Analisi non lineari con il programma agli elementi finiti Abaqus

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Dipartimento di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile per la Protezione dai Rischi Naturali Anno Accademico 2014/2015 Relazione di fine tirocinio Analisi non lineari con il programma agli elementi finiti Abaqus Studente Saverio Vittori Relatore Prof. Fabio Brancaleoni Tutor Stefano Gabriele

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3 Indice Introduzione v 1 Non linearità dei materiali Un modello per il c.a.: concrete damaged plasticity Definizioni di teoria della plasticità Definizioni Superficie di snervamento e potenziale plastico nel CDP Comportamento uniassiale a trazione del calcestruzzo Comportamento uniassiale a compressione del calcestruzzo Inserimento delle barre di armatura Regolarizzazione viscoplastica Casi studio CS1: singolo elemento shell CS2: Muro in c.a Non linearità di contatto Legami costituitivi delle molle non lineari Comportamento dinamico di molle non lineari Integrazione al passo delle equazioni del moto Metodo di integrazione di Eulero-Gauss Procedure di Newmark e Hilber-Huges-Taylor Bibliografia 31 iii

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5 Introduzione Uno degli obiettivi della mia tesi di laurea è la valutazione della sicurezza sismica di viadotti esistenti con travata in c.a.p. Per raggiungere tale scopo devo costruire un modello agli elementi finiti che riesca a cogliere: il comportamento non lineare dei materiali, al fine di modellare le cerniere plastiche che si formano alla base ed in testa alle pile del viadotto; le non linearità di contatto derivanti dal martellamento degli impalcati. L attività correlata alla tesi di laurea ha avuto come obiettivo l apprendimento del programma di analisi agli elementi finiti Abaqus, scelto per la realizzazione del modello. Nella prima parte del tirocinio ho svolto una ricerca sui modelli implementati in Abaqus per simulare il comportamento del calcestruzzo armato. Tra le varie possibilità ho scelto il concrete damaged plasticity. Questo modello materiale tiene conto della plasticità, della riduzione di rigidezza in seguito al crescere di parametri di danno ed è particolarmente idoneo per problemi in cui il carico inverte frequentemente il segno. Per acquisire confidenza con il software ho realizzato due casi studio elementari i cui risultati sono presentati in questo elaborato. Successivamente ho identificato gli elementi idonei alla modellazione del martellamento tra gli impalcati del viadotto. Gli elementi gapuni e spring (molle elastiche non lineari) presenti nelle librerie di Abaqus si sono rivelati adatti allo scopo. Analogamente a quanto svolto precedentemente ho testato l affidabilità di tali elementi attraverso l analisi del loro comportamento in due casi semplici. L attività è stata svolta dal 29 giugno 2015 al 27 luglio 2015 sotto la supervisione dell ing. Stefano Gabriele e del prof. Fabio Brancaleoni. v

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7 Capitolo 1 Non linearità dei materiali Il calcestruzzo è un materiale che presenta due principali meccanismi di rottura: la fessurazione a trazione e lo schiacciamento a compressione. Il suo comportamento dipende significativamente dallo stato tensionale agente. A titolo di esempio, lo stesso elemento di calcestruzzo, soggetto ad uno stato di tensione biassiale, raggiunge resistenze fino al venti per cento maggiori del caso in cui fosse soggetto a compressione uniassiale; e la sua resistenza, quando è soggetto a compressione triassiale uniforme, raggiunge valori teoricamente illimitati. Il criterio di snervamento (e resistenza) è rappresentato da una superficie nello spazio tridimensionale delle tensioni principali. Uno punto interno alla superficie di snervamento produce deformazioni di tipo elastico. Una volta che viene attraversata la superficie di snervamento si possono verificare due fenomeni: l accumulo di deformazioni plastiche in assenza di incrementi di tensione (plasticità perfetta), o la rottura. L acciaio è un materiale che presenta un comportamento meccanico pressoché uguale a trazione e a compressione, nonché una significativa capacità di deformazione in campo plastico. 1.1 Un modello per il c.a.: concrete damaged plasticity Nel presente lavoro si è adottato il modello concrete damaged plasticity (successivamente indicato con CDP) implementato in Abaqus. Tale modello permette di cogliere sia il comportamento plastico del calcestruzzo sia la riduzione di rigidezza causata dall accumularsi del danno. Solo la plasticità del materiale è stata considerata nei casi studio, lasciando a futuri sviluppi l inserimento nel modello delle variazioni di rigidezza legate al danneggiamento. Nei paragrafi successivi si accenna brevemente alle ipotesi su cui si basa il modello e si mostra il valore assegnato ai parametri che lo caratterizzano. Si consiglia la lettura del theory manual e dell analysis manual della documentazione di Abaqus [5] per i dettagli Definizioni di teoria della plasticità Elementi necessari per la definizione del comportamento plastico di un materiale sono la superficie di snervamento, la legge di incrudimento e la legge di flusso. La superficie di snervamento è descritta da un equazione F che associa ad ogni punto dello spazio delle tensioni principali la condizione di snervamento. 1

