CAPITOLO 7 TEORIA DELLA SIMILITUDINE

Transcript

1 CATOLO 7 TEORA DELLA SMLTUDNE 7. toduzioe La siilitudie è u cocetto utilizzato i abito igegeistico, gazie al quale si descie u sistea eale taite u odello fisico i scala ispetto al sistea eale. Le picipali applicazioi del cocetto di siilitudie iguadao l'idaulica e l'igegeia aeospaziale, i cui si effettuao delle poe ieeti alle codizioi di flusso dei fluidi utilizzado dei odelli i scala. Nel caso si oglia studiae l'aeodiaica di u odello, i collaudi egoo effettuati ella galleia del eto. Gazie all'ipiego di odelli i scala si possoo studiae coplessi poblei di fluidodiaica, ache quelli che o possoo essee studiati taite siulazioi ueiche al copute o taite teciche di calcolo. Spesso è coeiete oppue ecessaio usae odelli i scala idotta ispetto all'oigiale, a o sepe. Mete la geoetia del odello può essee facilete scalata, alte quatità, coe la pessioe, la tepeatua, la elocità, e la atua del fluido, o soo iediataete scalabili. La siilitudie iee aggiuta quado le codizioi poate soo tali che il isultato dell'espeieto può essee applicato alla pogettazioe eale. La Teoia della Siilitudie ha picipalete i segueti utilizzi: studiae coplessi poblei di fluidodiaica; estedee i isultati otteuti testado ua sigola acchia ad alte codizioi opeatie o a ua faiglia itea di acchie che, i etabi i casi, soddisfio be pecisi citei; idiiduae, pe ogi applicazioe, la geoetia della acchia che peetta di otteee il assio edieto. Le elazioi della siilitudie fluidodiaica cosetoo di ettee i elazioe le caatteistiche di fuzioaeto di acchie geoeticaete siili seza che si debbao copiee su ciascua di esse poe speietali lughe, costose e olto spesso, si pesi ad esepio alle gadi tubie idauliche, ipossibili da codue i laboatoio. È quidi eidete il ataggio pe il costuttoe di acchie che, ispettado oppotui paaeti, potà liitasi a codue le poe su di u odello i scala, deducedo poi pe ia aalitica le pestazioi di tutte le acchie appateeti alla stessa faiglia del odello. È ache eidete l'utilità di tali elazioi pe il pogettista d'ipiati i quato, sulla base di tali elazioi, potà scegliee la acchia più adatta alle esigeze del popio ipiato facedo ifeieto alle pestazioi di acchie esisteti, seppu di diesioi diese da quelle che gli ecessitao. agia di 5

2 La teoia della Siilitudie asseisce che acchie che soddisfao la siilitudie fluidodiaica hao uguale edieto. Affiché due acchie siao i siilitudie deoo essee soddisfatte le segueti codizioi:. Siilitudie geoetica: tutte le diesioi deoo essee i scala, i paticolae diaeti, altezze di pala, agoli, spessoi. Oeo tutte le diesioi oologhe, o coispodeti, stao i appoto di scala costate. dicado, ad esepio, co ( ) e ( *) le gadezze ifeite a due acchie siili, doà essee: l S α * * * l S doe l e soo due geeiche diesioi lieai, S ua qualuque aea locale e α il appoto caatteistico della siilitudie geoetica.. Siilitudie cieatica: stessi appoti di elocità e quidi stessi tiagoli di elocità. Oeo i tiagoli di elocità i sezioi oologhe soo siili. dicado, ad esepio, co ( ) e ( *) le gadezze ifeite a due acchie siili, doà essee: * w u * * w u β doe β è il appoto caatteistico della siilitudie cieatica.. Siilitudie diaica: stessi appoti ta le foze, e quidi stesso ueo di Reyolds. uidi idicado, ad esepio, co Re e Re* i uei di Reyolds ifeiti a due acchie siili diaicaete, doà alee: l ueo di Reyolds è defiito coe: * Re Re ρl L foze d'iezia Re µ ν foze iscose doe L è ua lughezza caatteistica, è la elocità del fluido, µ e ν soo ispettiaete la iscosità diaica e cieatica. 4. Siilitudie teodiaica: oeo tiee coto dell effetto di copiibilità, stesso ueo di Mach. La siilitudie teodiaica è di paticolae ipotaza elle acchie opeati co fluidi copiibili. e uei di Mach peifeico (M u ) idotti, oe co u si espie la elocità peifeica i ua sezioe geeica e co c la elocità del suoo alle codizioi esisteti ella stessa sezioe: u < 5 c M u l'effetto legato alla copiibilità del fluido può essee tascuato. Si paleà, i tal caso di siilitudie idaulica. Se le quatto codizioi soo cotepoaeaete eificate, alloa le acchie si dicoo Siili e hao uguale edieto. elazioe alla siilitudie geoetica è ecessaio che essa sia ispettata su ogi scala. ealtà, passado da acchie gadi a acchie piccole, o sepe è possibile ipodue i pefetta agia di 5

3 scala gli spessoi (pe liiti iposti dalle laoazioi e dalla esisteza eccaica), i giochi (pe i liiti iposti dalle dilatazioi) e la ugosità supeficiale (pe liiti iposti dalle laoazioi). Cosegueteete, acchie piccole aao u edieto peggioe. È da otae iolte che, peché siao eificate cotepoaeaete la siilitudie cieatica e quella diaica, i fluidi deoo aee lo stesso copotaeto teodiaico e oluetico, e l iflueza del ueo di Reyolds Re dee essee tascuabile. l pio copotaeto (teodiaico) isulta iifluete se il fluido di laoo è icopiibile, ete il secodo è eificato se il ueo di Reyolds è aggioe di 5 0 5, cioè pe oto tuboleto copletaete siluppato. agia di 5

