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2 Copyright 2005 Esselibri S.p.A. Via F. Russo, 33/D 8023 Napoli Azieda co sistema qualità certificato ISO 400: 2003 Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzioe ache parziale e co qualsiasi mezzo seza l autorizzazioe scritta dell editore. Prima edizioe: settembre 2005 Pt5 - Successioi e serie di fuzioi ISBN Ristampe Questo volume è stato stampato presso: Officia Grafica Iride Via. Prov.le Arzao-Casadrio, VII Trav., 24 - Arzao (NA) Della stessa collaa: Pt Pt2 Pt3 Pt4 Pt6 Pt7 Pt8 Limiti, cotiuità, calcolo differeziale per fuzioi di ua variabile reale Studio di fuzioi Itegrali di fuzioi di ua variabile reale Serie umeriche Limiti, cotiuità, calcolo differeziale per fuzioi di più variabili reali Itegrali di fuzioi di due o più variabili reali Equazioi differeziali Se sistemi editoriali Professioisti, tecici e imprese Gruppo Editoriale Esselibri - Simoe Coordiameto redazioale: Carla Iodice, Stefao Miieri Il capitolo terzo è dell igegere Domeico Oliva Impagiazioe: Carmela De Marco Tutti i diritti di sfruttameto ecoomico dell opera appartegoo alla Esselibri S.p.A. (art. 64, D.Lgs ,. 30) Per cooscere le ostre ovità editoriali cosulta il sito iteret:

3 3 Prefazioe Questo testo è pesato per coloro che voglioo acquisire sicurezza ello svolgimeto di esercizi su successioi e serie di fuzioi. Il volume si divide i due parti: la prima è dedicata allo studio della covergeza di successioi di fuzioi; ella secoda parte vegoo svolti esercizi sulla covergeza di serie di fuzioi, i particolare sulla covergeza di serie di poteze, sullo sviluppo i serie di Taylor e sullo sviluppo i serie di Fourier. Prima di ogi tipo di esercizio soo brevemete richiamate ozioi teoriche, utili ai fii della risoluzioe, ma è cosigliabile, comuque, dedicarsi allo svolgimeto degli esercizi solo dopo aver acquisito, su testi specialistici, padroaza ella parte teorica. Co la speraza che questo compedio possa essere utile e riuscire el suo iteto, co l ivito ai lettori di voler forire osservazioi e suggerimeti, rigrazio l Editore e tutti coloro i quali rivolgerao la loro attezioe a questo testo. ESTER CAPUANO Prefazioe

4 Idice dei simboli > maggiore < miore maggiore o uguale miore o uguale diverso da circa uguale a ± più o meo ifiito N Z R log( ) e lim f'(x) tede a per ogi appartiee o appartiee uioe tra isiemi itersezioe tra isiemi sottoisieme proprio sottoisieme o è sottoisieme implicazioe doppia implicazioe isieme dei umeri aturali isieme dei umeri relativi isieme dei umeri reali logaritmo eperiao umero di Nepero limite derivata prima f ( ) ( x ) derivata esima f N f itegrale sommatoria successioe di fuzioi a N termie geerico della successioe di fuzioi successioe umerica successioe delle somme parziali s N s termie geerico della successioe delle somme parziali

5 Successioi di fuzioi 5. Defiizioi e teoremi Sia ( f ) ua successioe di fuzioi tale che ogi f N è defiita i u itervallo I di R a valori i R; cioè tale che f : I R, N. Ua successioe di fuzioi, come ua successioe umerica, può covergere, divergere positivamete, divergere egativamete o o ammettere limite. I questo paragrafo euceremo alcue defiizioi e alcui teoremi che ci permettoo di studiare la covergeza di ua successioe di fuzioi. DEFINIZIONE.. Diremo che la successioe f cioè si ha che: coverge putualmete se, comuque scelgo u x I, si ha: N limf ( x)= f( x) x I, ε> 0, ν N: ν, f ( x) f( x) < ε x, ε x, ε I altre parole, se fissiamo x I, otteiamo ua successioe umerica: f (x),, f (x), allora, dire che f ( ) coverge putualmete equivale a dire che la successioe umerica su scritta, N { ( x) }, coverge. che i maiera sitetica si idica co f N ESEMPIO DI CONVERGENZA PUNTUALE La successioe f ( x)= x coverge putualmete i [0,], alla fuzioe: 0 per 0 x < f( x)= per x = Segue che la scelta di dipede sia da ε che da x; el caso i cui o dipede da x, parleremo di covergeza uiforme. I maiera più rigorosa: DEFINIZIONE..2 Diremo che f coverge uiformemete verso f se: N ε> 0, ν N: ν, f ( x) f( x) ε x I ε ε <. Successioi di fuzioi