8 1 Non linearità dei materiali I punti interni a tale superficie rappresentano degli stati tensionali che danno luogo a deformazioni elastiche. I punti su di essa invece danno luogo a deformazioni plastiche. Per la condizione di consistenza gli stati tensionali ammissibili sono tutti contenuti all interno, o giacciono, sulla superficie di snervamento. La legge di incrudimento governa l evoluzione della superficie di snervamento. La dipendenza di tale superficie dalla deformazione plastica si traduce in un cambio di forma e dimensioni della stessa. La legge di flusso esprime la relazione esistente tra superficie di snervamento e la direzione del vettore delle deformazioni plastiche. Le evidenze sperimentali dimostrano che la direzione del vettore di deformazione è indipendente dall incremento di tensione, ma è funzione dello stato tensionale complessivo. Il criterio o legge di flusso stabilisce che il vettore di deformazione è sempre ortogonale al potenziale plastico G. Tale legge di normalità permette di stabilire il rapporto esistente tra le componenti della deformazione plastica. La legge di flusso si definisce associata se il potenziale plastico G e la superficie di snervamento F coincidono, altrimenti si dice che la legge di flusso non è associata Definizioni La tensione effettiva è definita come σ = D 0 : (ε ε pl ) L equazione della superficie di snervamento e quella del potenziale plastico fanno uso di due invarianti delle tensioni (effettive) che sono la pressione idrostatica p = 1 3 trace( σ) e la tensione equivalente di Mises 3 q = (S : S) 2 dove S è la parte deviatorica del tensore delle tensioni effettive S = σ + pi Superficie di snervamento e potenziale plastico nel CDP Una delle ipotesi spesso accettate per il comportamento del calcestruzzo è quella di Drucker-Prager (1952). Questa afferma che la rottura del materiale è legata all energia di deformazione distorcente e che la superficie di snervamento assume la forma di un cono nello spazio delle tensioni con asse coincidente con l asse idrostatico (Figura 1.1). Il vantaggio nell uso di questo criterio è la forma smussata della superficie, particolarmente idonea nelle applicazioni numeriche. Lo svantaggio è l incapacità 2

9 1.1 Un modello per il c.a.: concrete damaged plasticity Figura 1.1: Superficie di snervamento di rappresentare fedelmente il reale comportamento del calcestruzzo [2]. Nel CDP si utilizza un evoluzione della funzione di Drucker-Prager elaborata da Lubliner [4] e successivamente modificata da Lee e Fenves [3]. L equazione della superficie di snervamento è: F = 1 1 α ( q 3α p + β( εpl ) ˆ σ max γ ˆ σ max ) σc ( ε pl c ) = 0 α = (σ b0/σ c0 ) 1 2(σ b0 /σ c0 ) 1 β = σ c( ε pl c ) σ t ( ε pl (1 α) (1 + α) t ) γ = 3(1 K c) 2k c 1 ˆ σ max è la tensione principale massima effettiva; ε pl t con 0 < α < 0.5 e ε pl c rappresentano rispettivamente le deformazioni plastiche equivalenti di trazione e compressione. σ t ( ε pl t ) e σ c( ε pl c ) sono rispettivamente la tensione effettiva corrispondente alla deformazione plastica di trazione e compressione; In figura 1.2 si mostra la forma che assume la superficie di snervamento per uno stato di tensione piano. Il potenziale plastico è definito dalla funzione iperbolica di Drucker-Prager. G = (ɛσ to tan ψ) 2 + q 2 p tan ψ σ t0 è la tensione di trazione uniassiale di rottura definita nel comportamento uniassiale a trazione del calcestruzzo; ψ ed il parametro ɛ sono il dilatation angle e eccentricity, definiti nel dettaglio nei paragrafi successivi. 3

10 1 Non linearità dei materiali Figura 1.2: Superficie di snervamento per uno stato di tensione piano Secondo le modifiche apportate dagli autori, la sezione trasversale della superficie di snervamento nel piano deviatorico 1 non è una circonferenza ma una curva governata dal parametro K c come mostrato in figura 1.3. Dal punto di vista fisico il parametro K c può essere interpretato come il rapporto tra la distanza tra l asse idrostatico e rispettivamente la generatrice delle trazioni e la generatrice delle compressioni. Il CDP consiglia di assumere K c = 2/3. Analogamente la forma della superficie di snervamento, in un piano contenente l asse idrostatico, non è una retta ma un iperbole (fig 1.4). Il parametro che esprime tale variazione di forma si definisce eccentricity ɛ. Nel CDP si raccomanda di porre ɛ = 0.1. Quando ɛ = 0 la superficie nel piano meridiano 2 p q diventa una linea retta ricadendo nella formulazione di Drucker-Prager. Un altro parametro che descrive il comportamento del materiale è il punto in cui il calcestruzzo raggiunge la rottura sotto uno stato di tensione piano di compressione. σ b0 /σ c0 è il rapporto tra la resistenza in uno stato tensionale piano e la resistenza in uno stato tensionale uniassiale. Il CDP consiglia di porre σ b0 /σ c0 = 1.16 L ultimo parametro che definisce il comportamento del calcestruzzo confinato è il dilatation angle ψ. Esso è definito come l angolo di inclinazione della superficie di snervamento rispetto all asse idrostatico in un piano meridiano. Fisicamente, l angolo ψ, è un angolo di attrito. Valori consigliati per il calcestruzzo sono ψ = I restanti parametri che servono per calibrare il modello sono forniti in termini di curve tensione-deformazione per uno stato di tensione uniassiale a compressione e a trazione, spesso ricavabili da prove sperimentali. 1 Il piano deviatorico è il piano ortogonale all asse idrostatico. 2 Il piano meridiano di un cono è definito come il piano contenente l asse di rotazione del solido. In questo contesto l asse di rotazione coincide con l asse idrostatico. 4

11 1.1 Un modello per il c.a.: concrete damaged plasticity Figura 1.3: Superficie di snervamento nel piano deviatorico Figura 1.4: Superficie di snervamento nel piano meridiano Per concludere si mostrano in tabella 1.1 i valori dei parametri adottati in questo lavoro. Parametro Valore Dilatation angle ψ 36 Eccentricity ɛ 0.1 σ b0 /σ c Kc 2/3 Parametro di viscosità 0 Tabella 1.1: Parametri di defaultassunti nel CDP Comportamento uniassiale a trazione del calcestruzzo La curva tensioni-deformazioni di un elemento di calcestruzzo sottoposto ad un carico uniassiale di trazione, segue un andamento lineare elastico fino al raggiungimento della tensione di rottura. La tensione di rottura corrisponde alla condizione 5

