Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Progetto: Metodo di soluzione basato su generazione di colonne

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1 Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora Progetto: Metodo d soluzone basato su generazone d colonne Lug De Govann Vene presentato un modello alternatvo per l problema della turnazone delle farmace che usa un numero esponenzale d varabl. Per la soluzone, non è approprata un mplementazone dretta tramte le API d Cplex e, qund, vene dscussa un possble metodo basato sulla generazone d colonne. La prossma scadenza è fssata per lunedì 12 dcembre alle 9:00 (quarta consegna) ed è relatva alla consegna va emal d un fle compresso contente: la vostra mplementazone n C++ (con l utlzzo delle API d Cplex) del metodo dscusso n questo documento. S rchedono sorgent e makefle che sano complabl su una macchna lnux del laboratoro LabP036 (qund con path del laboratoro). (opzonale) l mplementazone d una metaeurstca per la soluzone del problema slave; (opzonale) l mplementazone d una metaeurstca per la soluzone del problema complessvo della turnazone delle farmace (da confrontare con l metodo esatto bassato sull mplementazone con Cplex del modello con un numero polnomale d varabl, e con l eurstca basata su generazone d colonne descrtta n questo documento); (opzonale) delle stanze del problema d vare dmenson (n termn d numero centrod, numero d farmace per centrode, numero turn) generate casualmente; un fle pdf con un relazone sul lavoro svolto contenente: la descrzone de metod mplementat (con l dettaglo delle component che, n questo documento, sono solo accennate); la descrzone delle mplementazon; 1

2 la descrzone de rsultat computazonal sulle stanze fornte dal docente e sulle eventual altre stanze casual. I rsultat devono rportare sntetcamente un confronto tra le vare tecnche svluppate (modello della fase 3, metodo basato su generazone d colonne, eventual eurstche/metaeurstche). È rchesto che solo uno tra due approcc descrtt d seguto (turn defnt per farmace o per centrod) venga svluppato. ATTENZIONE: è prevsto l esonero dalla consegna della relazone rassuntva del progetto per ch ha effettuato le precedent consegne, effettuerà la presente consegna n tempo e sosterrà l esame nella prma sessone (entro gennao). L. De Govann - Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora 2

3 1 Notazone Rcordamo la notazone utlzzata per la descrzone formale del problema. C: nseme de centrod; F : nseme delle farmace; U : numero d utent nel centrode C; R : numero d farmace nel centrode C; T : l numero de turn; c j : dstanza dal centrode C al centrode j C. d f : dstanza dal centrode C al centrode n cu s trova la farmaca f F. Sa noltre P l nseme delle cardnaltà ammesse per turn, coè { P = R, R } T T 2 Formulazone con varabl legate alle confgurazon de turn n termn d farmace Un turno può essere vsto come un qualsas sottnseme d p P farmace. L nseme de possbl turn è qund J = { j 2 F j P }. A cascun potenaale turno j J può essere assocato un costo D j che esprme la dstanza complessva percorsa dagl utent nel caso l turno fosse effettvamente selezonato: D j = I U mn f j d f. S not che, dato l turno j, l costo D j può essere agevolmente determnato. Indchamo con A jf un parametro bnaro par a 1 se la farmaca f F apre nel turno j J, 0 altrment. Introducamo noltre le seguent varabl decsonal: z j, varable bnara par a 1 se l turno potenzale j J vene selezonato, 0 altrment. Una possble formulazone è la seguente: L. De Govann - Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora 3

4 mn D j z j (1) j J A jf z j = 1 f F (2) j J z j = T (3) j J z j 1 j J (4) z j 0 j J (5) z j Z j J (6) S not che l vncolo (4) è rdondante, vsto (2). Notare che vncol (2) possono essere sosttut da, vsto che convene sempre aggungere una farmaca a un turno, se s può (la funzone obettvo potrebbe solo dmnure o, al lmte, rmanere la stessa). Qund se qualche farmaca rmane senza turno nella soluzone ottma è perché la soluzone è equvalente a una con la farmaca stessa assegnata a qualche turno. In partcolare, possamo mettere la farmaca che resta n un qualsas turno, rspettando la cardnaltà de turn (s tratta d rstablre turn potenzal come stablt dal problema slave, nel caso d approcco per generazone d colonne). Sarebbe nteressante confrontare l comportamento del metodo proposto con vncol (21) scrtt ne due mod. Per la soluzone del modello, che ha un numero esponenzale d varabl, s propone la seguente eurstca: s rsolve prma l rlassamento contnuo (elmnando l vncolo (6)) tramte generazone d colonne e, qund, s rsolve l problema a varabl ntere rstretto alle colonne generate per l ottmaltà del rlassamento. Il duale del modello (1)..(5) è l seguente: max π f + T µ (7) A jf π f + µ D j j J (8) f C π R C (9) µ R (10) dove π sono le varabl dual assocate a vncol (2) e µ è assocata a (3). Una volta rsolto l problema (1)..(5) rstretto a un sottonseme d turn J J (restrcted master problem), e ottenuta la coppa d soluzon ottme prmale-duale z (π, µ ), ndvduare una colonna a costo rdotto negatvo o, equvalentemente, un vncolo duale volato (slave o prcng problem) corrsponde a rsolvere l seguente problema: L. De Govann - Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora 4

