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1 6 - Grafici di funzioni Soluzioni Esercizio. Studiare il grafico della funzione f(x) = x x + 3. ) La funzione è definita per x 3. ) La funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) La funzione è positiva per x in ( 3, ) e per x in (, + ), negativa altrimenti. 4) Si ha (dallo studio del segno) lim f(x) =, lim x ( 3) f(x) = +. x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno), lim f(x) = +, lim x + f(x) =. x Essendo f(x) = x 3 + 8, la funzione ha la retta y = x 3 come x+3 asintoto obliquo (sia a più infinito che a meno infinito). 5) Dall essere f(x) = x segue che x+3 f (x) = 8 (x + 3) = (x + 3) 8 = (x (x + 3) )(x + 3 ). (x + 3) Pertanto la funzione è crescente in (, 3 ) e in ( 3, + ), decrescente in ( 3, 3) e in ( 3, 3) (al solito, attenzione all asintoto verticale!). 6) Per la derivata seconda della f si ha f (x) = 4 (x + 3), cosicché la funzione è convessa per x > 3, concava altrimenti.

2 Esercizio. Studiare il grafico della funzione f(x) = ln( sen(x) ). ) La funzione è definita se sen(x) 0, e quindi per x kπ, k Z. ) Essendo sen(x) = sen( x), la funzione è pari; inoltre, essendo sen(x) = sen(x + π), la funzione è periodica di periodo T = π: è dunque sufficiente studiarla per x in (0, π). 3) Essendo 0 < sen(x) per ogni x in (0, π) la funzione è negativa su tale intervallo, annullandosi per x = π/ (da questa informazione possiamo già dedurre che x = π/ è di massimo relativo ed assoluto per f). 4) Gli unici limiti da calcolare sono quelli in 0 (da destra) ed in π (da sinistra): gli altri sono ricavabili dalla periodicità di f. Dallo studio del segno si ha lim x 0 x π f(x) =, lim f(x) =. + 5) Si ha, ricordando che f(x) = ln(sen(x)) per x in (0, π), f (x) = cos(x) sen(x), da cui, essendo il denominatore positivo per x in (0, π), si ricava che la funzione è crescente in (0, π/) e decrescente in (π/, π) (si ritrova quindi che x = π/ è di massimo relativo per f). 6) La derivata seconda vale f (x) = sen (x) cos (x) = sen (x) sen (x), cosicché la funzione è concava per ogni x in (0, π).

3 Esercizio 3. Studiare il grafico della funzione (limitandosi alla derivata prima) ( ) x f(x) = arc tg + x. ) La funzione è definita per x, valore per il quale si annulla il denominatore della frazione sotto radice. ) La funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) Essendo l arcotangente positivo per valori positivi dell argomento, la funzione è positiva per ogni x per cui è definita, e si annulla solo per x =. 4) Dal momento che ( x)/(+x) tende ad quando x tende a ±, si ha lim f(x) = lim f(x) = arc tg() = π x + x 4. Quando x tende a (sia da sinistra che da destra), l argomento dell arcotangente diverge positivamente. Pertanto, lim f(x) = lim f(x) = π x ( ) x ( ) +. 5) Derivando (operazione quanto mai dolorosa), si ha f se < x <, x (x) = se x > o se x <. x x Ne segue che la funzione è crescente in (, ) (, + ), e decrescente in (, ). 3 Nota: dal grafico si ricava che f(x) π/4 è una funzione dispari; si poteva dirlo subito?

4 4 Esercizio 4. Studiare il grafico della funzione (limitandosi alla derivata prima) f(x) = ln( x + x ). ) La funzione è definita per x tale che x + x. Risolvendo l equazione x + x = si trova x = e x = (entrambi accettabili), mentre l equazione x + x = non ha soluzioni reali. Pertanto, la funzione è definita per x e x. ) Evidentemente, la funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) La funzione è positiva per gli x tali che x + x >, vale a dire per x < e x >, negativa altrimenti. 4) Dal momento che l argomento del logaritmo diverge se x tende a ±, si ha lim f(x) = lim f(x) = 0. x + x Dallo studio del segno si deduce anche che lim f(x) = + = lim f(x), x ( ) x ( )+ e che lim f(x) = = lim f(x). x ( ) + x ( ) Per la derivata prima si ha 4x + f (x) = ln se ( x x) (x + x) < x < 0, 4x + ln se x > 0 o se x < (x + x) (x + x). Studiandone il segno, si vede che è positiva per x in (, ) (, ) (, 0) e negativa altrimenti. 4

