CONCETTI DI MATEMATICA FINANZIARIA

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2 M. SCOVENNA M. CHIODI A. MANGIAROTTI CONCETTI DI MATEMATICA FINANZIARIA AMBITO ECONOMICO

3 internet: Proprietà letteraria riservata 2003 CEDAM SpA Padova 2007 Diffusione Scolastica s.r.l. Novara 2010 De Agostini Scuola SpA Novara 1 a edizione: marzo 2003 Printed in Italy CEDAM Scuola è un marchio registrato e concesso in licenza da Wolters Kluwer Italia s.r.l. a De Agostini Scuola SpA. In copertina: Gian Calloni, Primavera. L Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 74/92 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l autorizzazione scritta dell Editore. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n Le riproduzioni effettuate per finalità di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, segreteria@aidro.org e sito web Eventuali segnalazioni di errori o refusi e richieste di chiarimenti sulle scelte operate dagli Autori e dalla Casa editrice possono essere inviate all indirizzo di posta elettronica della Redazione. Stampa: Zanardi Group Ristampe Anno

4 Presentazione «Oggi quasi tutti sanno che la matematica è una disciplina importante, necessaria praticamente in tutti i settori della scienza e della tecnica e che il solo fatto di averne una discreta conoscenza apre la strada a un numero sempre maggiore di professioni.» J. DIEUDONNÉ Questo volume, per gli Istituti Tecnici ad indirizzo Economico-Commerciale, è stato redatto tenendo presente anzitutto l importanza della Matematica Finanziaria ai fini della formazione professionale e cercando altresì di considerare l attuale preparazione degli studenti e il rilevante cumulo d impegni rappresentato da tante altre materie di studio. Nello stesso tempo, si è cercato di mettere a disposizione dei Docenti un testo che consenta loro di svolgere l intero programma, pur nel breve tempo disponibile. Per queste ragioni, questo testo di Matematica Finanziaria è stato sviluppato secondo i programmi vigenti, ma in modo volutamente semplice ed elementare, senza ampliamenti e aggiunte di argomenti non espressamente richiesti. Lo schema logico del volume è il seguente. Dopo aver trattato la capitalizzazione e lo sconto, viene affrontato il problema fondamentale delle rendite, e, come suo naturale sviluppo, viene trattata la soluzione del problema dell ammortamento di un mutuo (o prestito) e presentata una moderna tecnica di finanziamento: il leasing. Il metodo didattico seguito nell esposizione degli argomenti è deduttivo, anche se sostanzialmente sistematico. Ogni argomento è stato dettagliatamente rivisto ed accuratamente esposto, in forma chiara e scorrevole, con l impegno di illustrarne ogni aspetto critico. Gli esercizi proposti, interamente dovuti alla prof. sa A. Mangiarotti e al prof. M. Chiodi, seguono, per ogni argomento, un percorso logico aderente alla teoria e sono graduati per difficoltà. Agli esercizi tradizionali, sono affiancati esercizi svolti, guidati e verifiche. In quasi tutte le Unità sono presenti delle Attività di Recupero, per offrire allo studente in difficoltà la possibilità di rivedere i concetti fondamentali dell argomento e colmare le eventuali lacune. Alla fine di ogni unità didattica, viene proposta la rubrica: «Verifica (... verso la terza prova)» che contiene domande aperte, a completamento, test vero o falso e domande a risposta multipla in preparazione allo svolgimento della III prova scritta dell Esame di Stato. Tutti gli esercizi sono finalizzati all acquisizione dei contenuti, al raggiungimento delle abilità operative e allo sviluppo delle capacità logico-deduttive. L impostazione grafica è stata pensata per migliorare al massimo la chiarezza dell esposizione e facilitare così l apprendimento. Si segnala l individuazione immediata, grazie alla differenziazione grafica, di: definizioni - teoremi - regole - esempi - richiami teorici - note storiche ed, infine, la presenza di tabelle riassuntive. Ringrazio vivamente il prof. D. Ciceri per la collaborazione nella stesura delle schede di utilizzo di EXCEL in laboratorio. Monza, 5 Marzo 2003 Marina Scovenna

5 Indice 1 Capitalizzazione e sconto Operazioni finanziarie (3). Il tempo. Durata, scadenza, periodo (4). Capitale iniziale, interesse, montante (5). Principio di equivalenza finanziaria (6). Capitalizzazione semplice (7). Interesse semplice (7). Problemi inversi (9). Montante a interesse semplice (10). Grafici di I ed M (11). Capitalizzazione composta (12). Definizioni (12). Montante composto (13). Rappresentazione grafica del montante (14). Montante per un numero non intero di periodi (15). Problemi inversi (17). Sconto (19). Sconto e valore attuale (19). Sconto razionale (o semplice) (20). Tasso di sconto razionale (20). Sconto commerciale (22). Tasso di sconto commerciale (23). Sconto composto (25). Tasso di sconto composto (26). Fattore di sconto (27). Confronto fra i vari tipi di sconto (29). ESERCIZI (32). VERIFICHE SOMMATIVE (40, 41, 47, 52, 56). VERIFICA (... VERSO LA TERZA PROVA) (57). Approfondimento. Calcolo degli interessi in un conto corrente (59). ATTIVITÀ DI RECUPERO (61). ESERCIZI IN LABORATORIO (66). 2 Equivalenza finanziaria Tassi equivalenti (69). Tasso nominale convertibile e tassi effettivi (71). Problemi vari (73). Leggi di capitalizzazione scindibili e non scindibili (75). Sconti scindibili e non scindibili (76). Operazioni finanziarie composte (77). Tasso medio di più impieghi (80). ESERCIZI (81). VERIFICA SOMMATIVA (95). VERIFICA (... VERSO LA TERZA PROVA) (96). ATTIVITÀ DI RECUPERO (99). 3 Rendite certe Progressioni (103). Progressioni aritmetiche (103). Progressioni geometriche (106). Rendite (109) Rendite certe (109). Rendite a rate annue costanti (112). Rendita temporanea, immediata e posticipata (113). Rendita temporanea, immediata ed anticipata (116). Valore attuale di una rendita perpetua immediata (118). Valore attuale di una rendita differita (119). Rendite frazionate (121). Problemi inversi (122). Determinazione della rata (122). Determinazione del numero delle rate (125). Determinazione del tasso (130). Eendite variabili (135) Rendita con i termini in progressione aritmetica (135). Rendita con i termini in progressione geometrica (137). Argomenti complementari (139) La costituzione di capitale (139). Strumenti alternativi di risparmio, fondi comuni (141). ESERCIZI (142). VERIFICHE SOMMATIVE (161, 166, 167). VERIFICA (... VERSO LA TERZA PROVA) (168). ATTIVITÀ DI RECUPERO (171). ESERCIZI IN LABORATORIO (176). 4 Ammortamenti. Operazioni di Leasing Ammortamenti (179). Considerazioni generali (179). Piano di ammortamento (181). Sistema progressivo (o francese) (183). Ammortamento con quote costanti di capitale (o uniforme) (186). Ammortamento americano (o a due tassi) (187). Valutazione di un prestito (189). Cenno ai prestiti con obbligazioni (190). Operazioni di Leasing (191). Generalità sul leasing (191). I contratti di leasing (192). Determinazione del tasso di interesse in un operazione di leasing (197). Riscatto anticipato del contratto (199). ESERCIZI (200). VERIFICA SOMMATIVA (217). VERIFICA (... VERSO LA TERZA PROVA (218). ATTIVITÀ DI RECUPERO (220). TAVOLE FINANZIARIE (224)

