TESI DI DOTTORATO. Modellazione e analisi non lineare di pareti strutturali in calcestruzzo armato

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1 UNIVERSITÀ DELLA CALABRIA Dottorato di Riera in Meania Computazionale XIX CICLO (ICAR 9) TESI DI DOTTORATO Modellazione e analisi non lineare di pareti strutturali in alestruzzo armato Rosamaria Iaino IL TUTORE Prof. Alfonso Vulano IL COORDINATORE Prof. Maurizio Aristodemo Cosenza, Novembre 7

2 Ai mei genitori. Grazie per l appoggio inondizionato, per l inoraggiamento ostante e per il vostro infinito amore he sempre mi guida e mi sostiene.

3 Sommario SOMMARIO L inserimento di pareti strutturali in edifii in.a. rappresenta un effiae sistema resistente nei onfronti delle forze laterali. Infatti, grazie alla loro elevata rigidezza, le pareti onsentono un buon ontrollo degli spostamenti relativi di piano durante un evento sismio. La loro progettazione deve essere attentamente eseguita, al fine di fornire non solo adeguata resistenza, ma anhe una suffiiente duttilità, per evitare il verifiarsi di rotture fragili in aso di forti arihi laterali, quali quelli indotti da un sisma violento. Da tutto iò, si evine la neessità di analizzare auratamente la risposta sismia di pareti in emento armato, riorrendo ad opportuni modelli in grado di simulare il loro omportamento sotto l azione di un terremoto. Nella presente tesi si intende sviluppare un modello relativamente semplie e suffiientemente aurato per la simulazione della risposta in ampo non lineare di pareti strutturali in.a.. A tal fine, vengono innanzitutto esaminati vari aspetti del omportamento osservato sperimentalmente, in partiolare le modalità di rottura. Quindi sono esaminati i modelli numerii proposti in letteratura per la simulazione della risposta strutturale delle pareti, distinguendo tra un approio di tipo mirosopio, basato sul metodo FEM, e l approio marosopio, he utilizza modelli sintetii. Si proede poi all implementazione di un odie di alolo per l analisi al passo di pareti in alestruzzo armato soggette ad una generia legge di ario, utilizzando modelli di tipo marosopio I risultati numerii riavati dalle analisi, sia per ario monotono he per ario ilio, sono messi a onfronto sia on aluni risultati sperimentali disponibili in letteratura he on risultati numerii ottenuti attraverso analisi agli elementi finiti. Keywords: edifii, alestruzzo armato, pareti strutturali, omportamento non lineare, modellazione, analisi non lineare. ii

4 Indie MODELLAZIONE E ANALISI NON LINEARE DI PARETI STRUTTURALI IN CALCESTRUZZO ARMATO INDICE pag. 1. INTRODUZIONE PARETI STRUTTURALI Premessa Configurazioni geometrihe di pareti Sezioni trasversali tipihe di pareti in.a Disposizione in pianta Variazione in elevazione Aspetti aratteristii del omportamento sperimentale di pareti strutturali in.a Effetti delle azioni laterali Meanismi di rottura Sistema telaio-parete in.a COMPORTAMENTO DEI MATERIALI Premessa Legame ostitutivo del alestruzzo Modello di Bolong et al Modello di Kent e Park modifiato Modello di Mander et al Calestruzzo onfinato soggetto a ario monotono... 3 iii

5 Indie pag Calestruzzo onfinato soggetto a ario ilio Legame ostitutivo dell aiaio Modello di Menegotto e Pinto Modello di Capehi et al Legame semplifiato di tipo elasto-plastio inrudente Aderenza tra aiaio e alestruzzo Esempi di elementi simulanti la perdita di aderenza (bond-slip elements) Elemento di tipo bond-link Elemento di ontatto (bond-zone element o ontat element) Esempi di modelli simulanti il fenomeno di bond-slip Modello di Eligehausen Modello di Harajli e Mukaddam Modello di Gan Fenomeno del tension stiffening Leggi ostitutive modifiate Modello di Sanlon Modello di Lin e Sordelis Modello di Gilbert e Warner Modelli marosopii (asta in.a. soggetta ad azione assiale ilia) Axial Stiffness Hysteresis Model (ASHM) Axial Element in Series Model (AESM) Modified Axial Element in Series Model (MAESM) MODELLAZIONE DI PARETI STRUTTURALI Premessa Modelli basati su un approio di tipo mirosopio Modified Compression Field Theory (MCFT) Condizioni di ompatibilità Condizioni di equilibrio Legami tensione-deformazione Trasmissione delle forze attraverso le fessure Implementazione della Modified Compression Field Theory (MCFT) mediante la Seant Stiffness Formulation (SSF) Step 1: Dati di input Step : Stato di deformazione Step 3: Stato di tensione Step 4: Rigidezze seanti Step 5: Matrie di rigidezza iv

6 Indie pag Step 6: Aggiornamento delle rigidezze seanti Step 7: Controllo della onvergenza Modelli basati su un approio di tipo marosopio Modello a oni Modello monodimensionale Three Vertial Line Element Model (TVLEM) Modified Three Vertial Line Element Model (MTVLEM) Multi Component in Parallel Model (MCPM) Modified Multi Component in Parallel Model (MMCPM) Modified Multi Vertial Line Element Model (MMVLEM) Ghobarah-Youssef Model (GYM) Maro-modello di parete Legame forza-spostamento per il alestruzzo Legame forza-spostamento per l aiaio Modello per la molla a taglio Modified Ghobarah-Youssef Model (MGYM) Modello di Orakal et al. (OAM) Modello proposto Legami ostitutivi Metodologia numeria Modelli a fibre Modellazione della fixed end rotation STRUTTURE TEST Generalità Caratteristihe geometrihe delle strutture test Framed Wall (Speimens 3 e 4) Retangular Wall (Speimens 5 e 6) Caratteristihe meanihe dei materiali Aiaio Calestruzzo Condizioni di ario Condizioni di ario per framed wall Speimen 3 soggetto a ario monotono Speimen 4 soggetto a ario ilio Condizioni di ario per retangular wall Speimen 5 soggetto a ario monotono Speimen 6 soggetto a ario ilio v