12 1 Non linearità dei materiali di incipiente fessurazione del calcestruzzo. Oltre tale limite il fenomeno della fessurazione, osservato su scala macroscopica, è rappresentato da una progressiva riduzione della resistenza al crescere della deformazione (tension-stiffening). Infatti il calcestruzzo non si comporta come un materiale fragile ma presenta una capacità resistente dovuta a fenomeni quali la coesione tra l armatura e il calcestruzzo o l ingranamento degli inerti. Nel presente modello si è scelto adottare un comportamento elasto plastico con incrudimento positivo.i valori di resistenza scelti sono più bassi delle usuali resistenze a trazione del calcestruzzo. Il vantaggio di questa scelta si manifesta in un una maggiore facilità di convergenza e riduzione dei tempi di analisi Comportamento uniassiale a compressione del calcestruzzo La curva tensione-deformazione per uno stato uniassiale di compressione può essere definita sulla base di risultati sperimentali o ricavata da formule analitiche in funzione della resistenza a compressione media valutata (o attesa se si parla di nuove costruzioni). La definizione di tale curva prevede l individuazione di un ramo elastico (corrispondente alla condizione di materiale non danneggiato) e di un ramo plastico. Nel presente lavoro si è scelto un comportamento elasto-plastico perfetto, accettando di non riprodurre con estrema fedeltà il comportamento reale del materiale Inserimento delle barre di armatura Negli elementi shell, utilizzati nel presente lavoro, è possibile definire degli strati di armatura che con comportamento uniassiale nella direzione assegnata. Il comportamento del metallo costituente le armature è elasto-plastico incrudente. La mesh delle armature è la medesima del calcestruzzo che le ospita. Con questo approccio, il comportamento del calcestruzzo è indipendente da quello delle armature. Gli effetti locali di aderenza tra acciaio e calcestruzzo sono considerati approssimativamente introducendo un effetto irrigidente del calcestruzzo (tension stiffening), volto a cogliere il trasferimento di carico dal calcestruzzo non ancora fessurato alle barre di armatura. Per ogni layer è necessario definire i seguenti parametri: l area A della sezione di ogni barra; il passo s delle barre nel piano della shell; la posizione degli strati nello spessore della shell (misurata a partire dalla superficie media della shell); il materiale costituente le barre; l orientazione delle barre; L area della barra ed il passo vengono utilizzati per calcolare lo spessore del layer di armatura t = A/s. 6

13 1.2 Casi studio Regolarizzazione viscoplastica I modelli dei materiali che tengono conto della perdita di forza (softening) e del degrado della rigidezza spesso presentano problemi di convergenza nei programmi di analisi con metodo implicito, come Abaqus/Standard. Il CDP può essere regolarizzato usando la viscoplasticità, permettendo alle tensioni di superare localmente la superficie di snervamento. Nel CDP il parametro che tiene conto di tale effetto è chiamato parametro di viscosità. Generalmente è un parametro che assume valori molto piccoli e deve essere settato in modo che il rapporto tra l intervallo temporale e tale parametro tenda ad infinito. Questa è infatti la condizione limite per cui i risultati non risentono della regolarizzazione. Nel presente lavoro non si è fatto uso della regolarizzazione viscoplastica. 1.2 Casi studio Al fine di familiarizzare con il programma di analisi agli elementi finiti Abaqus si è scelto di analizzare dei casi molto semplici. I vantaggi di lavorare con modelli semplici sono sia il numero ridotto di elementi (conseguentemente un basso numero di output), sia la possibilità di prevedere il risultato e quindi poter testare l affidabilità del modello. Il primo caso studio, successivamente chiamato CS1, riguarda un solo elemento shell. Gli obiettivi di questo caso studio sono: verificare il rispetto dei legami costitutivi dei materiali per diverse condizioni di carico e al contorno; analizzare l influenza della presenza dell armatura; indagare le problematiche legate alla convergenza. Il secondo caso studio, successivamente chiamato CS2, riguarda un muro in c.a. Oltre agli obiettivi sopra elencati si indagano le problematiche inerenti la scelta della dimensione e del numero degli elementi costituenti la mesh CS1: singolo elemento shell Il presente caso studio riguarda un elemento shell di dimensioni 1m x 1m x 1m. L elemento scelto dalla libreria di Abaqus è il tipo S4, dove S indica che è un elemento shell e quattro il numero di nodi. In figura 1.5 si mostra l elemento studiato, la numerazione dei nodi, il sistema di riferimento adottato per la lettura degli output (1 è la direzione orizzontale, 2 è la direzione verticale), e la sua deformata quando soggetto ad un carico di compressione. Materiali L elemento è in calcestruzzo armato. Per quanto concerne il settaggio dei parametri che definiscono la plasticità del calcestruzzo si faccia riferimento al punto I legami tensione-deformazione, per stati di tensione uni-assiali, sia del calcestruzzo sia dell acciaio sono quelli presentati in figura 1.6. La tensione di snervamento del calcestruzzo a compressione è ε c cy = , cui corrisponde una tensione di snervamento σcy c = MPa. La deformazione ultima a compressione vale ε c cu = e la tensione corrispondente è la stessa di snervamento in quanto non è presente incrudimento. A trazione la deformazione di snervamento e l associata tensione sono rispettivamente 7