6 Matematica finanziaria Capitalizzazione semplice REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE Capitalizzazione composta OPERAZIONI DI CAPITALIZZAZIONE OPERAZIONI FINANZIARIE EQUIVALENZA FINANZIARIA OPERAZIONI DI SCONTO Tassi equivalenti Problemi di unificazione di crediti Problemi di scadenza media e comune Problemi di tasso medio RENDITE Costituzioni di capitali Ammortamenti di prestiti Operazioni di leasing Metodo italiano Metodo francese Metodo americano

7 Prerequisiti Saper operare con le potenze. Risolvere equazioni lineari, di secondo grado e biquadratiche. Conoscere il piano cartesiano, la retta e la funzione esponenziale. Saper applicare le proprietà dei logaritmi. Risolvere semplici equazioni esponenziali. Conoscere le successioni e le progressioni. Conoscere la legge della somma dei primi n termini di una progressione geometrica. Obiettivi Competenze 1 Conoscendo le leggi che regolano i regimi finanziari e facendo uso dell asse dei tempi, modellizzare operazioni finanziarie e risolvere semplici problemi di capitalizzazione e sconto. 2 Avendo compreso il principio di equivalenza finanziaria ed il concetto di scindibilità della capitalizzazione composta, risolvere problemi. 3 Avendo acquisito il concetto di rendita come successione di capitali, calcolare il valore di una rendita in un epoca prefissata e risolvere problemi sulle rendite. 4 Conoscendo le caratteristiche di operazioni finanziarie quali la costituzione di un capitale e l ammortamento di un prestito, redigere piani di costituzione e piani di ammortamento (anche con l utilizzo del leasing). Descrittori Per la competenza 1 O Conoscere i regimi di capitalizzazione semplice e composta e fare esempi di operazioni finanziarie. O Distinguere le operazioni di capitalizzazione dalle operazioni di sconto e calcolare l interesse prodotto da un capitale anche con tasso e tempo frazionati. O Effettuare la valutazione di un capitale in un dato tempo. O Descrivere i vari tipi di sconto: razionale, commerciale e composto. O Conoscere la capitalizzazione frazionata. O Calcolare i tassi equivalenti. O Rappresentare un operazione finanziaria mediante l asse dei tempi e risolvere semplici problemi. O Risolvere semplici problemi sugli sconti. O Effettuare scelte. Per la competenza 2 O Conoscere il principio di equivalenza finanziaria. O Comprendere il concetto di scindibilità di un regime di capitalizzazione. O Applicare il principio di equivalenza finanziaria nella risoluzione di problemi di unificazione di crediti e di sostituzione di capitale. Per la competenza 3 O Definire una rendita e descriverne le proprietà. O Valutare una rendita annua temporanea in una data epoca. O Valutare una rendita frazionata temporanea in una data epoca. O Valutare una rendita perpetua in una data epoca. Per la competenza 4 O Redigere un piano di costituzione di un capitale. O Calcolare il fondo di costituzione di un capitale. O Calcolare il numero delle rate in operazioni finanziarie di costituzione di un capitale con l interpolazione lineare. O Saper descrivere i vari metodi di ammortamento di un prestito. O Redigere un piano di ammortamento di un prestito con metodo uniforme. O Redigere un piano di ammortamento di un prestito con metodo progressivo. O Calcolare il numero delle rate in operazioni finanziarie di ammortamento di un prestito. O Risolvere problemi di leasing. Fonte: DB Private Banking World

8 1Capitalizzazione e sconto 1. Operazioni finanziarie Si dà la seguente: Definizione «Un Tien vaut, ce dit-on, mieux que deux Tu l auras; L un est sûr, l autre ne l est pas». LA FONTAINE, FABLES Si dicono operazioni finanziarie quelle operazioni in cui avviene uno scambio di capitali, intesi come somme di denaro, riferiti a epoche diverse, in condizioni di certezza. Sono operazioni finanziarie le seguenti: O Oggi A presta a B euro, per ottenere da B euro fra un anno. O Oggi A deposita in banca euro, per avere dalla banca euro fra 5 anni. O Oggi A deposita in banca euro, per avere dalla banca 338 euro fra 5 anni e euro fra 7 anni. Queste operazioni, dette anche prestazioni finanziarie, esigono la presenza di due parti, ocontraenti, A e B. Facendo esplicito riferimento a una delle parti, ad es. A, conveniamo di chiamare: O prestazioni i«movimenti» dia verso B, che si esprimono in costi e pagamenti di A; O controprestazioni i«movimenti» dib verso A, che si esprimono in ricavi e incassi di A. Si distinguono poi le: O operazioni finanziarie semplici O operazioni finanziarie complesse che risultano dallo scambio fra una sola prestazione e una sola controprestazione (in esse si ha dunque un solo costo eunsolo ricavo); che risultano dallo scambio fra una sola prestazione e più controprestazioni (o viceversa), oppure dallo scambio fra più prestazioni e più controprestazioni (in esse si possono avere dunque un solo costo e più ricavi, oppure più costi e un solo ricavo, o anche più costi e più ricavi). I primi due esempi precedenti sono operazioni finanziarie semplici, mentre il terzo è un operazione finanziaria complessa. Altre operazioni finanziarie complesse sono: il rimborso di un debito; illeasing (che è un caso particolare dell operazione precedente); la costituzione di un capitale,...; che studieremo nelle successive Unità. Questo proverbio francese del XIII secolo citato dal poeta La Fontaine viene tradotto nelle varie lingue con diverse metafore. In italiano, la traduzione più fedele potrebbe essere: «Meglio un uovo oggi che una gallina domani; l uno è sicuro, l altra no».

9 . 4 Unità 1 2. Il tempo. Durata, scadenza, periodo Tutte le volte in cui ha luogo uno scambio di capitali, bisogna tener conto dell istante in cui questo avviene, ed è anche indispensabile conoscere il tempo in cui il capitale verrà restituito. Le operazioni finanziarie sono sempre legate al fattore «tempo». Il tempo può essere rappresentato graficamente con un sistema cartesiano fissato su una retta orientata, detta «asse dei tempi», nel quale: O il verso nella retta indica il trascorrere del tempo; O l origine rappresenta l istante in cui si comincia a contare il tempo; O l unità di misura è l unità di tempo prescelta (anno, semestre, quadrimestre, trimestre, mese,..., giorno,...). Nelle figg. 1.1, 1.2 e 1.3, vengono rappresentate le operazioni esposte negli esempi del par. 1, dove i costi sono preceduti dal segno, eiricavi dal segno þ: Fig t Fig t Fig t La durata di un operazione finanziaria è il tempo che intercorre tra la cessione del capitale e la sua completa restituzione. Può essere misurata in anni, o sottomultipli di anno (semestri, quadrimestri, mesi,...). L anno si considera, secondo i casi: O anno civile O anno commerciale di 365 giorni, in cui i mesi hanno la loro effettiva durata; di 360 giorni, in cui i mesi si considerano tutti di 30 giorni. Si chiama scadenza il tempo in cui avviene una prestazione (o controprestazione). Se A acquista la casa con un mutuo che prevede la restituzione di euro l anno in due rate da versare, per 10 anni, una il 30 giugno e una il 30 dicembre, queste due date costituiscono delle scadenze. L intervallo di tempo fra la scadenza di una somma e la successiva si dice periodo. Nell esempio precedente, si hanno 20 periodi di 6 mesi ciascuno. Tuttavia, i periodi possono avere anche durate diverse.