7 Indie pag. 6. METODO DI ANALISI Premessa Disretizzazione della parete Matrie di rigidezza elastia per TVLEM Matrie di rigidezza elastia per MCPM Proedura inrementale al passo (step-by-step) Desrizione del odie di alolo Subroutine INPUT Subroutine LOADS Subroutine ASSEM Subroutine SOLVE Subroutine STRUCT ANALISI DEI RISULTATI NUMERICI Premessa Modello agli elementi finiti e risultati per le pareti test Legami ostitutivi utilizzati Risposta a ompressione del alestruzzo Compression softening Risposta a trazione del alestruzzo Effetto del onfinamento Espansione laterale Controllo sull ampiezza delle fessure Legame ostitutivo per l aiaio Modello agli elementi finiti per lo speimen Modello agli elementi finiti per lo speimen Modelli marosopii proposti Risultati numerii per i modelli di tipo marosopio Cario monotono Speimen Speimen Cario ilio Speimen Speimen Confronto tra modello marosopio WALL7 e modello agli elementi finiti per gli speimens 3 e CONCLUSIONI vi

8 Indie pag. 9. BIBLIOGRAFIA APPENDICE A: DATI PER GLI SPECIMENS 3 e A.1. Modello WALL A.1.1. Dati geometrii... 5 A.1.. Dati meanii... 7 A.1.3. Dati per il modello Axial Stiffness Hysteresis Model (ASHM)... 8 A.1.4. Dati per la molla a taglio... 9 A.1.5. Dati per la molla rotazionale... 3 A.. Modello WALL A..1. Dati geometrii A... Dati meanii A..3. Dati per il modello Axial Element in Series Model (AESM) A..4. Dati per la molla a taglio A..5. Dati per la molla rotazionale A.3. Modello WALL A.3.1. Dati geometrii A.3.. Dati meanii A.3.3. Dati per la molla a taglio A.3.4. Dati per la molla rotazionale A.4. Modello WALL A.4.1. Dati geometrii A.4.. Dati meanii A.4.3. Dati per il modello Axial Stiffness Hysteresis Model (ASHM) A.4.4. Dati per la molla a taglio... 4 A.5. Modello WALL A.5.1. Dati geometrii... 4 A.5.. Dati meanii... 4 A.5.3. Dati per il modello Axial Element in Series Model (AESM)... 4 A.5.4. Dati per la molla a taglio... 4 A.6. Modello WALL A.6.1. Dati geometrii... 4 A.6.. Dati meanii... 4 A.6.3. Dati per la molla a taglio A.7. Modello WALL A.7.1. Dati geometrii A.7.. Dati meanii vii

9 Indie pag. APPENDICE B: DATI PER GLI SPECIMENS 5 e B.1. Modello WALL B.1.1. Dati geometrii... 4 B.1.. Dati meanii B.1.3. Dati per il modello Axial Stiffness Hysteresis Model (ASHM) B.1.4. Dati per la molla a taglio B.1.5. Dati per la molla rotazionale B.. Modello WALL... 5 B..1. Dati geometrii... 5 B... Dati meanii... 5 B..3. Dati per il modello Axial Element in Series Model (AESM)... 5 B..4. Dati per la molla a taglio... 5 B..5. Dati per la molla rotazionale... 5 B.3. Modello WALL B.3.1. Dati geometrii... 5 B.3.. Dati meanii... 5 B.3.3. Dati per la molla a taglio B.3.4. Dati per la molla rotazionale B.4. Modello WALL B.4.1. Dati geometrii B.4.. Dati meanii B.4.3. Dati per il modello Axial Stiffness Hysteresis Model (ASHM) B.4.4. Dati per la molla a taglio B.5. Modello WALL B.5.1. Dati geometrii B.5.. Dati meanii B.5.3. Dati per il modello Axial Element in Series Model (AESM) B.5.4. Dati per per la molla a taglio B.6. Modello WALL B.6.1. Dati geometrii B.6.. Dati meanii B.6.3. Dati per la molla a taglio B.7. Modello WALL B.7.1. Dati geometrii B.7.. Dati meanii viii

10 Capitolo 1. Introduzione 1. INTRODUZIONE Gli effetti devastanti generati da terremoti oorsi in varie parti del mondo negli ultimi deenni, ha aresiuto l attenzione nei riguardi dell Ingegneria sismia. Questa brana dell ingegneria strutturale ha per oggetto lo studio del omportamento delle strutture soggette ad un evento tellurio e sviluppa metodi progettuali finalizzati ad evitare il ollasso o a limitare i danni delle ostruzioni. Negli edifii in emento armato si può riorrere all inserimento di pareti strutturali, he, se disposte adeguatamente, possono rappresentare un effiae sistema resistente nei onfronti delle azioni sismihe orizzontali. Infatti, grazie alla loro elevata rigidezza, le pareti onsentono un buon ontrollo degli spostamenti relativi di piano durante un evento sismio. La loro progettazione deve essere attentamente eseguita, al fine di fornire non solo adeguata resistenza, ma anhe una suffiiente duttilità, per evitare il verifiarsi di rotture fragili in aso di forti arihi laterali, quali quelli indotti da un sisma violento. Da tutto iò si evine la neessità di analizzare auratamente la risposta sismia di pareti e di sistemi telaio-parete in emento armato, riorrendo ad opportuni modelli in grado di simulare il loro omportamento sotto l azione di un terremoto. Nella pratia progettuale, l analisi dei sistemi anzidetti viene usualmente effettuata utilizzando modelli monodimensionali per la shematizzazione degli elementi strutturali. Detti elementi ompongono le diverse ossature piane, he si suppongono ollegate da impalati perfettamente rigidi nel proprio piano. In questo aso, il generio elemento di parete viene onsiderato loalizzato in orrispondenza del proprio asse barientrio, mettendone in onto sia la deformabilità flessionale he quella tagliante. Vari studi teorio-sperimentali hanno evidenziato, però, he tale tipo di modellazione porta ad una marata sottostima dell effettiva apaità portante dei suddetti sistemi strutturali. L insoddisfaente orrelazione fra la risposta ottenuta on l analisi numeria e quella osservata sperimentalmente è prinipalmente dovuta all eessiva shematiità del modello monodimensionale, he, se da un lato 1