14 1 Non linearità dei materiali Figura 1.5: Deformata dell elemento S4 sotto un carico di compressione. leggenda con S22 si intende la tensione verticale nel calcestruzzo. In ε t cy = e σcu t = 80 kpa. Mentre a rottura valgono ε t cu = 0.1 e σcu t = 88 kpa. Il modulo elastico del calcestruzzo è Ec = MPa. L acciaio presenta lo stesso comportamento a trazione e compressione. Le deformazioni di snervamento ed ultima, e le rispettive tensioni sono ε sy = , ε su = 0.1, σ sy = 80 kpa, ε su = 0.1, σ sy = 88 kpa. Il modulo elastico dell acciaio è Es = MPa. (a) Legame costitutivo del calcestruzzo. (b) Legame costitutivo dell acciaio. Figura 1.6: Legami tensione-deformazione dei materiali Armature L armatura verticale gioca un ruolo importante quando l elemento è soggetto a trazione. Essendo infatti la resistenza a trazione del calcestruzzo praticamente assente, la capacità a trazione dell elemento dipende fondamentalmente dal quantitativo di armatura verticale. L armatura orizzontale governa il fenomeno del confinamento. Quando l elemento viene compresso, per effetto Poisson, si dilata lateralmente. Le armature orizzontale entrano in trazione e trasferiscono il carico al calcestruzzo, comprimendolo. La percentuale di armatura orizzontale influisce quindi sulla resistenza 8

15 1.2 Casi studio ultima a compressione. Grandi quantitativi di armatura orizzontale generano forze di confinamento importanti e quindi stati tensionali biassiali che permettono di eccedere il limite di resistenza a compressione uniassiale fino ad un fattore 1.16 (si veda il significato fisico del parametro σ b0 /σ c0 in 1.1.3). Tabella 1.2: Percentuali di armatura indagate nelle analisi Nome caso indagato A sv /s A sh /s cm 2 /m cm 2 /m a b c In tabella 1.2 sono elencati i diversi casi studiati. Con A sv /s si intende il quantitativo geometrico di armatura verticale e con A sh /s quello orizzontale. Condizioni al contorno e condizioni di carico La faccia inferiore dell elemento è incastrata alla base. La faccia superiore è caricata uniformemente a compressione o trazione. L entità del carico è di 33MP a a compressione e 4.2M P a a trazione. Il carico è stato assegnato staticamente. Analisi dei risultati In tabella 1.3 sono mostrati gli output dati dal programma e il loro significato. Tabella 1.3: Elenco e spiegazione degli output Grandezza Spiegazione EE 11 Deformazione elastica in direzione 1 EE 22 Deformazione elastica in direzione 2 P E 11 Deformazione plastica in direzione 1 P E 22 Deformazione plastica in direzione 2 E11 tot Deformazione totale in direzione 1 E22 tot Deformazione totale in direzione 2 S 11 Tensione in direzione 1 S 22 Tensione in direzione 2 I risultati vengono presentati in forma tabellare (vedi tabella 1.4). I sei casi indagati sono identificati da un codice del tipo S4-INC-a-comp, in cui: S4 indica il tipo di elemento usato; INC indica la condizione al contorno, in questo caso un incastro alla base; le lettere a, b, c indicano il quantitativo di armatura secondo la convenzione della tabella 1.2; comp o traz indicano la condizione di carico rispettivamente di compressione o trazione. Dall analisi dei risultati si evince che: 1. le deformazioni elastiche sono in rapporto 1/5, risultato in accordo con il valore assegnato al coefficiente di Poisson (0.2). 9

16 1 Non linearità dei materiali 2. Le deformazioni totali (elastiche più plastiche) nell acciaio e nel calcestruzzo sono uguali. La congruenza è rispettata. 3. L elemento entra in campo plastico. Lo evidenziano i valori non nulli assunti da P E 11 e P E La condizione al contorno (incastro) genera un effetto di confinamento del calcestruzzo. Tale fenomeno è evidente sia dalle deformate dell elemento (si veda la figura 1.7) sia dalla nascita di tensioni orizzontali nel calcestruzzo. Tali tensioni sono di compressione qualora l elemento vanga schiacciato e di trazione se tirato. 5. La presenza delle armature orizzontali genera anch essa un effetto di confinamento. Dal confronto tra il caso S4-a-INC-comp e il caso S4-b-INC-comp emerge che l inserimento delle barre di armatura orizzontali comporta: una riduzione della dilatazione orizzontale e dell abbassamento verticale del muro; un aumento delle tensioni orizzontali di compressione nel calcestruzzo; la nascita di tensioni di trazione nelle armature orizzontali. L effetto è tanto più marcato quanta più armatura orizzontale è presente. Si noti però che non si verifica proporzionalità tra quantitativo di armatura orizzontale presente ed effetto di confinamento. Infatti un aumentato di 5 volte della quantità di acciaio orizzontale non ha creato una compressione di 5 volte più grande nel calcestruzzo, ma solo di 2 volte. Questo perché aumentando l acciaio viene limitata anche l espansione laterale e quindi la forza che l armatura è in grado di restituire è minore, di fatto il tasso di lavoro dell acciaio diminuisce. 10

17 1.2 Casi studio Tabella 1.4: Risultati dell analisi Caso EE11 P E11 E 11 tot EE22 P E22 E 22 tot S11 S22 S4-INC-a-comp Calcestruzzo Acciaio S4-INC-a-traz Calcestruzzo Acciaio S4-INC-b-comp Calcestruzzo Acciaio S4-INC-b-traz Calcestruzzo Acciaio S4-INC-c-comp Calcestruzzo Acciaio S4-INC-c-traz Calcestruzzo Acciaio

18 1 Non linearità dei materiali (a) Deformata S4-INC-a-comp. (b) Deformata S4-INC-b-comp. (c) Deformata S4-INC-c-comp. (d) Deformata S4-INC-a-traz. (e) Deformata S4-INCb-traz. (f) Deformata S4-INCc-traz. Figura 1.7: Deformata dell elemento nei vari casi studio analizzati. Al fine di rendere più leggibili le figure si è adottato un fattore di scala pari a 100. Nelle leggende sono evidenziati i valori dello spostamento dei nodi 3 e 4. 12