10 Capitalizzazione e sconto Capitale iniziale, interesse, montante Definizioni O Il capitale iniziale C è il valore del capitale impiegato all inizio dell operazione finanziaria, cioè il capitale messo a frutto. O L interesse I è il compenso che spetta a colui che presta un capitale per un certo tempo. L entità dell interesse dipende sia dall entità del capitale prestato, sia dalla durata del prestito, ma può dipendere anche da altre circostanze, quali, ad esempio, l andamento del mercato finanziario, la maggiore o minore fiducia del creditore nel debitore, ecc. Tuttavia, in Matematica Finanziaria, si prescinde da tutte queste circostanze contingenti (ed aleatorie), cioè si opera in condizioni di certezza, ammettendo che l interesse dipenda solamente dall ammontare del capitale prestato e dalla durata del prestito. Si dà, inoltre, la seguente: Definizione Si chiama tasso di interesse l interesse prodotto dall unità di capitale (ad es. un euro, un dollaro,...) nell unità di tempo. Il tasso unitario si dirà poi annuo, semestrale, mensile, ecc., a seconda che l unità di tempo adottata sia, rispettivamente, l anno, il semestre, il mese, ecc. Inoltre, occorre tenere ben presente che: in ogni operazione finanziaria si deve sempre esprimere il tempo nella stessa unità (di tempo) rispetto alla quale viene riferito il tasso di interesse. Infine, ammettendo, come faremo sempre, che l interesse sia proporzionale al capitale, avremo che, se i è l interesse annuo di un euro, l interesse annuo di 100 euro sarà: 100 i; e questo interesse si chiama tasso percentuale (o percento). Dire che un capitale viene impiegato al 15% significa dire che 100 euro fruttano 15 euro di interesse nell unità di tempo. Invece il tasso unitario, cioè l interesse prodotto da un euro nell unità di tempo è: ¼0;15. Infine: Definizione Si chiama valore finale, omontante, M il valore del capitale al tempo t, cioè al termine dell operazione finanziaria. Dunque, il montante M è dato dalla somma del capitale iniziale C e dell interesse I. La notazione % che accompagna il tasso percentuale si legge «percento».

11 . 6 Unità 1 Si ha la relazione fondamentale: M ¼ C þ I ; ma, come si calcola I? Determinare I, e quindi M, significa eseguire un procedimento detto capitalizzazione. Il complesso delle norme con cui viene calcolato I si chiama legge, oregime, di capitalizzazione. Esistono due metodi per calcolare l interesse I, che danno luogo a due regimi di capitalizzazione, detti: O capitalizzazione semplice, in cui l interesse non è fruttifero, in quanto è il solo capitale iniziale a fruttare; O capitalizzazione composta, in cui l interesse è fruttifero, perché, alla fine di ogni periodo, si aggiunge al capitale iniziale e produce, a sua volta, un interesse nei periodi successivi. 4. Principio di equivalenza finanziaria Le operazioni di prestito e quelle di sconto, che studieremo in questa Unità, costituiscono, in sostanza, operazioni di scambio di capitali che sono riferite a epoche diverse. Infatti: O un operazione di prestito non è altro che lo scambio fra il capitale C e il montante M: si cede C in cambio di M alla scadenza del prestito; O un operazione di sconto, come vedremo, non è altro che lo scambio fra il capitale M e il valore scontato C: si cede M, esigibile dopo un certo tempo, in cambio di C. In ogni caso, perché lo scambio sia equo, occorre che i capitali scambiati vengano giudicati equivalenti in senso finanziario. Questo significa che, quando si scambia C con M, si ritiene indifferente disporre di C adesso, oppure di M dopo un certo tempo. Analogamente, si ritiene indifferente ricevere C adesso al posto di M dopo un certo tempo. Per chiarire il concetto fondamentale di equivalenza finanziaria, consideriamo il seguente esempio. A un operatore finanziario, si offre la possibilità di concedere in prestito 800 euro per la durata di 5 anni, al tasso dell 8%, in cambio di F 1:175;46 dopo 5 anni. Ci si chiede se si tratti di uno scambio equo, cioè se, fra i due capitali, quello di F 800 euro e quello di F 1:175;46 dopo 5 anni, esista equivalenza finanziaria. Per confrontare i due capitali in senso finanziario, occorre riferire entrambi i capitali a una stessa epoca. In questo caso, si può prendere in considerazione come epoca di riferimento il tempo 5, e quindi trasferire il capitale di 800 euro in avanti per t ¼ 5. Si tratta cioè di sapere quale montante produrrà, fra 5 anni, l investimento di 800 euro al tasso i ¼ 0; 08 e confrontarlo con il capitale di 1:175; 46 euro. Se si utilizza la legge di interesse composto, si ottiene (come vedremo al par. 10): 800 1; 08 5 ¼ 1:175; 46: Come si vede, i due valori riferiti al tempo 5, in base alla legge di interesse composto annuo i ¼ 0; 08, coincidono. Vuol dire allora che, prendendo come epoca di riferimento il tempo t ¼ 5 e adottando, ai fini della valutazione, la legge di interesse composto annuo al tasso i ¼ 0; 08, i due capitali, quello di 800 euro e quello 1.175,46 euro, dopo 5 anni, sono equivalenti. In altre parole, risulta indifferente, dal punto di vista puramente finanziario, disporre di 800 euro subito, oppure di 1.175,46 euro dopo 5 anni. Osservazione Come epoca di riferimento può essere assunta anche un epoca diversa e, come legge di valutazione utile per rendere confrontabili i capitali, può essere usata anche una legge diversa. Così, se, ad esempio, l epoca alla quale si fa riferimento comporta un trasferimento all indietro, non si può usare una legge di interesse come legge di valutazione, ma si deve usare una legge di sconto. In ogni caso, dall esempio precedente, si può dedurre che, per decidere se due capitali siano equivalenti in senso finanziario, occorre: fissare un epoca di riferimento; trasferire i capitali all epoca di riferimento fissata, adottando un opportuna legge d interesse, oppure di sconto.