4 7. Teoea Π o teoea di Buckigha La Teoia della Siilitudie si basa sul Teoea pi geco Π o di Buckigha, il cui oe deia dal fisico statuitese Edga Buckigha. Scelta ua fuzioe obiettio y, descitta da aiabili (gadezze fodaetali e deiate): ( x x, x,... ) y f,..., x (5.) il feoeo così appesetato può essee studiato taite ua fuzioe f * espessa i teii a- diesioali: ( π π, π,..., π ) Π * y f (5.), doe il ueo di paaeti a-diesioali è pai a q, essedo q il ueo delle elatie gadezze fodaetali (lughezza [L], tepo [t], assa [M] e tepeatua [T]). l Teoea Π peette quidi di idue il ueo di aiabili da cotollae. uesto idipedeteete dalla foa ateatica assuta dalle fuzioi f e f *. e cooscee tali fuzioi saà poi ecessaio icoee alla speietazioe. Ad esepio, se u poblea i esae dipede da cique gadezze deiate le quali, a loo olta, possoo essee espesse attaeso ua cobiazioe delle te gadezze fodaetali dei sistei scietifici (coe ad esepio [M], [L], [T] ), alloa questo può essee descitto da ua fuzioe f di due guppi adiesioali Π, Π : Π f ( ) Π questo odo è possibile studiae u feoeo, coe pe esepio la sedietazioe di paticelle di u soluto all'iteo di u copo ecettoe, co u solo gafico aete coe ascissa ed odiata due gadezze ueiche (ispettiaete i così detti ueo di Reyolds e il coefficiete di dag). Seza questa accotezza si saebbeo douti ealizzae paticaete ifiiti gafici uo pe ogi diaeto delle paticelle, pe il peso delle stesse, pe ogi iscosità del fluido ecc. Cosegueteete elle applicazioi soo ati ueosi guppi adiesioali. Nella fluidodiaica è di oteole ipotaza il ueo di Reyolds pe stabilie il tipo di deflusso del fluido (laiae o tuboleto) solaete copaadolo co i aloi liite specifici del copo iestito dal flusso fluido o del codotto che taspota il fluido. teocietica è possibile deteiae il coefficiete di scabio teico laiae attaeso il ueo di Nusselt che è fuzioe dei uei di adtl e Reyolds pe quato iguada la coezioe fozata; è fuzioe dei uei di adtl e Gashof pe quato iguada la coezioe atuale. Mediate il ueo di Biot è iece possibile deteiae se è tascuabile l'eoe di cosideae u copo coe putifoe (odello a paaeti cocetati) ello studio della tasissioe di caloe pe u copo ieso i u fluido. agia 4 di 5

5 Guppi Π sigificatii i idaulica u poblea di idaulica, ua geeica aiabile di stato è geeicaete fuzioe delle segueti gadezze eccaiche: oe: f ( ρ, µ, ε, s, g, L, θ,,, a, p, x, y, z, t) () ρ, µ, ε, s : ispettiaete desità, iscosità diaica, copiibilità e tesioe supeficiale del fluido o dei fluidi che iteessao il poblea. g : L : θ : : acceleazioe di gaità. È ileate quado siao peseti supefici di sepaazioe ta fluidi, coe el caso di azioi di galleggiaeto (fluido acqua e aia). lughezza o aea o olue, che caatteizzao le diesioi del poblea i esae. gli agoli o i geeale i coefficieti che caatteizzao la foa. scabezze supeficiali., a : elocità e acceleazioi sul sistea i aalisi. p : pessioi. x, y, z, t : coodiate spaziali e tepoali. La tea di gadezze utilizzate el caso di feoei fluidodiaici tuboleti è: ρ, L, La tea di gadezze utilizzate el caso di feoei fluidodiaici laiai è: µ, L, Nel seguito si ipotao alcui guppi adiesioali coelati alle aiabili della (). agia 5 di 5

6 defiizioe oe sigificato ρ D Nueo di Reyolds µ (Re) Nueo di Foude g L ρ ε c ρ L s L t p ρ (F) Nueo di Cauchy (Ca) Nueo di Mach (Ma) Nueo di Webe (We) Nueo di Stouhal (St) Nueo di Euleo (Eu) foze d'iezia foze iscose foze d'iezia foze peso foze d'iezia foze di copiibilità foze d'iezia foze di tesioe supeficiale iezia locale iezia globale (coettia) foze di pessioe foze d'iezia Nueo di Reyolds (Re) Cosete di deteiae la tasizioe ta oto i egie laiae e tuboleto. La dipedeza dal ueo di Re si eifica quado el feoeo isultao sigificatie sia le foze d iezia, che le foze iscose. Nueo di Foude (F) Si ifeisce a poblei che tattao supefici libee. Dato che g h appeseta la celeità delle petubazioi i ua coete di pofodità h, il ueo di Foude appeseta il appoto ta elocità di ua coete diiso la celeità delle piccole petubazioi. F appeseta la soglia ta atua leta o eloce di ua coete a supeficie libea. Nueo di Cauchy (Ca) e Nueo di Mach (Ma) Si ifeiscoo alla elazioe ta copiibilità e celeità delle petubazioi elastiche. e Ma < 0, gli effetti di copiibilità possoo i buoa appossiazioe essee tascuati e quidi il copotaeto di u gas è assiilabile a quello di u liquido. agia 6 di 5

7 Nueo di Webe (We) È di iteesse oe esistao supefici di cotatto ta fluidi diesi. fatti i questo caso la tesioe supeficiale o è tascuabile. Nueo di Stouhal (St) Rappeseta il appoto ta le foze ieziali doute alla o stazioaietà del capo di oto e quelle doute alla aiazioe di elocità ta i puti del capo. Nueo di Euleo (Eu) Rappeseta il appoto ta le foze di pessioe e le foze ieziali. agia 7 di 5

