Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x"

Transcript

1 FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x (a) Dire, giustificando la risposta, se esistono valori di α tali che f risulti continua su tutto l asse reale. (b) Dire, giustificando la risposta, se esistono valori di α tali che f risulti derivabile su tutto l asse reale. Esercizio 3 Studiare la funzione f(x) = sin x tan x e disegnarne il grafico. ( ) x 2 Esercizio 4 Si studi la funzione f(x) = log e se ne disegni il grafico. x 1 ( ) sin x Esercizio 5 Studiare la funzione f(x) = log e disegnarne il grafico. 1 + cos x Esercizio 6 Studiare la funzione f(x) = ex x 1 e disegnarne il grafico. Esercizio 7 Studiare la funzione f(x) = x log x 2 e se disegnarne il grafico. Esercizio 8 Studiare la funzione y = f(x) = e 1 x lo studio della derivata seconda. x e disegnarne il grafico. Non si richiede Esercizio 9 Si studi la funzione f(x) = x 2 x 2 + log x e se ne disegni il grafico. Esercizio 10 Studiare la funzione f(x) = x2 2 e x e disegnarne il grafico. Esercizio 11 Studiare la funzione f(x) = e sin x 1+cos x e disegnarne il grafico. Esercizio 12 Si studi la funzione f(x) = x log 1 x e se ne disegni il grafico. Esercizio 13 Si studi la funzione f(x) = x 2 x log x e se ne disegni il grafico. Esercizio 14 Si studi la funzione f(x) = log(2 cos 2 x) e se ne disegni il grafico. Non si richiede lo studio della derivata seconda. 1

2 Esercizio 15 Studiare la funzione f(x) = lo studio della derivata seconda. e x e disegnarne il grafico. Non si richiede x 2 1 SERIE Esercizio 1 Determinare i valori di x che rendono convergente la serie di potenze S = (3x 2) n n Esercizio 2 Dire se è convergente la serie S = Esercizio 3 Dire se è convergente la serie S = Esercizio 4 Studiare la convergenza della serie S = n π n + 2. n n 3 + 2n 2 3. n + 1 3n 2 + n. Esercizio 5 Si consideri la serie S = ( 1) n n + 3. Dire, giustificando la risposta, n 3 + n + 1 se S è convergente e se è assolutamente convergente. e stu- Esercizio 6 Determinare centro e raggio di convergenza della serie diarne la convergenza e la convergenza assoluta. Esercizio 7 Determinare centro e raggio di convergenza della serie diarne la convergenza e la convergenza assoluta. (3x 2) n n 3 2n (3x 1) n n 5 n e stu- Esercizio 8 Data la serie S = assolutamente convergente. ( 1) n n 2, dire se è convergente e se è 3n 4 + 2n Esercizio 9 Determinare i valori di x tali che la serie S = converge assolutamente. (2x 1) n 3 n (n + 1) 2 converge e Esercizio 10 Studiare la convergenza della serie S = 2 n! + n 2 n n + cos n.

3 Esercizio 11 Dire, giustificando la risposta, se è convergente la serie ( 1) n sin 1 n log n. Esercizio 12 Dire, giustificando la risposta, se la serie S e assolutamente convergente. ( 1) n 3 n cos n n convergente Esercizio 13 Si consideri la serie S = convergenza assoluta. (3x + 1) n 4 n (n 2 + 1) e se ne studi la convergenza e la Esercizio 14 Data la serie S = n + 1 ( 1) n, se ne studi la convergenza e la con- 3n 2 + n vergenza assoluta. INTEGRALI Esercizio 1 Determinare l area della regione di piano delimitata dal grafico di y = 1 x ln x e dalle rette y = 1 x e x = 2. Esercizio 2 Si calcoli l area della regione limitata di piano delimitata dall asse delle x, dalla retta x = 2, e dal grafico della funzione (x 1)e x. Esercizio 3 Calcolare, se esiste, 1 0 2x 2 x 2 1 dx. Esercizio 4 Calcolare l integrale indefinito cos x sin 2 x dx Esercizio 5 Calcolare l area della regione di piano delimitata di grafici delle funzioni f(x) = x e g(x) = x 2 x. Esercizio 6 Dire se convergono ed eventualmente calcolare i seguenti integrali impropri. Esercizio 7 Calcolare xe x dx 4x 3 + x 1. 4x Esercizio 8 Calcolare l integrale indefinito 3 0 xe x dx sin x(cos x + 1) sin 2 x + cos 3 x 1 dx