5 mn D(y) π fy f µ (11) y f P (12) f C y f {0, 1} f F (13) dove y èl vettore caratterstco del turno cercato (varable z j del problema master): y è 1 se la farmaca f F appartene al turno, 0 altrment (corrsponde a A jf ). Charamente la formulazone del problema slave data sopra non è lneare, vsto che l costo del turno D(y) dpende da y. Utlzzando delle varabl ulteror x f che ndcano se l centrode s serve dalla farmaca f nel turno descrtta da y, s ottene la seguente formulazone lneare: mn U d f x f πfy f µ (14) n C x f = 1 C (15) x j y f C, f F (16) R y f R (17) T T y {0, 1} C (18) x f R + C, f F (19) S not che, analogamente a quanto vsto per la formulazone del problema con un numero polnomale d varabl, le varabl x possono essere consderate real e postve (nvece che bnare). (In effett, l problema slave come sopra formulato rchama la formulazone orgnara : n un certo senso, abbamo formulato l prcng problem nello spazo delle varabl orgnare, guardando alla nuova formulazone con un numero esponenzale d varabl come una decomposzone ). Con caveat vst a lezone, l problema slave potrebbe essere rsolto con una (meta)eurstca: s tratta d trovare la confgurazone d un vettore a F component bnare d cu esattamente p P devono essere 1, che mnmzz la funzone (14). Questo punto, come detto sopra, è da consderars opzonale. 3 Formulazone con varabl legate alle confgurazon de turn n termn d centrod Secondo le potes defnte nelle specfche del problema, le farmace all nterno dello stesso centrode sono ndstungubl (la matrce delle dstanze è defnta tra centrod, non c L. De Govann - Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora 5

6 sono problem d congestone etc.). Pertanto, un turno può essere defnto specfcando, per cascun centrode, l numero d farmace che devono essere aperte nel turno stesso. Pù formalmente, un vettore γ Z C + con component γ, C defnsce una confgurazone d turno n termn d centrod se: per ogn centrode, non s consderano pù farmace d quelle v localzzate, coè: γ R, C. la somma delle component del vettore è esattamente p, con p P, coè: γ P ; Defnamo con Γ, l nseme d tutte le possbl confgurazon d turn n termn d centrod. A cascuna confgurazone d turno γ Γ può essere assocato un costo D γ che esprme la dstanza complessva percorsa dagl utent nel caso la confgurazone fosse effettvamente selezonata: D γ = U mn c j. j C:γ j >0 I S not che, data la confgurazone γ, l costo D γ può essere agevolmente determnato. Indchamo con N γ l numero d farmace aperte prevste nella confgurazone d turno γ Γ per l centrode I. Introducamo noltre le seguent varabl decsonal: z γ, varable ntera e postva che ndca l numero d turn confgurat secondo la confgurazone γ Γ. Una possble formulazone è la seguente: mn D γ z γ (20) γ Γ N γ z t = R C (21) γ Γ z γ = T (22) γ Γ z γ 0 γ Γ (23) z γ Z γ Γ (24) S not che se z γ > 1, allora c sono pù turn da confgurare allo stesso modo, sceglendo coè lo stesso numero d farmace dagl stess centrod. L. De Govann - Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora 6

7 Notare che vncol (21) possono essere sosttut da, vsto che convene sempre aggungere una farmaca a un turno, se s può (la funzone obettvo non può che mglorare o, al lmte, rmanere la stessa). Qund se qualche farmaca non vene assegnata a turn nella soluzone ottma, è perché la soluzone è equvalente (ad esempo abbamo gà una farmaca nello stesso centrode epr lo stesso turno) ad un altra n cu tutte le farmace sono nserte ne turn. Possamo qund nserre le farmace mancant nelle confgurazon selezonate, facendo attenzone a rspettare le cardnaltà de turn stess (n un approcco per generazone d colonne, s tratterebbe d rstablre turn secondo le confgurazon generate). Potrebbe essere nteressante confrontare l comportamento del metodo proposto con vncol (21) scrtt ne due mod. Per la soluzone del modello, che ha un numero esponenzale d varabl, s propone la seguente eurstca: s rsolve prma l rlassamento contnuo (elmnando l vncolo (24)) tramte generazone d colonne e, qund, s rsolve l problema a varabl ntere rstretto alle colonne generate per l ottmaltà del rlassamento. Il duale del modello (20)..(23) è l seguente: max R π + T µ (25) N γ π + µ D γ γ Γ (26) π R C (27) µ R (28) dove π sono le varabl dual assocate a vncol (21) e µ è assocata a (22). Una volta rsolto l problema (20)..(23) rstretto a un sottonseme d turn Γ Γ (restrcted master problem), e ottenuta la coppa d soluzon ottme prmale-duale z (π, µ ), ndvduare una colonna a costo rdotto negatvo o, equvalentemente, un vncolo duale volato (slave o prcng problem) corrsponde a rsolvere l seguente problema: mn D(y) π y µ (29) y P (30) y R C (31) y Z + C (32) dove y è un vettore d varabl ntere e postve che descrve la confgurazone del turno cercato (varable z γ del problema master): y è l numero d farmace per l centrode (corrsponde a N γ ). Charamente la formulazone del problema slave data sopra non L. De Govann - Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora 7