8 Cosideiao u odello di u sottoaio co scala :40. l sistea eale dee opeae i acqua ad ua tepeatua di 0,5 C e ad ua elocità di 5 /s. l odello è iece testato i acqua alla tepeatua di 0 C. Si dee icaae la poteza da foie al sottoaio pe aggiugee la elocità ichiesta. Tacciado il diagaa di copo libeo, oeo la appesetazioe scheatica delle foze ageti sul copo libeo, pe stabilie l'etità delle foze i gioco, e dalla teoia della eccaica del cotiuo è possibile icaae le elazioi ta foza e elocità. Le aiabili che descioo il sistea soo elecate el seguito: Vaiabile Sistea eale Modello i scala Uità di isua (a 0,5 C) (a 0 C) L (diaeto del sottoaio) /40 (elocità) 5 calcolae /s ρ (desità) dell acqua kg/ µ (iscosità diaica) a N s kg s kg s s s agia 8 di 5

9 agia 9 di 5 F (foza) calcolae da isuae s kg N uesto poblea peseta quidi 5 aiabili idipedeti e uità di isua fodaetali (eto, chilogao e secodo). Applicado il teoea di Buckigha si può tattae questo poblea co uei adiesioali e ua aiabile idipedete. Utilizzado l'aalisi diesioale, possiao idiiduae due guppi adiesioali: il ueo di Reyolds Re e il coefficiete di pessioe Cp. uesti guppi adiesioali cotegoo tutte le aiabili tae la foza F, che è la aiabili da isuae elle poe co il odello. etato, icodado la defiizioe di ueo di Reyold: µ ρ L Re e idiiduado co i pedici le gadezze elatie al odello e le gadezze elatie al eale, pe acchie siili, dee alee la siilitudie diaica e petato: L L µ ρ µ ρ Re Re L L µ µ ρ ρ elocità del odello () La scittua pe il coefficiete di pessioe C p ale: p C p ρ e che la foza deiate è data dalla diffeeza di pessioe, si ha che: L F p C L p F p ν ρ ρ petato applicado la siilitudie si ottiee il legae ta la foza applicata al sottoaio eale e al odello:

10 agia 0 di 5 ( ) ( ) p p L L F F L F L F C C ρ ρ ρ ρ () Si icaa petato dalla () la elocità del odello :,69, L L µ µ ρ ρ etato la foza agete sul sottoaio eale (F ) ale la foza isuata sul odello (F ) oppotuaete scalata di u fattoe,44:,4 40, F L L F F ρ ρ fie la poteza ichiesta dal sottoaio pe aggiugee la elocità desideata è petato: F F F 7 6, 5,4

11 Oa, cosideado u fluido icopiibile (ρcostate), focalizziao l attezioe sull applicazioe del teoea Π alla popa, così scheatizzata: M g ρ cost η Cosideado la acchia coe ua scatola chiusa, si focalizza l attezioe sulla sezioe d igesso (sezioe ) e la sezioe d uscita (sezioe ). queste sezioi si isuao la pessioe, la elocità e la desità, i odo tale da pote calcolae la potata oluetica, la pealeza g e il edieto η. Si suppoe, iolte, di ipetee le isue a diese elocità di otazioe della acchia. A questo puto si dee idiiduae le fuzioi obiettio. Nel caso della popa, si è isto coe il suo fuzioaeto sia oto se si cooscoo la pealeza g, il edieto η e la poteza assobita. Bisoga quidi idetificae le gadezze da cui queste te aiabili dipedoo; si distigue ta: aiabili geoetiche: { L i }D,, doe la pia è coposta da ua seie di paaeti geoetici che peettoo di eseguie la acchia i officia, ete il secodo è il diaeto esteo della giate. aiabili del fluido: ρ, µ (iscosità); defiiscoo uiocaete il fluido. aiabili di cotollo: e ; al loo aiae defiiscoo uiocaete tutti i paaeti della acchia. agia di 5

12 Figua : Cue caatteistiche di ua popa cetifuga. l fuzioaeto della acchia è quidi descitto dalle segueti elazioi: g f η f f (,, ρ, µ,{ Li }, D) (,, ρ, µ,{ Li }, D) (,, ρ, µ,{ L }, D) i () che, i foa copatta, possoo essee scitte: g η f (,, ρ,,{ L } D),, µ i, () Si hao quidi 7 aiabili (di olta i olta 6 idipedeti e obiettio) e gadezze fodaetali:[l],[t],[m] i quato il fluido i esae è u fluido icopiibile. Da u puto di ista gafico, il legae espesso dalle elazioi () e () o è alto che la faiglia di cue di fuzioaeto della popa, agoeto tattato el capitolo dedicato e la cui appesetazioe è ipesa ella figua pecedete. agia di 5

13 l Teoea Π dice che è possibile otteee te uoe elazioi fuzioali dipedeti da 4 paaeti a-diesioali, oeo 7-4. Al posto di utilizzae [L], [t], [M] scelgo te gadezze più patiche: [D] (è oogeea alla gadezza lughezza [L]) al posto di [L]; () [] (è ua gadezza [t] - ) al posto di [t]; (4) [ρ] (è ua gadezza che espessa i fodaetali è [M][L] - ) al posto di [M]. (5) Espiedo le 7 aiabili elle gadezze fodaetali e ededoe adiesioale ciascua co l utilizzo delle gadezze scelte ((), (4), (5)), si ha: g g Ψ D a) [ ] fatti: [ ] [ L] [ t] [ L] g etato, pe edee adiesioale g x bisoga diidee pe ua [L] e oltiplicae pe u [t], a, i base alle diesioi di e D, questo sigifica diidee pe e D ifatti: [ L] [ t] D [ t] [ L] [ t] [ L] e petato si itoduce il seguete paaeto adiesioale: D b) [ ] Φ fatti: g Ψ () D [ ] etato, pe edee adiesioale bisoga diidee pe ua [L] e oltiplicae pe u [t], a, i base alle diesioi di e D, questo sigifica diidee pe e D, ifatti: [ L] [ t] D [ t] [ L] [ t] [ L] e petato si itoduce il seguete paaeto adiesioale: Φ () D agia di 5

