Analisi FEM per lo stressista (con applicazione a NozzlePro)

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1 Analisi FEM per lo stressista (con applicazione a NozzlePro) INTRODUZIONE Molti fenomeni fisici analizzati in scienza ed ingegneria possono essere descritti in termini di equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE). In generale, risolvere queste equazioni con i metodi analitici per sistemi di forme arbitrarie è quasi impossibile. Il metodo agli elementi finite (FEM) è un approccio numerico attraverso il quale queste equazioni possono essere risolte in forma approssimata. Il FEM è solo uno dei tanti metodi disponibili per risolvere numericamente le equazioni alle derivate parziali (metodo delle differenze finite, metodo dei volumi finiti etc) ma oggigiorno è il più diffuso. LA STORIA DEL FEM Le applicazioni ingegneristiche del metodo agli elementi finite risalgono approssimativamente a 40 anni fa. L evoluzione del FEM è legata agli sviluppo della tecnologia informatica. Con il miglioramento della velocità e della capienza di memoria dei computer, il FEM è diventato uno strumento effettivamente utile. Senza i computer il metodo FEM sarebbe praticamente inapplicabile. Una delle nozioni fondamentali del FEM, la discretizzazione, è però molto più antica. Già oltre due millenni fa, Archimede calcolò il valore del π approssimando la circonferenza con i poligoni inscritti e circostritti.

2 METODOLOGIA FEM Un analisi FEM richiede tre passi. 1. Pre-process 2. Analisi 3. Post-processing Passo1: Pre-process Il pre-process è composto dalla modellazione della struttura e dalla creazione della mesh. Usando un programma CAD si modella geometricamente la struttura. Vengono definiti vincoli, carichi e proprietà meccaniche della struttura. Viene selezionato un elemento adatto a costituire la mesh della struttura. Attenzione. Non bisogna confondere il modello geometrico (prima della meshatura) con il modello strutturale (dopo la meshatura). Gli elementi geometrici sono un modo per deplicare le dimensioni della struttura mentre gli elementi stutturali sono i gli elementi fisici nei quali il modello è diviso. Dopo la meshatura il modello geometrico viene dimenticato dal programma che conserva solo il modello strutturale. In questa figura possiamo confrontare il modello geometrico (a sinistra) con il modello stutturale (a destra). A dire la verità, in passato il modello stutturale veniva creato inserendo manualmente nodi ed elementi. Questa procedura, chiamata bottom-up, richiede molto tempo e capacità ma permette un controllo più raffinato della mesh. Oggi invece si usa generalmente un metodo top-down. Prima si crea un modello solido e poi il programma lo divide automaticamente in nodi ed elementi. Per il successo di questa procedura è fondamentale scegliere il corretto elemento per la meshatura.

3 Selezione dell elemento Ci sono molti differenti elementi disponibili nei programme FEM di uso generale mentre i programmi dedicati possono avere anche solo uno o due elementi specifici. E importante sapere quali sono i diversi elementi a nostra disposizione per scegliere il più adatto al lavoro in corso. Gli elementi differiscono per molte caratteristiche. Il numero di dimensioni è il più evidente ma non necessariamente il più importante. Vediamo quali sono i differenti attributi degli elementi. Dimensionalità Gli elementi possono avere 1, 2 o 3 dimensioni. E importante capire che questa differenza non si traduce nelle dimensioni del sistema analizzato. Gli elementi monodimensionali (le travi ad esempio) possono tranquillamente essere usate per costruire un modello a 2 o 3 dimensioni. Nodi Ogni elementi possiede un insieme di punti identificativi chiamati nodi. Questi nodi servono ad un doppio scopo, da una parte per la definizione geometrica dell elemento, dall altra per valutare i gradi di libertà dello stesso. Quando i due insiemi sono distinti, chiamiamo i primi nodi geometrici ed i secondi nodi di connessione. Tuttavia per la maggior parte degli elementi i due insiemi coincidono. I nodi sono di solito posizionati agli estremi dell elemento ma per alcuni elementi più raffinati possono essere collocati anche sui lati o all interno dell elemento. Geometria La geometria dell elemento è definite dalla posizione dei suoi nodi geometrici. La maggior parte degli elementi hanno geometrie piuttosto semplici. Gli elementi monodimensionali sono generalmente segmenti dritti o curvi, in due dimensioni sono triangoli o quadrilateri, in tre dimensioni sono tetraedri, prismi o parallelepipedi. Gradi di libertà I gradi di libertà (DOF) di un elemento definiscono il suo stato e servono come punti di connessione con gli elementi adiacenti. Per la maggior parte degli elementi, i gradi di libertà sono dati dagli spostamenti e dalle rotazioni dei suoi nodi.

