Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: e x. per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x"

Transcript

1 FUNZIONI Esercizio 1 Studiare la funzione f(x) = ln ( ) x e disegnarne il grafico. x 1 Esercizio 2 Si consideri la funzione f definita dalle seguenti condizioni: { e x per x 1 f(x) = α x + e 1 per 1 < x (a) Dire, giustificando la risposta, se esistono valori di α tali che f risulti continua su tutto l asse reale. (b) Dire, giustificando la risposta, se esistono valori di α tali che f risulti derivabile su tutto l asse reale. Esercizio 3 Studiare la funzione f(x) = sin x tan x e disegnarne il grafico. ( ) x 2 Esercizio 4 Si studi la funzione f(x) = log e se ne disegni il grafico. x 1 ( ) sin x Esercizio 5 Studiare la funzione f(x) = log e disegnarne il grafico. 1 + cos x Esercizio 6 Studiare la funzione f(x) = ex x 1 e disegnarne il grafico. Esercizio 7 Studiare la funzione f(x) = x log x 2 e se disegnarne il grafico. Esercizio 8 Studiare la funzione y = f(x) = e 1 x lo studio della derivata seconda. x e disegnarne il grafico. Non si richiede Esercizio 9 Si studi la funzione f(x) = x 2 x 2 + log x e se ne disegni il grafico. Esercizio 10 Studiare la funzione f(x) = x2 2 e x e disegnarne il grafico. Esercizio 11 Studiare la funzione f(x) = e sin x 1+cos x e disegnarne il grafico. Esercizio 12 Si studi la funzione f(x) = x log 1 x e se ne disegni il grafico. Esercizio 13 Si studi la funzione f(x) = x 2 x log x e se ne disegni il grafico. Esercizio 14 Si studi la funzione f(x) = log(2 cos 2 x) e se ne disegni il grafico. Non si richiede lo studio della derivata seconda. 1

2 Esercizio 15 Studiare la funzione f(x) = lo studio della derivata seconda. e x e disegnarne il grafico. Non si richiede x 2 1 SERIE Esercizio 1 Determinare i valori di x che rendono convergente la serie di potenze S = (3x 2) n n Esercizio 2 Dire se è convergente la serie S = Esercizio 3 Dire se è convergente la serie S = Esercizio 4 Studiare la convergenza della serie S = n π n + 2. n n 3 + 2n 2 3. n + 1 3n 2 + n. Esercizio 5 Si consideri la serie S = ( 1) n n + 3. Dire, giustificando la risposta, n 3 + n + 1 se S è convergente e se è assolutamente convergente. e stu- Esercizio 6 Determinare centro e raggio di convergenza della serie diarne la convergenza e la convergenza assoluta. Esercizio 7 Determinare centro e raggio di convergenza della serie diarne la convergenza e la convergenza assoluta. (3x 2) n n 3 2n (3x 1) n n 5 n e stu- Esercizio 8 Data la serie S = assolutamente convergente. ( 1) n n 2, dire se è convergente e se è 3n 4 + 2n Esercizio 9 Determinare i valori di x tali che la serie S = converge assolutamente. (2x 1) n 3 n (n + 1) 2 converge e Esercizio 10 Studiare la convergenza della serie S = 2 n! + n 2 n n + cos n.

3 Esercizio 11 Dire, giustificando la risposta, se è convergente la serie ( 1) n sin 1 n log n. Esercizio 12 Dire, giustificando la risposta, se la serie S e assolutamente convergente. ( 1) n 3 n cos n n convergente Esercizio 13 Si consideri la serie S = convergenza assoluta. (3x + 1) n 4 n (n 2 + 1) e se ne studi la convergenza e la Esercizio 14 Data la serie S = n + 1 ( 1) n, se ne studi la convergenza e la con- 3n 2 + n vergenza assoluta. INTEGRALI Esercizio 1 Determinare l area della regione di piano delimitata dal grafico di y = 1 x ln x e dalle rette y = 1 x e x = 2. Esercizio 2 Si calcoli l area della regione limitata di piano delimitata dall asse delle x, dalla retta x = 2, e dal grafico della funzione (x 1)e x. Esercizio 3 Calcolare, se esiste, 1 0 2x 2 x 2 1 dx. Esercizio 4 Calcolare l integrale indefinito cos x sin 2 x dx Esercizio 5 Calcolare l area della regione di piano delimitata di grafici delle funzioni f(x) = x e g(x) = x 2 x. Esercizio 6 Dire se convergono ed eventualmente calcolare i seguenti integrali impropri. Esercizio 7 Calcolare xe x dx 4x 3 + x 1. 4x Esercizio 8 Calcolare l integrale indefinito 3 0 xe x dx sin x(cos x + 1) sin 2 x + cos 3 x 1 dx