19 1.2 Casi studio CS2: Muro in c.a. Nel CS1 si è verificata l attendibilità del concrete damaged plasticity. Ora in questo caso studio si sposta l attenzione verso una situazione più realistica e di maggiore interesse ai fini della modellazione del viadotto oggetto della tesi di laurea. Il muro analizzato in questa sezione vuole essere rappresentativo di una delle pareti in c.a. della pila con sezione rettangolare cava del viadotto che si desidera modellare. Obiettivi del caso studio sono: la scelta della dimensione degli elementi costituenti la mesh; l individuazione dei parametri che influiscono sulla convergenza dell analisi: l elaborazione di strategie per facilitarla. Oggetto del caso studio è un muro in calcestruzzo armato alto 10m, largo 5m e spesso 1m. Il muro è costituito da elementi shell S4. Si ipotizza che il muro sia incastrato in un plinto di fondazione. Per tenere conto, in modo approssimato, della deformabilità del plinto si è scelto di assegnare un comportamento elastico allo strato alla base del muro. Lo strato elastico ha un estensione di 2m dalla base. In figura 1.8 si mostra l elemento studiato, la numerazione dei nodi, il sistema di riferimento adottato per la lettura degli output (1 è la direzione orizzontale, 2 è la direzione verticale), e la sua deformata quando soggetto ad un carico di compressione. Figura 1.8: Numerazione dei nodi, degli elementi e sistema di riferimento adottato nel muro oggetto dello studio. Definizione della mesh Per definire la dimensione degli elementi costituenti la mesh si è proceduto per tentativi. Tre casi sono stati indagati (figura 1.9): nel primo caso il muro è stato suddiviso in elementi di dimensioni 1m x 1m; nel secondo in elementi di dimensioni 13

20 1 Non linearità dei materiali (a) Mesh 1m x 1m. (b) Mesh 0.5m x 0.5m. (c) Mesh 0.25m x 0.25m. Figura 1.9: Andamento delle tensioni verticali per diverse mesh. 0.5m x 0.5m; ed infine nel terzo caso in elementi 0.25m x 0.25m. In tutti è tre i modelli i materiali sono elastici. La condizione di carico analizzata è una pressione in testa al muro di 33 MPa. Sono stati monitorati: lo spostamento dei nodi in testa al muro; le tensioni alla base del muro; i valori delle tensioni orizzontali S 11 massime. Analizzando i risultati ottenuti si evince che: 1. il valore dello spostamento verticale dei nodi in sommità al muro è U 2 = m per tutte e tre le mesh. 2. Le tensioni in corrispondenza dei vincoli risentono del grado di infittimento della mesh. Infatti al diminuire della dimensione degli elementi le reazioni vincolari puntuali sono divise su aree via via più piccole, causando picchi delle tensioni. Questo effetto è evidente passando dal modello con elementi 14

21 1.2 Casi studio 1m x 1m a quello 0.25m x0.25m. Risulta quindi poco opportuna la scelta di elementi 0.25m x 0.25m. 3. I valori delle tensioni orizzontali massime che si sviluppano nei tre modelli sono 152 KPa per il modello con la mesh 1m x 1m, 118 KPa per il modello con la mesh 0.5m x 0.5 m e 111 KPa per il modello con la mesh 0.25m x 0.25 m. I valori massimi si registrano tutti in corrispondenza del centro del muro. Alla luce di quanto osservato si è scelta una mesh di 0.5m x 0.5m. Materiali Per quanto concerne i materiali si può fare riferimento al punto 1.2.1, in cui vengono descritti i legami costitutivi dell acciaio e del calcestruzzo adottati in questa simulazione. Armature I quantitativi di armatura orizzontale adottati sono riportati in tabella 1.5. Di particolare interesse è il caso b, corrispondente ad un quantitativo basso di armatura, rappresentativo della percentuale geometrica delle pile del viadotto oggetto della tesi (hanno staffe φ12/30, corrispondenti a cm 2 /m). Il caso c invece è rappresentativo di una staffatura moderna. Tabella 1.5: Percentuali di armatura indagate nelle analisi Nome caso indagato A sv /s A sh /s cm 2 /m cm 2 /m a b c Condizioni al contorno e di carico La faccia inferiore del muro è incastrata alla base. La faccia superiore è caricata uniformemente a compressione o trazione. L entità del carico è di 35 MP a a compressione e 5 MP a a trazione. La pressione o la trazione agiscono sulla faccia superiore del muro, di dimensioni 5m x 1m. Analisi dei risultati I casi indagati sono identificati da un codice del tipo Wall-INC-a-comp, in cui: Wall indica che le analisi sono condotte sul modello del muro precedentemente descritto; INC o FREE indica la condizione al contorno, incastro o dilatazione laterale libera alla base; le lettere a, b, c indicano il quantitativo di armatura secondo la convenzione della tabella 1.5; comp indica la condizione di carico cui è soggetto il muro. 15