14 ˆ ρ D c) [ ] 5 fatti: [ ] [ M ] [ L] [ t] etato, pe edee adiesioale bisoga diidee pe ua [M] e pe ua [L] e oltiplicae pe u [t], a, i base alle diesioi di ρ, e D, questo sigifica diidee pe ρ, e D, ifatti: ρ [ M ] [ L] [ t] [ L] [ t] [ M ] [ L] 5 5 D e petato si itoduce il seguete paaeto adiesioale: ˆ ρ 5 D () Re µ ρ D d) [ µ ] fatti: [ µ ] [ M ] [ L] [ t] etato, pe edee adiesioale µ bisoga diidee pe ua [M] e oltiplicae pe ua [L] e pe u [t], a, i base alle diesioi di ρ, e D, questo sigifica diidee pe ρ, e D, ifatti: ρ D [ M ] [ L] [ t] [ L] [ t] [ L] [ M ] e petato si itoduce il seguete paaeto adiesioale: Re µ (V) ρd e) [ L ] fatti: Li L ˆ i (V) D i [ L i ] [ L] etato, pe edee adiesioale L i bisoga diidee pe ua [L], a, i base alle diesioi di D, questo sigifica diidee pe D; e petato si itoduce il seguete paaeto adiesioale: L Lˆ i i (5.0) D agia 4 di 5

15 Si pecisa che a espesso, a secoda della defiizioe pescelta, i cicli/secodo (ps) o i adiati/secodo (ad/s). Ricapitoliao quato fi qui siluppato. Ricodado quato espesso el defiie il Teoea Π, oeo: Scelta ua fuzioe obiettio y, descitta da aiabili (gadezze fodaetali e deiate): y f( x, x, x,......, x ) (a) il feoeo così appesetato può essee studiato taite ua fuzioe f * espessa i teii a-diesioali: Π y * f ( π, π, π,......, π ) (b) doe il ueo di paaeti a-diesioali è pai a - q, essedo q il ueo delle elatie gadezze fodaetali (lughezza [L], tepo [t], assa [M] e tepeatua [T]. Nel caso i esae la (a) soo te distite equazioi (): g f η f f (,, ρ, µ,{ Li }, D) (,, ρ, µ,{ Li }, D) (,, ρ, µ,{ L }, D) i () Scitte i foa copatta (): g η f (,, ρ,,{ L } D),, µ i, () l caso i esae eidezia 7 aiabili e gadezze fodaetali, petato è possibile, i accodo al teoea di Buckigha, sciee le te elazioi f, f, f coe f * f * f * espessioe di 4 uei adiesioali (b). uei adiesioali icaati soo petato pe le te espessioi: f * : f * : f * : Ψ,Φ,Re, Lˆ i η,φ, Re, Lˆ i ˆ, Φ,Re, Lˆ i A questo puto, petato, l aalisi diesioale pota a sciee: * ( Ψ) f ( Lˆ Φ, Re, i ) * ( η) f ( Lˆ Φ, Re, i ) ( ˆ * ) f ( Φ, Re, Lˆ ) che i foa copatta si possoo sciee coe: i (6) agia 5 di 5

16 Ψ * η f (,Re, Lˆ,, Φ i ) (7) ˆ e due acchie siili (cioè che soddisfao le quatto codizioi ichieste dalla siilitudie), oppue pe due puti di fuzioaeto i siilitudie ta loo di ua stessa acchia, (due casi questi che soo caatteizzati da acchie co lo stesso edieto), le elazioi (6) e (7) si seplificao dietado: - i scittua esplicita: * ( Ψ) f ( Φ) * ( η) f ( Φ) * ( ˆ ) f ( Φ) (8) - i scittua copatta: Ψ * η f,, ( Φ) (9) (5.) ˆ quato la siilitudie geoetica deteia la costaza delle Lˆ i e quella diaica l uguagliaza dei uei Re. Applicado quato appea icaato alla sigola acchia, si ossea che la faiglia di cue potata pealeza (, ) al aiae del ueo di gii, se tasfoate i foa a-diesioale taite le elazioi () e (), coispodoo ad u uica cua i teii dei paaeti Φ e Ψ (equazioi (8) e (9)), così coe esplicitato ella seguete figua. Ψ φ Figua : Cua caatteistica a-diesioale di ua popa. Tali paaeti si chiaao ispettiaete coefficiete di potata (Φ) e coefficiete di pealeza (Ψ). Ogi puto appateete a detta cua aà u be peciso edieto, che quidi cabia lugo la cua. Saà ifie possibile idiiduae il puto di assio edieto. Nella ealtà delle te aiabili (g, η, ) soo solo due le aiabili obiettio (g e η), essedo possibile icaae la poteza () i fuzioe delle alte due. e ua popa, la poteza eale assobita all albeo della acchia ale: agia 6 di 5

17 Ripededo la (): ρ g (0) η ˆ () ρ 5 D Sostituedo la (0) ella () si icaa: ˆ g g Φ Ψ () 5 η D η D D η teedo coto della scittua esplicita (8), oeo i paticolae: fie sostituedo la () ella () si icaa: * ( Ψ) f ( Φ) * ( ) f ( Φ) η () ( Φ) ( Φ) * ˆ f Φ () * f Si icoda che due acchie siili deoo ealizzae gli stessi tiagoli di elocità, cioè gli stessi scabi eegetici co il fluido. Ciò iolte uol die aee uguale edieto e quidi stessi aloi di Φ e Ψ. Si sottoliea iolte che detta Teoia o dice ulla su coe queste fuzioi siao fatte. La loo foa potà essee icaata attaeso la speietazioe o la siulazioe ueica. agia 7 di 5

