il Il lavoro lavoro virtuale virtualeva va calcolato calcolato in in una una data data configurazione configurazionestaticamente e/o e/o cinematicamente cinematicamenteammissibile. ammissibile. Il Il lavoro lavoro di di deformazione, deformazione, nergia ( ( totale) totale) di di deformazione,invece deformazione,invece in in un un processo processo di di carico caricoche che porta porta la la struttura struttura dalla dalla configurazione configurazione iniziale iniziale C a a quella quella finale finale C 0. f. L L e e C f = δl ; L = δl ; C 0 0 C f e 0 0 i = δl ; L = δl ; C e Incremento della densità di energia di deformazione nel processo di carico infinitesimo da: e e+ de i C f C C f C i i dy L L lavoro totale di deformazione; lavoro totale di deformazione complementare. e if, ij, f y( e ) = å s de + å t dg ò f i i ij ij i= x,y,z 0 ij = xy,xz,yz 0 g ò L i =Ψ= V e f 0 s (, xyzde, ) (, xyz, ) dv Densità di energia (o energia specifica) di deformazione nel processo di carico finito da: e = 0 e = e ε = 0, γ = 0 ε = ε, γ = γ f i ij i if. ij ij, f 9

10 MARIC di LASICIA L energia specifica di deformazione, o potenziale elastico, che rappresenta l energia necessaria per deformare l unità di volume del materiale, non dipende dal particolare processo di carico. Il suo incremento può scriversi: å d ye (, g ) = s de + t dg = i ij i i ij ij i= x,y,z ij = xy,xz,yz = d = d s e e e å c dy () s = dy() e = Poiché y ( e) = òee d = ee > 0 1 Inoltre derivando il potenziale elastico rispetto le componenti della deformazione si ottiene: Ne segue che la matrice di elasticità (o di rigidezza interna ) deve essere definita positiva, per modo che l energia di deformazione, in questo caso sia una forma quadratica positiva " e ¹0: s i y y = ; t = ij e g i ij 10

11 MARIAL MONOCLINO Un materiale si dice monoclino rispetto ad un piano p se ha comportamento simmetrico rispetto a tale piano: a) piano di simmetria, b) tensioni e deformazioni simmetriche rispetto al piano di simmetria, c) tensioni e deformazioni antisimmetriche. Ne segue che le tensioni antisimmetriche possono essere legate alle sole deformazioni antisimmetriche. Cioè le tensioni tangenziali t yz t xz ai soli scorrimenti angolari g yz g xz. In questo caso il numero di costanti elastiche indipendenti scende da 1 a 13. é 0 0 ù = ê 0 0 ë ú û 11

12 MARIAL OROROPO Un materiale si dice ortotropo se è monoclino rispetto a tre piani distinti mutualmente ortogonali, come ad esempio per il legno. Ne segue che la generica tensione tangenzial può essere legate solo al corrispondente scorrimento angolare. In questo caso il numero di costanti elastiche indipendenti scende da 1 a 9. Se i tre piani di simmetria del materiale sono paralleli ai piani coordinati, la matrice di elasticità assume la forma: Legno z x longitudinale, y radiale, z trasversale y x éx xy xz ù xy y yz xy yz z = Gy z Gxz 0 ê Gxy ë ú û 1

13 MARIAL ISOROPO Un materiale si dice isotropo se non presenta direzioni preferenziali di comportamento, risultando il suo comportamento indipendente dal sistema di riferimento adottato per tensioni e deformazioni, come ad esempio per l acciaio. In questo caso si dimostra che il numero di costanti elastiche indipendenti scende da 1 a, e la matrice di elasticità assume la forma: é1- n n n ù n 1 n n n n 1 n G 1-n = n = 1 n n êë úû é êë 0 0 0ù G G Gú û 1- n n n 1-- n n 1-- n n 1-- n n n 1- n n 1-- n n 1-- n n 1-n- n n n 1- n 1-- n n 1-n- n 1-- n n dove è il modulo di Young (o elastico diretto), 0<n <0.5 è il coefficiente di Poisson (o di contrazione trasversale, adimensionale) e G è il modulo elasticità tangenziale. 13