12 Capitalizzazione e sconto 7. CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE 5. Interesse semplice Nella capitalizzazione semplice, l interesse, che è detto anche interesse semplice, viene determinato mediante la seguente regola: R1. L interesse semplice viene calcolato ammettendo che sia direttamente proporzionale al capitale impiegato e alla durata dell impiego. Se i è l interesse di un euro in un anno, allora 2i èl interesse annuo di due euro e 3i l interesse annuo di tre euro. In generale, C ièl interesse di C euro in un anno. Così pure: C i 2, C i 3,..., C i t sono, rispettivamente, gli interessi prodotti dal capitale C in 2, 3,..., t anni. Perciò, nella capitalizzazione semplice, l interesse prodotto, in t anni, da un capitale C impiegato al tasso annuo i, è dato dalla formula: I ¼ C i t : Di solito, l unità di tempo riferita al tasso i è l anno. Ma, frequentemente, si considerano anche frazioni di anno, come un mese, un trimestre, un semestre ecc. In questi casi, è importante tenere ben presente che: l unità relativa al tasso i deve essere la stessa in cui è espresso il tempo t. Questo significa che, se i è il tasso unitario annuo ed il tempo t è inferiore ad un anno, si deve esprimere t in frazioni di anno utilizzando lo schema che segue: se la durata è espressa in m mesi, si avrà: t ¼ m 12 anni e I ¼ Ci m 12 ; se la durata è espressa in g giorni, considerando l anno civile formato da 365 giorni, si avrà: t ¼ g 365 anni e I ¼ Ci g 365 ; se la durata è espressa in g giorni, considerando l anno commerciale formato da 360 giorni, si avrà : t ¼ g 360 anni e I ¼ Ci g 360 : Generalmente, nelle applicazioni concrete, viene assegnato il tasso annuo percentuale p, che è, come abbiamo già detto, l interesse prodotto da un capitale di F 100 in un anno. Per passare da p a i, èsufficiente dividerne il valore per 100. Il tasso unitario corrispondente a p ¼ 6% è: i ¼ p 100 ¼ 6 ¼ 0; 06: 100 Negli esercizi (salvo diversa indicazione), verrà adottata la convenzione dell anno commerciale, che è quella usata più comunemente.

13 . 8 Unità 1 Osservazione Si può provare che, ad esempio, in regime di capitalizzazione semplice: O il tasso del 5% semestrale equivale al 10% annuo, O il tasso del 12% annuo equivale al 4% trimestrale. Se si capitalizzano euro per 2 anni, al 5% semestrale, si ottiene: I ¼ 1:000 0; 05 4 ¼ 200: Se si capitalizzano euro per 2 anni, al 10% annuo, si ha: I ¼ 1:000 0; 1 2 ¼ 200: Esempi.1 Determinare l interesse semplice di F , al 5% annuo, per 3 anni. Essendo: C ¼ 15:000 (euro), i ¼ 0; 055, t ¼ 3 anni, :000 þ I si ha (fig. 1.4): 0 3 t I ¼ Cit¼ 15:000 0; ¼ 2:475 ðeuroþ: Figura Determinare l interesse semplice di F 900, al 3% annuo, per 4 mesi. Essendo: C ¼ 900 (euro), i ¼ 0; 03, t ¼ 4 mesi ¼ 4 12 (di anno), si ha (fig. 1.5): I ¼ Cit¼ 900 0; ¼ 9 (euro) þ I 0 4 t 12.3 Determinare l interesse semplice di F 5.000, al 7% annuo, per 150 giorni. Essendo: Figura 1.5 C ¼ 5:000 (euro), i ¼ 0; 07, t ¼ 150 giorni, si ha (fig. 1.6): O usando l anno commerciale ) I ¼ 5:000 0; O usando l anno civile ) I ¼ 5:000 0; ¼ 145,83 (euro); ¼ 143,84 (euro) :000 þ I t 360 Figura Determinare l interesse semplice di 500 dollari, al 3% trimestrale, per 2 anni e 6 mesi. Essendo: C ¼ 500 (dollari), i ¼ 0; 03 (trimestrale), t ¼ 2 anni e 6 mesi, si deve esprimere il tempo nella stessa unità di misura in cui è dato il tasso, cioè in trimestri. Poiché 2 anni sono 8 trimestri e 6 mesi sono 2 trimestri, si ha che: t ¼ 10 trimestri. Pertanto, si ha (fig. 1.7): I ¼ Cit¼ 500 0; ¼ 150 (dollari) þ I 0 10 t Figura 1.7

14 Capitalizzazione e sconto 9..5 Calcolare l interesse semplice di F200, al 4% semestrale, per 1 anno e 3 mesi. Essendo: C ¼ 200 (euro). i ¼ 0; 04 (semestrale), t ¼ 1 anno e 3 mesi, si deve esprimere il tempo in semestri, ovvero: t ¼ 2 þ 3 6 ¼ 2; 5 semestri. Pertanto, si ha (fig. 1.8): I ¼ Cit¼ 200 0; 04 2; 5 ¼ 20 ðeuroþ þ I 0 2,5 t Figura Problemi inversi Dalla formula: I ¼ Cit, si possono ricavare le formule che permettono di risolvere i seguenti problemi inversi: O calcolo del capitale C quando siano noti I, i, t ) C ¼ I it O calcolo del tempo t quando siano noti I, C, i ) t ¼ I Ci O calcolo del tasso i quando siano noti I, C, t ) i ¼ I Ct. Esempi.1 Ricerca del capitale Una persona ha concesso in prestito un certo capitale per la durata di 8 mesi. Sapendo che l interesse semplice maturato alla scadenza, al tasso del 7;5%, è di F , calcolare il capitale. Essendo: t ¼ 8 12, i ¼ 0;075, I ¼ 23:000, si ha: 23:000 ¼ C 0; Da questa si ricava quindi: C ¼ 23:000 0;075 2 ¼ 460:000 ðeuroþ: 3.2 Ricerca del tempo Una persona ha concesso in prestito un capitale di F 100 al tasso del 6;50%. Sapendo che l interesse semplice maturato alla scadenza è di 35 euro, calcolare la durata del prestito. Essendo: C ¼ 100, i ¼ 0;065, I ¼ 35, si ha: 35 ¼ 100 0;065 t. Da questa si ricava quindi: 35 t ¼ ¼ 5;38; cioè 5 anni þ 0;38 anni ¼ 5a þ 137g ¼ 5a þ 4m þ 17g ;065

15 . 10 Unità 1.3 Ricerca del tasso Una persona ha dato in prestito un capitale di F 220 per 1 anno e 6 mesi. Sapendo che l interesse semplice maturato alla scadenza è di F 32, calcolare il tasso. Essendo: C ¼ 220, t ¼ 1 þ 6 12 ¼ 1;5, I ¼ 32, si ha: 32 ¼ 220 i 1;5. Da questa si ricava quindi: i ¼ 32 ¼ 0;097 circa; cioè 9;7% ;5 7. Montante a interesse semplice Il montante è, come abbiamo detto (par. 3), la somma del capitale iniziale C con l interesse I maturato al termine dell operazione, cioè dopo il tempo t. Quindi, conoscendo come si calcola l interesse I, si ha: M ¼ C þ I ¼ C þ Cit; cioè: M ¼ Cð1 þ itþ. Il montante di un capitale C di F 300, al tasso di interesse del 5% annuo, per 9 mesi, è dato da: 9 M ¼ Cð1 þ itþ ¼300 1 þ 0;05 ¼ 311;25 ðeuroþ: 12 Il fattore ð1 þ itþ viene detto fattore di capitalizzazione semplice (o anche fattore di montante a interesse semplice) ed ha il significato che segue: ð1 þ itþ rappresenta il montante a interesse semplice di 1 euro, al tasso i, per il tempo t. Infatti, da: M ¼ Cð1 þ itþ, posto: C ¼ 1, si ha: M ¼ 1 þ it. Ne segue la regola: R2. Per ottenere il montante del capitale C, al tasso i, per il tempo t, basta moltiplicare il capitale C per il fattore di montante ð1 þ itþ. Si osservi, che, nella pratica, l interesse semplice viene usato solo per impieghi di breve durata, di solito inferiori all anno. Dalla formula si possono ricavare le formule che permettono di risolvere i seguenti problemi inversi: O calcolo del capitale C quando siano noti M; i; t ) C ¼ M 1 þ it O calcolo del tempo t quando siano noti C; M; i ) t ¼ M C C i O calcolo del tasso i quando siano noti C; M; t ) i ¼ M C C t. Quindi, nelle applicazioni, è sufficiente conoscere a memoria solo la formula per poter ricavare le altre.

