Lezione 13 (7 dicembre) Polinomio di Taylor Integrale definito: significato geometrico Primitiva di una funzione

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1 Lezione 13 (7 dicembre) Polinomio di Taylor Integrale definito: significato geometrico Primitiva di una funzione

2 Polinomio di Taylor e approssimazioni Approssimazione di una funzione nell intorno di un punto usando il Polinomio di Taylor: Sia f: a, b R una funzione derivabile in x 0 (a, b) Prima approssimazione: Equazione della retta tangente y = f x 0 + f (x 0 )(x x 0 ) f x = f x 0 + f x 0 x x 0 + O(x x 0 ) dove O x x 0 è l errore nell approssimazione, O x x 0 0 quando x x 0 Polinomio di Taylor di ordine 1 centrato in x 0 : T x = f x 0 + f (x 0 )(x x 0 )

3 Polinomio di Taylor e approssimazioni Per una maggiore precisione si aumenta il grado del polinomio di Taylor: Formula di Taylor di ordine 2: f x = f x 0 + f x 0 x x 0 + f x 0 2! E in generale se la funzione è derivabile n volte: Formula di Taylor di ordine n: n f (k) x 0 f x = k! ovvero: k=0 x x 0 k + O x x O x x 0 2 x x 0 n f x = f x 0 + f x 0 x x 0 + f x 0 x x 2 2! fn x 0 x x n n! 0 + O x x n 0

4 Esempio Data la funzione f x = e 2x, si scrivano le formule di Taylor fino all ordine 3 f x = 2e 2x T x = 1 + 2x f x = 4e 2x T x = 1 + 2x + 2x 2 f x = 8e 2x T x = 1 + 2x + 2x x3

5 Esercizi Determinare il polinomio di Taylor di ordine 2 centrato in x 0 = 1 della funzione f x = log(x + 1). Determinare il polinomio di Taylor di ordine 5 centrato in x 0 = 0 della funzione f x = sin x. Determinare il polinomio di Taylor di ordine 6 centrato in x 0 = 0 della funzione f x = cos x.

6 Integrali Integrale definito e area con segno Primitiva di una funzione e integrale indefinito Calcolo di aree Metodi di integrazione: per parti e per sostituzione

7 Calcolare l area di una regione piana Sia f x una funzione positiva e continua definita nell intervallo [a, b]. Si vuole calcolare l area della regione piana delimitata dal grafico della funzione, dall asse delle x e dalle rette x = a e x = b a b

8 Calcolare l area di una regione piana La somma di questi rettangoli interamente contenuti nella regione di interesse approssima per difetto la sua area A 5 A La somma di questi rettangoli contenenti al loro interno la regione di interesse, approssima per eccesso la sua area A 5 + A A n A A n + Aumentando il numero dei rettangoli l approssimazione sarà migliore.

9 Calcolare l area di una regione piana Sia f x una funzione positiva e continua definita nell intervallo [a, b]. L area della regione piana delimitata dal grafico della funzione, dall asse delle x e dalle rette x = a e x = b si ottiene come lim n A n = lim n A n + = A dove A n e A n + sono le somme di Riemann (rispettivamente somma inferiore e superiore) definite da n A n + = i=1 Δx max I i f A n = Dove Δx = b a e I n 1 = [a, a + Δx), I 2 = [a + Δx, a + 2Δx),, I n = [a + (n 1)Δx, b] n i=1 Δx min Ii f

10 Calcolare l area di una regione piana A = lim A + n = lim A n n n Definizione: Il valore A si chiama integrale definito della funzione f(x) nell intervallo [a, b] e si indica con A = න f(x) dx a e b sono detti estremo inferiore e superiore di integrazione, f è detta funzione integranda. a b

11 Primitiva di una funzione Definizione: Data una funzione f(x), la funzione F(x) è detta primitiva di f(x) se in tutti i punti del suo dominio è soddisfatta l uguaglianza F x = f x Teorema: Se F(x) è primitiva di f(x), anche F x + c, c R, è primitiva di f(x). Dimostrazione: si ha infatti (F(x) + c) = F (x) = f(x) Quindi le primitive di f(x) sono infinite.

12 Primitive di funzioni elementari Funzione f(x) x α 1 x e x cos x sen x Primitiva F(x) x α+1 α + 1 ln x e x sen x cos x

13 Teorema fondamentale del calcolo integrale Data una funzione f x definita e continua nell intervallo [a, b], se F(x) è una primitiva di f(x), allora l integrale definito è dato da Esempio: infatti F x = x 2 e quindi 2 න 1 න a b f x dx = F b F(a) 2 න 2xdx = 1 x 2 2 ቚ = = 3 1 2xdx = F 2 F(1) = = 3

14 Integrale Indefinito Data una funzione f(x) definita e continua su R, l insieme delle primitive indicata con F x + c = f x dx prende il nome di integrale indefinito della funzione f(x). Esercizio: Date le funzioni considerate nell intervallo assegnato, calcolarne una primitiva, l integrale indefinito e l integrale definito f x = e x nell intervallo 1 2, 0 g x = x 3 nell intervallo 1, 2

15 Esempi Data la funzione f x = x, si calcoli una primitiva e l area della regione di piano racchiusa tra il grafico della funzione, l asse delle x e le rette di equazione x = 0 e x = 1. න xdx = 0 1 x 2 อ = = 1 2 Calcolare geometricamente l area del triangolo di vertici (0,0), (1,0), (1,1) e verificare che è uguale all area calcolata mediante l integrale.

16 Integrali elementari Per le seguenti funzioni continue, valgono le formule, dove c è una costante arbitraria න x n dx = xn+1 n c per n 1 x 1 dx = ln x + c e x dx = e x + c e αx dx = eαx α + c න cos x dx = sin x + c න sin x dx = cos x + c න 1 cos 2 x dx = tan x + c න 1 x 2 dx = arctan x + c + 1

17 Proprietà degli integrali Date due funzioni continue f x e g x e una costante c, si ha f x + g x dx = f x dx + g x dx c f(x)dx = c f x dx Le stesse proprietà valgono per gli integrali definiti, in particolare si ha a b f x + g x dx = a b f x dx + a b g x dx b a f(x) dx = a b f x dx

18 Integrale definito e area con segno Attenzione! L integrale definito determina l area con segno! Si considerino per esempio: න x dx = න sinx dx = 1 π 2 න sinx dx = 1 0 π 2 π 2 න sinx dx = 0 π 2 π 2 π 2