11 Capitolo 1. Introduzione presenta il vantaggio di rihiedere un limitato sforzo omputazionale (in onfronto, ad esempio, ad una shematizzazione in elementi finiti bidimensionali), d altra parte non onsente un adeguata simulazione della risposta non lineare della parete, né permette di mettere in onto aluni importanti effetti d interazione spaziale. Infatti, per effetto di arihi laterali monotoniamente resenti, nella generia sezione trasversale della parete l asse neutro migra verso la fibra più ompressa; di onseguenza, per tensioni suffiientemente elevate, la parete tende a ruotare intorno ad un asse prossimo al bordo ompresso (roking effet), piuttosto he intorno all asse barientrio, ome per il modello monodimensionale. Inoltre, quando i arihi s invertono, lo stato fessurativo e le deformazioni plastihe aumulate dalle armature nelle zone ritihe, in aggiunta allo sfilamento delle barre tese all attao della parete on la fondazione per effetto della degradazione del legame di aderenza, provoano una rotazione onentrata alla base della parete stessa (fixed end rotation). Tali fenomeni generano un insieme di effetti he inidono sensibilmente sul omportamento non lineare delle pareti in emento armato. In partiolare, a ausa del roking effet, gli spostamenti vertiali dei bordi della parete non risultano uguali ed opposti, in quanto il bordo teso subise uno spostamento verso l alto notevolmente maggiore di quello he si osserva verso il basso in orrispondenza del bordo ompresso. Ne onsegue he le travi longitudinali e trasversali ollegate in orrispondenza del bordo teso alla parete, eseritando un azione di ontrasto (outriggering effet), possono subire elevate solleitazioni, ben maggiori di quelle he insorgono nelle travi afferenti al bordo ompresso. D altronde, per effetto degli sforzi di taglio trasmessi dalle travi alla parete, si verifia in quest ultima un inremento dello sforzo di ompressione generalmente non trasurabile, mentre nei pilastri, ollegati alle travi afferenti al bordo teso della parete, si ha una signifiativa riduzione degli sforzi di ompressione, potendosi sviluppare perfino sforzi di trazione. Le variazioni di sforzo assiale nella parete e nei pilastri possono modifiare sensibilmente la resistenza e la duttilità di tali elementi strutturali e, quindi, il omportamento dell intero omplesso strutturale. Per quanto detto, è evidente he la modellazione della parete è di fondamentale importanza ai fini di un adeguata simulazione della risposta non lineare. Negli ultimi anni, notevole è stato lo sviluppo e la diffusione di vari modelli, he possono essere raggruppati in due diverse ategorie. In partiolare, possiamo distinguere tra miro-modelli (ossia modelli basati su un approio mirosopio) e maro-modelli (ossia modelli basati su un approio marosopio). I primi si fondano sul metodo agli elementi finiti, suddividendo l elemento strutturale in un dato numero di elementi (monodimensionali, bidimensionali o tridimensionali), onnessi in un numero finito di punti (nodi). La soluzione del problema di equilibrio viene approssimata analizzando la struttura in un dominio disreto anzihé nel ontinuo ed il grado di auratezza della soluzione può essere migliorato infittendo la disretizzazione. Tali modelli onsentono di avere una desrizione dettagliata del omportamento, ma rihiedono legami ostitutivi di base molto affidabili sia per

12 Capitolo 1. Introduzione ridurre al minimo la propagazione di errori he per simulare auratamente fenomeni loali ome, ad esempio, l evoluzione del quadro fessurativo, l ingranamento degli inerti, l instabilità delle armature. Ne onsegue un notevole impegno omputazionale, he rende tale tipo di approio più idoneo per l analisi di pareti isolate. I modelli di tipo marosopio permettono di simulare la risposta della parete on riferimento a parametri inematii e meanii di arattere globale, al fine di ottenere una drastia semplifiazione senza, tuttavia, perdere in affidabilità. Consentono, dunque, notevoli vantaggi in termini di impegno omputazionale, risultando più adatti per l analisi di strutture omplesse. Inoltre, infittendo opportunamente la disretizzazione nelle presumibili regioni ritihe del maro-elemento, si può ottenere una maggiore auratezza nella desrizione della risposta. Questo tipo di approio rihiede, però, un opportuna taratura e permette di desrivere solo globalmente il omportamento dell elemento strutturale. Una modellazione intermedia tra quella di tipo mirosopio e quella di tipo marosopio è basata sull adozione di modelli a fibre, in ui il generio elemento viene diviso, longitudinalmente, in un numero finito di oni delimitati da due sezioni trasversali, a loro volta disretizzate in aree elementari. I modelli a fibre offrono un buon ompromesso fra sempliità di alolo ed affidabilità, rihiedendo, omunque, un forte impegno omputazionale se adottati all interno di shematizzazioni di strutture omplesse. Un alternativa ai suddetti approi onsiste in una loro opportuna ombinazione. Ad esempio, modelli semplifiati (di tipo marosopio) possono essere usati per shematizzare elementi strutturali per i quali si attendano limitate deformazioni plastihe mentre un analisi preliminare, seguendo un approio di tipo mirosopio, potrebbe fornire utili informazioni sulla selta dei legami atti a rappresentare il omportamento degli elementi ostituenti il modello marosopio. Nel presente lavoro si intende simulare, attraverso modelli relativamente semplii ma suffiientemente aurati, la risposta in ampo non lineare di pareti strutturali in emento armato. A tal fine, viene innanzitutto messo in evidenza, nel apitolo, ome la apaità delle pareti di resistere alle solleitazioni appliate dipenda da vari fattori (per es., onfigurazione geometria, orientazione e disposizione in pianta, variazioni in elevazione), he possono influenzare anhe notevolmente la risposta della singola parete e quella globale della struttura sotto l azione di un evento sismio. Vengono poi esaminati il omportamento sperimentale e le modalità di rottura nel aso di pareti isolate o di sistemi telaio-parete. Viene suessivamente desritto, nel apitolo 3, il omportamento dei materiali, foalizzando l attenzione sui legami ostitutivi presenti in letteratura per la definizione della risposta non lineare di alestruzzo e aiaio, nonhé su aluni importanti aspetti, quali la perdita di aderenza ed il fenomeno del tension stiffening. Anhe per quest ultimo vengono indiati due diversi approi, uno di tipo mirosopio, riorrendo a leggi ostitutive modifiate per i materiali, ed un altro di 3