16 Capitalizzazione e sconto 11. Esempi.1 Determinare il capitale che, in 2 anni, al tasso annuo d interesse semplice del 6;75%, dà il montante di F Sono noti: M ¼ 45:400, t ¼ 2, i ¼ 0;0675. Con questi dati, sostituiti nella, si ottiene l equazione: 45:400 ¼ Cð1 þ 0;0675 2Þ; la cui soluzione è: C ¼ 45:400 1 þ 0; ¼ 40:000 (euro)..2 Calcolare il tasso annuo di interesse semplice che consente, in 5 mesi, di portare un capitale da F 600 a F 617;875. Si ha: Si ha l equazione in i: e quindi: 617;875 ¼ 600 C ¼ 600, M ¼ 617;875, t ¼ 5 12 : 5 617; þ i ; da cui: i ¼ ; i ¼ 0;0715, pari al 7;5% annuo..3 Determinare il tempo d impiego di F 5:000 che, al tasso d interesse semplice del 3% semestrale, hanno dato un montante di F 6:225. Sono noti: Si ottiene l equazione in t: la cui soluzione è: C ¼ 5:000, M ¼ 6:225, i ¼ 0;03 semestrale: 6:225 ¼ 5:000 ð1 þ 0;03 tþ, cioè: t ¼ t ¼ 8;17 semestri, 6:225 5:000 5:000 0;03, pari a 4 anni e 1 mese circa. 8. Grafici di I ed M Fissato un sistema di riferimento di assi cartesiani Oxy, si possono rappresentare graficamente I e M come funzioni del tempo t (fig. 1.9). Posto: t ¼ x e I ¼ y, dai ¼ Cit, si ha: y ¼ Cix. Ponendo Ci ¼ m (essendo capitale e tasso unitario valori numerici), si ha y ¼ mx e cioè l interesse risulta essere una funzione lineare del tempo. Precisamente, essendo t > 0, si può rappresentare l interesse I con una semiretta crescente che passa per l origine ed ha coefficiente angolare: m ¼ Ci > 0. Il montante M ¼ C þ Cit ¼ Cð1 þ itþ è quindi rappresentato da una semiretta parallela a quella dell interesse che interseca l asse y nel punto di ordinata C. y C O y = C + Cit = C(l + it) y = Cit Figura 1.9 x = t Molto spesso, anche se non sempre, gli euro vengono arrotondati alla 2 a cifra decimale. Negli esempi che svolgeremo, che hanno soprattutto carattere dedattico, non sempre seguiremo questa convenzione.

17 . 12 Unità 1 CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA 9. Definizioni Con la capitalizzazione semplice, l interesse che matura progressivamente, al passare del tempo d impiego, rimane distinto dal capitale fruttifero e si aggiunge ad esso soltanto alla fine. Come abbiamo detto (par. 7): la capitalizzazione semplice viene comunemente usata per brevi intervalli di tempo, in genere non superiori all anno. Quando invece la durata dell impiego non è breve, si è soliti suddividerla in periodi (anni, o sottomultipli interi dell anno), generalmente uguali tra loro e, alla scadenza di ciascuno di questi, gli interessi semplici, relativi al periodo trascorso, vengono calcolati ed aggiunti al capitale precedente, diventando, a loro volta, capitale fruttifero. Con questo procedimento, detto di capitalizzazione composta, si dice che gli interessi maturati alla fine di ciascun periodo vengono capitalizzati. Calcolare il montante di un capitale di F impiegato per 3 anni, al tasso annuo del 4%, in regime di capitalizzazione composta. Si ha dunque: C ¼ 3:000; i ¼ 0;04; n ¼ 3. Il montante semplice, alla fine del primo anno, è: M 1 ¼ 3:000 ð1 þ 0;04Þ ¼3:120. Al principio del 2 o anno, il capitale è M 1,esu di esso si calcola il montante semplice alla fine del 2 o anno, ottenendo: M 2 ¼ 3:120 ð1 þ 0;04Þ ¼3:244;80. Al principio del 3 o anno, il capitale è M 2,esu di esso si calcola il montante semplice alla fine del 3 o anno, ottenendo: M 3 ¼ 3:244;80 ð1 þ 0;04Þ ¼3:374;592. Quest ultima somma è il montante composto dei euro impiegati per 3 anni al tasso del 4%. Con gli stessi dati, in regime di capitalizzazione semplice, il montante sarebbe stato: M 0 3 ¼ 3:000 ð1 þ 0;04 3Þ ¼3:360, che, come si può notare, risulta minore del montante composto. Il metodo di capitalizzazione composta viene dunque definito nel modo seguente: Definizione Una legge di capitalizzazione si dice composta quando il tempo d impiego di un capitale è suddiviso in più periodi e, alla fine di ciascuno di essi, l interesse semplice, prodotto dal capitale esistente all inizio del periodo, si aggiunge al capitale e, insieme ad esso, produce interesse nei periodi successivi. Questi periodi (al termine di ciascuno dei quali, gli interessi maturati vengono capitalizzati) si dicono periodi di capitalizzazione e, di solito, si suppongono uguali fra loro. La capitalizzazione composta si dirà annua, se il periodo di capitalizzazione è l anno, oppure frazionata, se il periodo di capitalizzazione è un sottomultiplo dell anno (semestre, trimestre, mese, ecc.).