6 6 Per la covergeza uiforme si è soliti scrivere: u. limf ( x)= f( x) Osserviamo che la covergeza uiforme implica la covergeza putuale, ma o vale il cotrario (u cotroesempio è forito ell esercizio...). TEOREMA (CARATTERIZZAZIONE DELLA CONVERGENZA UNIFORME) Se f e f soo limitate i I, allora la successioe di fuzioi f f se e solo se la successioe di termie geerale: { sup { f ( x) f( x) : x l} } N coverge uiformemete verso N è ifiitesima, ovvero se e solo se: avedo posto s = sup f ( x) f( x) : x l. { } lims = 0 ESEMPIO DI CONVERGENZA UNIFORME La successioe di fuzioi: se( x ) f ( x)= coverge uiformemete i R alla fuzioe ideticamete ulla. Ifatti: se( x ) x R ( ) x quidi ν N : ν, se ε, x R. Diamo adesso alcue defiizioi ed euciamo alcui teoremi otevoli, utili per la risoluzioe degli esercizi. Successioi e serie di fuzioi DEFINIZIONE..3 La successioe f si dice: N equilimitata i I se: equicotiua i I se: M > 0: f ( x) < M, N, x I ε> 0, δ > 0: x y < δ, f ( x) f ( y) < ε, N ε ε

7 TEOREMA (ASCOLI - ARZELÀ) 7 è ua successioe equilimitata ed equicotiua ell itervallo chiuso e limitato I, allora Se f N essa ammette u estratta che coverge uiformemete i I. TEOREMA (CRITERIO DI CONVERGENZA DI CAUCHY) La successioe di fuzioi f solo se: coverge uiformemete verso ua fuzioe f defiita i I se e N > 0, N:, m, f ( x) f ( x) < ε ν ν ε ε ε m TEOREMA (CONTINUITÀ DEL LIMITE UNIFORME) Se f coverge uiformemete ad f e f è cotiua i x 0, allora f è cotiua i x 0. N TEOREMA (DERIVABILITÀ DEL LIMITE UNIFORME) Sia f N ua successioe di fuzioi derivabili i u itervallo I = (a,b) e covergete putualmete i I verso f. Se f ' coverge uiformemete i I, allora f è derivabile e si ha: N u. lim f' x f' x x I ( )= ( ) TEOREMA (PASSAGGIO AL LIMITE SOTTO IL SEGNO DI INTEGRALE) ua successioe di fuzioi defiite i I = [a, b] e covergete uiformemete verso f. Sia f N Allora si ha: b a lim f ( x ) dx b = ( ) a f x dx Esercizi sulle successioi di fuzioi Esercizio... Assegata la successioe di fuzioi defiita el seguete modo: f x x x ( )= ( 0, ) provare che coverge putualmete alla fuzioe f(x) = 0, ma che o coverge uiformemete. Il limite putuale di questa successioe è: limf ( x)= lim x poiché x ]0,[, allora, per ogi x, la successioe coverge putualmete alla fuzioe ideticamete ulla. Per quato riguarda la covergeza uiforme, osserviamo che sia f (x) che f (x) soo limitate ell itervallo (0,).. Successioi di fuzioi

8 8 La fuzioe f(x) = 0 è la fuzioe ideticamete ulla ed è ovviamete limitata; la successioe f (x) è limitata, ifatti, se: x (,) 0 0< x < 0< x < f è limitata N Allora cosideriamo la successioe degli s : s = sup { f( x) f( x) : x ( 0, )}= sup { x : x ( 0, )}= ed è ovvio che tale successioe o è ifiitesima. Esercizio...2 Assegata la successioe di fuzioi: f ( x)= x N, x ( 0, ) provare che coverge uiformemete alla fuzioe ideticamete ulla f(x) = 0 i ogi itervallo del tipo (0,a) co a (0,). Abbiamo già visto ell esercizio... che la successioe assegata coverge putualmete alla fuzioe f(x) = 0, ma o coverge uiformemete. Cosideriamo ora la successioe: Quidi: lims = lima =0 s = sup { f( x) f( x) : x (, a) }= sup { x : x (, 0 0a) }= a a co ( 0, ) allora f coverge uiformemete a zero. È possibile provare che f coverge uiformemete i ogi itervallo ( a,a) co a (0,). Esercizio...3 Assegata la successioe di fuzioi: f ( x)= x x, + ( ) Successioi e serie di fuzioi studiare la covergeza. limf ( x)= lim x =0 poiché x >, f coverge putualmete alla fuzioe ulla. Cosideriamo la successioe: s = sup { f( x) f( x) : x > }= sup { x : x > }=