14 MARIAL ISOROPO Di queste tre quantità,, n e G, solo due sono indipendenti. Infatti, l energia di deformazione y deve risultare indipendente dal sistema di riferimento. In particolare, se I, II e III sono direzioni principali di deformazione, si ha: 1 (1- n) n y = e e= ( e + e + e ) + ( ee + ee + e e ) I II III I II I III II III (1-n - n ) 1-n - n in cui non compare il modulo di elasticità tangenziale G. Quest ultimo, dunque, dipende da e di n. Per ricavare questa relazione, si riscrive l energia di deformazione in funzione degli invarianti di deformazione lineare e quadratico: risulta: I I e e 1 = e + e + e = e + e + e I II III x y z 1 = ee + ee + e e = ee x y+ ee I II I III II III x z+ ee y z - ( gxy + gxz + gyz ) 4 ( ) (1- n ) (1 ) ( 1) I I n - I n I n - y = - + = + I (1-n - n ) 1-n - n (1-n - n ) 1-n - n e e e e e

15 MARIAL ISOROPO enendo conto che tensioni normali e tangenziali sono date dalle derivate parziali dell energia di deformazioni rispetto alle corrispondenti componenti speciali di deformazioni, si ha in forma indiciale: y (1-n) Ie (n-1) Ie (1-n) (n-1) = = + = + ( + ) = e (1-n- n ) e 1-n- n e (1-n- n) 1-n-n 1 s I e e e 1 i j k i i i = é(1 - ne ) + ne ( + e) ù i j k 1-n-n êë úû t ij y (n-1) I = = - - g 1 n n g ij ij e (n-1) æ gij ö (n-1) = - =- g = g ij 1-n- n ç çè ø (1 + n)(1- n) (1 + n) ij Þ G = ( 1 + n) dove i,j,k=x,y,z e sono tutti diversi tra loro (i¹j, j¹k, k¹i) 15

16 MARIAL ISOROPO coefficiente di Poisson (o di contrazione trasversale, adimensionale) Configurazione finale P>0 Configurazione iniziale Configurazione finale P<0 Configurazione iniziale Configurazione finale Configurazione iniziale Configurazione finale Configurazione finale 16

17 MARIAL ISOROPO L inversa della matrice di elasticità è la matrice di cedibilità (detta anche matrice di deformabilità interna), che per un materiale isotropo assume la forma: D In forma indiciale: -1 = = ê ú e i 1 é 1 -n -n ù n 1 n n n ê ú (1 + n) (1 n) 0 + ê (1 + n) ë úû s - ns ( + s ) t (1 + n) t k = ; g = = ij G i j ij ij Dalla prima delle due relazioni si evince il significato del coefficiente di Poisson n : è il rapporto tra la dilatazione trasversale e quella parallela all asse di sollecitazione in uno stato di tensionale monoassiale. 17

18 LA PROVA a RAZION Il modulo di elasicità longitudinale si determina dalla prova di trazione lastico Snervamento Incrudimento Strizione σ s Massimo Rottura Inizio snervamento Retta interpolante Andamento elastico lineare effettivo 18

19 LA PROVA a RAZION σ ε s tensione di snervamento del materiale; σ deformazione estensionale al limite elastico; R tensione di rottura del materiale; ε R dilatazione a rottura. σ s σ am σ R σ s σ am σ R Materiale duttile ε ε R Acciaio a basso tenore di carbonio. ε ε R Lega di alluminio. µ ε µ = ε duttilità del materiale. R σ am σ s = ; σam tensione ammissibile del materiale; γ am γ am coefficiente di sicurezza del materiale. 19

20 LA PROVA a RAZION Un materiale fragile non avendo capacità dissipative non può dissipare energia. σ σ R Rottura σ am ε ε µ R 0 Materiale fragile 0

21 LA PROVA a ORSION Modulo di elasticità tangenziale G si determina con la prova a torsione M φ M M = G = GI / L φi / L p p 1