4 Esercizio 9 Determinare l area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = e x (x + 1) e y = x x per 0 x 2. Esercizio 10 Determinare l area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = 2x e x2 +1 e y = ln x per 1 2 x 1. Esercizio 11 Calcolare l area A della regione di piano delimitata dall asse delle x e dal grafico della funzione f(x) = x + 1, per 0 x 1. 4x Esercizio 12 Verificare che la funzione f(x) = cos x log(sin x) è positiva nell intervallo ] π, 3 π[ e calcolare l area della regione di piano delimitata dall asse x, dal grafico di f(x), 2 4 e dalle rette x = π e x = 3π. 2 4 Esercizio 13 (a) Calcolare f(x) dx, dove f(x) = x e x 1. (b) Dire se esiste, ed x 1 eventualmente calcolare, 1 0 f(x) dx. Esercizio 14 Calcolare l area della regione di piano delimitata superiormente dal grafico della funzione f(x) = 10x ed inferiormente dalla retta y = 4. x Esercizio 15 Calcolare l area della regione R limitata di piano contenuta nel primo quadrante e delimitata dai grafici delle funzioni y = e x e y = x 2 e x. Esercizio 16 Calcolare l area della regione di piano definita dalle seguenti disuguaglianze: 0 x 1 x sin x y 1 2 x Esercizio 17 Calcolare l area della regione di piano definita dalle seguenti disuguaglianze: 0 x x y x cos x EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizio 1 Un serbatoio della capacità di 100 lt contiene inizialmente 70 lt d acqua. Una pompa versa nel serbatoio dell acqua con portata di 5 lt/min. L acqua esce dal fondo con portata proporzionale alla quandità contenuta nel serbatoio e coefficiente di proporzionalità (in litri al minuto) uguale a k (> 0). (a) Determinare la quantità d acqua presente nel serbatoio in funzione del tempo (in minuti) e di k. (b) Verificare che per k = 0.04 il serbatoio si riempie e determinare il tempo necessario affinché ciò avvenga. 4

5 Esercizio 2 Calcolare la soluzione dell equazione differenziale y = 3x 2 y 6x 2 che verifica la condizione iniziale y(1) = 1. Esercizio 3 In un allevamento di bestiame gli animali presenti si riproducono con tasso di crescita annuo del 15%. Vengono inoltre introdotti k (> 0) nuovi capi di bestiame ogni anno. Inizialmente l allevamento non contiene animali e tutte le variazioni avvengono con continuità. (a) Determinare il numero di animali presenti nell allevamento in funzione del tempo (e di k). (b) Determinare per quali valori di k l allevamento raggiunge le 1000 unità in meno di 10 anni. Esercizio 4 Si determini la soluzione dell equazione differenziale y (x) = y(x) x che verifica la condizione iniziale y(0) = 1. Esercizio 5 Un serbatoio contiene 100 litri di soluzione di sale in acqua. Inizialmente ogni litro di soluzione contiene 2 g. di sale. Viene immessa nel serbatoio, con portata di 5 litri al minuto una soluzione contenente 10 g. di sale per litro. Con uguale portata la soluzione, mantenuta costantemente omogenea, esce dal serbatoio. (a) Determinare la funzione S(t) che dà la quantità di sale (in grammi) presente nel serbatoio all istante t. (b) Determinare in quanti minuti la quantità di sale presente nel serbatoio raggiunge i 500 g. Esercizio 6 Determinare la soluzione dell equazione differenziale y = 2x (y 2 + 1) che verifica la condizione iniziale y(0) = 0. Esercizio 7 In una vasca della capacità di 200 dm 3 e che inizialmente contiene 100 lt. di acqua, una pompa immette k lt. (k > 0) di acqua al minuto. Da un foro sul fondo l acqua esce con portata proporzionale all acqua contenuta nella vasca e con fattore di proporzionalità 1 (esprimendo la portata in lt./min.). Dire se esistono valori di k tali 20 che la vasca si svuoti. Esercizio 8 Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y = 2xy, che verifica la condizione iniziale y(0) = 2. Esercizio 9 Determinare la soluzione generale dell equazione differenziale y = 2y + x. Esercizio 10 Determinare l insieme delle soluzioni dell equazione differenziale y = 3x 2 y 6x 2. 5