4 Esercizio 9 Determinare l area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = e x (x + 1) e y = x x per 0 x 2. Esercizio 10 Determinare l area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = 2x e x2 +1 e y = ln x per 1 2 x 1. Esercizio 11 Calcolare l area A della regione di piano delimitata dall asse delle x e dal grafico della funzione f(x) = x + 1, per 0 x 1. 4x Esercizio 12 Verificare che la funzione f(x) = cos x log(sin x) è positiva nell intervallo ] π, 3 π[ e calcolare l area della regione di piano delimitata dall asse x, dal grafico di f(x), 2 4 e dalle rette x = π e x = 3π. 2 4 Esercizio 13 (a) Calcolare f(x) dx, dove f(x) = x e x 1. (b) Dire se esiste, ed x 1 eventualmente calcolare, 1 0 f(x) dx. Esercizio 14 Calcolare l area della regione di piano delimitata superiormente dal grafico della funzione f(x) = 10x ed inferiormente dalla retta y = 4. x Esercizio 15 Calcolare l area della regione R limitata di piano contenuta nel primo quadrante e delimitata dai grafici delle funzioni y = e x e y = x 2 e x. Esercizio 16 Calcolare l area della regione di piano definita dalle seguenti disuguaglianze: 0 x 1 x sin x y 1 2 x Esercizio 17 Calcolare l area della regione di piano definita dalle seguenti disuguaglianze: 0 x x y x cos x EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizio 1 Un serbatoio della capacità di 100 lt contiene inizialmente 70 lt d acqua. Una pompa versa nel serbatoio dell acqua con portata di 5 lt/min. L acqua esce dal fondo con portata proporzionale alla quandità contenuta nel serbatoio e coefficiente di proporzionalità (in litri al minuto) uguale a k (> 0). (a) Determinare la quantità d acqua presente nel serbatoio in funzione del tempo (in minuti) e di k. (b) Verificare che per k = 0.04 il serbatoio si riempie e determinare il tempo necessario affinché ciò avvenga. 4

5 Esercizio 2 Calcolare la soluzione dell equazione differenziale y = 3x 2 y 6x 2 che verifica la condizione iniziale y(1) = 1. Esercizio 3 In un allevamento di bestiame gli animali presenti si riproducono con tasso di crescita annuo del 15%. Vengono inoltre introdotti k (> 0) nuovi capi di bestiame ogni anno. Inizialmente l allevamento non contiene animali e tutte le variazioni avvengono con continuità. (a) Determinare il numero di animali presenti nell allevamento in funzione del tempo (e di k). (b) Determinare per quali valori di k l allevamento raggiunge le 1000 unità in meno di 10 anni. Esercizio 4 Si determini la soluzione dell equazione differenziale y (x) = y(x) x che verifica la condizione iniziale y(0) = 1. Esercizio 5 Un serbatoio contiene 100 litri di soluzione di sale in acqua. Inizialmente ogni litro di soluzione contiene 2 g. di sale. Viene immessa nel serbatoio, con portata di 5 litri al minuto una soluzione contenente 10 g. di sale per litro. Con uguale portata la soluzione, mantenuta costantemente omogenea, esce dal serbatoio. (a) Determinare la funzione S(t) che dà la quantità di sale (in grammi) presente nel serbatoio all istante t. (b) Determinare in quanti minuti la quantità di sale presente nel serbatoio raggiunge i 500 g. Esercizio 6 Determinare la soluzione dell equazione differenziale y = 2x (y 2 + 1) che verifica la condizione iniziale y(0) = 0. Esercizio 7 In una vasca della capacità di 200 dm 3 e che inizialmente contiene 100 lt. di acqua, una pompa immette k lt. (k > 0) di acqua al minuto. Da un foro sul fondo l acqua esce con portata proporzionale all acqua contenuta nella vasca e con fattore di proporzionalità 1 (esprimendo la portata in lt./min.). Dire se esistono valori di k tali 20 che la vasca si svuoti. Esercizio 8 Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y = 2xy, che verifica la condizione iniziale y(0) = 2. Esercizio 9 Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale y = 2y + x. Esercizio 10 Determinare l insieme delle soluzioni dell equazione differenziale y = 3x 2 y 6x 2. 5

