OSCILLATORI SINUSOIDALI. Generalità

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1 OSCILLATORI SINUSOIDALI Generalità Per comprendere il principio di funzionamento di un oscillatore, si consideri un amplificatore reazionato privo del segnale esterno d ingresso, e quindi privo del nodo di confronto. Fig.1 - schema a blocchi di un oscillatore Supponiamo che all'ingresso sia presente un segnale V e con frequenza f o cui corrisponde in uscita un segnale V u = AV e della stessa frequenza. La condizione affinché il sistema possa mantenere in uscita il segnale V u, e che, attraverso la rete di reazione, venga riportato all'ingresso un segnale V r uguale, in modulo e fase, a V e. V r = V u = AV e = V e Da questa relazione discende la condizione di autoeccitazione: A=1 nota come criterio di Barkausen. Poiché in generale e A sono grandezze complesse, il criterio di Barkausen si traduce nella duplice condizione che il prodotto A abbia modulo unitario ed argomento nullo: A =1; 1

2 Allo stesso risultato si perviene considerando l'espressione del guadagno di un sistema con retroazione positiva, che qui riportiamo: A r = A / (1- A) Per poter avere la condizione di autoeccitazione la relazione seguente: V u = A r V i deve essere non nulla. Questo si traduce nelle seguenti condizioni: A r --> infinito 1- A=0; A=1 In definitiva, se alla frequenza fo risulta soddisfatto il criterio Barkausen, l'amplificatore e in grado di oscillare a tale frequenza, cioè di produrre in uscita un segnale di ampiezza e frequenza costanti, sollecitato soltanto dalla tensione continua di alimentazione. L origine del segnale di autoeccitazione V e può essere individuata nella presenza immancabile del rumore termico all'ingresso dell'amplificatore. Infatti, a causa dell'agitazione termica, qualunque componente resistivo produce una tensione di rumore con spettro uniforme (rumore bianco). Se per la componente spettrale del rumore a frequenza f o si ha: A iniz > 1 tale componente viene amplificata e riportata in ingresso con ampiezza maggiore di quella di partenza; il processo di esaltazione si ripete e prosegue, dando luogo ad un segnale in uscita di ampiezza sempre maggiore, fino a che, interessando la zona non lineare della caratteristica di trasferimento, il guadagno iniziale dell'amplificatore scende al valore A per cui si verifica la condizione di Barkausen, con conseguente stabilizzazione dell'ampiezza del segnale di uscita. Concludendo, per avere un oscillatore devono essere soddisfatte i seguenti requisiti: a) il sistema deve contenere almeno un elemento attivo (amplificatore) sottoposto a reazione positiva; 2

3 b) nel sistema devono essere compresi degli elementi reattivi che esercitino un'azione filtrante, in grado di determinare univocamente la frequenza di oscillazione; c) alla frequenza di oscillazione deve essere verificato il criterio di Barkausen in modulo e fase, cioè il segnale di reazione deve valere 1/A di quello presente in uscita e deve essere in fase con quello presente in ingresso (condizione di autoeccitazione); d) inizialmente (cioè all'atto in cui si applica I'alimentazione all'oscillatore) alla frequenza f o il guadagno di anello deve essere maggiore di 1, per assicurare l' autoinnesco delle oscillazioni. In pratica gli schemi circuitali adottati per la realizzazione degli oscillatori sinusoidali sono molteplici, per soddisfare le diverse esigenze di frequenza, stabilita, potenza di uscita, ecc. Una prima suddivisione può essere fatta in oscillatori per: bassa frequenza (al disotto del MHz), con filtro di selezione della frequenza di tipo RC, alta frequenza (dalle centinaia di khz alle centinaia di MHz), con filtro di selezione di tipo LC o a quarzo. Oscillatori per bassa frequenza Alle basse frequenze gli oscillatori RC di impiego più frequente sono quelli a rete di sfasamenfo e quelli a ponte di Wien. Oscillatori a rete di sfasamento Un oscillatore a sfasamento è costituito da un amplificatore invertente reazionato mediante una rete costituita da 3 celle RC identiche come indicato in fig. 2. 3