13 Capitolo 1. Introduzione arattere marosopio, mediante l utilizzo di aluni modelli he permettono di simulare il omportamento di elementi monodimensionali in emento armato (Axial Stiffness Hysteresis Model di Kabeyasawa et al., 198; Axial Element in Series Model di Vulano e Bertero, 1986; Modified Axial Element in Series Model di Vulano, Bertero e Colotti, 1988). Sono quindi presentati, nel apitolo 4, modelli numerii proposti in letteratura per la simulazione della risposta in ampo non lineare delle pareti, distinguendo tra modelli mirosopii e modelli marosopii. Per i primi, si fa riferimento alla Modified Compression Field Theory, sviluppata da Vehio e Collins [1986] sulla base di numerosi risultati sperimentali. Tale teoria si fonda su un approio del tipo smeared rotating rak approah, ovvero si assume he le fessure siano diffuse, si sviluppino in una direzione parallela a quella delle tensioni prinipali di ompressione e ruotino on essa nel orso dell intera storia di ario. Nel desrivere i modelli marosopii, si pone l attenzione sugli elementi ostituenti il maroelemento e sui legami adottati per simulare la risposta flessionale e tagliante, mettendo in evidenza sia i pregi he eventuali limitazioni. È quindi messo a punto un odie di alolo per l analisi al passo di pareti in.a. soggette ad una generia legge di ario. Nel apitolo 6 sono illustrate le proedure seguite. Quindi, nel apitolo 7, al fine di valutare l affidabilità di aluni modelli marosopii, i risultati numerii sono messi a onfronto on quelli sperimentali disponibili in letteratura e on quelli ottenuti attraverso una modellazione agli elementi finiti. In partiolare, le strutture test prese in onsiderazione onsistono in due pareti strutturali in.a. sottoposte a prove di ario monotono e ilio presso l Earthquake Engineering Researh Center della University of California a Berkeley, i ui risultati sperimentali si ritrovano in Vallenas et al. [1979] e sono sintetiamente rihiamati nel apitolo 5 del presente lavoro. La tesi termina on un esame ritio dei risultati ottenuti e on l indiazione dei possibili aorgimenti da adottare per una migliore desrizione del omportamento strutturale. 4

14 Capitolo. Pareti strutturali. PARETI STRUTTURALI.1. PREMESSA I vantaggi relativi all inserimento delle pareti strutturali in edifii intelaiati in emento armato sono ormai da tempo rionosiuti, data la loro effiaia nel fornire resistenza e rigidezza nei onfronti di arihi laterali dovuti ad eventi sismii o all azione del vento. Ciò determina, di onseguenza, una minore inidenza dell effetto P-Δ, ridotti danni agli elementi non strutturali ed un maggiore senso di siurezza per gli oupanti; inoltre, la apaità portante nei onfronti dei arihi vertiali viene mantenuta anhe in seguito al verifiarsi di lesioni signifiative. D altra parte, la loro utilizzazione non è esente da aluni inonvenienti, quali una ridotta duttilità per effetto dell azione tagliante (per ui è neessario riorrere ad adeguati dettagli ostruttivi) e problemi di tipo arhitettonio relativi all inserimento di aperture. In questo apitolo esporremo aluni importanti aspetti del omportamento dei sistemi strutturali in oggetto, foalizzando l attenzione sulla risposta delle pareti all azione sismia... CONFIGURAZIONI GEOMETRICHE DI PARETI Un elemento di parete può essere soggetto a spostamenti assiali, trasversali e torsionali; la sua apaità di resistere alle solleitazioni appliate dipende da diverse ondizioni, quali, ad esempio, onfigurazione geometria, orientazione, disposizione in pianta e variazioni in elevazione he si possono frequentemente rilevare in edifii in.a.. Nel presente paragrafo, analizzeremo tali diversi aspetti e metteremo in evidenza ome essi possono influenzare la risposta della singola parete o quella globale della struttura sotto l azione di un evento sismio. 5

15 Capitolo. Pareti strutturali..1. Sezioni trasversali tipihe di pareti in.a. Le pareti strutturali possono presentare diverse sezioni trasversali, quali quelle rettangolari o dotate di bulbi laterali o di flange (Figura.1). In partiolare, gli elementi di bordo, ome negli esempi mostrati in Figura.1.b, Figura.1., Figura.1.d, onsentono un opportuno ollegamento alle travi trasversali e permettono un adeguata disposizione delle armature a flessione. Quando più pareti si inontrano perpendiolarmente, si reano sezioni flangiate (Figura.1.e - Figura.1.h), he resistono alle forze sismihe lungo entrambe le direzioni prinipali dell edifiio e, se le flange sono in ompressione, presentano una buona duttilità. Nelle sezioni a T o a L in partiolare, tale duttilità risulta però limitata nel aso in ui la flangia è tesa. (a) (b) () (d) (e) (f) (g) (h) Figura.1. Sezioni trasversali tipihe di pareti strutturali. La risposta strutturale di un elemento di parete in fase post-elastia dipende non solo dalla forma della sezione trasversale, ma anhe dalla distribuzione delle armature longitudinali e trasversali. Per mostrare quanto la forma della sezione trasversale influisa sulla duttilità dell elemento, onsideriamo due tipihe onfigurazioni, quella dotata di elementi di bordo (Figura..a) e quella rettangolare (Figura..b), utilizzate da Vallenas et al. [1979] per alune prove sperimentali. In entrambe le sezioni, sono presenti un pannello entrale, dotato di armatura inroiata in orrispondenza delle due fae laterali, e due elementi di bordo, di maggiore spessore per la sezione in Figura..a, he ontengono l armatura longitudinale prinipale. (a) (b) Figura.. Sezioni trasversali di pareti strutturali: (a) sezione on elementi di bordo; (b) sezione rettangolare. 6

16 Capitolo. Pareti strutturali In seguito alle prove sperimentali effettuate, è stato osservato he la sezione mostrata in Figura..a presenta, a parità di quantitativo di alestruzzo e di aiaio, una maggiore resistenza (intesa ome taglio ultimo alla base) ed una maggiore duttilità disponibile rispetto a quelle fornite da una tipia sezione rettangolare ome quella in Figura..b. Infatti, all aumentare delle forze orizzontali, l asse neutro tende ad avviinarsi al bordo maggiormente ompresso e la sezione dotata di elementi di bordo (Figura..a) presenta un momento resistente superiore a quello della sezione rettangolare (Figura..b), in quanto ha aree di alestruzzo più entrifugate. Inoltre, la sezione on bulbi è anhe più duttile, poihé possiede una maggiore rigidezza flessionale ed una minore rigidezza a taglio rispetto a quelle della sezione rettangolare. Quanto detto è osservabile in Figura.3, dove on V si è indiato il taglio alla base e on δ 3 lo spostamento orizzontale in sommità. V (kn) δ 3 (mm) Figura.3. Risposta di pareti strutturali in.a. in funzione della diversa sezione trasversale [Vallenas et al., 1979]. La duttilità disponibile di una parete in emento armato dipende anhe dalla quantità di armatura longitudinale e dalla sua distribuzione all interno della sezione e, in partiolare, onentrando le barre di armatura in orrispondenza delle fibre estreme, si ottiene una maggiore duttilità ed una maggiore resistenza a flessione. Ciò è messo in evidenza nella Figura.4, dove, per una sezione trasversale rettangolare, sono rappresentati i legami momento M urvatura χ in funzione del tipo di distribuzione delle barre longitudinali (diffuse o onentrate in orrispondenze delle fibre estreme) e della perentuale geometria di armatura ρ s =A s /A. A parità di quantità di armatura, la stessa sezione presenta maggiore duttilità e apaità di dissipare energia quando l armatura è onentrata in prossimità dei lembi della sezione (zone alternativamente tese sotto l azione di arihi trasversali ilii). 7