6 Esercizio 11 In un serbatoio della capacità di 300 litri viene versata dell acqua con portata di k litri al minuto (k > 0). Dal fondo l acqua esce con portata proporzionale alla quantità di acqua presente nel serbatoio e coefficiente di proporzionalità (in litri al minuto) Si supponga che inizialmente il serbatoio sia vuoto. (a) Determinare la quantità d acqua presente nel serbatoio in funzione del tempo t e di k. (b) Determinare i valori di k tali che il serbatoio si riempie e, per tali valori di k, calcolare il tempo richiesto affinché il serbatoio si riempia. Esercizio 12 (A) Data l equazione differenziale ( ) y + 3y 4y = 15e x, determinarne la soluzione generale e la soluzione particolare che verifica le condizioni iniziali y(0) = 1, y (0) = 0. Esercizio 13 Calcolare la soluzione dell equazione differenziale y = 3x 2 y 6x 2 che verifica la condizione iniziale y(1) = 1 ANALITICA x = 3 t Esercizio 1 Si considerino la retta r di equazioni parametriche y = t z = 2t α : x y 2z + 3 = 0. e il piano Verificare che r e α sono perpendicolari e determinare le coordinate del punto P in cui si intersecano. Determinare l equazione della retta s passante per il punto P, contenuta nel piano α, e perpendicolare al vettore 2i j + k. Esercizio 2 Si considerino le rette x = 1 t r 1 : y = t z = 2 + t x = τ r 2 : y = 1 τ z = 3 (a) Verificare che r 1 e r 2 sono incidenti e trovare il loro punto di intersezione P. (b) Determinare il piano α contenente r 1 e r 2. (c) Trovare i punti Q 1 e Q 2 della retta r per P e perpendicolare ad α, aventi distanza 2 da α. Esercizio 3 Si considerino il piano α : x y + 2z 1 = 0 e le rette r 1 : r 2 : x = 2 t y = 1 + t z = t. 6 x = t y = 1 + t z = 1 e

7 (a) Dimostrare che r 1 e r 2 sono contenute in α e trovare il loro punto P di intersezione. (b) Determinare i punti Q 1, Q 1 su r 1, e Q 2, Q 2 su r 2, aventi tutti la stessa distanza da P, tali che l area del quadrilatero Q 1 Q 2 Q 1Q 2 sia uguale a 12. Suggerimento: viste le equazioni parametriche di r 1 e r 2, osservare che Q 1 Q 2 Q 1Q 2 è un quadrilatero particolare. x = 1 + t Esercizio 4 Si considerino il piano α : 3x y + z = 0 e la retta r : y = t, z = 2 + t (a) Dopo aver verificato che α ed r non sono paralleli, determinare il punto P in cui si intersecano. (b) Dati i punti A(1, 2, 1) e B(0, 3, 3) di α, determinare i punti Q di r tali che il parallelepipedo avente come spigoli i segmenti P A, P B, e P Q abbia volume 18. Esercizio 5 (a) Dire, giustificando la risposta, se i punti A( 1, 3, 5), B(1, 1, 1), e C(2, 0, 4) sono allineati. (b) Scrivere le equazioni parametriche della retta r per A, ortogonale al segmento BC, e parallela al piano α : y 2z + 4 = 0. (c) Determinare le equazioni parametriche della retta r proiezione ortogonale di r su α. Esercizio 6 Si considerino le rette x = 2 + t r : y = 1 t z = 2t x = 1 3t s : y = t z = 1 + t (a) Dire, giustificando la risposta, se esiste un piano che contiene r e s e, in caso di risposta affermativa, trovarne l equazione. (b) Dire, giustificando la risposta, se esiste un piano contenente r e parallelo ad s e, in caso di risposta affermativa, trovarne l equazione. (c) Dire, giustificando la risposta, se esiste un piano contenente r e perpendicolare ad s e, in caso di risposta affermativa, trovarne l equazione. Esercizio 7 1) Trovare le equazioni parametriche della retta r intersezione dei piani α : x y + z = 0 e β : 2y x = 0, e l equazione del piano γ perpendicolare a r e passante per l origine. 2) Verificare che la retta s : x = t y = t z = t + 1 non interseca la retta r e determinare la distanza d tra r e s. 3) Trovare i punti P e Q appartenenti rispettivamente a r e a s tali che la lunghezza del segmento P Q risulti uguale a d. 7