8 è lneare, vsto che l costo della confgurazone D(y) dpende da y. Utlzzando delle varabl ulteror x j che ndcano se l centrode s serve da una farmaca del centrode j nella confgurazone d turno descrtta da y, s ottene la seguente formulazone lneare: mn U c j x j π y µ (33) n C j C x j = 1 C (34) j C x j y j C, j C (35) R y R (36) T T y R C (37) y Z + C (38) x j R + C, j C (39) S not che, analogamente a quanto vsto per la formulazone del problema con un numero polnomale d varabl, le varabl x possono essere consderate real e postve (nvece che bnare). (In effett, l problema slave come sopra formulato rchama la formulazone orgnara : n un certo senso, abbamo formulato l prcng problem nello spazo delle varabl orgnare, guardando alla nuova formulazone con un numero esponenzale d varabl come una decomposzone ). Con caveat vst a lezone, l problema slave potrebbe essere rsolto con una (meta)eurstca: s tratta d trovare la confgurazone d un vettore a C component ntere d cu esattamente p P devono essere comprese tra 1 e R, che mnmzz la funzone (33). Questo punto, come detto sopra, è da consderars opzonale. 4 Prove computazonal L obettvo è d confrontare le dverse tecnche svluppate (almeno due, l modello con un numero polnomale d varabl rsolto con Cplex, e l metodo basato su generazone d colonne con soluzone esatta del problema d prcng tramte modello mplementato n Cplex) n termn d: temp d calcolo (evdenzando, per l metodo descrtto n questo documento, oltre al tempo totale, l tempo complessvamente speso nel problema d prcng e l tempo per la soluzone fnale del problema a varabl ntere); valore della soluzone trovata (l secondo metodo è un eurstca); eventual dfferenze per dverse stanze, al varare delle dmenson (numero d farmace/centrod, numero d turn). L. De Govann - Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora 8

9 Vengono fornt allo scopo dat d alcune stanze sgnfcatve d pccole e d mede dmenson. S fornscono de dat grezz, che cascuno potrà porre nel propro formato d nput. Da dat, possono essere rcavate le seguent stanze: 1. pharma 12F : un caso d studo d pccole dmenson, per l quale è dsponble una soluzone ottma; 2. pharma 20C 23F : un caso d studo rcavato da un sottonseme delle farmace nella regone Frul-Veneza Gula (a cura del prof. Serafn dell Unverstà d Udne); 3. padova comune: caso del comune d Padova. S rchede d consderare un centrode per ogn farmaca. Gl U possono essere rcavat dstrbuendo gl abtant de quarter (dsponbl nel foglo Lsta F ) n modo unforme tra centrod delle farmace dello stesso quartere. Le dstanze sono ndcate nel foglo matr pd com. È dsponble la soluzone proposta dall ordne de farmacst con 11 turn (foglo soluzon ), che può essere utle per confront; 4. padova lmtrof: caso de comun lmtrof a Padova. S rchede d consderare un centrode per ogn farmaca. Gl U possono essere post convenzonalmente tutt a 1, oppure rcavat dstrbuendo gl abtant de comun (da cercare su nternet) n modo unforme tra centrod delle farmace dello stesso comune. Le dstanze sono ndcate nel foglo matr pd lmtr. È dsponble la soluzone proposta dall ordne de farmacst con 11 turn (foglo soluzon ), che non è ammssble secondo la nostra defnzone de turn, ma può essere utle per confront; 5. padova tutto: s tratta d mettere nseme due cas precedent (bsognerebbe recuperare le dstanze tra centrod del comune d padova e de comun lmtrof, non fornt). Questo punto è opzonale. Oltre alle stanze rcavate da dat fornt, è possble generare casualmente stanze d dverse dmenson. Anche questo punto è opzonale. Dove non specfcato, s consder che la popolazone d ogn centrode è par alla stessa costante. Per quanto rguarda l numero d turn, s chede d fare de test con vare possbltà (ad esempo, per l caso d Padova, s fornsce una possble soluzone con 11 turn, quella proposta dall ordne de farmacst) per valutare, al varare del numero d turn, cambament del valore della funzone obettvo, e delle prestazon comparatve de dvers metod. L. De Govann - Metod e Modell per l Ottmzzazone Combnatora 9