4 Fig. 2 - Schema di principio di un oscillatore a rete di sfasamento La rete di reazione introduce uno sfasamento complessivo di 180 che, sommato allo sfasamento di 180 proprio dell'amplificatore invertente rende soddisfatta la seconda delle condizioni di autoeccitazione imposte dal criterio di Barkausen. Supponendo che l'amplificatore abbia un'impedenza d'ingresso molto elevata (ipotesi verificata in particolare nel caso di un amplificatore operazionale), possiamo considerare il circuito equivalente di fig. 3: Fig. 3 - Circuito equivalente dell'oscillatore a rete di sfasamento Risolvendo la rete di figura 3, dalla relazione che lega V u e V e e ponendo: w 0 = 1 / (2.45* R* C) si ha: V e = - V u / 29 ; = -1 / 29 4

5 Se ne deduce che, a detta frequenza, la rete sfasa di 180 ( segno negativo) ed il guadagno dell amplificatore deve valere, per soddisfare anche alla prima delle condizioni di autoeccitazione imposte dal criterio di Barkausen ( A=1): A = V u / V e = 29 La fig. 4 rappresenta un possibile schema di oscillatore a rete di sfasamento, utilizzante come elemento attivo un amplificatore operazionale in configurazione invertente. Fig. 4 - Oscillatore a rete di sfasamento con AO invertente. Tenuta presente la relazione che esprime il guadagno invertente dell'amplificatore, per soddisfare la precedente relazione deve valere: R 2 =29 R In generale gli oscillatori a rete di sfasamento sono caratterizzati da una buona stabilita di frequenza. Vengono impiegati per lo più in laboratorio come oscillatori a bassissima frequenza (anche frazioni Hz) e possono essere realizzati anche a frequenza variabile, con regolazione "grossa" sulle R e "fine" sulle C. Oscillatori a ponte di Wien 5

6 La figura 5 riporta uno schema di un oscillatore a ponte di Wien realizzato impiegando come elemento attivo un amplificatore operazionale. Fig. 5 - Oscillatore a ponte di Wien Si può notare la presenza di una reazione negativa, che determina il guadagno, ed una reazione positiva che rende possibile l'autoeccitazione. L'oscillatore viene detto "a ponte" perché le due reti di reazione costituiscono i lati di un ponte la cui tensione di squilibrio viene applicata all'ingresso di un amplificatore differenziale, come mostra lo schema equivalente in figura 6, basato sulle ipotesi ideali di amplificatore a resistenza d'ingresso infinita e resistenza di uscita nulla. Fig. 6 - Schema equivalente dell'oscillatore a ponte di Wien 6

7 Dall'analisi di tale circuito si ricavano le relazioni: w 0 = 1 / ( R* C); R 2 = 2 R; e quindi i anche: A = 1+R 2 / R 1 = 3 Oscillatori per alte frequenze Alle frequenze elevate. dalle centinaia di khz alle centinaia di MHz, si impiegano oscillatori di tipo LC, caratterizzati dalla presenza di un circuito risonante LC che determina la frequenza di oscillazione. Per frequenze al di sopra dei 500 MHz i componenti concentrati L e C (bobine e condensatori) sono generalmente sostituiti da componenti a costanti distribuire come tronchi di linea di trasmissione o cavità risonanti. L'impiego degli amplificatori operazionali come elementi attivi degli si rivela poco idoneo alle alte frequenze, soprattutto a causa della riduzione che subisce il guadagno ad anello aperto. Si preferisce perciò impiegare transistor BJT o JFET in forma discreta. Il modello adottato per gli oscillatori in alta frequenza e' normalmente quello detto a tre punti, mostrato in figura 7, costituito da un amplificatore invertente con 3 impedenze Z1, Z2, Z3 poste rispettivamente tra ingresso e massa, tra uscita e massa e tra ingresso e uscita. Fig. 7 - Modello a 3 punti di un oscillatore per alte frequenze 7

8 Supponendo che l'amplificatore abbia un'impedenza d'ingresso elevata e che non sono presenti effetti reattivi apprezzabili alla frequenza f o, si dimostra che le condizioni relative al criterio di Barkausen sono soddisfatte se le 3 impedenze sono costituite da 3 reattanze X 1, X 2, X 3 di diverso segno, tali che alla frequenza f o risulti: X 1 + X 2 + X 3 = 0 Precisamente, le due reattanze X 1, X 2 devono essere dello stesso segno, e X 3 di segno opposto. Deve valere inoltre la relazione: A a > X 2 / X 1 che lega il valore dell'amplificazione di tensione senza retroazione ll'amplificatore al rapporto fra le due reattanze dello stesso segno. Se X 1, X 2, sono costituite da induttanze e X 3 da un condensatore, si ottiene l'oscillatore di Hartley; Se X 1, X 2,sono costituite da condensatori e X 3 da un'induttanza, si ottiene l'oscillatore Colpitts. Oscillatore Hartley Lo schema di principio dell'oscillatore di Hartley è come mostrato in fig. 8. Fig.8 - schema di principio dell'oscillatore Hartley 8