8 Esercizio 8 Si considerino il punto P di coordinate (0, 1, 2) e la retta r equazioni parametriche y = t. x = 1 t z = 2 (a) Determinare i punti Q di r tali che il triangolo OP Q abbia area 6; (b) determinare l equazione del piano α passante per O e P e parallelo ad r; (c) determinare la distanza tra α e r. x = 3 + t Esercizio 9 Data la retta r : y = t e il piano α : x + 2y z = 0, determinare i z = 1 + t punti Q 1 e Q 2 di r a distanza 6 da α e l area del triangolo OQ 1 Q 2. Dire, giustificando la risposta, se la retta s passante per l origine e perpendicolare al triangolo OQ 1 Q 2 è contenuta in α. SISTEMI LINEARI - ALGEBRA LINEARE x y + z = 0 Esercizio 1 Discutere l insieme delle soluzioni del sistema lineare y + λz = 0 x λy z = 0 variare di λ in R. x y = λ Esercizio 2 Discutere l insieme delle soluzioni del sistema lineare x + λy = 1 λx + y = λ + 1 variare di λ nell insieme dei numeri reali Esercizio 3 Determinare autovalori e autovettori della matrice A = Dire se A è diagonalizzabile e in caso di risposta positiva determinare una base di R 3 formata da autovettori di A. Esercizio 4 Si consideri la matrice A = (a) Calcolare gli autovalori e gli autovettori di A; (b) determinare una base ortonormale u 1, u 2, u 3 di R 3 formata da autovettori di A; (c) sarebbe stato possibile stabilire l esistenza della base u 1, u 2, u 3 senza determinarla e- splicitamente? Perché? Esercizio 5 Determinare autovalori e autovettori della matrice A = Dire se A è diagonalizzabile e in caso di risposta positiva determinare una base di R 3 formata da autovettori di A. 8. al al

9 (λ + 4)x + 3y = 3 Esercizio 6 Dato il sistema lineare 4x + λy = 4 2x + y = 1 parametro λ ha soluzioni e determinarle. Esercizio 7 Dato il sistema x + y = λ 2 x λy = 0 x + λy = 2λ, stabilire per quali valori del, discuterne l insieme delle soluzioni al variare di λ in R. α β 1 Esercizio 8 Dati i vettori u 1 = 1, u 2 = 0 e u 3 = γ, determinare i valori 0 2 γ di α, β e γ affinché essi costituiscano un a base ortogonale di R 3. Esercizio 9 Dire se esistono, e in tal caso determinare, i valori dei parametri λ e µ tali 1 λ µ che i vettori λ, 2 e 1 risultino: µ 1 0 (i) linearmente dipendenti; (ii) a due a due ortogonali; (iii) paralleli. Esercizio 10 Data la matrice , determinarne gli autovalori e gli autovettori. Dire in particolare se esiste una base di R 3 formata da autovettori della matrice. Esercizio 11 Si discuta al variare del parametro reale a, il seguente sistema nelle indeterminate x, y, z: Σ = 2x y z = 2a. 4x 2y + (a 2 3)z = 2 2a x 2y + a 2 z = 1 Trovare le soluzioni, quando esistano. Si dica per quali valori del parametro reale a il sistema Σ definisce una retta. Esercizio 12 Data la matrice A a = a 1 + a si dica per quali valori di a la matrice A a ha il numero reale 0 come autovalore; 2. si calcoli una matrice ortogonale Q di ordine 3 tale che Q 1 A 0 Q = D(matrice diagonale). 9