6 Esercizio 11 In un serbatoio della capacità di 300 litri viene versata dell acqua con portata di k litri al minuto (k > 0). Dal fondo l acqua esce con portata proporzionale alla quantità di acqua presente nel serbatoio e coefficiente di proporzionalità (in litri al minuto) Si supponga che inizialmente il serbatoio sia vuoto. (a) Determinare la quantità d acqua presente nel serbatoio in funzione del tempo t e di k. (b) Determinare i valori di k tali che il serbatoio si riempie e, per tali valori di k, calcolare il tempo richiesto affinché il serbatoio si riempia. Esercizio 12 (A) Data l equazione differenziale ( ) y + 3y 4y = 15e x, determinarne la soluzione generale e la soluzione particolare che verifica le condizioni iniziali y(0) = 1, y (0) = 0. Esercizio 13 Calcolare la soluzione dell equazione differenziale y = 3x 2 y 6x 2 che verifica la condizione iniziale y(1) = 1 ANALITICA x = 3 t Esercizio 1 Si considerino la retta r di equazioni parametriche y = t z = 2t α : x y 2z + 3 = 0. e il piano Verificare che r e α sono perpendicolari e determinare le coordinate del punto P in cui si intersecano. Determinare l equazione della retta s passante per il punto P, contenuta nel piano α, e perpendicolare al vettore 2i j + k. Esercizio 2 Si considerino le rette x = 1 t r 1 : y = t z = 2 + t x = τ r 2 : y = 1 τ z = 3 (a) Verificare che r 1 e r 2 sono incidenti e trovare il loro punto di intersezione P. (b) Determinare il piano α contenente r 1 e r 2. (c) Trovare i punti Q 1 e Q 2 della retta r per P e perpendicolare ad α, aventi distanza 2 da α. Esercizio 3 Si considerino il piano α : x y + 2z 1 = 0 e le rette r 1 : r 2 : x = 2 t y = 1 + t z = t. 6 x = t y = 1 + t z = 1 e

7 (a) Dimostrare che r 1 e r 2 sono contenute in α e trovare il loro punto P di intersezione. (b) Determinare i punti Q 1, Q 1 su r 1, e Q 2, Q 2 su r 2, aventi tutti la stessa distanza da P, tali che l area del quadrilatero Q 1 Q 2 Q 1Q 2 sia uguale a 12. Suggerimento: viste le equazioni parametriche di r 1 e r 2, osservare che Q 1 Q 2 Q 1Q 2 è un quadrilatero particolare. x = 1 + t Esercizio 4 Si considerino il piano α : 3x y + z = 0 e la retta r : y = t, z = 2 + t (a) Dopo aver verificato che α ed r non sono paralleli, determinare il punto P in cui si intersecano. (b) Dati i punti A(1, 2, 1) e B(0, 3, 3) di α, determinare i punti Q di r tali che il parallelepipedo avente come spigoli i segmenti P A, P B, e P Q abbia volume 18. Esercizio 5 (a) Dire, giustificando la risposta, se i punti A( 1, 3, 5), B(1, 1, 1), e C(2, 0, 4) sono allineati. (b) Scrivere le equazioni parametriche della retta r per A, ortogonale al segmento BC, e parallela al piano α : y 2z + 4 = 0. (c) Determinare le equazioni parametriche della retta r proiezione ortogonale di r su α. Esercizio 6 Si considerino le rette x = 2 + t r : y = 1 t z = 2t x = 1 3t s : y = t z = 1 + t (a) Dire, giustificando la risposta, se esiste un piano che contiene r e s e, in caso di risposta affermativa, trovarne l equazione. (b) Dire, giustificando la risposta, se esiste un piano contenente r e parallelo ad s e, in caso di risposta affermativa, trovarne l equazione. (c) Dire, giustificando la risposta, se esiste un piano contenente r e perpendicolare ad s e, in caso di risposta affermativa, trovarne l equazione. Esercizio 7 1) Trovare le equazioni parametriche della retta r intersezione dei piani α : x y + z = 0 e β : 2y x = 0, e l equazione del piano γ perpendicolare a r e passante per l origine. 2) Verificare che la retta s : x = t y = t z = t + 1 non interseca la retta r e determinare la distanza d tra r e s. 3) Trovare i punti P e Q appartenenti rispettivamente a r e a s tali che la lunghezza del segmento P Q risulti uguale a d. 7