17 Capitolo. Pareti strutturali M (%) 1 ρs = 3.% 1 ρs,min =.5% ρs = 1.% ρs =.5% ρs ρs =.5% χ(%) Figura.4. Effetti della quantità e della distribuzione di armatura longitudinale sulla duttilità di sezioni di pareti rettangolari in.a. [Park e Paulay, 1975]. Per garantire un adeguata duttilità della parete è neessario,inoltre, il onfinamento del alestruzzo nella zona in ui risulta ompresso, ovvero, per azioni ilihe, nelle zone di estremità. Queste onsiderazioni fanno preferire alla forma rettangolare sezioni ostituite da un pannello entrale ed elementi di bordo (boundary elements), generalmente quadrati e di dimensione maggiore rispetto allo spessore del pannello, i quali ontengono la maggior parte delle armature vertiali resistenti a flessione ollegate da una fitta staffatura, he ben onfina il nuleo di alestruzzo. A tali elementi è affidata la trasmissione dei arihi vertiali e del momento flettente allo stato limite ultimo; essi svolgono, inoltre, un azione di onfinamento sul pannello entrale, rallentando lo sviluppo delle fessure diagonali da taglio. Invee, il pannello tra i due elementi di bordo resiste prevalentemente alle azioni tangenziali, trasmettendo la maggior parte dello sforzo tagliante he solleita la parete.... Disposizione in pianta La disposizione di sistemi di pareti in.a. all interno di un edifiio ha una rilevante influenza sul omportamento globale della ostruzione sotto sisma, essendo tali elementi strutturali dotati di notevole massa e rigidezza. Talvolta, interessi di tipo arhitettonio o rihieste da parte della ommittenza, possono indurre a selte progettuali, relative alla disposizione delle pareti, he sono indesiderabili per iò he onerne la resistenza dell edifiio nei onfronti delle forze laterali. La progettazione strutturale dovrebbe invee essere mirata a fornire alla ostruzione simmetria nella distribuzione delle rigidezze e onseguente stabilità torsionale. Inoltre, la olloazione in pianta delle pareti strutturali dovrebbe onsentire un uniforme distribuzione delle deformazioni plastihe 8

18 Capitolo. Pareti strutturali sull intero piano dell edifiio, piuttosto he una loro onentrazione in pohe pareti, poihé, in quest ultimo aso, iò porterebbe ad una sottoutilizzazione di alune di esse mentre altre potrebbero essere soggette ad eessive rihieste di duttilità. Generalmente, la selta più opportuna nella disloazione delle pareti strutturali è guidata dall obiettivo di rendere il barientro delle masse G M e quello delle rigidezze G R oinidenti o molto prossimi tra loro, al fine di avere piole eentriità e ridurre, di onseguenza, gli effetti torsionali quando sono appliate forze orizzontali di piano. Esempi shematii di disposizioni in pianta sono riportati in Figura.5. In partiolare, la Figura.5.a mostra ome la presenza di una parete rigida su un lato dell edifiio può determinare elevati spostamenti in orrispondenza del lato opposto, dove gli elementi portanti risultano dunque soggetti a notevoli deformazioni plastihe. Queste ultime possono produrre una signifiativa riduzione della rigidezza, he provoa un ulteriore spostamento del barientro G R ed una onseguente amplifiazione degli effetti torsionali. Invee, rendendo la struttura simmetria (Figura.5.b), il barientro delle masse tende a oinidere on quello delle rigidezze e si ha solamente una traslazione di piano on rihiesta di duttilità simile sui vari elementi portanti. La olloazione delle pareti strutturali mostrata in Figura.5. è soddisfaente per iò he onerne la resistenza nei onfronti delle forze laterali, ma l elevata eentriità tra G M e G R ausa torsioni rilevanti quando le forze sismihe sono appliate nella direzione indiata. Disponendo almeno un elemento rigido in prossimità di ognuno dei lati dell edifiio (Figura.5.d), si ridue la distanza tra barientro delle masse e quello delle rigidezze, ottenendo una disposizione in pianta preferibile alla preedente. GR GM GR = GM (a) (b) GR GM GR GM () (d) Figura.5. Esempi di disposizione in pianta di pareti strutturali. 9

19 Capitolo. Pareti strutturali..3. Variazione in elevazione In edifii di media altezza, le dimensioni trasversali delle pareti strutturali sono mantenute generalmente ostanti. Nelle ostruzioni più alte, invee, si osserva ome la rihiesta di resistenza, dovuta alle forze laterali agenti, tenda a diminuire man mano he i si sposta verso i piani più elevati, per ui lo spessore delle pareti può essere onvenientemente ridotto (Figura.6.a). In aluni asi, anhe la loro lunghezza può variare on l altezza, portando alle onfigurazioni mostrate in Figura.6.b-Figura.6.e, on onseguenti ambiamenti di rigidezza he possono risultare strutturalmente indesiderabili, ome negli esempi rappresentati nella Figura.6. e nella Figura.6.e. n n n n n i i i i i (a) (b) () (d) (e) Figura.6. Variazione in elevazione di pareti strutturali. Altro aspetto da onsiderare è l eventuale presenza di aperture; in tal aso, si dovrà valutare se porte e finestre sono abbastanza piole da poter essere trasurate nei aloli di progetto o se risultano suffiientemente ampie da influenzare il omportamento a taglio o a flessione della parete stessa. Sistemi strutturali piuttosto effiienti, he onsentono di ottenere una risposta duttile e una buona dissipazione di energia, sono quelli in ui le aperture vengono disposte in maniera regolare. Esempi di questo tipo sono rappresentati in Figura.7, dove due pareti di uguale (Figura.7.a) o di differente rigidezza (Figura.7.b) sono onnesse mediante travi. Le pareti tendono a omportarsi ome delle mensole, e, imponendo una suffiiente rotazione alle travi di ollegamento, si determina la formazione di erniere plastihe, reando osì un sistema apae di dissipare energia lungo l intera altezza della struttura. Quando invee le travi risultano più forti delle pareti (Figura.7.), si può avere una rottura a taglio e la risposta sismia sarà aratterizzata da duttilità limitata e bassa dissipazione di energia. 1