22 1 Non linearità dei materiali Si ponga l attenzione sul caso Wall-FREE-a-comp: muro libero di dilatarsi lateralmente, privo di armatura orizzontale, soggetto a compressione. 1. L analisi non riesce a convergere e si interrompe per un valore del carico pari a volte il carico assegnato (p = 35 MP a), corrispondente ad una pressione in testa al muro p = MP a. Poiché non si registrano deformazioni plastiche significative, i materiali sono ancora in campo elastico e vale il criterio di omogenizzazione. Essendo il rapporto tra i moduli elastici n = Es/Ec = 6.72, e la percentuale geometrica di armatura ρ s = 0.1%A c, l area omogenizzata è A hom = A c (1+nρ s ) = m 2. Il massimo carico che può portare il muro è quindi dato da p max = f c A hom /A c = MP a, in accordo con il valore restituito dal programma. La tensione nelle barre di acciaio è σ s = nσ c = 203 MP a. Anche quest ultimo valore è conforme agli output del programma. 2. Si osserva che non nascono tensioni orizzontali. Di fatto la dilatazione laterale è permessa in quanto sono assenti vincoli alla base e armature orizzontali che la potrebbero impedire. Si fissi l attenzione sul caso Wall-FREE-b-comp: muro libero di dilatarsi lateralmente, con percentuale di armatura orizzontale antica, soggetto a compressione. 1. L analisi non converge e si interrompe per un valore del carico pari a volte il carico assegnato (p = 35 M P a), corrispondente ad una compressione in testa al muro p = MP a. Il muro è in grado di portare un carico superiore al caso Wall-FREE-a-comp grazie al confinamento generato dalla presenza delle armature orizzontali. 2. Nascono infatti delle tensioni orizzontali di compressione nel calcestruzzo e di trazione nelle barre di acciaio orizzontali dovute al fenomeno del confinamento. Si concentri ora l attenzione sul caso Wall-FREE-c-comp: muro libero di dilatarsi lateralmente, con percentuale di armatura orizzontale moderna, soggetto a compressione. 1. L analisi non convergere e si interrompe per un valore del carico pari a volte il carico assegnato (p = 35 M P a), corrispondente ad una compressione in testa al muro p = M P a. La presenza dell armatura orizzontale stabilizza il modello permettendo ai materiali di entrare significativamente in campo plastico (deformazioni plastiche dell ordine di ). 2. Il programma restituisce messaggi di allerta perché l algoritmo risolutivo del problema plastico non riesce a trovare la convergenza nei limiti di tolleranza richiesti. I risultati ottenuti devono essere letti e interpretati con cautela, specialmente per valori del carico elevati. Quando la condizione al bordo cambia e si impediscono le dilatazioni laterali si ottiene un effetto di confinamento dovuto alla presenza del vincolo. Si registra inoltre l incapacità di girare le analisi fino agli stessi valori di carico del caso non vincolato. Si elencano di seguito i valori di carico per cui le analisi si fermano e non riescono a raggiungere la convergenza. 16

23 1.2 Casi studio 1. In Wall-INC-a-comp si nota che l analisi non convergere e si interrompe per un valore del carico pari a volte il carico assegnato (p = 35 MP a), corrispondente ad una compressione in testa al muro p = MP a. L inserimento dell ulteriore vincolo alla base non permette il raggiungimento della resistenza a compressione del calcestruzzo. Si è notato che l aumento del quantitativo di armatura orizzontale e/o della resistenza a trazione del calcestruzzo permettono il procedere dell analisi anche per valori superiori di carico in testa. Pertanto la causa per cui l analisi non riesce a giungere a convergenza è da ricercare nelle tensioni di trazioni che nascono nel muro. 2. In Wall-INC-b-comp l analisi non converge e si interrompe per un valore del carico pari a volte il carico assegnato (p = 35 MP a), corrispondente ad una compressione in testa al muro p = MP a. 3. In Wall-INC-c-comp il muro è in grado di portare tutto il carico assegnato (p = 35 MP a). Infine si analizzi il caso Wall-FREE-a-traz: muro libero di dilatarsi lateralmente, privo di armatura orizzontale, soggetto a trazione. 1. L analisi non converge e si interrompe un valore del carico pari a volte il carico assegnato (p = 5 MP a), corrispondente ad una trazione in testa al muro p = MP a. Se si trascurasse il calcestruzzo il carico massimo che il muro potrebbe portare è pari a p max = σ su ρ s A c 4.61 MP a, valore prossimo a quello restituito dal programma. L errore è dovuto ad aver trascurato la resistenza a trazione del calcestruzzo. 2. La deformazione elastica del calcestruzzo è EE c 22 = conforme con il legame costitutivo. La deformazione plastica del calcestruzzo P E c 22 = 0.1, la rispettiva tensione S c 22 = 88 kp a e la tensione nell acciaio Ss 22 = MP a evidenziano la capacità del modello di cogliere il fenomeno della fessurazione: calcestruzzo non reagente a trazione oltre il limite fissato ed acciaio che assorbe tutto il carico a trazione. Si osserva che la presenza di armatura orizzontale non influisce sul comportamento del muro sia che le condizioni al contorno permettano la dilatazione laterale, sia che la impediscano. Inoltre dal confronto tra il caso Wall-FREE-a-traz e Wall-INC-a-traz non emergono sostanziali differenze. 17

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25 Capitolo 2 Non linearità di contatto Al fine di valutare il comportamento dinamico del viadotto Tevere IV è necessario individuare un modo per modellare i giunti tra gli impalcati. Il viadotto è a travate appoggiate con soletta discontinua pertanto gli impalcati possono martellare, ad esempio, se un moto in controfase di due pile contigue si attiva. Inoltre uno degli interventi di miglioramento della risposta simsica che si desidera progettare consiste nell inserimento di un fine corsa in calcestruzzo armato in testa ad ogni pila. La presenza del fine corsa impedisce la perdita di appoggio dell impalcato, in quanto urta il ritegno. In entrambe le situazioni sopra evdienziate nascono non linearità di contatto. Per modellare questo fenomeno del martellamento si è optato per l utilizzo di elementi spring elastici non lineari, presenti nelle librerie di Abaqus e si SAP2000. Questo tipo di elementi sono definiti in funzione dei due nodi alle loro estremità, della direzione in cui restituiscono la forza, e dall andamento della forza restituita in funzione dello spostamento relativo tra i nodi. Nei paragrafi successivi si studia il comportamento degli elementi sopra citati confrontando i risultati ottenuti implementando lo stesso modello nei due sofware di calcolo. 2.1 Legami costituitivi delle molle non lineari In questa sezione si desidera testare il funzionamento degli elementi spring non lineari. Si consideri lo schema in figura 2.1. Una molla lineare elastica (AB), con rigidezza k = 500 N/m, è vincolata nel suo estremo sinistro A. Il nodo dell estremità destra B è libero di muoversi. I nodi B e C sono collegati da una molla non lineare elastica (gap) che si attiva solo quando lo spostamento relativo supera 0.2 m e restituisce una forza proporzionale allo spostamento relativo secondo la rigidezza k nonlin = 5000 N/m. La forza massima che può restituire la molla non lineare è di 5000 N, se tale limite viene superato si deforma solamente (idealmente l elemento si è rotto). Il gap è un vincolo monolatero, non resite a trazione. Le rigidezze sono in rapporto 1:10. Lo spostamento del nodo C è impedito. Le due molle sono disposte in serie, pertanto le forze che scambiano sono le stesse mentre gli spostamenti dipendono dalla rigidezza complessiva del sistema. 19