8 Esercizio 8 Si considerino il punto P di coordinate (0, 1, 2) e la retta r equazioni parametriche y = t. x = 1 t z = 2 (a) Determinare i punti Q di r tali che il triangolo OP Q abbia area 6; (b) determinare l equazione del piano α passante per O e P e parallelo ad r; (c) determinare la distanza tra α e r. x = 3 + t Esercizio 9 Data la retta r : y = t e il piano α : x + 2y z = 0, determinare i z = 1 + t punti Q 1 e Q 2 di r a distanza 6 da α e l area del triangolo OQ 1 Q 2. Dire, giustificando la risposta, se la retta s passante per l origine e perpendicolare al triangolo OQ 1 Q 2 è contenuta in α. SISTEMI LINEARI - ALGEBRA LINEARE x y + z = 0 Esercizio 1 Discutere l insieme delle soluzioni del sistema lineare y + λz = 0 x λy z = 0 variare di λ in R. x y = λ Esercizio 2 Discutere l insieme delle soluzioni del sistema lineare x + λy = 1 λx + y = λ + 1 variare di λ nell insieme dei numeri reali Esercizio 3 Determinare autovalori e autovettori della matrice A = Dire se A è diagonalizzabile e in caso di risposta positiva determinare una base di R 3 formata da autovettori di A. Esercizio 4 Si consideri la matrice A = (a) Calcolare gli autovalori e gli autovettori di A; (b) determinare una base ortonormale u 1, u 2, u 3 di R 3 formata da autovettori di A; (c) sarebbe stato possibile stabilire l esistenza della base u 1, u 2, u 3 senza determinarla e- splicitamente? Perché? Esercizio 5 Determinare autovalori e autovettori della matrice A = Dire se A è diagonalizzabile e in caso di risposta positiva determinare una base di R 3 formata da autovettori di A. 8. al al

9 (λ + 4)x + 3y = 3 Esercizio 6 Dato il sistema lineare 4x + λy = 4 2x + y = 1 parametro λ ha soluzioni e determinarle. Esercizio 7 Dato il sistema x + y = λ 2 x λy = 0 x + λy = 2λ, stabilire per quali valori del, discuterne l insieme delle soluzioni al variare di λ in R. α β 1 Esercizio 8 Dati i vettori u 1 = 1, u 2 = 0 e u 3 = γ, determinare i valori 0 2 γ di α, β e γ affinché essi costituiscano un a base ortogonale di R 3. Esercizio 9 Dire se esistono, e in tal caso determinare, i valori dei parametri λ e µ tali 1 λ µ che i vettori λ, 2 e 1 risultino: µ 1 0 (i) linearmente dipendenti; (ii) a due a due ortogonali; (iii) paralleli. Esercizio 10 Data la matrice , determinarne gli autovalori e gli autovettori. Dire in particolare se esiste una base di R 3 formata da autovettori della matrice. Esercizio 11 Si discuta al variare del parametro reale a, il seguente sistema nelle indeterminate x, y, z: Σ = 2x y z = 2a. 4x 2y + (a 2 3)z = 2 2a x 2y + a 2 z = 1 Trovare le soluzioni, quando esistano. Si dica per quali valori del parametro reale a il sistema Σ definisce una retta. Esercizio 12 Data la matrice A a = a 1 + a si dica per quali valori di a la matrice A a ha il numero reale 0 come autovalore; 2. si calcoli una matrice ortogonale Q di ordine 3 tale che Q 1 A 0 Q = D(matrice diagonale). 9