20 Capitolo. Pareti strutturali (a) (b) () Figura.7. Disposizioni di aperture in pareti strutturali. La resistenza e la duttilità dei traversi e, onseguentemente, dell intera parete possono essere sensibilmente migliorate se si dispongono armature diagonali, fortemente staffate, nel modo shematiamente illustrato nella Figura.8. Un ulteriore esempio è riportato in Figura.9. Armatura flessionale Staffe hiuse Armatura orrente di parete Figura.8. Disposizioni di armature nei traversi di ollegamento. Figura.9. Armatura ad X per travi di aoppiamento prima del getto. La Figura.1 mostra il diverso omportamento di due modelli di mensole forate di uguali dimensioni, on setti dotati di uguale armatura e sottoposti alle stesse viende di ario, ma on i traversi armati in modo tradizionale (Figura.1.a) o on armature diagonali (Figura.1.b). La parete in Figura.1.a risulta sensibilmente deteriorata, mentre quella in Figura.1.b appare sostanzialmente integra. 11

21 Capitolo. Pareti strutturali (a) (b) Figura.1. Risultato di una prova sperimentale su pareti forate: (a) parete on traversi armati in modo tradizionale; (b) parete on traversi dotati di armature diagonali [Santhakumak, 1974]..3. ASPETTI CARATTERISTICI DEL COMPORTAMENTO SPERIMENTALE DI PARETI STRUTTURALI IN C.A. L azione di forze appliate statiamente o iliamente su pareti strutturali può dare origine a diversi fenomeni, he influenzano il omportamento e la risposta degli elementi in oggetto. Nel presente paragrafo, analizzeremo aluni importanti effetti di azioni agenti ortogonalmente all asse della parete e le possibili modalità di rottura Effetti delle azioni laterali Nel aso di arihi laterali monotoniamente resenti, l asse neutro, in orrispondenza della generia sezione trasversale, migra verso la fibra maggiormente ompressa e si può verifiare il osiddetto roking effet (Figura.11), per il quale la parete tende a ruotare attorno ad un asse prossimo al bordo ompresso. Con l alternarsi del verso dell azione esterna, tale migrazione dell asse di rotazione produe un osillamento (roking) della sezione trasversale. 1

22 Capitolo. Pareti strutturali Figura.11. Roking Effet. Lo spostamento dell asse neutro determina, inoltre, un allungamento delle fibre tese più esterne e, soprattutto in presenza di arihi ilii, si verifia un fenomeno di degradazione del legame di aderenza tra alestruzzo e barre di aiaio, on onseguente sfilamento delle armature tese nella sezione di base, dove viene realizzato il ollegamento tra parete e fondazione. Si osservano allora sensibili rotazioni alla base. Tale fenomeno va sotto il nome di fixed end rotation (Figura.1). Figura.1. Fixed End Rotation..3.. Meanismi di rottura La rottura di una parete in emento armato può avvenire seondo varie modalità. In partiolare, quando l armatura a taglio è suffiiente per la trasmissione degli sforzi orrispondenti ad elevati valori dell azione flettente, si può verifiare una rottura di tipo flessionale (Figura.13). In questo aso, dopo la formazione di fessure diagonali nel pannello entrale, si osserva un fenomeno di shiaiamento del alestruzzo ompresso in orrispondenza della sezione maggiormente solleitata a flessione. 13

23 Capitolo. Pareti strutturali (a) (b) Figura.13. Rottura di tipo flessionale: (a) shematizzazione grafia [Park e Paulay, 1975]; (b) risultato di una prova sperimentale di tipo monotono [Chiou et al., 6]. Quando invee l armatura a taglio non è in grado di trasferire le solleitazioni orrispondenti alla apaità di resistenza a flessione dell elemento, può avvenire una rottura a taglio (Figura.14), tipia delle pareti aratterizzate da un rapporto tra altezza e larghezza limitato (pareti tozze). Si vengono osì a formare ampie fessure diagonali e si osserva il edimento delle armature preposte alla trasmissione degli sforzi di taglio. È bene evitare questo tipo di rottura fragile, in quanto il omportamento post-elastio presenta un basso livello di duttilità ed inoltre non viene pienamente sfruttata la apaità di resistenza flessionale della sezione. (a) (b) Figura.14. Rottura a taglio: (a) shematizzazione grafia [Park e Paulay, 1975]; (b) risultato di una prova sperimentale di tipo ilio [Chiou et al., 6]. In presenza di un adeguata armatura a taglio e per manato raggiungimento della massima resistenza flessionale, si verifia la rottura del tipo sliding shear (Figura.15). Questa modalità di ollasso è aratterizzata da un forte degrado del alestruzzo, he si verifia sotto l azione di arihi ilii di forte intensità e nelle zone maggiormente solleitate. Ne risulta he il onglomerato non è in grado di offrire un adeguata resistenza a ompressione, le barre di armatura 14

24 Capitolo. Pareti strutturali tendono a rompersi per traniamento e avviene uno sorrimento alla base on onseguente riduzione di rigidezza e di apaità dissipativa. (a) (b) Figura.15. Rottura di tipo sliding shear: (a) shematizzazione grafia [Park e Paulay, 1975]; (b) risultato di prova sperimentale [Chiou et al., 6]. Le varie fasi di questo meanismo sono illustrate in Figura.16. Nel primo ilo di ario, si vengono a reare delle lesioni da flessione e, poihé nella zona ompressa il alestruzzo non è anora fessurato, gli spostamenti orizzontali a taglio, lungo la sezione di base, sono trasurabili (Figura.16.a). Quando il verso delle forze agenti viene invertito, si reano delle lesioni nell altra direzione, mentre le barre di armatura, preedentemente soggette a trazione e snervate, sono adesso sottoposte a tensioni di ompressione e si viene a reare un ampia e ontinua fessura alla base della parete (Figura.16.b), lungo la quale le forze taglianti saranno trasferite per effetto spinotto (dowel ation) dalle armature vertiali. In questa fase si verifiano signifiativi spostamenti orizzontali, he si arrestano solo dopo he l aiaio raggiunge lo snervamento a ompressione e si tendono a hiudere le lesioni (Figura.16.). (a) (b) () Figura.16. Fasi della rottura di tipo sliding shear [Paulay e Priestley, 199]. Questa modalità di rottura non è risontrabile nelle prove di ario monotone, rimanendo la zona ompressa relativamente intatta. 15