4 Forze nodali In corrispondenza di ogni insieme di gradi di libertà esiste un insieme di forze nodali che ne definiscono lo stato tensionale. Proprietà costitutive Si tratta dei parametric che definiscono il comportamento del materiale, ad esempio il modulo elastico E o il coefficiente di espansione terminca α. Proprietà di fabbricazione Sono le proprietà di un elemento meccanico che ne definiscono le caratteristiche meccaniche, ad esempio la sezione di una trave o lo spessore di un piatto. Caesar II usa elementi pipe (ovvero elementi beam a cui è stata aggiunta la pressione interna) mentre Nozzle Pro usa elementi shell (2D) o brick (3D). Per la maggior parte delle nostre applicazioni useremo elementi shell. Passo 2: Analisi In questo passo vengono applicati i vincoli, le proprietà meccaniche ed i carichi agli elementi per ricavarne l equazione matriciale di ogni elemento, matrici che vengono poi assemblate per ricavare l equazione matriciale globale della struttura. Sia l equazione locale che quella globale hanno la forma dove [F] = Matrice delle forze esterne [K] = Matrice di rigidezza [u] = Matrice degli spostamenti [F] = [K][u] L equazione viene risolva per ricavare le deformazioni. Usando i valori delle deformazioni vengono ricavati gli stress e le reazioni. Tutti i risultanti vengono memorizzati e saranno usati nel postprocessing per creare grafici e tabelle. Passo 3: Post process Questo è l ultimo passo in un analisi agli elementi finiti. I risultati ottenuti al passo 2 sono in forma difficile da interpretare. Dunque un programma CAD viene usato per visualizzare la struttura deformata e creare diagrammi di stress. Una rappresentazione grafica è infatti molto utile per capire intuitivamente il comportamento della struttura. I 3 passi possono essere teoricamente effettuati da programmi diversi, ognuno specializzato in uno di essi. Tuttavia spesso i 3 passi sono effettuati all interno dello stesso programma (Caesar II e Nozzle Pro appartengono a questa ultima categoria di programmi).

5 Consideriamo la trave in figura. ESEMPIO DI CALCOLO Non è importante capire i dettagli del calcolo che andiamo a vedere. Esso è soprattutto importante per capire il modo con il quale il software ragiona al suo interno. Un elemento beam ha 4 gradi di libertà, due per ogni nodo, due deflessioni e due rotazioni, v 1, θ 1, v 2, e θ 2. Dato che ci sono quattro gradi di libertà, la matrice delle rigidezze avrà dimensione 4 x 4. Essa può essere dedotta dalle formule elementari per la trave. Matrice di rigidezza Per la trave in figura, determiniamo gli spostamenti e le rotazioni ai nodi, le forze in ogni elemento e le reazioni dei supporti.

6 La struttura della trave è discretizzata in 3 elementi come in figura. Andiamo ad eseguire i seguenti passi. trovare la matrice di rigidezza per ogni elemento assemblare le matrici di rigidezza in un unica matrice globale applicare le condizioni al contorno calcolare spostamenti e rotazioni dei nodi (le forze interne e le reazioni vengono calcolate andando a sostituire spostamenti e rotazioni nelle equazioni strutturali). Per gli elementi 1 e 2 la matrice di rigidezza è mentre per l elemento 3 è La differenza tra le matrici degli elementi 1 e 2 e quella dell elemento 3 è data dal fatto che quest ultimo lavora solo come puntone, dunque con spostamenti assiali, senza flessioni laterali nè rotazioni. La matrice di rigidezza globale è (con K = (K) x [L 3 /(EI)])

7 Possiamo ridurre la dimensione della matrice di rigidezza applicando le condizioni al contorno. v 1 = θ 1 = 0 v 2 = 0 v 4 = 0 il nodo 1 è un ancoraggio il nodo 2 non ha spostamenti verticali ma è libero di ruotare. il nodo 4 è un ancoraggio Pur essendo entrambi ancoraggi, il nodo 1 ed il nodo 4 hanno condizioni al contorno differenti perchè è differente la loro matrice di rigidezza. Il nodo 4 è già privo delle rotazioni e non c è dunque bisogno di imporre la relativa condizione al contorno. La matrice di rigidezza ridotta è Sostituendo i valori E = 1.4 x 10 6 psi K = 200 lb/in I = 2.4 in 4 L = 5 ft F = 100 lb otteniamo Risolvendo otteniamo θ 2 = rad v 3 = in θ 3 = rad