10 Esercizio 13 Data la matrice A a = a 9a stabilire per quali valori di a la matrice A a è diagonalizzabile; 2. si trovi, se esiste una matrice H di ordine 3 tale che H 1 A 1 H = D (matrice diagonale); 3. si trovi, se esiste una matrice ortogonale K di ordine 3 tale che K 1 A 1 K = D (matrice diagonale). MASSIMI E MINIMI PER FUNZIONI DI DUE VARIABILI Esercizio 1 Determinare massimo e minimo assoluti della funzione f(x, y) = x + e x2 +y 2 nel quadrato di vertici O, A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1). Esercizio 2 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y 2 2x 4 + y 4 (a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di sella del grafico di f. (b) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di f nella regione di piano D, contenuta nel primo quadrante e nel cerchio di centro l origine e raggio 1. Esercizio 3 Si consideri la funzione f(x, y) = x y + y. (a) Determinare eventuali punti di massimo o minimo relativi e punti di sella di f. (b) Dopo aver verificato che tutti i punti del triangolo di vertici A(0, 1), B(1, 1), C(0, 2) appartengono al campo di esistenza di f, determinare i punti di massimo e minimo assoluto di f nel triangolo ABC. Esercizio 4 Determinare massimo e minimo assoluti della funzione f(x, y) = 2y 2 x(x 1) 2 nel rettangolo di vertici O(0, 0), A(0, 1), B(2, 1), C(2, 0). Esercizio 5 Si consideri la funzione f(x, y) = e xy x. (a) Determinare eventuali punti di massimo o minimo relativo e punti di sella. (b) Determinare massimo e minimo assoluto di f nel quadrato di vertici A( 1, 0), B(1, 0), C(1, 2), D( 1, 2). Esercizio 6 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y 2 + x. (a) Determinare eventuali punti di massimo o minimo relativo e punti di sella. (b) Determinare massimo e minimo assoluto di f nel cerchio con centro nell origine e raggio 1. 10

11 Esercizio 7 Data la funzione f(x, y) = (x 3 1)(y 2 4), se ne determinino i punti di massimo e minimo relativo e punti di sella. Esercizio 8 Data la funzione f(x, y) = xe xy e xy, se ne determinino i punti di massimo e minimo assoluto nel quadrato Q di vertici A( 1, 0), B(1, 0), C(1, 2), D( 1, 2). Esercizio 9 Si consideri la funzione f(x, y) = e xy 2y. (a) Determinare eventuali punti di massimo o minimo relativo e punti di sella. (b) Determinare massimo e minimo assoluto di f nel rettangolo di vertici A( 1, 0), B(1, 0), C(1, 3), D( 1, 3). Esercizio 10 Determinare massimo e minimo assoluti della funzione f(x, y) = x+e x2 +y 2 nel quadrato di vertici O, A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1). Esercizio 11 Determinare i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f(x, y) = 2x 3 log(x+y +1) nel triangolo di vertici l origine ed i punti A(2, 0) e B(2, 2). Verificare preliminarmente che f(x, y) è definita in tutti i punti del triangolo OAB. Esercizio 12 Data la funzione f : R 2 R così definita: f(x, y) = (2x 2 y 2 )e x+y, determinarne i punti critici e studiarne la natura. 11

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski 10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, siano dati il piano e i punti P = (, 2, ), Q = (2,, ). π : x + 2y 3

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Rette e piani con le matrici e i determinanti

Rette e piani con le matrici e i determinanti CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO CONVEGNO MATHESIS Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 Perché Assenza di ogni riferimento alla geometria analitica dello spazio nel quadri di Mondrian La