9 Tale successioe è costatemete uguale a, quidi: 9 lims = la successioe o è ifiitesima, quidi la successioe di fuzioi o coverge uiformemete a zero ell itervallo (,+ ). Esercizio...4 Studiare la covergeza della successioe di fuzioi defiita da: f ( x)= x x ( a, + ) a> Nell esercizio...3 abbiamo visto che, fissato u qualsiasi x, f coverge putualmete a zero. Ora, per la covergeza uiforme, cosideriamo la successioe: Poiché, per a > : s = sup { f( x) f( x) : x > a}= sup { x : x > a}= a lima = 0 ciò sigifica che la successioe di fuzioi assegata coverge uiformemete a zero ell itervallo (a,+ ), a >. Esercizio...5 Studiare la covergeza della successioe di fuzioi defiita da: f ( x)= x 0 2 (,) + x ( ) Il limite putuale della successioe è: limf ( x)= lim ( + x ) = 2 0 La successioe assegata o è limitata, quidi o c è covergeza uiforme.. Successioi di fuzioi

10 0 Esercizio...6 Assegata la successioe: f ( x)= x ( 0, ) x studiare la covergeza. Il limite putuale è: limf ( x)= lim = 0 x La successioe assegata o è limitata, quidi o c è covergeza uiforme. Esercizio...7 Assegata la successioe: 2 f ( x)= x + ( 0, 2 2 ) x studiare la covergeza. Il limite putuale è: 2 limf ( x)= lim + x = x Poiché f e f o soo limitate o c è covergeza uiforme. Esercizio...8 Successioi e serie di fuzioi Stabilire per quali x la successioe di fuzioi: f ( x)= x ( ) coverge. Determiare l itervallo di covergeza. pari, la successioe è defiita x 0. Per x = 0, si ha: limf ( x)= lim( x )=

11 Per x > 0, si ha: limf ( x)= lim( x )= logx Quest ultimo limite è otteuto el seguete modo: x ( x )= poiamo = t e per + si ha che t 0+, allora: avedo utilizzato il limite fodametale: t x lim = logx t 0 + t x a lim = loga x 0 x Per determiare l itervallo di covergeza, cosideriamo la successioe: g( x)= f( x) f( x)= ( x ) logx Calcoliamo la derivata di tale fuzioe: g' ( x)= x = x = x x = x x x x = x x Tale fuzioe è defiita ovuque (avedo già supposto x > 0); si aulla el puto x =. Studiamo il sego della derivata: Quidi, la successioe g : cresce per x > ; decresce ell itervallo (0,). g x x x x ' x x ( )= ; > 0 > 0 > > 0 Questo sigifica che il puto è u puto di miimo e g () = 0. Da tutto ciò deduciamo che la successioe che abbiamo defiito è sempre o egativa, allora la successioe f coverge uiformemete i ogi itervallo del tipo [a,b], co 0 < a < b. Ifatti se a =, si ha: { }= { }= max { g( x) : x, b }= g( b) s = max f( x) f( x) : x, b max g x : x, b Ora: lim( b ) logb= logb logb= 0 allora la covergeza uiforme è provata.. Successioi di fuzioi

12 Idice Geerale Prefazioe... Pag. 3 Successioi di fuzioi. Defiizioi e teoremi...» 5 Esercizi sulle successioi di fuzioi...» 7 2 Serie di fuzioi 2. Defiizioi e prime proprietà...» 9 Esercizi sulle serie di fuzioi...» Serie di poteze...» 42 Esercizi sulle serie di poteze...» Serie di Taylor...» 67 Esercizi sulle serie di Taylor e di Mac Lauri...» Serie di Fourier...» 97 Esercizi sulle serie di Fourier...» 0 3 Applicazioi delle serie di fuzioi alla fisica...» 7

13 Cosa cotiee il CD ROM Itroduzioe a Matlab di Robert Bucher (della Scuola Uiversitaria Professioale della Svizzera Italiaa) Matlab è uo dei programmi scietifici di maggior diffusioe, grazie alle sue umerose applicazioi i campi quali l elettroica, la cotrollistica, l aalisi dei segali, l elaborazioe di immagii, la chimica, la statistica e umerosi altri. Viee utilizzato i molti corsi uiversitari e di igegeria, e soo ormai umerose le pubblicazioi scietifiche che utilizzao l ambiete di Matlab quale sostego matematico della teoria. Software free per il calcolo scietifico Programmi (completamete gratuiti) alterativi a Matlab Guida alle risorse Iteret per gli studeti delle facoltà teciche e scietifiche Ua esaustiva raccolta di lik alle risorse gratuite dispoibili olie Aggiorameti, risorse, esercizi svolti soo dispoibili al seguete idirizzo iteret:

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