18 Capitalizzazione e sconto Montante composto Vogliamo determinare una formula per il calcolo del montante di un capitale iniziale C, impiegato per n anni in regime di capitalizzazione composta, al tasso unitario i. Seguendo lo svolgersi dell operazione finanziaria anno per anno, avremo: O Montante alla fine del 1 o anno (v. esempio par. 9): M 1 ¼ Cð1 þ iþ; dove M 1 è il capitale fruttifero per il 2 o anno. O Montante alla fine del 2 o anno: M 2 ¼ M 1 ð1 þ iþ ¼Cð1 þ iþ 2 ; dove M 2 è il capitale fruttifero per il 3 o anno. O Montante alla fine del 3 o anno: M 3 ¼ M 2 ð1 þ iþ ¼Cð1 þ iþ 3 ; dove M 3 è il capitale fruttifero per il 4 o anno. E così via. Procedendo per induzione, si può dimostrare che, alla fine di n anni, il montante del capitale iniziale C vale: Dalla storia... I mercanti del XVIº secolo, da Venezia a Norimberga, fino ad Amburgo e a Londra, avevano le loro tavole di interessi compilate da esperti matematici. I manoscritti erano pressochè segreti, e custoditi gelosamente lontano dagli occhi del popolo che si preferiva ignorasse i profondi misteri della differenza fra il semplice e il composto. STEVINO DI BRUGES ( ) cassiere e ragioniere anch egli, ma geometra entusiasta, rese un cattivo servizio a quei mercanti quando pubblicò la prima tavola del genere, nel STEVINO fu uno dei massimi geometri del Rinascimento, ma furono importantissime anche le sue ricerche in meccanica dei solidi e dei fluidi. Egli inoltre promosse già allora l uso di un sistema metrico decimale, e benché le frazioni decimali fossero vagamente note prima di lui fu il primo che ne espose metodicamente le regole di calcolo. M ¼ Cð1 þ iþ n, cioè, posto u ¼ 1 þ i: M ¼ Cu n. Il termine u n ¼ð1 þ iþ n si chiama fattore di capitalizzazione composta ed è uguale al montante di un capitale unitario (ad es., di un euro), impiegato per n anni a interesse composto, al tasso i. Nel regime di interesse composto, l interesse complessivo si può calcolare quando si conoscono il capitale iniziale e il montante: da cui: I ¼ M C ¼ Cð1 þ iþ n C, ð2þ I ¼ C½ð1 þ iþ n 1Š, o anche: I ¼ Cðu n 1Þ. Calcolare il montante el interesse di un capitale di F 1:200 impiegato per 3 anni a interesse composto, al tasso annuo del 6%. Si ha: C ¼ 1:200, n ¼ 3 anni, i ¼ 0;06. Quindi: M ¼ Cð1 þ iþ n ¼ 1:200ð1 þ 0;06Þ 3 ¼ 1:200 1; ¼ 1:429;219 (euro), I ¼ C½ð1 þ iþ n 1Š ¼Cð1 þ iþ n C ¼ 1:429;219 1:200 ¼ 229;219 (euro).

19 . 14 Unità 1 Osservazioni l1 Se, fra n anni, si vuole disporre di un capitale M, basta investire adesso ad interesse composto, al M tasso d interesse i, il capitale C ottenuto dalla, cioè: ð1 þ iþ n. l2 Nell esempio della capitalizzazione composta, il periodo di capitalizzazione, come abbiamo detto, può anche essere differente dell anno. Infatti, si può anche convenire di capitalizzare gli interessi alla fine di ogni semestre, quadrimestre, trimestre, bimestre, ecc., e quindi considerare, invece della capitalizzazione annua, quella semestrale, quadrimestrale, trimestrale, bimestrale, ecc., rispettivamente. In questi casi, è sempre valida la formula, purché il tasso unitario di interesse i e il tempo n siano riferiti alla stessa unità di misura dei periodi di capitalizzazione. l3 Calcolo pratico dei montanti Il fattore u n ¼ð1 þ iþ n può essere calcolato facilmente con una calcolatrice tascabile dotata del tasto di elevamento a potenza. In mancanza di questo strumento, si può ricorrere alle tavole finanziarie, che contengono tutti i valori di u (per n intero da 0 a 120) corrispondenti ai valori di i di uso corrente. Questi prontuari sono facili da usare e contengono tutte le istruzioni necessarie allo scopo. 11. Rappresentazione grafica del montante La funzione nella variabile n: M ¼ Cð1 þ iþ n ¼ Cu n è, nel piano cartesiano OnM, una funzione esponenziale, il cui grafico è riportato in fig n M = C(1+ in) Figura 1.10 Riprendiamo ora il grafico del montante in regime di capitalizzazione semplice (dove abbiamo posto t ¼ n) e confrontiamolo con quello del montante in regime di capitalizzazione composta. Possiamo vedere che: O si evidenziano due punti in comune Að0; CÞ e Bð1; CuÞ; O la retta dà valori superiori a quelli della curva esponenziale quando n è compreso nell intervallo ð0; 1Þ ed inferiori quando n > 1. Quindi, possiamo dire che: O il montante, nei due regimi, è uguale quando n ¼ 0 ed n ¼ 1; O il montante composto è minore di quello semplice quando 0 < n < 1 e maggiore quando i tempi sono superiori all unità, cioè quando si supera un periodo di capitalizzazione. n

20 Capitalizzazione e sconto Montante per un numero non intero di periodi La formula del par. 10 è stata stabilita nell ipotesi di n intero positivo, cioè nell ipotesi che la durata del prestito sia un multiplo del periodo di capitalizzazione. Tuttavia, in pratica, può accadere che si debba impiegare un capitale per un numero non intero di periodi, ad esempio: per 8 anni, 5 mesi e 20 giorni. Per calcolare il montante in questi casi, si usano due convenzioni. & Convenzione lineare (o mista) Se il tempo d impiego del capitale C è di n anni più una frazione f di anno (con f < 1), cioè se è: t ¼ n þ f; allora, prima si calcola il montante composto di C per n anni, ottenendo: M ¼ Cð1 þ iþ n ; e poi si calcola l interesse semplice prodotto dal capitale M nella frazione f di anno, ottenendo: I ¼ M i f: Con la convenzione lineare si assume dunque, come montante prodotto dal capitale C nel tempo t, quello dato dalla formula: M ¼ M þ I ¼ Cð1 þ iþ n ð1 þ ifþ : & Convenzione esponenziale Con questa convenzione si assume che: qualunque sia il numero reale positivo t (intero o no), il montante M prodotto dal capitale C nel tempo t sia: ð2þ M ¼ Cð1 þ iþ t : In base a questa convenzione, possiamo dire che la formula del par. 10 è valida anche quando l esponente non è intero. Inoltre: la convenzione esponenziale è quella utilizzata più comunemente. Calcolare il montante di F 500 al tasso annuo composto dell 8% per 2 anni e 3 mesi. C ¼ 500 (euro); t ¼ 2 anni e 3 mesi ¼ 2;25 anni, i ¼ 0;08. 1 Convenzione lineare (o mista): M ¼ 500ð1 þ 0;08Þ 2 1 þ 0; ¼ 594;864 ðeuroþ. 2 Convenzione esponenziale: M ¼ 500ð1 þ 0;08Þ 2;25 ¼ 594;529 ðeuroþ. Si osservi che, nell esempio precedente, il risultato trovato con il metodo 1 è superiore a quello trovato con il metodo 2, come viene anche evidenziato nella prima delle osservazioni che seguono.

21 . 16 Unità 1 Osservazioni l1 Poiché, per 0 < t < 1, risulta : ð1 þ iþ t < 1 þ it, ne segue che: il montante calcolato con la convenzione esponenziale è minore di quello calcolato con la convenzione lineare. Dimostrazione Infatti, si ha: Cð1 þ iþ nþf ¼ Cð1 þ iþ n ð1 þ iþ f ; e poiché, essendo 0 < f < 1, risulta: ð1 þ iþ f < 1 þ i f, si ha: Cð1 þ iþ nþf ¼ Cð1 þ iþ n ð1 þ iþ f < Cð1 þ iþ n ð1 þ i fþ; che è quanto volevamo provare. l2 Si può dimostrare che, per valori non molto grandi del capitale C, la differenza fra i due tipi di montante è trascurabile. l3 La capitalizzazione lineare (o mista) viene utilizzata, in generale, dalle Banche nella capitalizzazione dei depositi in conto corrente. l4 Il valore attuale C del capitale M, quando il tempo d impiego non è un numero intero di anni (o di periodi), ma è t ¼ n þ f, èdato da: O C ¼ M ð1þiþ n 1, con la convenzione mista, ð1þi fþ O C ¼ M ð1 þ iþ n þ f, con la convenzione esponenziale. l5 La lettera n viene usata per indicare un numero intero di periodi, mentre si preferisce usare la lettera t per rappresentare, nelle formule, il tempo di impiego del capitale (intero o no). Pertanto scriveremo molto spesso: invece di: M ¼ Cð1 þ iþ t, M ¼ Cð1 þ iþ n, anche se il tempo è dato da un numero intero di periodi. Come si vede anche dal grafico della fig al par. 11.