26 2 Non linearità di contatto Figura 2.1: Schema del modello. Si imponga uno spostamento al nodo B che segue la legge mostrata in figura 2.2 (a). Nello stesso grafico è riportato lo spostamento relativo dei due nodi della molla lineare e della molla non lineare. Le risposte in termini di reazioni vincolari che nascono nei nodi A e C, e delle forze nelle molle sono presentate nella figura 2.2 (b). Conclusioni 1. Lo spostamento relativo della molla lineare, definito come u lin = (u A u B ), presenta lo stesso andamento dello spostamento del nodo B con il segno opposto. 2. Lo spostamento relativo della molla non lineare, definito come u nonlin = (u B u C ), presenta lo stesso andamento dello spostamento del nodo B, le due curve coincidono. 3. La forza elastica nella molla lineare è definita come F el,lin = k u lin, con spostamento in A nullo. Le elongazioni della molla producono quindi forze elastiche negative. Viceversa per le compressioni. 4. La reazione vincolare nel nodo A risulta negativa per spostamenti del nodo B positivi e viceversa. 5. La forza elastica nella molla non lineare è definita come F el,nonlin = f( u nonlin ), con spostamento in C nullo. Per valori di u nonlin > 0.2m m (condizone in cui il gap è chiuso) la molla riponde con una forza elastica positiva pari alla rigidezza k nonlin per lo spostamento. Per u nonlin < 0.2m m(condizione in cui il gap è aperto) la risposta in forza è nulla. Tale modello è stato implementato sia in Abaqus sia in SAP2000 ed i risultati ottenuti con i due programmi coincidono. 20

27 2.1 Legami costituitivi delle molle non lineari (a) Spostamenti. (b) Forze. Figura 2.2: Storie temporali di forze e spostamenti. 21

28 2 Non linearità di contatto 2.2 Comportamento dinamico di molle non lineari Si consideri sempre il modello in figura 2.1 trascurando per il momento la molla non lineare e aggiungendo una massa m = 10 kg nel nodo B. La massa è soggetta ad una forzante esterna la cui entità varia con legge sinusoidale di ampiezza A = 500 N e pulsazione ω = 30 rad/s. Successivamente si inserisce il gap tra i nodi B e C. L apertura del gap è di 0.2 m e le rigidezze indagate sono k a = N/m, k b = N/m e k c = N/m, rispettivamente due, tre e quattro ordini di grandezza più grandi della rigidezza dell elemento collegato al gap. Come si noterà in seguito il rapporto tra le rigidezze è il discriminante del comportamento complessivo del giunto. La storia temporale dello spostamento del nodo B, è mostrata in figura 2.3, mentre nelle figure 2.4 e 2.5 si mostra la storia temporale della reazione vincolare nei nodi A e C, uguali alle forze interne agli elementi spring a meno del segno. Per ogni rapporto di rigidezza indagata sono mostrati i risultati ottenuti dai due programmi di calcolo. Conclusioni Si fissi l attenzione sulle storie temporali dello spostamento e delle reazioni. Al crescere della rigidezza dell elemento non lineare si nota che: 1. la compenetrazione della massa nel gap tende a ridursi da circa 5 cm per rapporto di rigidezze 1:100 fino a meno di 1 cm per rapporto 1:10000; 2. il massimo spostamento al rientro dell urto non varia significativamente (rimane sempre dell ordine degli 80 cm); 3. analogamente la risposta della molla lineare, dipendente dall entità dello spostamento di cui sopra, non presenta range di variazione importanti (vale kn); 4. la risposta massima della molla non lineare tende a crescere sensibilmente, da 3 kn per un rapporto di rigidezze 1:100 fino a 18 kn per un rapporto 1: Per quanto riguarda i risultati ottenuti con i due programmi di calcolo si nota una buona corrispondenza per un rapporto tra le rigidezze pari a 1:100. Al crescere della rigidezza dell elemento non lineare i risultati si discostano sia in termini di entità delle reazioni (Abaqus restituisce reazioni vincolari fino a 1.5 volte più grandi rispetto a SAP2000, per il rapporto di rigidezze di 1:10000), sia di periodo delle oscillazioni (Abaqus calcola periodi più brevi per il rapporto di rigidezze di 1:10000). Per tutti e tre i rapporti di rigidezza indagati si osserva una buona corrispondenza dei risultati nella prima oscillazione. Durante le oscillazioni successive le risposte iniziano a divergere. Per concludere si osserva chiaramente che la presenza di un vincolo monolatero non lineare comporta una variazione consistente della risposta del sistema in termini di entità di spostamenti, di periodo di oscillazione del sistema e di entità delle forze trasmesse. 22

29 2.2 Comportamento dinamico di molle non lineari (a) Rapporto tra le rigidezza 1:100. (b) Rapporto tra le rigidezza 1:1000. (c) Rapporto tra le rigidezza 1: Figura 2.3: Storie temporali dello spostamento del nodo B. 23

30 2 Non linearità di contatto (a) Rapporto tra le rigidezza 1:100. (b) Rapporto tra le rigidezza 1:1000. (c) Rapporto tra le rigidezza 1: Figura 2.4: Storie temporali della reazione vincolare del nodo A. 24

31 2.2 Comportamento dinamico di molle non lineari (a) Rapporto tra le rigidezza 1:100. (b) Rapporto tra le rigidezza 1:1000. (c) Rapporto tra le rigidezza 1: Figura 2.5: Storie temporali della reazione vincolare del nodo A. 25