10 Esercizio 13 Data la matrice A a = a 9a stabilire per quali valori di a la matrice A a è diagonalizzabile; 2. si trovi, se esiste una matrice H di ordine 3 tale che H 1 A 1 H = D (matrice diagonale); 3. si trovi, se esiste una matrice ortogonale K di ordine 3 tale che K 1 A 1 K = D (matrice diagonale). MASSIMI E MINIMI PER FUNZIONI DI DUE VARIABILI Esercizio 1 Determinare massimo e minimo assoluti della funzione f(x, y) = x + e x2 +y 2 nel quadrato di vertici O, A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1). Esercizio 2 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y 2 2x 4 + y 4 (a) Determinare i punti di massimo e minimo relativo e di sella del grafico di f. (b) Determinare i punti di massimo e minimo assoluto di f nella regione di piano D, contenuta nel primo quadrante e nel cerchio di centro l origine e raggio 1. Esercizio 3 Si consideri la funzione f(x, y) = x y + y. (a) Determinare eventuali punti di massimo o minimo relativi e punti di sella di f. (b) Dopo aver verificato che tutti i punti del triangolo di vertici A(0, 1), B(1, 1), C(0, 2) appartengono al campo di esistenza di f, determinare i punti di massimo e minimo assoluto di f nel triangolo ABC. Esercizio 4 Determinare massimo e minimo assoluti della funzione f(x, y) = 2y 2 x(x 1) 2 nel rettangolo di vertici O(0, 0), A(0, 1), B(2, 1), C(2, 0). Esercizio 5 Si consideri la funzione f(x, y) = e xy x. (a) Determinare eventuali punti di massimo o minimo relativo e punti di sella. (b) Determinare massimo e minimo assoluto di f nel quadrato di vertici A( 1, 0), B(1, 0), C(1, 2), D( 1, 2). Esercizio 6 Si consideri la funzione f(x, y) = x 2 y 2 + x. (a) Determinare eventuali punti di massimo o minimo relativo e punti di sella. (b) Determinare massimo e minimo assoluto di f nel cerchio con centro nell origine e raggio 1. 10

11 Esercizio 7 Data la funzione f(x, y) = (x 3 1)(y 2 4), se ne determinino i punti di massimo e minimo relativo e punti di sella. Esercizio 8 Data la funzione f(x, y) = xe xy e xy, se ne determinino i punti di massimo e minimo assoluto nel quadrato Q di vertici A( 1, 0), B(1, 0), C(1, 2), D( 1, 2). Esercizio 9 Si consideri la funzione f(x, y) = e xy 2y. (a) Determinare eventuali punti di massimo o minimo relativo e punti di sella. (b) Determinare massimo e minimo assoluto di f nel rettangolo di vertici A( 1, 0), B(1, 0), C(1, 3), D( 1, 3). Esercizio 10 Determinare massimo e minimo assoluti della funzione f(x, y) = x+e x2 +y 2 nel quadrato di vertici O, A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1). Esercizio 11 Determinare i punti di massimo e minimo assoluto della funzione f(x, y) = 2x 3 log(x+y +1) nel triangolo di vertici l origine ed i punti A(2, 0) e B(2, 2). Verificare preliminarmente che f(x, y) è definita in tutti i punti del triangolo OAB. Esercizio 12 Data la funzione f : R 2 R così definita: f(x, y) = (2x 2 y 2 )e x+y, determinarne i punti critici e studiarne la natura. 11

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski 10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, siano dati il piano e i punti P = (, 2, ), Q = (2,, ). π : x + 2y 3

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari

Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

Rette e piani con le matrici e i determinanti

Rette e piani con le matrici e i determinanti CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.

Dettagli

Corso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010

Corso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010 Appello 15/12/2010 Svolgere i seguenti esercizi: 1) Calcolare entrambi i limiti: a) lim(1 x) 1 e x 1 ; x 0 x log 2 x b) lim x 1 1 cos(x 1). 2) Data la funzione: f(x) = x log x determinarne dominio, eventuali

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

Processo di rendering

Processo di rendering Processo di rendering Trasformazioni di vista Trasformazioni di vista Il processo di visione in tre dimensioni Le trasformazioni di proiezione 2 Rendering nello spazio 2D Il processo di rendering (visualizzazione)

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

Integrali doppi - Esercizi svolti

Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:... xy dx dy, con (x, y R x, y x x }; x + y

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3

Durata della prova: 3h. 2 +y 4. tan y sin y lim = 1. (x 4 +y 2 )y 3 Università degli Studi di Napoli Federico II Corso di Laurea in Matematica Analisi Matematica II (Gruppo ), A.A. 22/3 Prova scritta del 28 gennaio 23 Durata della prova: 3h. sercizio (8 punti). Si consideri