8 FONTI DI ERRORE NEI CALCOLI FEM Le tre principali fonti di errore in un calcolo FEM sono gli errori di discretizzazione, di formulazione ed errori numerici. Discretizzazione. Gli errori sono dovuti principalmente ad una mesh inadeguata. L inadeguatezza dipende da una mesh troppo grossolana o con elementi troppo sproporzionati. Per esempio la mesh a sinistra è inadeguata mentre quella a destra risulta sufficientemente densa e regolare. Formulazione. Gli errori sono dovuti principalmente all uso di elementi che non descrivono adeguatamente il fenomeno fisico. Ricordiamo infatti che l analisi FEM non è una rappresentazione completa della realtà e l accuratezza del modello 3D non va confusa con l accuratezza del comportamento meccanico. L analisi FEM può individuare solo gli effetti che l elemento usato è in grado di percepire. Un elemento lineare non sarà adatto ad individuare grandi spostamenti, instabilità o non linearità, un modello elastico non percepisce la plasticizzazione, un elemento isotropo non può essere usato per modellare un materiale anisotropo. Un analisi FEM, come ogni altro calcolo ingegneristico, è buono solo quanto l input che viene usato. Gli errori numerici sono dovuti ad imprecisioni delle procedure numeriche usate, errori di troncamento e di arrotondamento. Gli errori numerici sono dunque una preoccupazione soprattutto dei programmatori dei software FEM, per l utente è importante sapere che esistono e che l unico modo per limitarli è specificare i valori di input con un numero sufficiente di cifre significative.

9 NOZZLE PRO NozzlePro è uno strumento per la verifica di componenti piping e di apparecchiature in pressione. Noi eseguiremo due esempi, il calcolo di un SIF di un pezzo a T e la verifica dei carichi di un bocchello.

10 tipo di connessione Calcolo del SIF proprietà dell header proprietà del branch proprietà della pad tipo di connessione spegliamo cylinder come base shell type e pad come nozzle type. proprietà dell header e del branch le ricaviamo dalla piping class proprietà della pad Lo spessore della pad è generalmente lo stesso dell header. L ampiezza della pad è pari almeno al raggio del branch. L angolo è opzionale. In questo caso analizziamo un branch a 45

11 Carichi Per questo calcolo inseriamo solo la pressione Orientamento Scegliamo quello che ci è più comodo Proprietà del materiale In assenza di altri riferimenti possiamo prenderle dal database dei materiali di Caesar II

12 L unica opzione che ci interessa è quella che stabilisce se il SIF debba essere calcolato per l header o per il branch. Le B31.3 non fanno distinzione tra i due valori ma essi sono in realtà molto differenti. Dobbiamo far girare il programma due volte con l opzione attivata e disattivata per avere entrambi i valori. Mesh strutturata o non strutturata Possiamo vedere che Nozzle Pro usa una mesh strutturata per questo calcolo anche se è capace di gestire anche mesh non strutturate. Quale è la differenza tra le due? Abbiamo una mesh strutturata quando ogni nodo ha la stezza valenza, ovvero è connesso allo stesso numero di elementi. In figura vediamo a sinistra una mesh strutturata con valenza R=4 mentre a destra abbiamo una mesh non strutturata con valenza variabile da 3 a 5.

13 La mesh non strutturata è usata di solito per sistemi aventi forme complesse che non possono essere facilmente meshate in modo strutturato. Tranne casi particolari, la mesh strutturata è sempre preferibile. Output Nozzle Pro produce un lungo output ma in questo caso siamo interessati solo alla parte Stress Intensification Factors Branch/Nozzle Sif Summary Peak Primary Secondary Axial : Inplane : Outplane: Torsion : Pressure: Leggiamo dal manuale di Nozzle Pro che I valori da usarsi in un calcolo di pipe stress analysis sono i fattori di intensificazione di peak stress. I SIF primari e secondari possono essere usati nelle applicazioni B31. Se il SIF calcolato è minore di 1, va considerato un valore pari a 1. Dunque i valori da usarsi in Caesar II sono quelli in neretto ma il SIF outplane, essendo minore di 1, va incrementato fino a 1.0. Dunque SIF inplane = SIF outplane = Per il branch ripetiamo lo stesso calcolo con l opzione deselezionata. Stress Intensification Factors Branch/Nozzle Sif Summary Peak Primary Secondary Axial : Inplane :

14 Outplane: Torsion : Pressure: Vediamo che i SIF per il branch sono molto più alti di quelli dell header. Inoltre il SIF outplane del branch è generalmente molto più alto del SIF inplane.

15 Verifica di un bocchello Eseguiamo ora la verifica del bocchello di un vessel. La maggior parte dei valori di input sono equivalenti a quelli usati per il calcolo del pezzo a T. Vorrei solo spiegare i valori opzionali evidenziati in figura. Le estremità del vessel sono i punti dove la rigidezza è molto più alta che nello shell grazie agli irrigidimenti di testa. Dunque conoscere la distanza del bocchello dalle estremità permette a Nozzle Pro di effettuare un calcolo più corretto. In questo caso andiamo a verificare un bocchello tangenziale (dunque non radiale). Il disallineamento tra l asse del bocchello e l asse del vessel è dato dal parametro Hillside Offset. L immagine seguente illustra i riferimenti per gli assi di un bocchello tangenziale.