9 Come si vede la X1 e la X2 sono di tipo induttivo mentre la X3 e' di tipo capacitivo. Tenendo conto della mutua induttanza M fra le due bobine che vale: M = K (L 1 ' L 2 ') ½ e dalla relazione sulle reattanze che garantisce l'oscillazione, si possono le formule relative alla frequenza di oscillazione f 0 w 0 = (LC) ½ essendo L= L 1 ' + L 2 ' + 2M e al guadagno dell'amplificatore: A a >( L 2 ' + M) / ( L 1 ' + M) Oscillatori Hartley: circuiti applicativi In figura 9 è riportato un possibile schema di un oscillatore di tipo Hartley a JFET. Fig. 9 - Oscillatore Hartley a JFET 9

10 Il guadagno Aa è dato dal coefficiente di amplificazione g m *ro del dispositivo, per cui la relazione può essere riscritta come: g m > = (L 2 ' + M) / [r d (L 1 ' + M)] Se e' soddisfatta la relazione sul guadagno espressa in termini dei parametri del JFET, applicando la tensione di alimentazione si ha l'autoinnesco delle oscillazioni alla frequenza voluta e il JFET passa a lavorare in classe C, stabilizzando l'ampiezza delle oscillazioni per effetto della non linearità. Il gruppo di autopolarizzazione Rg Cg è infatti previsto per il funzionamento in classe C. La sua costante di tempo deve essere maggiore del periodo di oscillazione solitamente si assume: = R G C G = 10 / f 0 Va tenuto presente che il funzionamento in classe C, caratterizzato da un maggior rendimento di conversione, è consentito solo agli oscillatori del tipo LC; per quelli del tipo RC è possibile solo la classe A, poiché la mancanza nei loro schemi di circuiti risonanti non consente di ricostruire, mediante il filtraggio delle armoniche, la sinusoidalità del segnale. Un esempio di un schema di un oscillatore Hartley a BJT è quello mostrato in figura 10: 10

11 Fig. 10. Oscillatore Hartley a BJT La condizione di autoeccitazione, nell'ipotesi di connessione a collettore comune, può essere espressa in termini di ibridi dalla seguente relazione: (L 1 ' + M) h fe > (L 2 ' + M) h oe h ie Oscillatore Colpitts Lo schema di principio dell'oscillatore Colpitts è mostrato in figura

12 Fig. 11. schema di principio dell'oscillatore Colpitts Applicando le relazioni sulle reattanze relative agli oscillatori basate sul modello a tre punti si ottengono le relazioni: (trascurando le perdite nella bobina e néi condensatori): A a >C 2 / C 1 w 0 = (LC) ½ con C equivalente alla serie di C 1 e C 2 C = C 1 C 2 / (C 1 + C 2 ) Un possibile schema realizzativo di oscillatore di tipo Colpitts a JFET e' mostrato in figura 12 Fig Oscillatore Colpitts a JFET. Le capacità C1, C2 e l'induttanza L costituiscono il circuito risonante a 3 punti. La L b e' un'induttanza di blocco (choke) che impedisce alle alte frequenze di entrare nella rete di alimentazione. La R s è una resistenza di elevato valore che consente l'autopolarizzazione del JFET nel punto di lavoro imposto da R s Oscillatori a quarzo 12