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A

LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 6/7 SIMULAZIONE DI II PROVA - A Tempo a disposizione: cinque ore E consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito uscire dall aula

Dettagli

2 Argomenti introduttivi e generali

2 Argomenti introduttivi e generali 1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura Cognome Nome Matricola ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura (Primo appello/ii prova parziale 15/6/15 - Chiarellotto-Urbinati) Per la II prova: solo esercizi

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

I appello - 24 Marzo 2006

I appello - 24 Marzo 2006 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

MATEMATICA 5 PERIODI

MATEMATICA 5 PERIODI BAC EUROPEO 2008 MATEMATICA 5 PERIODI DATA 5 giugno 2008 DURATA DELL ESAME : 4 ore (240 minuti) MATERIALE AUTORIZZATO Formulario delle scuole europee Calcolatrice non grafica e non programmabile AVVERTENZE

Dettagli

MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1

MOMENTI DI INERZIA. m i. i=1 MOMENTI DI INEZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quantità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Dato un sistema

Dettagli

Proiezioni Grafica 3d

Proiezioni Grafica 3d Proiezioni Grafica 3d Giancarlo RINALDO rinaldo@dipmat.unime.it Dipartimento di Matematica Università di Messina ProiezioniGrafica 3d p. 1 Introduzione Il processo di visualizzazione in 3D è intrinsecamente

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura

Dettagli

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari Lezione del 8--006 Teoria dei vettori ordinari. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. ) Determinare le coordinate dei vettori v V 3 complanari a v =,, 0) e v =, 0, ), aventi lunghezza

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

TEMA 1. 1. Della seguente matrice, calcolare i complementi algebrici e il determinante: a + b 1 a 2 S = a + b + 3 a + 2b. x = t. f = x 2 + 2xy 3y 2,

TEMA 1. 1. Della seguente matrice, calcolare i complementi algebrici e il determinante: a + b 1 a 2 S = a + b + 3 a + 2b. x = t. f = x 2 + 2xy 3y 2, Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 17 marzo 008 TEMA 1 1 1 A = 1 0 1. 3 0 1. Stabilire se il seguente sottoinsieme di M(, R): {( ) a + b 1 a S = a, b R}, a + b + 3 a + b è un sottospazio di M(, R).

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d. 1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità

Dettagli

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il

Soluzione Punto 1 Si calcoli in funzione di x la differenza d(x) fra il volume del cono avente altezza AP e base il Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone 74 PROBLEMA Considerata una sfera di diametro AB, lungo, per un punto P di tale diametro si conduca il piano α perpendicolare ad esso

Dettagli

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente

Dettagli

Prove d'esame a.a. 20082009

Prove d'esame a.a. 20082009 Prove d'esame aa 008009 Andrea Corli settembre 0 Sono qui raccolti i testi delle prove d'esame assegnati nell'aa 00809, relativi al Corso di Analisi Matematica I (trimestrale, 6 crediti), Laurea in Ingegneria

Dettagli

Svolgimento 1 Scriviamo la funzione f(x) che rappresenta la spesa totale in un mese: Figura 2 Il grafico di f(x).

Svolgimento 1 Scriviamo la funzione f(x) che rappresenta la spesa totale in un mese: Figura 2 Il grafico di f(x). Problema 1 Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di euro al mese, più centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

Analisi Matematica I Palagachev

Analisi Matematica I Palagachev Analisi Matematica I Palagachev Numeri complessi Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: ) 3 z i = i z + 2 Risolvere nel campo complesso C la seguente equazione: z 2 + 2iz = 2 3 Risolvere

Dettagli

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x) 1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:

Dettagli

Lezione 6 (16/10/2014)

Lezione 6 (16/10/2014) Lezione 6 (16/10/2014) Esercizi svolti a lezione Esercizio 1. La funzione f : R R data da f(x) = 10x 5 x è crescente? Perché? Soluzione Se f fosse crescente avrebbe derivata prima (strettamente) positiva.

Dettagli

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base.

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base. DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 18/7/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Dettagli

Indice. 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo... 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità...