Dettagli

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura Cognome Nome Matricola ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura (Primo appello/ii prova parziale 15/6/15 - Chiarellotto-Urbinati) Per la II prova: solo esercizi

Dettagli

Corso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010

Corso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010 Appello 15/12/2010 Svolgere i seguenti esercizi: 1) Calcolare entrambi i limiti: a) lim(1 x) 1 e x 1 ; x 0 x log 2 x b) lim x 1 1 cos(x 1). 2) Data la funzione: f(x) = x log x determinarne dominio, eventuali

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 6/7 SIMULAZIONE DI II PROVA - A Tempo a disposizione: cinque ore E consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito uscire dall aula

Dettagli

Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari

Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

Elenco Ordinato per Materia Chimica

Elenco Ordinato per Materia Chimica ( [B,25404] Perché le ossa degli uccelli sono pneumatiche, cioè ripiene di aria? C (A) per consentire i movimenti angolari (B) per immagazzinare come riserva di ossigeno X(C) per essere più leggere onde

Dettagli

Integrali doppi - Esercizi svolti

Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:... xy dx dy, con (x, y R x, y x x }; x + y

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3 Università degli Studi di Napoli Federico II Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica II (Gruppo ), A.A. 22/3 Prova scritta del 28 gennaio 23 Durata della prova: 3h. sercizio (8 punti). Si consideri

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 1 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 1 1 Funzioni di più variabili Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 Definizione 1.1 Dati D R 2 e f : D R, l insieme

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Processo di rendering

Processo di rendering Processo di rendering Trasformazioni di vista Trasformazioni di vista Il processo di visione in tre dimensioni Le trasformazioni di proiezione 2 Rendering nello spazio 2D Il processo di rendering (visualizzazione)

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte

Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte Politecnico di Torino Facoltà di Architettura Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte relativi a: algebra lineare, vettori e geometria analitica Esercizio. Determinare, al variare del parametro

Dettagli

Indirizzo Fisico Informatico Matematico matematica per le classi 47A, 48A, 49A

Indirizzo Fisico Informatico Matematico matematica per le classi 47A, 48A, 49A Indirizzo Fisico Informatico Matematico matematica per le classi 47A, 48A, 49A 1. L'intersezione di tre insiemi contiene 1 solo elemento (cioè esiste un unico elemento comune a tutti e tre gli insiemi).

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Definizione DEFINIZIONE

Definizione DEFINIZIONE Definizione Funzione reale di due variabili reali Indichiamo con R 2 l insieme di tutti i vettori bidimensionali. Dato un sottoinsiemed R 2, una funzione f: D R è una legge che assegna a ogni punto (x,

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

TEMA 1. 1. Della seguente matrice, calcolare i complementi algebrici e il determinante: a + b 1 a 2 S = a + b + 3 a + 2b. x = t. f = x 2 + 2xy 3y 2,

TEMA 1. 1. Della seguente matrice, calcolare i complementi algebrici e il determinante: a + b 1 a 2 S = a + b + 3 a + 2b. x = t. f = x 2 + 2xy 3y 2, Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 17 marzo 008 TEMA 1 1 1 A = 1 0 1. 3 0 1. Stabilire se il seguente sottoinsieme di M(, R): {( ) a + b 1 a S = a, b R}, a + b + 3 a + b è un sottospazio di M(, R).

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

I appello - 26 Gennaio 2007

I appello - 26 Gennaio 2007 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 I appello - 6 Gennaio 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio)

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

PROVA DI AMMISIONE AI CORSI DI LAUREA DI SCIENZE (10 SETTEMBRE 2013)

PROVA DI AMMISIONE AI CORSI DI LAUREA DI SCIENZE (10 SETTEMBRE 2013) PROVA DI AMMISIONE AI CORSI DI LAUREA DI SCIENZE (10 SETTEMBRE 2013) Linguaggio matematico di base 1. Qual è l area del triangolo avente i vertici nei punti di coordinate (0,2), (4,0) e (7,6)? A 10 B 30