13 Gli oscillatori a quarzo sfruttano l'effetto piezoelettrico per ottenere una elevata stabilita di frequenza. Si definisce stabilità di frequenza la variazione percentuale della frequenza del segnale prodotto da un oscillatore nell'intorno del valore nominale f o. La relazione che esprime matematicamente la stabilità di frequenza e': S% = 100 f / f o Le cause della instabilità di frequenza sono molteplici, legate in particolare alle variazioni della temperatura, della tensione di alimentazione e del carico. L'influenza del carico può essere minimizzata inserendo tra l'oscillatore e l'utilizzatore uno stadio separatore (buffer), costituito ad esempio da un amplificatore nella configurazione a inseguitore. L'impiego di tensioni di alimentazione fortemente stabilizzate, di componenti resistivi a basso coefficiente di temperatura e di circuiti filtranti ad alta selettività, consente di raggiungere valori della stabilita di frequenza dell'ordine dello 0,01%, che tuttavia non sono sufficienti per molte applicazioni nelle quali sono richieste frequenze di lavoro rigorosamente costanti.valori di stabilita nettamente superiori, dell'ordine di 10e-5 10e-7 (ovvero di 10e- 1 10e-4 ppm, parti per milione), si ottengono inserendo nel circuito fíltrante dell'oscillatore un cristallo piezoetettrico, cioè una lamina di quarzo compresa fra due elettrodi. Elettricamente il cristallo piezoelettrico presenta due frequenze di risonanza, come risulta dal circuito equivalente rappresentato in figura 13 13

14 Fig. 13 a) Circuito equivalente di un cristallo piezoelettrico; b) caratteristica di impedenza I valori di L, C, R dipendono dalle caratteristiche meccaniche del cristallo e precisamente dalle sue dimensioni (maggiore è la massa, più bassa e' la frequenza di vibrazione), dal coefficiente di elasticità del materiale e dall'attrito interno (perdite per isteresi meccanica). Il valore di C o è invece quello della capacità elettrica fra i due elettrodi metallici della lamina. Ne risulta un circuito serie-parallelo con una risonanza serie frequenza s per cui si ha: s 2 LC = 1 ed una risonanza parallelo alla frequenza p p 2 LC = 1 p > s In corrispondenza di s l'impedenza e' minima ( risonanza di corrente), mentre in corrispondenza di p e' massima (risonanza di tensione), come indicato nel grafico di figura 13. A tali frequenze, il valore di R nel circuito equivalente risulta piccolo in confronto alla reattanza della L, per cui il fattore di risonanza Q ha un valore elevatissimo dell'ordine di 10e 3 10e 6. Da qui la grande selettività del circuito e l'alta stabilita di frequenza che ne deriva per gli oscillatori a quarzo. Come si vede, le due frequenze di risonanza sono molto vicine fra loro. In corrispondenza di s e di p l'impedenza del cristallo è, per definizione, puramente ohmica; tra le due frequenze è invece di tipo induttivo, mentre al disotto di s e al disopra di p è di tipo capacitivo. Oscillatori a quarzo: circuiti L'inserimento del cristallo piezoelettrico in un oscillatore può avvenire in molti modi, cui corrispondono diversi tipi di oscillatori a quarzo, per lo più realizzati secondo lo schema a tre punti. Esempio applicativo di oscillatore a quarzo e il circuito di Pierce, schematizzato in figura14: 14

15 Fig. 14 Oscillatore di Pierce. Si tratta di un oscillatore Colpitts nel quale, al posto dell'induttanza L del circuito risonante a tre punti, è inserito un cristallo di quarzo funzionante nella zona induttiva, cioè a frequenza compresa tra f s e f p. I valori della frequenza di oscillazione degli oscillatori a quarzo vanno da alcuni khz fino al centinaio di MHz. Al disotto di qualche khz lo spessore della lamina di quarzo diventa eccessivo per una efficace eccitazione; viceversa, per frequenze al disopra di alcuni MHz la lamina risulta troppo sottile per una sufficiente resistenza meccanica: si può pero eccitare il quarzo "in armonica" (funzionamento in overtone) e giungere così fino centinaia di MHz. I quarzi con frequenze di risonanza non elevate possono essere impiegati oscillatori per bassa frequenza, realizzati con amplificatori operazionali secondo uno schema detto a ponte di Meacham come indicato in fig

16 Fig. 15 Schema di principio di un oscillatore a ponte di Meacham la condizione di oscillazione è espressa dalla relazione: R 1 ( R + R 3 ) >= R ( R 1 + R 2 ) dove R è la resistenza serie del circuito equivalente del quarzo. Il circuito oscilla alla frequenza di risonanza serie f s coincidente con la frequenza di risonanza meccanica propria del quarzo (detta anche frequenza naturale del quarzo), e ciò consente di ottenere oscillatori ad elevatissima stabilità di frequenza. 16

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