Indice. 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo... 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità... Indice 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1 1.1 Esempio introduttivo............................. 1 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità.............. 5 i Capitolo 1 Introduzione

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

I appello - 26 Gennaio 2007

I appello - 26 Gennaio 2007 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 I appello - 6 Gennaio 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio)

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO ESEMPI INTRODUTTIVI ELEMENTARI. PROBLEMA 1: Tra i rettangoli di perimetro 20 cm, determina quello di area massima.

PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO ESEMPI INTRODUTTIVI ELEMENTARI. PROBLEMA 1: Tra i rettangoli di perimetro 20 cm, determina quello di area massima. PROBLEMI DI MASSIMO E MINIMO ESEMPI INTRODUTTIVI ELEMENTARI Introduzione Vengono qui presentati alcuni semplici problemi di massimo e minimo. Leggi con attenzione e completa i passaggi mancanti. Prova

Dettagli

POLITECNICO di BARI - A.A. 2012/2013 Corso di Laurea in INGEGNERIA Informatica e dell Automazione

POLITECNICO di BARI - A.A. 2012/2013 Corso di Laurea in INGEGNERIA Informatica e dell Automazione POLITECNICO di BARI - A.A. 0/03 Corso di Laurea in INGEGNERIA Informatica e dell Automazione Problema Sia f :[0, +[! R una funzione continua. La funzione composta g() =f(kk) è c o n t i n u a? Problema

Dettagli

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo differenziale in IR N. Dott. Franco Obersnel

Università di Trieste Facoltà d Ingegneria. Esercizi sul calcolo differenziale in IR N. Dott. Franco Obersnel Università di Trieste Facoltà d Ingegneria Esercizi sul calcolo differenziale in IR N Dott Franco Obersnel Esercizio 1 Si calcoli la derivata direzionale nell origine lungo la direzione y del versore v

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha:

a) Osserviamo innanzi tutto che dev essere x > 0. Pertanto il dominio è ]0, + [. b) Poniamo t = log x. Innanzi tutto si ha: ESERCIZIO - Data la funzione f (x) = (log x) 6 7(log x) 5 + 2(log x) 4, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; ( punto) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e

Dettagli

INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA

INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA ANALITICA LA RETTA E LA PARABOLA Una Geometria non può essere più vera di un altra; può essere solamente più comoda. Ora la Geometria Euclidea è e resterà più comoda H. Poincaré

Dettagli

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

GEOMETRIA DELLE MASSE

GEOMETRIA DELLE MASSE 1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

Capitolo 16 Esercizi sugli integrali doppi

Capitolo 16 Esercizi sugli integrali doppi Capitolo 6 sercizi sugli integrali doppi Brevi richiami di teoria Sia f : [a, b] [c, d] B IR una funzione limitata e non negativa, definita sul rettangolo R = [a, b] [c, d]. Dividiamo l intervallo [a,

Dettagli

Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006

Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006 Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006 Niccolò Desenzani Sun-ra J.N. Mosconi 22 giugno 2006 Problema. Indicando con A e B i lati del rettangolo, il perimetro è 2A + 2B = λ mentre l area

Dettagli

Cambiamento di variabili negli integrali doppi: La trasformazione in coordinate polari. esiste (evidentemente) una sola coppia ( ρ, θ) R [ 0,2π[

Cambiamento di variabili negli integrali doppi: La trasformazione in coordinate polari. esiste (evidentemente) una sola coppia ( ρ, θ) R [ 0,2π[ Cambiamento di variabili negli integrali doppi: La trasformazione in coordinate polari Osservazione: Se ( x, ) \{(0,0)} esiste (evidentemente) una sola coppia ( ρ, θ) [ 0,[ tale che x. imane in tal modo

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT 1 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEM 1 Si consideri la funzione reale

Dettagli

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0.

Numeri Complessi. 4. Ricordando che, se z è un numero complesso, zz è un numero reale, mettere sotto la forma. z 2 + 2z + 2 = 0. z 2 + 2z + 6 = 0. Numeri Complessi. Siano z = + i e z 2 = i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 2. Siano z = 2 5 + i 2 e z 2 = 5 2 2i. Calcolare z + z 2, z z 2, z z 2 e z z 2. 3. Ricordando che, se z è un numero complesso,

Dettagli

Lenti sottili/1. Menisco convergente. Menisco divergente. Piano convessa. Piano concava. Biconcava. Biconvessa. G. Costabile

Lenti sottili/1. Menisco convergente. Menisco divergente. Piano convessa. Piano concava. Biconcava. Biconvessa. G. Costabile Lenti sottili/1 La lente è un sistema ottico costituito da un pezzo di materiale trasparente omogeneo (vetro, policarbonato, quarzo, fluorite,...) limitato da due calotte sferiche (o, più generalmente,

Dettagli

Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte.

Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte. PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (che sarà svolto fino al 7 gennaio 2013) A.A. 2012-2013, Paola Mannucci e Claudio Marchi, Canali 1 e 2 Ingegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza

Dettagli

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + + Definizione: dato

Dettagli

Elenco Ordinato per Materia Chimica

Elenco Ordinato per Materia Chimica ( [B,25404] Perché le ossa degli uccelli sono pneumatiche, cioè ripiene di aria? C (A) per consentire i movimenti angolari (B) per immagazzinare come riserva di ossigeno X(C) per essere più leggere onde

Dettagli

INdAM QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA

INdAM QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA INdAM Prova scritta per il concorso a 40 borse di studio, 2 borse aggiuntive e a 40 premi per l iscrizione ai Corsi di Laurea in Matematica, anno accademico 2011/2012. Piano Lauree Scientifiche. La prova

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

Università degli Studi di Verona Corsi di Laurea in Matematica Applicata, Informatica e Informatica Multimediale. Test di autovalutazione (matematica)

Università degli Studi di Verona Corsi di Laurea in Matematica Applicata, Informatica e Informatica Multimediale. Test di autovalutazione (matematica) Università degli Studi di Verona Corsi di Laurea in Matematica Applicata, Informatica e Informatica Multimediale Test di autovalutazione (matematica) 1. Eseguendo la divisione con resto di 3437 per 225

Dettagli

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO CONVEGNO MATHESIS Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 Perché Assenza di ogni riferimento alla geometria analitica dello spazio nel quadri di Mondrian La

Dettagli

4. Proiezioni del piano e dello spazio

4. Proiezioni del piano e dello spazio 4. Proiezioni del piano e dello spazio La visualizzazione di oggetti tridimensionali richiede di ottenere una vista piana dell'oggetto. Questo avviene mediante una sequenza di operazioni. Innanzitutto,

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare

PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare In un laboratorio sono disponibili due contatori A, B di batteri. Il contatore A può essere azionato da un laureato che guadagna 20 euro per ora.

Dettagli

UNIONE MATEMATICA ITALIANA. C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica

UNIONE MATEMATICA ITALIANA. C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica UNIONE MATEMATICA ITALIANA C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica ESEMPI DI TERZE PROVE per il NUOVO ESAME DI STATO LA COMPONENTE MATEMATICA ISTITUTO MAGISTRALE Tipologia

Dettagli

Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI)

Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI) 1 Programma definitivo Analisi Matematica 2 - a.a. 2005-06 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile (ICI) Approssimazioni di Taylor BPS, Capitolo 5, pagine 256 268 Approssimazione lineare, il simbolo

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

Grandezze scalari e vettoriali

Grandezze scalari e vettoriali Grandezze scalari e vettoriali Esempio vettore spostamento: Esistono due tipi di grandezze fisiche. a) Grandezze scalari specificate da un valore numerico (positivo negativo o nullo) e (nel caso di grandezze

Dettagli

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

Dettagli

Prof. Silvio Reato Valcavasia Ricerche. Il piano cartesiano

Prof. Silvio Reato Valcavasia Ricerche. Il piano cartesiano Il piano cartesiano Per la rappresentazione di grafici su di un piano si utilizza un sistema di riferimento cartesiano. Su questo piano si rappresentano due rette orientate (con delle frecce all estremità

Dettagli

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f

Dettagli

Alcuni probelmi risolti

Alcuni probelmi risolti Alcuni probelmi risolti Esercizio 1: Svolgere l esempio 3 a p.115 del testo. Esercizio (Consideriamo nuovamente i dati dell esempio 3 p. 115 del testo.) Il prezzo P unitario ottenuto da un impresa nella

Dettagli

Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)

Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi) Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome:................................. N. matr.:.................................

Dettagli

Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:...

Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8. Cognome:... Nome:... Matricola:... Prova parziale di Geometria e Topologia I - 5 mag 2008 (U1-03, 13:30 16:30) 1/8 Cognome:................ Nome:................ Matricola:................ (Dare una dimostrazione esauriente di tutte le

Dettagli