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1

MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1 MOMENTI DI INEZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quantità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Dato un sistema

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE. Corsi di Laurea in Ingegneria. Luciano BATTAIA, Pier Carlo CRAIGHERO MATEMATICA DI BASE

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE. Corsi di Laurea in Ingegneria. Luciano BATTAIA, Pier Carlo CRAIGHERO MATEMATICA DI BASE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE Corsi di Laurea in Ingegneria Luciano BATTAIA, Pier Carlo CRAIGHERO MATEMATICA DI BASE Testi dei temi d esame ed esercizi proposti con soluzione breve Versione del 1 settembre

Dettagli

Lezione 6 (16/10/2014)

Lezione 6 (16/10/2014) Lezione 6 (16/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. La funzione f : R R data da f(x) = 10x 5 x è crescente? Perché? Soluzione Se f fosse crescente avrebbe derivata prima (strettamente) positiva.

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 Sessione straordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 004 Sessione straordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un piano

Dettagli

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d. 1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità

Dettagli

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base.

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base. DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 18/7/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

Esame di Stato - Matematica (1998-2008)

Esame di Stato - Matematica (1998-2008) Esame di Stato - Matematica (1998-2008) 17 settembre 2008 2 1. (Sessione Ordinaria, 1998) - Corso di Ordinamento (a) In un piano, riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, sono assegnate

Dettagli

INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA

INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA Una Geometria non può essere più vera di un altra; può essere solamente più comoda. Ora la Geometria Euclidea è e resterà più comoda H. Poincaré

Dettagli

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari Lezione del 8--006 Teoria dei vettori ordinari. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. ) Determinare le coordinate dei vettori v V 3 complanari a v =,, 0) e v =, 0, ), aventi lunghezza

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT 1 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEM 1 Si consideri la funzione reale

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2008 PRVA SPERIMENTALE P.N.I. 8 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 8 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

GEOMETRIA Nome... COGNOME...

GEOMETRIA Nome... COGNOME... GEOMETRIA Nome... COGNOME... 17 Gennaio 217 Ingegneria... Matricola... In caso di esito sufficiente, desidero sostenere la prova orale: [ ] in questo appello (con inizio oggi alle ore 15: in aula Magna

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

Capitolo 16 Esercizi sugli integrali doppi

Capitolo 16 Esercizi sugli integrali doppi Capitolo 6 sercizi sugli integrali doppi Brevi richiami di teoria Sia f : [a, b] [c, d] B IR una funzione limitata e non negativa, definita sul rettangolo R = [a, b] [c, d]. Dividiamo l intervallo [a,

Dettagli

Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano

Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano Francesco Biccari 18 marzo 2013 Una trasformazione geometrica del piano è una legge (corrispondenza biunivoca) che consente di associare a un determinato

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Proiezioni Grafica 3d

Proiezioni Grafica 3d Proiezioni Grafica 3d Giancarlo RINALDO rinaldo@dipmat.unime.it Dipartimento di Matematica Università di Messina ProiezioniGrafica 3d p. 1 Introduzione Il processo di visualizzazione in 3D è intrinsecamente

Dettagli

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara Esercizi di Algebra Lineare Claretta Carrara Indice Capitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple 1 1. Soluzioni 3 Capitolo. Rette e piani 15 1. Suggerimenti 19. Soluzioni 1 Capitolo 3. Gruppi, spazi e

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

4. Proiezioni del piano e dello spazio

4. Proiezioni del piano e dello spazio 4. Proiezioni del piano e dello spazio La visualizzazione di oggetti tridimensionali richiede di ottenere una vista piana dell'oggetto. Questo avviene mediante una sequenza di operazioni. Innanzitutto,

Dettagli

Facoltà di Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell'informazione anno accademico 2014/15 Registro lezioni del docente SPORTELLI LUIGI

Facoltà di Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell'informazione anno accademico 2014/15 Registro lezioni del docente SPORTELLI LUIGI Facoltà di Dipartimento di Ingegneria Elettrica e dell'informazione anno accademico 2014/15 Registro lezioni del docente SPORTELLI LUIGI Attività didattica ANALISI MATEMATICA [2000] Periodo di svolgimento:

Dettagli

Matematica e Statistica I Anno Accademico 2009-2010 Foglio di esercizi settimana 2

Matematica e Statistica I Anno Accademico 2009-2010 Foglio di esercizi settimana 2 Matematica e Statistica I Anno Accademico 9- Foglio di esercizi settimana Funzioni di variabile reale: modelli, grafici, composizione, invertibilità; relazioni lineari. ESERCIZIO. In una città sono stati

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

Indice. 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo... 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità...

Indice. 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo... 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità... Indice 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo............................. 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità.............. 5 i Capitolo 1 Introduzione

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1.

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 2011. Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti scelti nel questionario 1. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ODINAMENTO 11 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 1 quesiti scelti nel questionario 1. PROBLEMA 1 Si considerino le funzioni f e g definite, per

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

UNIONE MATEMATICA ITALIANA. C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica

UNIONE MATEMATICA ITALIANA. C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica UNIONE MATEMATICA ITALIANA C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica ESEMPI DI TERZE PROVE per il NUOVO ESAME DI STATO LA COMPONENTE MATEMATICA ISTITUTO MAGISTRALE Tipologia

Dettagli

Test di Matematica di base

Test di Matematica di base Test di Matematica di base Geometria Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangolo equilatero di eguale lato è a. 4 b. 4 d. [ ] Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione

Dettagli

CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12. Disciplina : MATEMATICA. Docente Prof.ssa Paola Perego

CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12. Disciplina : MATEMATICA. Docente Prof.ssa Paola Perego CONVITTO NAZIONALE MARIA LUIGIA di Parma CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12 Disciplina : MATEMATICA Docente Prof.ssa Paola Perego COMPETENZE CONOSCENZE Funzione esponenziale e logaritmica

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

Calcolo integrale in più variabili

Calcolo integrale in più variabili ppunti di nalisi II Calcolo integrale in più variabili Integrali doppi Nel caso di una funzione di una variabile f : a, b] R, supponendo f continua e fx) a, b], la quantità b a fx)dx indica l area fra

Dettagli

Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa

Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa Appunti delle esercitazioni di Ricerca Operativa a cura di P. Detti e G. Ciaschetti 1 Esercizi sulle condizioni di ottimalità per problemi di ottimizzazione non vincolata Esempio 1 Sia data la funzione

Dettagli

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L.

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L. Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L AA 2006/2007 1 Foglio 1 In tutti gli esercizi che seguiranno lo spazio ambiente sarà il piano cartesiano a valori nel campo dei numeri reali, dove supporremo

Dettagli

Funzioni a 2 variabili

Funzioni a 2 variabili Funzioni a 2 variabili z = f(x, y) Relazione che associa ad ogni coppia di valori x,y (variabili indipendenti) uno ed un solo valore di z (variabile dipendente). Esempi: z = x 2y + 4 z = x 2 y 2 2x z =

Dettagli

Laboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell Architettura

Laboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell Architettura Laboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell Architettura Seconda Università di Napoli Facoltà di Architettura Corso di Laurea in Architettura Laboratorio di Rappresentazione e Modellazione dell

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

Autovalori e Autovettori

Autovalori e Autovettori Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A. 2008-2009 Autovalori e Autovettori Definizione Siano A C nxn, λ C, e x C n, x 0, tali che Ax = λx. (1) Allora

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

Funzioni periodiche. Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che

Funzioni periodiche. Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che Funzioni periodiche Una funzione si dice periodica di periodo T se T > 0 è il più piccolo numero reale positivo tale che -T T In ogni intervallo di ampiezza pari a T il grafico di tale funzione si ripete.

Dettagli

Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab

Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab Documentazione esterna al software matematico sviluppato con MatLab Algoritmi Metodo di Gauss-Seidel con sovrarilassamento Metodo delle Secanti Metodo di Newton Studente Amelio Francesco 556/00699 Anno

Dettagli