18 Oa, cosideado u fluido copiibile, focalizziao l attezioe sull applicazioe del teoea Π al copessoe, così scheatizzato: p t, T t M C ρ cost p t, T t, & Si ipete quato appea siluppato pe la popa el caso di ua acchia opeatice opeate su u fluido copiibile, coe u copessoe assiale. Si cosidea acoa la acchia coe ua scatola e si isuao la pessioe e la tepeatua totali i igesso ed uscita, la potata i assa, la poteza assobita e il ueo di gii. Si suppoe, iolte, coe già fatto i pecedeza, di ipetee le isue a diese elocità di otazioe della acchia. Nel caso di acchia opeate su fluido copiibile, il laoo scabiato ta acchia e fluido è fuzioe della diffeeza di etalpia totale a caallo della acchia che, pe u gas pefetto, è a sua olta fuzioe della aiazioe di tepeatua totale e del appoto di copessioe. Le aiabili dipedeti saao alloa la pessioe totale allo scaico p t, il edieto η e la diffeeza di tepeatua totale a caallo della acchia T t. Bisoga quidi idetificae le gadezze da cui queste te aiabili dipedoo: aiabili geoetiche: { L i }D,. aiabili del fluido: p t, T t, µ, R, γ; le ultie due el caso di gas pefetto. aiabili di cotollo: e &. Si icaa quidi ua fuzioe obiettio, i scittua copatta, della foa seguete: pt η f T t,, ( &, p, T, µ, R, γ, { L }, D), t t i (4) Applicado l aalisi diesioale alla elazioe pecedete, itoducedo oppotui guppi a- diesioali, si icaa: agia 8 di 5

19 pt pt η f T t Tt 4,5,6 & ptd µ RT t,, pt D, γ, Lˆ i (4) Aalizzado i diesi teii che copaioo ta paetesi ella elazioe (4) si ossea coe il tezo guppo a-diesioale sia popozioale al ueo di Mach e il secodo al ueo di Reyolds. l pio guppo iee detto potata coetta, e tasfoato ella foa seguete: & p D & & RT (5) (5.7) t td ptd ptd essedo, pe u gas pefetto, RT t D attaeso il ueo di Mach. Nell ipotesi che sia eificata la siilitudie geoetica e di Reyolds la (4) si seplifica: βt f η 4,5,6 & RTt ptd, D RT t, γ (6) essedo β t il appoto ta le pessioi totali a caallo della acchia. Figua soo appesetate, a titolo di esepio, le cue caatteistiche di u copessoe assiale, i cui soo appesetate sia le cue potata coetta appoto di copessioe totale al aiae del egie di otazioe, sia le cue colliai del edieto. Si ota coe la copiibilità del fluido faccia sì che si abbiao cue diese, e o più ua sola: tali cue testioiao ifatti l iflueza del ueo di Mach. Le cue che si soo icaate appesetao il fuzioaeto di ua geeica acchia. Se peò esse si ifeiscoo ad ua sigola acchia, e quidi ad ua be pecisa geoetia, e ad u be peciso fluido, è possibile eliiae la dipedeza dal diaeto e dal tipo di fluido. Figua : cua caatteistica a-diesioale di u copessoe. agia 9 di 5

20 l caso della tubia opeate su fluido copiibile è del tutto aalogo, così coe i paaeti a- diesioali coiolti ella descizioe del suo fuzioaeto. e copletezza, i Figua 4 è ipotato u esepio di cue caatteistiche di ua tubia. Figua 4: cua caatteistica a-diesioale di ua tubia opeate su fluido copiibile. agia 0 di 5

21 7. Nueo di gii specifico e diaeto specifico Ripediao il caso di fluido icopiibile ed i paticolae icosideiao la popa. Si defiisce Nueo di Gii Specifico ( s )il seguete paaeto o-diesioale: s x x y ( Φ) D y x x y ( Ψ) D ( g) y (5.9) Gli espoeti x ed y egoo scelti i aiea tale da eliiae la dipedeza esplicita dalla geoetia, cioè da D. Co alcui passaggi si icaa: s (5.0) 4 (g) aiea del tutto aaloga si defiisce ache il diaeto specifico D s : ( g) D (5.) D s 4 Nelle elazioi pecedeti tutti i teii ao espessi i uità di isua del sistea iteazioale. uidi a espesso i (cicli/s), i [ /s], g i [J/kg] e D i [], essedo quest ultio il diaeto esteo della giate, appesetatio dell igobo della acchia. agia di 5

22 Figua 5: Diagaa di Balje D s ω s pe pope oo-stadio, co liee iso-edieto idaulico. letteatua esistoo diese foulazioi del ueo di gii specifico. U alta possibile defiizioe coiolge, al posto del ueo di gii, la elocità agolae ω: ω s ω (5.) 4 (g) Si è isto coe acchie siili, così coe puti di fuzioaeto della sigola acchia siili, pesetio gli stessi aloi dei coefficieti di potata e di pealeza, olte che lo stesso edieto. Dalle defiizioi di ueo di gii e diaeto specifici e deia che acchie siili pesetao ache lo stesso aloe di detti paaeti. uidi, il ueo di gii specifico idiidua ua faiglia di acchie siili. Figua 5 è ipotato, pe il caso delle pope, il Diagaa di Balje, di oigie epiica, che ipota l adaeto dei paaeti ω s D s e del edieto idaulico pe diffeeti possibili geoetie di pope, da quelle adiali, a quelle a flusso isto, fio alle pope assiali. Nel diagaa di Balje è iolte tacciata la liea che uisce i puti aeti, fissato ω s, il assio edieto. Tale liea idiidua quella che è la geoetia (e cioè il D s ) ottia pe u be peciso aloe del ueo di gii specifico. l isultato di tale pocedieto di estazioe della liea ottiizzata è ipotato i Figua 6. l pocesso di scelta della acchia ottia pe ua ceta applicazioe passa attaeso u pocedieto di ottiizzazioe i cui soo ote da u lato le caatteistiche dell ipiato i cui la acchia a istallata, e cioè potata e pealeza, ed è ecessaio dall alto scegliee il egie di otazioe, e cioè, e i paaeti geoetici a-diesioali che defiiscoo la acchia (l/d, D /D, α, β essedo l l altezza di pala, D e D i diaeti all igesso e all uscita della acchia, α e β gli agoli d uscita delle palette dello statoe e del otoe ispettiaete). Scegliee l ω s lega agia di 5