22 COSANI PR ALCUNI MARIALI ISOROPI Valori indicativi di e di n per alcuni materiali. Materiale Acciaio Ghisa Alluminio Legnami ufo vulcanico Calcestruzzo Vetro [kn/mm ] n G = (1 + n)

23 MARIAL RASVRSALMN ISOROPO Un materiale si dice trasversalmente isotropo se presenta simmetria di rotazione rispetto ad un asse, ad esempio l asse z. In questo caso si dimostra che il numero di costanti elastiche indipendenti è di 5 (n, n e G oltre ad e n ) e la matrice di cedibilità assume la forma: x z y D é 1/ -n/ -n / ù -n/ 1/ -n / n/ -n/ n/ ê ú (1 + n)/ / G 0 ê / G ë úû -1 = = ê ú In forma indiciale: s -ns -n s i j z n sz -( sx + sy) (1 + n) txy ti z e = ; ez = ; gxy = ; g = i iz G 3

24 MARIAL RASVRSALMN ISOROPO Rispetto al caso isotropo: il coefficiente adimensionale n ¹n controlla le contrazioni trasversali nel piano xy dovute alla tensione normale s z ; il coefficiente adimensionale n incrementa (n<1) o riduce (n>1) il modulo di elasticità longitudinale secondo l asse z; il modulo di elasticità tangenziale G ¹G, infine, è relativo a scorrimenti angolari in piani paralleli all asse z. z y Molti materiali stratificati, come ad esempio alcuni compositi ed il legno lamellare, si comportano come materiali trasversalmente isotropi. x Anche la muratura di mattoni può essere schematizzata come un materiale trasversalmente isotropo. 4

25 SAO NSIONAL PIANO In condizioni di stato tensionale piano (s y =t xy =t zy =0), come nel caso di lastre caricate nel proprio piano medio, i vettori di tensione s e di deformazione e sono così definiti: s=[s x s z t zx ] e=[e x e z g zx ] Per un materiale ortotropo, se x e y sono assi principali, la matrice di cedibilità D e la matrice di elasticità, di dimensioni 3 3, assumono la forma: é n n ù é 1/ -n / 0 ù 0 n-n n-n -1 n / n/ 0-1 D= = - Û = D = n / G n-n n-n êë úû 0 0 G êë úû Per un materiale isotropo solo e n sono indipendenti: é 1 n ù 0 é 1 -n 0 ù 1-n 1-n n 1 n 0 D= - Û = 1 n 1 n (1 + n) ê 1 ë úû 0 0 (1 + n) êë úû 5

26 ε γ κ ( x) ( x) ( x) = = = ( ) N x k ( ) ( x) 1 Q = Kq q = K Q x x k M z k ϕ ; ;. CONFRONO con la RAV sx(,,) xyz - ns ( y(,,) xyz + sz(,,)) xyz ex(,,) xyz = ; sy(,,) xyz - ns ( x(,,) xyz + sz(,,)) xyz ey (,,) xyz = ; sz(,,) xyz - ns ( x(,,) xyz + sy(,,)) xyz ez(,,) xyz = ; txy(,,) xyz (1 + n) txy(,,) xyz gxy(,,) xyz = = ; G txz (,,) xyz tyz(,,) xyz gxz(,,) xyz = ; g yz(,,) xyz =. G G quazioni Costitutive trave elastica tre equazioni s=e Þ e=ds quazioni Costitutive solido isotropo sei equazioni in V 6

27 Potenziale lastico ed lastico Complementare per il Solido elastico Per la trave elastica la densità di energia di deformazione o energia specifica di deformazione è anche detta potenziale elastico. In particolare se con ψ e ψ* si definisce il potenziale elastico rispettivamente nello spazio delle caratteristiche di deformazione e di sollecitazione. ψ* è detto potenziale elastico complementare. ψ (q) ψ * ( Q) ψ tot = qq = q Kq = Q DQ Per la continuo elastico la densità di energia di deformazione o energia specifica di deformazione è anche detta potenziale elastico. In particolare se con ψ e ψ* si definisce il potenziale elastico rispettivamente nello spazio delle componenti di deformazione e di tensione. ψ* è detto potenziale elastico complementare. ψ () e ψ * () s ψ tot = e s = e e = s Ds ssendo q e Q i vettori delle caratteristiche della deformazione e della sollecitazione, K e D( Φ) le matrici di rigidezza e deformabilità. ssendo e e i vettori delle s componenti di deformazione e di D tensione, e le matrici di rigidezza e deformabilità interna del materiale. 7