22 Capitalizzazione e sconto Problemi inversi Dalla relazione fondamentale: M ¼ Cð1 þ iþ n ; si possono ricavare le formule che permettono di risolvere i seguenti problemi inversi: O calcolo del capitale C quando siano noti M, i, n ) C ¼ Mv n ð2þ che si ottiene dalla C ¼ M ð1 þ iþ n ¼ Mð1 þ iþ n ponendo v ¼ 1 1 þ i ¼ð1 þ iþ 1. I prontuari di Matematica Finanziaria contengono, di solito, anche una tavola di valori di v n, che rappresenta il capitale da investire oggi, al tasso composto i, per ottenere 1 euro fra n anni. Dunque v n rappresenta il valore attuale di un euro; O calcolo del tasso i quando siano noti C, M, n ) i ¼ che si ottiene dalla ð1 þ iþ n ¼ M rffiffiffiffiffiffi n M ; ovvero dalla 1 þ i ¼ ; C C rffiffiffiffiffiffi n M 1 C ð3þ O calcolo del tempo n quando siano noti C, M, i ) n ¼ log M C log ð1 þ iþ ð4þ che si ottiene dalla ð1 þ iþ n ¼ M C passando ai logaritmi: n log ð1 þ iþ ¼log M C. Esempi.1 Ricerca del capitale Quale capitale produce un montante di F 550 dopo 7 anni, al tasso del 5% composto? Si ha: M ¼ 550, n ¼ 7 anni, i ¼ 0;05: Dalla teoria... Normalmente, si utilizzano i logaritmi decimali: log. Però è indifferente utilizzare anche i logaritmi naturali: ln. Infatti, come è noto, vale l uguaglianza: log A log B ¼ ln A ; ða > 0; B > 0; B 6¼ 1Þ: ln B Quindi, per la : 550 ¼ Cð1 þ 0;05Þ 7, cioè: C ¼ 550 ð1;05þ 7 ¼ 550 1;4071 ¼ 390;875 (euro).

23 . 18 Unità 1.2 Ricerca del tasso A quale tasso composto un capitale di F 5:000 produce un montante di F 6:200 dopo 4 anni? Si ha: C ¼ 5:000, M ¼ 6:200, n ¼ 4 anni. Quindi, per la : ð5þ 6:200 ¼ 5:000 ð1 þ iþ 4 : Se si dispone di una calcolatrice tascabile, conviene operare direttamente estraendo la radice ennesima. Pertanto, dalla ð5þ, si ha: ð1 þ iþ 4 ¼ 6:200 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5:000 ) 1 þ i ¼ 4 6: :200 ) i ¼ 1 ) i ¼ 1; ¼ 0; ¼ 5;525%. 5:000 5:000.3 Ricerca del tempo Per quanto tempo è stata impiegata la somma di dollari per produrre un montante di dollari al tasso del 6;5% composto? Si ha: C ¼ 1:200, M ¼ 1:500, i ¼ 0;065. Dalla, si ha: 1:500 ¼ 1:200 ð1 þ 0;065Þ n ) ð1;065þ n ¼ 1:500 1:200. Prendendo i logaritmi (decimali) dei due membri, si ha: n log 1;065 ¼ log 5 4 ) n ¼ log 5 4 log 1;065 ¼ 3; anni ¼ 3a þ 6m þ 16g:.4 Problema del raddoppio del capitale Quanti anni occorrono perché il capitale C, investito ad interesse composto al tasso annuo i, si raddoppi, cioè diventi 2 C? Dalla ð4þ, si ha: n ¼ log 2C C log ð1 þ iþ ¼ log 2 log ð1 þ iþ 0;3 log ð1 þ iþ :, se i ¼ 0;05, si ha: 0;3 n ¼ 14 anni: log 1;05 Osservazione Il problema del raddoppio di un capitale è un caso particolare del seguente problema: calcolare il tempo che occorre perchè un capitale C, impiegato in regime di capitalizzazione composta, diventi m C, con m numero reale positivo, diverso da 1. L equazione risolvente di questo problema è: Cð1 þ iþ t ¼ mc; ðc 6¼ 0; 0 < m 6¼ 1Þ; che è equivalente a: ð1 þ iþ t ¼ m: Si ricava: ð6þ t ¼ log m log ð1 þ iþ : Si noti che il tempo di impiego di un capitale per avere un montante multiplo del capitale stesso, non dipende dal capitale iniziale, come si può osservare dalla (6), ma esclusivamente dal tasso di interesse i.

24 Capitalizzazione e sconto 19. SCONTO 14. Sconto e valore attuale Consideriamo ora la situazione simmetrica a quella esaminata fino a questo punto. Studiamo dunque il caso di un operatore che, anziché privarsi della disponibilità di un capitale oggi, nella prospettiva di acquisirne uno maggiore domani, rinunci a una parte del capitale che gli è dovuto in futuro, pur di entrarne in possesso anticipatamente. Un operazione del genere viene chiamata sconto, oanticipazione, o ancora attualizzazione. Si dà allora la seguente: Definizione Si chiama sconto S il compenso dovuto per il pagamento anticipato di un capitale. Inoltre, si dà anche la seguente: Definizione Si chiama valore attuale di un capitale futuro (o nominale) C, esigibile fra n periodi, il capitale presente V, esigibile subito, calcolato in modo tale che, se V fosse impiegato, da oggi e per n periodi a un determinato tasso i, produrrebbe un montante uguale al capitale nominale C. Il tasso i, in base al quale si calcola il valore attuale V, èdetto tasso di valutazione del capitale nominale C. Nelle operazioni di sconto, allora (fig. 1.11): O la somma che dovrebbe essere pagata alla scadenza si chiama Somma scontata V valore nominale del capitale; O la differenza fra il valore nominale del capitale e lo sconto costituisce il valore reale (o attuale, oanticipato) del capitale, o somma scontata; Figura 1.11 O detti C il valore nominale del capitale, S lo sconto e V la somma scontata, si ha che: V ¼ C S; o anche S ¼ C V; capitale finale C Sconto S ovvero, lo sconto è la differenza tra il capitale C > 0, disponibile alla scadenza, e la somma V, il cui possesso immediato viene scambiato con quello futuro di C. In generale: O se il tempo di anticipazione è breve (operazioni a breve scadenza), lo sconto si ottiene calcolando l interesse semplice, ad un certo tasso e per il tempo di anticipazione: sul valore attuale del capitale nominale, ed allora si ha lo «sconto razionale», sul valore nominale del capitale, ed allora si ha lo «sconto commerciale», O se il tempo di anticipazione è lungo, si utilizza lo sconto composto.