23 ipiato e acchia peché, associato ad ogi aloe di ω s, si ha ua faiglia di acchie a geoetia ottiizzata, che cioè hao u be peciso aloe di D s (fissa i paaeti geoetici i teii di appoti a-diesioali e gli agoli) che, pe quella applicazioe, foisce il assio edieto. Gazie alla Teoia della Siilitudie, tutte le acchie (di diesa geoetia e poteza) che aao lo stesso ω s aao ache lo stesso edieto, che saà il assio possibile pe quell applicazioe. Saao poi ache alti tipi di cosideazioi (ecooiche, di igobi ecc.) che icideao sulla scelta defiitia. Figua 6: edieto i fuzioe di ω s pe geoetie ottiizzate. Opeatiaete palado, il pocesso di scelta della acchia ottia può i patica essee codotto i due odi distiti. Ua pia possibilità cosiste ell utilizzae la Teoia della Siilitudie iseita i u pocesso di ottiizzazioe; ote le caatteistiche dell ipiato, essa ifatti foisce u odello ateatico che, attaeso algoiti di ottiizzazioe, peette di otteee la geoetia ottia, cioè quella cobiazioe dei paaeti a-diesioali (l/d, D /D, α, β) e del ueo di gii pe cui il edieto è assio. Ua secoda stada si basa sull ipiego di ifoazioi deiati da alte acchie già costuite e testate, che hao peesso di tacciae diagai del tipo di quello di Balje ipotato i Figua 5. Nel passato ifatti soo stati accolti dati di oigie speietale sul fuzioaeto di ueose acchie. A patie da questi dati soo state costuite delle cue che foiscoo i aloi del edieto ottio i fuzioe del ueo di gii specifico pe le diese tipologie di acchie. La Figua 6 ipota tali cue, elatiaete al caso delle pope. questo gafico si distiguoo te zoe: pe bassi aloi di ω s si hao le acchie lete cioè che elaboao basse potate a foiscoo alte pealeze (pope cetifughe). e aloi cesceti di ω s si icotao dappia le acchie a flusso isto e quidi quelle assiali, che elaboao bassi salti a gadi potate. Dalla figua si ede iolte coe, al aiae del ueo di gii specifico ai la geoetia della acchia. Gafici aaloghi esistoo ache pe le tubie idauliche e pe i copessoi. agia di 5

24 l ueo di gii specifico, così coe il diaeto specifico, possoo essee usati, olte che pe la scelta della geoetia ottia pe ua be pecisa applicazioe, ache pe deteiae u legae ta puti di fuzioaeto diesi della sigola acchia, a ta loo siili. E ifatti possibile tacciae, ad esepio el piao caatteistico della popa, le cue a ω s costate, così coe ostato i Figua 7. Dette cue soo delle paabole passati pe l oigie. Tutti i puti di fuzioaeto di ua acchia, pe quato caatteizzati da diesi egii di otazioe, che itesecao la cua a ω s costate, soo ta loo siili, e quidi pesetao uguale edieto. È alloa possibile, ota la cua caatteistica ad u defiito egie di otazioe, deteiae la cua caatteistica pe u qualuque alto egie. La cua di fuzioaeto della popa, così coe icaata el Capitolo dedicato, ha la foa seguete: g A (7) B essedo le costati A e B fuzioe della geoetia della acchia e del egie di otazioe. La elazioe pecedete può facilete essee iscitta i teii dei paaeti a-diesioali di potata Φ e pealeza Ψ, utilizzado i aloi oti al egie di otazioe : g D A D 4 ( BD ) 6 D che, esplicitado i coefficieti di potata e pealeza dieta: A Ψ D 4 ( BD ) Φ È alloa possibile icaae la cua di fuzioaeto della acchia pe il geeico egie di otazioe, sepliceete icodado che, pe puti ta loo siili, i paaeti a-diesioali estao costati: g g che, sostituite ella (7), foiscoo: g g g A B g A B Allo stesso isultato si potea giugee cosideado, al posto dei coefficieti di potata e pealeza, il ueo di gii specifico. agia 4 di 5

25 ω s cost Figua 7: cue a ω s costate el piao - di ua popa. agia 5 di 5

26 7.4 Liiti di alidità Si è detto coe, ella ealtà, la Teoia della Siilitudie sia alida solo sotto be deteiate ipotesi, spesso difficilete ealizzabili. e le acchie idauliche, la siilitudie cessa di essee alida alle alte elocità (Φ>0.06) peché l isogee della caitazioe fa si che la siilitudie geoetica e diaica o siao più eificate. Viceesa, a bassa elocità (Φ<0.0), l iflueza del ueo di Reyolds può o essee tascuabile, e quidi la siilitudie diaica o è più eificata. e quato iece iguada i liiti di alidità iguadati la siilitudie geoetica e, pe le acchie teiche, l iflueza del ueo di Mach (copiibilità) e del ueo di Reyolds, è possibile estedee il capo di alidità dei isultati otteuti i pecedeza a patto di itodue dei fattoi coettii. Gli effetti di taglia egoo teuti i cosideazioe itoducedo il paaeto di Taglia VC (ha le diesioi di ua lughezza) così defiito: VC (5.9) ( g ) 4 e teee coto degli effetti della copiibilità, che si taduce da u lato i ua aiazioe della desità del fluido e dall alto i ua aiazioe delle pedite coseguete alla aiazioe del ueo di Mach, si itoduce u uoo paaeto dato dal appoto ta le potate oluetiche i uscita e igesso alla acchia. Gli effetti di Re egoo iece couque tascuati. Ne isulta quidi ua Teoia della Siilitudie coetta, che tiee coto del fatto che la siilitudie geoetica o sepe è eificata e che la copiibilità del fluido può giocae u uolo o tascuabile. Alloa, peché due acchie possao essee cosideate siili, doao aee lo stesso aloe dei segueti paaeti: s ; ; VC co Re > Si icoda che la pealeza g o è alto che il laoo ideale scabiato ta fluido e acchia. Nel caso di acchia teica, cioè opeate co fluido copiibile, i tutte le espessioi pecedeti al posto della pealeza a sostituito il salto etalpico isetopico a caallo della acchia: s (5.0) 4 h ) ( s VC ( ) 4 (5.) Nel calcolo del ueo di gii caatteistico ifie, la potata oluetica a calcolata i igesso alla acchia, se questa è opeatice (copessoe), e i uscita se iece è ua acchia otice (tubia). h s agia 6 di 5