28 ORMA DI CLAYPRON L e Per il continuo elastico 1 = ds+ p u f u SL V f f f f dv Per la trave elastica L e l 1 f(x) U f (x)dx 0 = Ψ L = 1 Py e 1 1 U (x) f 8

29 R A V L A S I C A eorema di BI Si prendono in esame due sistemi reali : Il Sistema a ed il Sistema b. Soggetti sia a carichi meccanici che distorcenti. f,q Q,U,q a a a a a D f,q Q,U,q b b b b b D Si assume dapprima il sistema a come cinematicamente ammissibile e quello b come staticamente ammissibile. q U,q f a a a D b Q b Si assume successivamente il sistema b come cinematicamente ammissibile e quello a come staticamente ammissibile. f a Q q U,q b b b D a Si assume che il corpo elastico abbia un comportamento elastico lineare e si scrive l equazione dei lavori virtuali. D ( D ) q=fq+q ; Q=K q-q. a a a a a a f,p,e D s,u,e b b b b b b f,p,e D s,u,e a a a D e u,e f f b a s s b b b b D e u,e D a ( ) e=ds+e ; s= e-e. D C O N I N U O L A S I C O 9

30 eorema di BI ( ) + ( D) = ( ) + ( D) a b a b b a b a f U ds q Q ds f U ds q Q ds l l l l rave lastica ( ) + ( ) + ( D) = ( ) + ( ) + ( D) a b a b a b b a b a b a p u ds f u dv e s dv p u ds f u dv e s dv S V V S V V L L Continuo lastico ( ) ds= ( ) l rave lastica a b b a f U f U l ds ( ) + ( ) = ( ) + ( ) L Continuo lastico a b a b b a b a p u ds f u dv p u ds f u dv S V S V L 30

31 eoremi di Land-Colonnetti e Volterra eoremi di LAND-COLONNI e di VOLRRA Se il sistema di carichi a è costituito da sole forze e il sistema b da sole distorsioni distribuite, si ottiene rave lastica Continuo lastico l ( f a ) U b ds = ( q b ) a D Q ds ( ) + ( ) = ( D ) l L a b a b b a p u ds f u dv e s dv S V V Se infine, sia il sistema a che il sistema b sono costituiti da sole distorsioni distribuite, si ottiene l a b b q Q q Q a ds ( D) dv = ( D) ( D) ds= ( D) l V a b b a e s e s V dv 31

32 eorema di MAXWLL u a s = u b r a M [ ] = 1Nm b F [ ] = 1N 3

33 f Z Principio di sovrapposizione degli effetti = a f + f b Le tensioni, le deformazioni e gli spostamenti prodotti da più forze agenti contemporaneamente su un continuo elastico sono uguali rispettivamente alla somma delle tensioni, deformazioni e spostamenti prodotti dalle singole forze e pensate agenti separatamente a u = u + u b σ Z = a b σ + σ Z Z a e = e + e a s = s + s b b 33

34 Principio di minimo nergia Potenziale otale: ra tutte le configurazioni cinematicamente ammissibili quella di equilibrio stabile si ha in corrispondenza del minimo relativo dell energia potenziale totale Posizione equilibrio instabile: ( x) V ( x) V =0; <0. x x Massimo energia ponenziale nergia potenziale con quella totale V( x) = P y( x) Posizione equilibrio stabile: V ( x) V ( x) =0; >0. x x V ( x) V ( x) Minimo energia ponenziale Posizione equilibrio indifferente: x =0; =0. x 34

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