5 Esercizio 5. Studiare il grafico della funzione (limitandosi alla derivata prima) f(x) = x 3 ln( x + ). ) La funzione è definita per ogni valore reale di x. ) Evidentemente, la funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) Lo studio del segno della funzione è abbastanza complicato. Per il momento si può solo dire che la funzione si annulla per x = 0. 4) Dal momento che il logaritmo diverge più lentamente di qualsiasi potenza di x, si ha 5 lim f(x) = +, lim x + f(x) =. x La funzione non ha asintoti obliqui dato che è una retta (x) più un termine divergente all infinito. 5) Per la derivata prima si ha 3 f (x) = x + se x > 0, x + 3 x + se x < 0. x Studiandone il segno, si vede che f è positiva per x in (, 0) (, + ) e negativa altrimenti. Dal momento che f(0) = 0 e che f è positiva in (, 0), segue che f(x) 0 per tali x. Essendo poi f( ) < 0 e f strettamente crescente in (, + ), dal teorema di esistenza degli zeri segue l esistenza di un unico ξ > f(ξ) = 0. tale che

6 6 Esercizio 6. Studiare il grafico della funzione (limitandosi alla derivata prima) ( ) x f(x) = arc tg. + ln(x) ) La funzione è definita per x > 0 e x e. ) Evidentemente, la x funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) Essendo +ln(x) negativo per 0 < x < e e positivo per x > e, la funzione è negativa in (0, e ), positiva in (e, + ). 4) Dal momento che il logaritmo diverge più lentamente di qualsiasi potenza di x, si ha lim f(x) = lim arc tg(y) = π x + y +. Dallo studio del segno si ha anche lim f(x) = π x (e ), lim f(x) = π x (e ) +. 5) Per la derivata prima si ha f (x) = log(x) x + ( + log(x)), x e. Studiandone il segno, si vede che f è positiva per x in (, + ) e negativa in (0, e ) (e, ).

7 Esercizio 7. Studiare il grafico della funzione ( ) f(x) = exp x + x. ) La funzione è definita per ogni valore x 0. ) Evidentemente, la funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) Essendo un esponenziale, la funzione è positiva per ogni valore di x per cui `e definita. 4) Dal momento che l argomento dell esponenziale tende a per x tendente sia a più infinito che a meno infinito, si ha lim f(x) = x + e, lim f(x) = x e. Inoltre, essendo (x + )/x divergente a meno infinito per x tendente a zero (sia da sinistra che da destra), si ha lim f(x) = 0, x 0 cosicché la funzione può essere prolungata per continuità nell origine, definendo f(0) = 0. 5) Per la derivata prima si ha f(x) 4 se x > 0 o x <, f (x) = x f(x) 4 se < x < 0. x Si ha poi f (0) = 0 (come si vede calcolando i limiti destro e sinistro della derivata). Studiando il segno, si vede che f è positiva per x in (, ) (0, + ) e negativa altrimenti. 6) Per la derivata seconda si ha 4( x) f(x) se x > 0 o x <, f (x) = x 4 4( + x) f(x) se < x < 0. x Inoltre, f (0) = 0. Si ha pertanto convessità in (, ) (, ), concavità nell insieme complementare. 7

8 8 Esercizio 8. Studiare il grafico della funzione f(x) = ln(e x 3e x + ) ln(). ) La funzione è definita per ogni valore x non appartenente a [0, log()]. ) Evidentemente, la funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) La funzione è positiva per x > log(3), negativa altrimenti (dove è definita). 4) Si ha, facilmente, lim f(x) = 0, x lim f(x) = +. x Cercando asintoti obliqui, si ha (con de L Hopital, e scrivendo x = log(e x )) f(x) lim x + x =, lim [f(x) x] = log(), x + cosicché la retta y = x log() è un asintoto obliquo per f(x) a più infinito. Inoltre, dallo studio del segno si ha lim f(x) =, lim x (0) f(x) =. x (log()) + 5) Per la derivata prima si ha (per i valori di x per cui f è definita) f (x) = ex 3e x e x 3e x +, che è positiva per x > ln(), negativa per x < 0. 6) Per la derivata seconda si ha f (x) = ex ( 3e x + 8e x 6), (e x 3e x + ) che è sempre negativa (dove è definita).

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