27 7.5 ESERCZO U ipiato di solleaeto acqua ta due sebatoi, ta cui esiste u disliello di 40, ipiega pope cetifughe idetiche collegate i paallelo, ciascua co la seguete cua caatteistica a.500 gii/iuto: 5 0,00 caatteistica popa a 500 gii/ oe ( ) ; ( ) /h. e il edieto idaulico della popa ale il seguete diagaa: Figua 8: edieto idaulico popa cetifuga.500 p el piao (,). È iolte ota la cua dell ipiato: M ,47 0 M caatteistica dell ipiato oe ( M ) ; ( M ) /h. Calcolae ) otata, pealeza e poteza assobita da ciascua popa i asseza di ogai di egolazioe. ) oteza assobita da ciascua popa el caso i cui, gazie alla peseza di ua alola di egolazioe collocata sul codotto di adata, la potata totale ( M ) sia 80 /h. ) oteza assobita el caso i cui ua delle due pope sia disiseita e la alola di egolazioe sia tutta apeta. 4) oteza assobita da ciascua popa pe potata totale ( M ) di 80 /h, el caso i cui la egolazioe di potata sia attuata aiado la elocità di otazioe delle pope stesse. Si assua pe seplicità che siao pefettaete eificate tutte le ipotesi della teoia della siilitudie. 5) Velocità di otazioe delle pope ella cofiguazioe pecedete di cui al quesito 4). Risultati agia 7 di 5

28 ) 9,8 /h, 66,9, η0,865, 80, kw. ) 90 /h, 00,7, η0,8, 65,9 kw. ) 59,6 /h, 48,8, η0,865, 8 kw. 4) 90 /h, 5,, η0,8, 49 kw. 5) 5 gii/. agia 8 di 5

29 Solgieto a) appesetazioe del poblea sebatoio B piato (M). sebatoio A 40 popa () pope b) coezioi adottate Si defiisce che pe le gadezze elatia alla popa si utilizzi il pedice ( ), iece elatiaete all ipiato il pedice M ( M ). c) cofiguazioe: pope i paallelo Tale cofiguazioe copota che ogi popa fuzioate elaboi età della potata, a sia i gado di foie tutto il salto, oeo: M M d) soluzioe del quesito ) otata, pealeza e poteza assobita da ciascua popa i asseza di ogai di egolazioe. Sapedo che, pe la cofiguazioe i paallelo, ale: M e cooscedo la caatteistica di ciascua popa, foita dal poblea: 5 0,00 si ha che: 5 0,00 5 0,00 4 Sepe pe la cofiguazioe i paallelo ale ache: M agia 9 di 5 M ed essedo data dal poblea la caatteistica dell ipiato si ha: M 40 +,47 0 M 5 0,00 5 0,00 4 Solgedo i calcoli si ottiee: M 78,6 h da cui: 4 M

30 M 9,8 h 66, M 89 Si eidezia che la pealeza foita dalla popa supea di aloe il salto geodetico doedo la popa foie al fluido olte ad u eegia pai al salto geodetico ache l eegia ecessaia a icee le pedite di caico lugo il cicuito). Oa pe defiizioe di poteza assobita da ua popa si ha: oe: ρ g ηtot ρ desità del fluido; el caso i esae acqua seza alcua idicazioe della sua tepeatua, é aiazioe della stessa, quidi l assuiao pai a.000 kg/ ; g acceleazioe di gaità teeste, pai a 9,8 /s. η tot η idaulico x η ogaico x η telettico x η ol, η idaulico : si ifeisce alla tasfoazioe dell eegia eccaica i idaulica ed è iscotabile sulla cua foita, alida solo pe la popa che fuzioa a.500 gii/ η idaulico g u g + L u p (laoo effettiaete iceuto dal fluido) / (laoo fatto sul fluido dalla giate) co Lp laoo peso e gx u laoo di Euleo. η ogaico : tiee coto della poteza dissipata pe attito sui suppoti, ei peistoppa (le teute della popa). U aloe edio da pote cosideae è pai a η ogaico 0,95. η oluetico : tiee coto del fatto che duate la tasfoazioe ua pate del liquido ella acchia o aia el codotto di adata pe fughe attaeso itestizi ta pate fissi e obili. Nel osto caso lo cosideiao η oluetico tascuabile. η elettico : tiee coto del edieto del otoe elettico che azioa la popa, quidi edieto di coesioe di eegia elettica all albeo della popa, u aloe edio tipico che può essee cosideato è pai a η elettic o0,96. A questo puto, cosideado la cua del edieto idaulico pe la popa a.500 gii/, pe deteiae il aloe del edieto idaulico della popa co p 9,8 /h e 66,89 si pocede pededo u aloe iteedio ta i aloi di edieto pe p pai a 60 ed p pai a 80. η idaulico () (%) ,89 86,5 uidi: η tot η idaulico x η ogaico x η elettico 0,865 x 0,95 x 0,96 0,789 ρ g η 0 9,8 9,8 66,89 kg 600 0,789 h tot agia 0 di 5 s h s 80, kw