25 Capitolo. Pareti strutturali.4. SISTEMA TELAIO-PARETE IN C.A. Nel aso di azioni sismihe di forte intensità, si ammette, per ragioni di ordine eonomio, he gli elementi strutturali delle ostruzioni possano subire deformazioni plastihe, dissipando per isteresi parte dell energia trasmessa dal terremoto ed evitando, in tal modo, il ollasso dell edifiio. Inoltre, al fine di mantenere la funzionalità della ostruzione stessa e di ontenere i danni subiti dagli elementi non portanti, è neessario limitare la deformabilità della struttura. Una soluzione progettuale adatta a ontrastare l effetto delle azioni sismihe è quella he si ottiene dalla ombinazione di pareti strutturali e telai, ovvero il osiddetto sistema telaio-parete (Figura.17). TELAIO OSSATURA TELAIO (a) (b) Figura.17. Sistema telaio-parete: (a) pianta; (b) ossatura on parete. In tali sistemi misti, vengono ombinati gli aspetti positivi degli elementi ostituenti. Infatti, i telai onsentono un elevata dissipazione di energia, in partiolare in orrispondenza dei piani superiori degli edifii, mentre le pareti, grazie alla loro elevata rigidezza, permettono un buon ontrollo degli spostamenti di piano. I fenomeni preedentemente desritti di roking effet e fixed end rotation (Paragrafo.3.1) generano, fra l altro, effetti d interazione spaziale. Infatti, sotto l azione di arihi laterali, i bordi della parete non hanno spostamenti vertiali uguali ed opposti, ma il lembo teso presenta uno spostamento verso l alto maggiore di quello subito verso il basso dal bordo ompresso (Figura.18). 16

26 Capitolo. Pareti strutturali a(t) Figura.18. Deformata di un sistema telaioparete per effetto di arihi laterali. Le elevate deformazioni subite dalle fibre tese della sezione della parete vengono ontrastate dagli elementi di ollegamento; in partiolare, le travi longitudinali e trasversali in orrispondenza del bordo teso eseritano un azione di ontrasto, definita outriggering effet (Figura.19), risultando soggette a solleitazioni più elevate di quelle he insorgono nelle travi onnesse al bordo ompresso, meno deformabili. Bisogna aggiungere he gli sforzi di taglio trasmessi dalle travi alla parete determinano in quest ultima un inremento dello sforzo di ompressione, he si ridue invee sensibilmente nei pilastri ollegati alle travi afferenti al bordo teso della parete stessa. I pilastri dei piani alti possono persino essere soggetti a sforzi di trazione, subendo una rilevante riduzione della resistenza flessionale e della apaità dissipativa. Inoltre, on l alternarsi del verso delle azioni esterne, si ha una forte degradazione della resistenza, non solo nelle sezioni ritihe della parete, ma anhe in quelle degli elementi di ollegamento e dei pilastri he subisono le maggiori variazioni di sforzo normale. Tutto iò modifia in maniera signifiativa il omportamento dell intero omplesso strutturale, per ui è neessario onsiderare anhe gli effetti d interazione spaziale in una adeguata modellazione di sistemi telaio-parete. (a) (b) Figura.19. Effetti d interazione spaziale: (a) interazione on le travi longitudinali; (b) interazione on le travi trasversali. 17

27 Capitolo 3. Comportamento dei materiali 3. COMPORTAMENTO DEI MATERIALI 3.1. PREMESSA Nella modellazione degli elementi strutturali in alestruzzo armato, è neessario definire il legame ostitutivo dei singoli materiali: aiaio e alestruzzo. Nel seguito si farà riferimento al aso di stati di solleitazione monoassiali indotti da azioni ilihe, esulando dagli sopi del presente lavoro l analisi di stati tensionali pluriassiali. Quando il omportamento dell aiaio e del alestruzzo viene simulato onsiderando i due materiali separatamente (modelli agli elementi finiti, modelli a fibre ed aluni modelli marosopii del tipo multi-spring) si devono inserire ulteriori elementi atti a desrivere i fenomeni di interazione (degradazione del legame di aderenza, tension stiffening) a meno di riorrere ad ipotesi semplifiative (perfetta aderenza fra i due materiali, trasurabilità del ontributo del alestruzzo teso tra due fessure) oppure di modifiare i legami ostitutivi in modo da simulare i suddetti fenomeni. Nel aso in ui non si abbia interesse ad evidenziare i ontributi di iasuno dei due materiali, si può riorrere a legami ostitutivi he shematizzino il omportamento di porzioni dell elemento he li ontengano entrambi (ad esempio nella maggioranza dei modelli multi-spring), ome quelli proposti in letteratura per elementi in alestruzzo armato soggetti a sforzo normale. 3.. LEGAME COSTITUTIVO DEL CALCESTRUZZO La modellazione del omportamento del alestruzzo soggetto a storie di ario generihe presenta numerose diffioltà, soprattutto in presenza di stati tensionali pluriassiali. La formulazione di un modello analitio in grado di ontemplare le varie situazioni possibili impliherebbe l introduzione di un gran numero di parametri, la ui esatta taratura, data la notevole 18