25 . 20 Unità Sconto razionale (o semplice) Si dà la seguente: Definizione Lo sconto razionale di un capitale nominale C è l interesse semplice calcolato sul valore attuale di C, ad un tasso stabilito i, per il tempo t che intercorre dal giorno del pagamento fino al giorno della scadenza. In base alla par. 7, indicando con C il montante e con V r il capitale iniziale, si ha: C ¼ V r ð1 þ itþ; da cui si ricava l espressione del valore attuale del capitale nominale C: V r ¼ C 1 þ it Pertanto, l interesse semplice prodotto da questo valore attuale, nel tempo t e al tasso i, è: C 1 þ it i t; da cui, indicato con S r lo sconto razionale, si ha: ð2þ S r ¼ Cit 1 þ it : ; e; per la : S r ¼ V r it : Scontando razionalmente una cambiale di F 2:000 un mese prima della scadenza, al tasso annuo del 5%, quale somma si riscuote? Si ha: C ¼ 2:000; i ¼ 0;05; t ¼ 1 12 : In base alla formula ð2þ, si ottiene: 1 2:000 0;05 S r ¼ 12 8;30; 1 1 þ 0;05 12 cioè lo sconto razionale è di 8;30 euro, e la somma scontata è: 2:000 8;30 ¼ 1:991;70 (euro). 16. Tasso di sconto razionale Si dà la seguente: Definizione Si chiama tasso di sconto razionale lo sconto razionale su un euro esigibile fra un periodo. Il tasso di sconto razionale si indica con d r. In inglese «sconto» si indica con «discount».

26 Capitalizzazione e sconto 21. Ponendo C ¼ 1et ¼ 1 nella ð2þ del par. 15, si ottiene la formula che permette di calcolare il tasso di sconto razionale in funzione del tasso d interesse i: d r ¼ i 1 þ i : Dalla, si può ricavare i in funzione del tasso di sconto d r : d r ð1 þ iþ ¼i ) d r ¼ i id r ) i ¼ d r 1 d r ; ð2þ e, sostituendo questo valore di i nella formula S r ¼ Cit, si ha: 1 þ it d r C t 1 d r da cui: ð3þ S r ¼ 1 þ d r 1 d r t S r ¼ ) S r ¼ C d r t 1 ð1 tþd r : Cd r t 1 d r ; 1 d r þ d r t 1 d r Con questa formula si può calcolare lo sconto razionale quando siano noti il capitale nominale C, il tempo t e il tasso di sconto d r. Ricordiamo ora che il valore attuale di C è dato da: ð4þ da cui, tenendo presente la ð2þ, si ha: che equivale a: ð5þ V r ¼ V r ¼ V r ¼ C 1 þ it ; C 1 þ d r 1 d r t Cð1 d rþ 1 ð1 tþd r : In pratica, per calcolare la somma scontata razionalmente V r, si userà la ð4þ se è noto il tasso di interesse i, oppure la ð5þ se si conosce il tasso di sconto d r. Esempi.1 Un debito di F 12:000 viene pagato 60 giorni prima della scadenza. Sapendo che d r ¼ 3;5%, determinare lo sconto razionale. Si ha: Applicando la ð3þ, si ottiene: C ¼ 12:000, d r ¼ 0;035, t ¼ 1 6. S r ¼ Cd r t 1 ð1 tþd r ¼ 12:000 0; ;035 6 ; ¼ 72;10 ðeuroþ:

27 . 22 Unità 1.2 Una cambiale di F scade fra 1 anno e 5 mesi. Calcolare l importo realizzato scontandola razionalmente al tasso di interesse semplice del 6;50% annuo. Determinare inoltre il tasso di sconto corrispondente. Sono dati: C ¼ 8:500, i ¼ 0;065, t ¼ 1 þ 5 12 ¼ Il valore scontato è dato da: V r ¼ C 1 þ it ¼ 8:500 1 þ 0; ¼ 7:783;29 ðeuroþ: Il tasso di sconto corrispondente al 6;50% annuo di interesse semplice è, per la formula : d r ¼ i 1 þ i ¼ 0;065 1 þ 0;065 ¼ 0;0610, pari al 6;10%. 17. Sconto commerciale Da quanto abbiamo detto alla fine del par. 14, si ha la seguente: Definizione Lo sconto commerciale è l interesse semplice calcolato sul valore nominale del capitale C, ad un tasso stabilito i, per il tempo t che intercorre dal giorno del pagamento fino al giorno della scadenza. Pertanto, lo sconto commerciale, che indichiamo con S c,èdato da: S c ¼ C i t : Tenendo presente la del par. 14, possiamo ottenere immediatamente la somma scontata commercialmente, ovvero il valore attuale commerciale della somma C. Infatti, indicando con V c tale somma, si ha V c ¼ C Cit, da cui: ð2þ V c ¼ Cð1 itþ : Se si sconta commercialmente, al tasso del 6% annuo, una cambiale di F che scade fra 5 mesi, quale somma si riscuote? Dobbiamo applicare la formula dello sconto commerciale. Essendo: C ¼ 2:800, i ¼ 0;06, t ¼ 5 12, si ha: S c ¼ 2:800 0; ¼ 70 ðeuroþ; cioè lo sconto commerciale è di F 70, e la somma scontata è: 2: ¼ 2:730 (euro).

28 Capitalizzazione e sconto Tasso di sconto commerciale Si dà la seguente: Definizione Si chiama tasso di sconto commerciale lo sconto commerciale su un euro esigibile fra un periodo. Il tasso di sconto commerciale si indica con d c. Ponendo C ¼ 1et ¼ 1 nella S c ¼ Cit, si ha: d c ¼ i ; ovvero, il tasso di sconto commerciale coincide con il tasso di interesse semplice rispetto al quale si calcola lo sconto commerciale. Si ha dunque: S c ¼ Cd c t e V c ¼ Cð1 d c tþ: Esempi.1 Determinare il valore attuale di un capitale di F che scade fra 4 anni ed è scontato al tasso annuo d c ¼0;09. Si ha: da cui: C ¼ 7:000, d c ¼ 0;09, t ¼ 4; S c ¼ Cd c t ¼ 7:000 0;09 4 ¼ 2:520 (euro), e quindi: V c ¼ C S c ¼ 7:000 2:520 ¼ 4:480 (euro). Oppure, si può determinare direttamente il valore attuale con la ð2þ del par. 17: V c ¼ Cð1 d c tþ¼ 7:000ð1 0;09 4Þ¼4:480 (euro)..2 Determinare il valore attuale di un capitale di F 3:700 che scade fra 26 giorni ed è scontato al tasso annuo d c ¼ 0;11. Si ha: da cui: e quindi: C ¼ 3:700, d c ¼ 0;11, t ¼ ; S c ¼ Cd c t ¼ 3:700 0; ¼ 29;394 (euro), V c ¼ C S c ¼ 3:700 29;394 ¼ 3:670;606 (euro). Oppure, direttamente: 26 V c ¼ Cð1 d c tþ¼3: ;11 ¼ 3:670;606 (euro). 360