31 e) soluzioe del quesito: ) oteza assobita da ciascua popa el caso i cui, gazie alla peseza di ua alola di egolazioe collocata sul codotto di adata, la potata totale ( M ) sia 80 /h.. sebatoio B Valola di egolazioe sebatoio A base alla cofiguazioe (i paallelo) e data la peseza della alola di egolazioe sulla adata che gaatisce la costaza della potata si ha: M h h 5 0,00 5 0, , 70 Dalla cua caatteistica della popa a 500 gii/ si deteia il edieto idaulico della sigola popa, che i appossiazioe ale: η idaulico 0,8 aoia co quato già detto sui aloi assuibili dagli alti edieti, si ha: η tot η idaulico x η ogaico x η elettico 0,8 x 0,95 x 0,96 0,748 e petato la poteza assobita da ciascua popa ale: ρ g η ,8 00,7 kg h 65, kw 600 0,748 h s s 8 tot agia di 5

32 f) soluzioe del quesito: ) oteza assobita el caso i cui ua delle due pope sia disiseita e la alola di egolazioe sia tutta apeta. Co alola copletaete apeta icadiao i ua situazioe aaloga al calo del quesito ). questo caso aedo peò ua sola popa fuzioate, essee doà elaboae tutta la potata, quidi: M M e petato: da cui M ,47 0 M 5 0,00 M 59,6 h M quidi: 5 0,00 5 0,00 (59,6) 48, 8 Dalla e sulla cua caatteistica a.500 gii/ icao i appossiazioe il edieto idaulico: η idaulico 0,865 e petato: η tot η idaulico x η ogaico x η elettico 0,865 x 0,95 x 0,96 0,789 ρ g η 0 59,6 9,8 48,8 kg h 8, kw 600 0,789 h s s 9 tot agia di 5

33 g) soluzioe del quesito: 4) oteza assobita da ciascua popa pe potata totale ( M ) di 80 /h, el caso i cui la egolazioe di potata sia attuata aiado la elocità di otazioe delle pope stesse. Si assua pe seplicità che siao pefettaete eificate tutte le ipotesi della teoia della siilitudie e 5) Velocità di otazioe delle pope ella cofiguazioe pecedete di cui al quesito 4). Ripededo i dati foiti dal poblea, si eidezia che si coosce la cua caatteistica della sigola popa cetifuga el piao (, ) a.500gii/ ; petato o si coosce il copotaeto della stessa a diesi gii. Cooscedo la potata e la cua caatteistica dell ipiato si può deteiae il elatio aloe assuto da M, quidi: 4 4 M 40 +,47 0 M 40 +,47 0 (80) 5, 4 ( M, ) Si è idiiduato il puto, che appesetato sul piao (,): piato (M) 5, /h caatteistica cobiazioe delle pope (NON NOTA) Nel puto passeà la cobiazioe delle due caatteistiche delle pope, o ote. A questo puto agioiao sulla sigola popa sapedo che alla fie il sistea è costituito dalla cobiazioe di due pope idetiche i paallelo. etato aalogaete alla figua pecedete si ha pe la sigola popa: cua D a gii specifici costate ( S) piato (cua C NOTA) caatteistica popa 500p (cua B NOTA) cua A popa a gii (NON NOTA) Cioè la sigola popa, giado ad u ueo di gii aiabili, o costate e o uguale a.500 gii/, o potà essee appesetata co la figua foita dal poblea, a pe soddisfae l ipiato doà aee ua caatteistica del tipo cua A popa a gii, o ota, che itesecheà la caatteistica dell ipiato el puto. agia di 5

34 Applicado la siilitudie si può pesae di idiiduae quella cua appesetate gli stessi uei di gii specifici della cua A e che passa dal puto, oeo la cua D. Tale cua itesecheà i u puto detto la cua caatteistica ota della popa quado gia a.500 gii/. Si è idiiduato cioè all iteo di ua stessa popa due puti e che soo ta loo siili, oeo puti i cui la popa pu aedo ueo di gii diffeeti, ha uei di gii specifichi uguali, cioè la popa ha lo stesso edieto idaulico el puto e el puto. defiitia si utilizzeà il puto pe passae poi al puto. Affiché i due puti e siao i siilitudie deoo aee lo stesso aloe dei uei adiesioali coefficiete di potata Φ e coefficiete di pealeza Ψ. g Ψ D Φ D Oeo, teedo pesete che la popa è la stessa, oeo stessa D e che g può essee cosideata costate el caso i esae: Ψ g D g D Ψ Φ Φ D D Ma il puto appatiee alla cua caatteistica ota a.500 gii/ (i figua cua B):, 5 0, 00, dicado co a il appoto ta i uei di gii, oeo: α si ha il seguete sistea di equazioi, aedo pe igoe e oogeeità di scittua iseito il pedice popa () a tutte le scittue:, 5 0, 00, (a) α (b),,, α (C),,, agia 4 di 5

35 seedo la (b) e la (c) ella (a) si ottiee:, 5 0,00, α α A questo puto si dee tee pesete che il puto di fuzioaeto della popa coispode al puto di fuzioaeto dell ipiato e quidi alla cobiazioe delle pope idetiche i paallelo; quidi si ha: Da cui si può icaae a:,, M, M, 5, / s α, etato dalla (b) e dalla (c): α 9, 80,,, α, 0, 88 Dato che il puto si toa sulla cua caatteistica della popa ota a 500 gii/, cua ota e assegata dal poblea, co le potate e pealeze toate (, e, ) si icaa il edieto idaulico della popa el puto, che essedo i siilitudie al puto coispode al edieto idaulico del puto : η idaulico, 0,8 η idaulico, Co ifeieto agli stessi aloi degli alti edieti si ha che: η tot, η idaulico, x η ogaico, x η elettico, 0,8 x 0,95 x 0,96 0,757 fie la poteza della sigola popa isulta: ρ, g, ,8 5,4 kg h 49kW η 600 0,757 h s s tot; La elocità di otazioe della sigola popa el puto, i base alla defiizioe del appoto α e dato che el puto di fuzioaeto la elocità della popa è di 500 gii/, ale: 500 gii 5 i uto α, s agia 5 di 5