28 Capitolo 3. Comportamento dei materiali dispersione statistia delle proprietà del alestruzzo, risulterebbe molto diffiile; inoltre, la presenza di armature prinipali o di onfinamento può modifiare sostanzialmente le proprietà stesse del onglomerato. Il modello ideale di ui è opportuno disporre deve essere in grado di desrivere on suffiiente auratezza i fenomeni legati al omportamento del materiale: degradazione delle aratteristihe meanihe, dissipazione di energia per isteresi, apertura di fessure e loro eventuale hiusura on insorgenza delle tensioni di ontatto. Varie espressioni analitihe sono state proposte per simulare le urve sperimentali ottenute per provini di forma ubia sottoposti a arihi monoassiali di tipo monotono o ilio, tenendo onto in aluni asi dell effetto del onfinamento. Nel seguito, sono desritti aluni tra i modelli forniti in letteratura per la definizione del legame tra tensione e deformazione del alestruzzo Modello di Bolong et al. Il modello proposto da Bolong et al. [1981] (Figura 3.1), sulla base di prove sperimentali effettuate su travi in.a., si distingue da molti altri disponibili in letteratura, oltre he per le differenti espressioni analitihe, soprattutto per la possibilità di tenere onto dell insorgenza delle tensioni da ontatto dovute alla progressiva hiusura delle fessure. Va osservato, però, he detto modello è stato formulato riferendosi a ili deformativi alternati di ampiezza non deresente. Pertanto, l estensione a storie di ario generihe non è da onsiderarsi immediata, rihiedendo indagini sperimentali più estese. Si riportano di seguito le equazioni delle urve modellanti i vari rami di ario: a) urva d inviluppo di primo ario f f ' ε = per ε ε + ε < ε (3.1) f = f {1 - [ (ε - ε )] } per ε <ε < ε l (3.) f =.3 f per ε l <ε < ε u (3.3) b) urve relative alla fase di sario f = f, un ε.ε 1.8ε, un, un ε per ε,un < ε (3.4) f f ε ε, un =, un per ε 3ε, un ε,un > ε (3.5) 19

29 Capitolo 3. Comportamento dei materiali ) urve relative alla fase di riario ε f = f n 1 per ε n < ε < (3.6) ε + ε n f f ε ε = fn 1 f ' ε + per ε, un ε e ε ε (3.7) ε + ε ε ε ε = fn 1 + f, un per ε ε, un ε e ε ε, un ε + ε, un ε + ε, un (3.8) Il signifiato dei simboli he ompaiono nelle (3.1) - (3.8) è deduibile dalla Figura 3.1. In partiolare, on riferimento alle (3.6) - (3.8), la deformazione ε n, in orrispondenza della quale iniziano a manifestarsi gli effetti di ontatto, e la tensione di ontatto f n, orrispondente ad ε =, sono, rispettivamente, valutate attraverso le seguenti relazioni:.9ε ε = n ε t.1 (3.9) max ε + ε t max f n =.3 f ' + ε ε ε ε n n 4 + (3.1) avendo indiato on ε t max il massimo allungamento perentuale. f f Eq. (3.7) (f,un, ε,un ) P Eq. (3.) Eq. (3.8) Eq. (3.6) f n Eq. (3.4) Eq. (3.5).3f Eq. (3.3) ε t max ε n Eq. (3.1) ε ε P ε l ε u ε Figura 3.1. Legame ostitutivo per il alestruzzo proposto da Bolong et al. [1981]. Si osservi he, in aordo on quanto rilevato sperimentalmente anhe da altri autori (Morita et al., 1979), i valori di ε n e f n risultano resenti on l aumentare di ε t max, anhe se in misura sempre meno marata.

30 Capitolo 3. Comportamento dei materiali È opportuno preisare he le deformazioni e le tensioni he ompaiono nelle (3.1) - (3.1) sono da intendersi ome grandezze medie per l elemento di alestruzzo he viene onsiderato. Come risulta evidente dalla Figura 3.1, la urva di inviluppo di primo ario risulta ostituita da tre diversi tratti (equazioni (3.1) - (3.3)). Nella fase di sario, il perorso segue la (3.4) o la (3.5), a seonda he la deformazione ε,un orrispondente al punto d inversione del ario risulti, rispettivamente, non maggiore o maggiore della deformazione ε orrispondente alla tensione massima f. Nella fase di riario, dopo aver attinto il massimo allungamento perentuale ε t max, gli effetti del ontatto loale, dovuti alla progressiva hiusura delle fessure, vengono messi in onto a partire dal valore ε n (> - ε t max ) della deformazione (equazione (3.9)). Viene, quindi, seguito, sulla base della (3.6), un primo ramo di ario fino ad attingere, per ε =, il valore f n della tensione, fornito dalla (3.1). Proseguendo nella fase di riario, viene perorso uno dei due rami desritti dalle (3.7) e (3.8), a seonda he il valore ε,un, relativo alla preedente fase di sario, sia, rispettivamente, non maggiore o non minore di ε ; tali rami s intendono limitati dalla urva di inviluppo di primo ario, alla quale i si deve riferire per ulteriori inrementi di deformazione. La (3.8), a differenza della (3.7) he desrive urve sempre tendenti verso il punto (f, ε ), è in grado di desrivere i fenomeni di degradazione di resistenza e di riduzione della apaità dissipativa isteretia anhe per ili deformativi alternati di ampiezza ostante Modello di Kent e Park modifiato Un legame ostitutivo desritto da leggi più semplii è il osiddetto modello di Kent e Park modifiato (Kent e Park, 1971; Sott et al., 198). La urva di inviluppo monotono (Figura 3.), rappresentativa del omportamento del alestruzzo ompresso, è desritta dalle relazioni: f ε ε f ε ε = α f [ 1 β ( ε ε )] f ε ε ε l < ε < ε l ε ε ε u (3.11) dove f = k f (3.1) rappresenta la tensione massima, in orrispondenza della quale si ha una deformazione 1

31 Capitolo 3. Comportamento dei materiali ε =. k (3.13) mentre la deformazione ε l si riava dall uguaglianza 1 α f [ 1 β( ε l ε )] = αf ε l = ε + (3.14) β Nelle preedenti espressioni, f india la resistenza ilindria del alestruzzo ompresso e k è un fattore he tiene onto dell inremento di resistenza dovuto all effetto di onfinamento dell armatura trasversale, dato dalla seguente espressione: k ρ f = 1+ (3.15) sh yh ' f dove ρ sh è il rapporto tra il volume di armatura di onfinamento ed il volume del alestruzzo onfinato nel perimetro esterno della staffa, mentre f yh rappresenta la tensione di snervamento delle staffe. La pendenza del ramo degradante della urva di inviluppo è definita attraverso l espressione ' f p β.75. = + ρ k ' sh (3.16) f Δsh 1 in ui la tensione f è espressa in MPa, p india la larghezza del nuleo di alestruzzo onfinato, misurata all esterno della staffa, e Δ sh è il passo longitudinale delle staffe. In fase di sario, si seguono dei rami rettilinei definiti dal punto iniziale appartenente alla urva di ario monotono (ε,un, f,un ) e dal punto di ordinata nulla (ε p, ). L asissa ε p di quest ultimo è definita dalle relazioni: ε ε = + per ε,un < ε (3.17) p, un.145 ε.13ε, un ε p =.77 (ε,un - ε ) ε per ε,un > ε (3.18) Il legame a trazione si assume lineare e del tipo