16 Questa è la visualizzazione del bocchello in esame. E interessante evidenziare la buona mesh che NozzlePro esegue intorno al bocchello. In basso i carichi considerati nel nostro calcolo di esempio.

17 Output NozzlePro, come detto, produce un lungo output. Vorrei commentare le parti più rilevanti. NozzlePro esegue molti controlli di stress, divisi in primari, secondari e a fatica. ASME Code Stress Output Plots 1) Pl < 1.5(k)Smh (SUS,Membrane) Case 2 2) Qb < 3(Smh) (SUS,Bending) Case 2 3) Pl+Pb+Q < 3(Smavg) (OPE,Inside) Case 3 4) Pl+Pb+Q < 3(Smavg) (OPE,Outside) Case 3 5) Pl+Pb+Q+F < Sa (SIF,Outside) Case 5 6) Pl+Pb+Q+F < Sa (SIF,Outside) Case 6 7) Pl+Pb+Q+F < Sa (SIF,Outside) Case 7 8) Pl+Pb+Q+F < Sa (SIF,Outside) Case 8 9) Pl+Pb+Q+F < Sa (SIF,Outside) Case 9 10) Pl+Pb+Q < 3(Smavg) (EXP,Inside) Case 4 11) Pl+Pb+Q < 3(Smavg) (EXP,Outside) Case 4 12) Pl+Pb+Q+F < Sa (EXP,Inside) Case 4 13) Pl+Pb+Q+F < Sa (EXP,Outside) Case 4 In questo caso non abbiamo punti di overstress. ASME Overstressed Areas *** NO OVERSTRESSED NODES IN THIS MODEL *** Mostriamo uno dei tanti report grafici che NozzePro produce.

18 Nozzle Pro può anche mostrare la forma deformata (ovviamente con deformazioni opportunamente scalate)

19 Carichi ammissibili L output contiene altri due interessanti paragrafi. Il primo è relative ai carichi ammissibili. SECONDARY Maximum Conservative Realistic Load Type (Range): Individual Simultaneous Simultaneous Occuring Occuring Occuring Axial Force ( N ) Inplane Moment (mm. N ) Outplane Moment (mm. N ) Torsional Moment (mm. N ) Pressure (MPa ) PRIMARY Maximum Conservative Realistic Load Type: Individual Simultaneous Simultaneous Occuring Occuring Occuring Axial Force ( N ) Inplane Moment (mm. N ) Outplane Moment (mm. N ) Torsional Moment (mm. N ) Pressure (MPa ) In questo esempio avevamo i carichi come input ed abbiamo effettuato uno stress check ma è anche possibile chiedere a NozzlePro i carichi ammissibili senza introdurre alcun carico in input. Maximum Individual Occuring Loads sono i massimi carichi ammissibili se tutte le altre componenti sono nulli. Questo è di scarso interesse per lo stressista. Conservative Allowable Simultaneous Loads sono i massimi carichi che si possono applicare simultaneamente producendo un valore atteso di stress pari al 50-70% dell ammissibile. Realistic Allowable Simultaneous Loads sono simili ai precedenti con la differenza che stavolta lo stress atteso è prossimo al valore ammissibile. Notiamo che NozzlePro porge i carichi ammissibili in termini della forza assiale e dei momenti, senza considerare forze tangenziale e circonferenziale. Naturalmente conoscendo la lunghezza e la direzione del bocchello, possiamo tradurre i momenti ammissibili in forze ammissibili alla flangia del bocchello.

20 Rigidezze Infine NozzlePro porge le rigidezze che possono essere usate nel punto di intersezione in un analisi di tipo beam. Axial Translational Stiffness = N /mm. Inplane Rotational Stiffness = mm. N /deg Outplane Rotational Stiffness = mm. N /deg Torsional Rotational Stiffness = mm. N /deg E molto importante usare questi valori correttamente in un modello Caesar per evitare errori gravi. In particolare 1) La rigidezza deve essere inserita nel punto di intersezione branch/header o bocchello/vessel. 2) Le caratteristiche generali da usarsi sono quelle del branch 3) Le rigidezze non calcolate devono essere considerate infinite. 4) Qualche volta la rigidezza non viene restituita da NozzlePro in quanto è superiore a quella del tubo. In tal caso la rigidezza del modello beam è sufficiente a descrivere il sistema. La direzione inplane è quella RYY mentre quella outplane è RZZ. Le rigidezze vanno inserite tra i nodi 15 e 20.

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