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33 Capitolo 3 Integrazione al passo delle equazioni del moto La risposta di un sistema dinamico può essere determinata in diversi modi. I metodi analitici mirano a risolvere direttamente l equazione differenziale di conservazione della quantità di moto. Le usuali tecniche consistono nel considerare la forzante esterna come una sequenza di impulsi di durata infinitesima. La risposta del sistema è valutata come la somma della risposta ad ogni singolo impulso. Il limite di tale metodo è appunto l assunzione del principio di sovrapposizione degli effetti, valido solo in un regime di piccole deformazioni. I sistemi reali sono governati da equazioni in cui le caratteristiche meccaniche, quali rigidezza e smorzamento, variano in funzione della risposta. Ed in particolare se si desiderano studiare fenomeni in cui l entità delle forze esterne è tale da causare deformazioni e tassi di deformazione importanti (come un evento sismico) è opportuno abbandonare l ipotesi di linearità delle equazioni del moto in quanto poco fedele alla realtà. I metodi di integrazione al passo presentano un approccio al problema di tipo numerico, che permette di inserire nell analisi gli effetti della non linearità delle equazioni del moto. Essi prevedono che l intervallo temporale in cui si desidera valutare la risposta del sistema sia suddiviso in passi. All interno di ogni passo si assume che l accelerazione abbia una legge di variazione nota e che la forzante esterna al sistema sia costante. Tanto più la lunghezza h del passo è ridotta tanto più il grado di approssimazione diminuisce. Se la legge di variazione dell accelerazione è fissata, quelle della velocità e dello spostamento sono ricavabili per integrazione. Ultimo ingrediente è il principio di conservazione della quantità di moto. L idea alla base di tali metodi è di costruire la risposta del sistema passo dopo passo: i campi di spostamento, velocità e accelerazione nell istante finale del passo t 1 sono calcolati in funzione della risposta nell istante iniziale t 0. Il presente capitolo, senza pretese di completezza, ha l obiettivo di accennare alle procedure che vengono usualmente adottate per integrare al passo le equazione del moto e mettere in evidenza le motivazioni per cui tali metodi sono indicati per la soluzione di problemi non lineari. 27

34 3 Integrazione al passo delle equazioni del moto Figura 3.1: Leggi di variazione di accelerazione, velocità e spostamento in un passo temporale. 3.1 Metodo di integrazione di Eulero-Gauss Si consideri un sistema ad un grado di libertà (SDOF). Il principio di conservazione della quantità di moto è descritto dall equazione: ma + cv + kd = p (3.1) La procedura di Eulero Gauss, descritta nel dettaglio in [1], permette di determinare la risposta all istante finale del passo t 1 conoscendo spostamento e velocità nell istante iniziale del passo t 0. Si suppone infatti che all istante iniziale di ogni passo la velocità e lo spostamento sono noti: all istante t = 0 sono note le condizioni iniziali, mentre nei passi intermedi la velocità e lo spostamento vengono calcolati in funzione della risposta nel passo precedente. Si ipotizza che l accelerazione all interno del passo sia costante e pari al valore medio tra l accelerazione all istante iniziale a 0 e finale a 1. Fissata la legge di variazione dell accelerazione, integrando si determinano la velocità e lo spostamento (si veda figura 3.1). L accelerazione all istante iniziale a 0 viene valutata imponendo la conservazione della quantità di moto all istante t 0, come mostrato nell equazione (3.2). a 0 = 1 m (p 0 cv 0 kd 0 ) (3.2) Per determinare l accelerazione nell istante finale del passo a 1 è necessario iterare: partendo da un valore di primo tentativo di a 1 si determinano v 1 e d 1 con le equazioni in figura 3.1, entrando con questi valori nell equazione di conservazione della quantità di moto 3.1 si aggiorna il valore dell accelerazione a 1 e si itera 28

35 3.2 Procedure di Newmark e Hilber-Huges-Taylor fintanto che i due valori di accelerazione non differiscano più di una tolleranza fissata. 3.2 Procedure di Newmark e Hilber-Huges-Taylor La procedura di Eulero Gauss è stata successivamente affinata da Newmark e altri. Nel presente lavoro si utilizza il metodo di Hilber-Huges-Taylor. Le differenze rispetto ad Eulero Gauss si evidenziano nelle leggi con cui variano accelerazione, velocità e spostamenti nel passo temporale. Tali leggi sono mostrate nelle equazioni 3.3 v 1 = v 0 + (1 γ)ha 0 + γha 1 (3.3) d 1 = d 0 + hv 0 + (1/2 β)h 2 a 0 + βh 2 a 1 (3.4) dove β = (1 α) 2 /4 è un fattore che pesa differentemente l accelerazione iniziale e finale nella formula della velocità; γ = 1/2 α svolge un ruolo analogo nella formulazione dello spostamento. Il parametro γ è responsabile dello smorzamento artificiale indotto dall utilizzo di un metodo numerico. Alcuni autori [1] hanno visto che lo smorzamento artificiale massimo si ottiene ponendo α = 1/3 e h = 0.4T, dove T è il periodo indagato. Non si ha smorzamento artificiale ponendo γ = 0.5 e β = Nel presente lavoro si sono adottati i seguenti valori per i parametri: α = 0.55, β = , γ =

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37 Bibliografia [1] Ray W. Clough e Penzien Joseph. Dynamics of Structures. Berkeley: Computers & Structures, Inc., [2] P. Kmiecik e M. Kaminski. Modelling of reinforced concrete structures and composite structures with concrete strength degradation taken into consideration. Wrocław, Poland: Wrocław University of Technology, Archives of civil e mechanical engineering, [3] J. Lee e G. L. Fenves. «Plastic-Damage Model for Cyclic Loading of Concrete Structures». In: Journal of Engineering Mechanics (1998), pp [4] J. Lubliner et al. «A Plastic-Damage Model for Concrete». In: International Journal of Solids and Structures 25 (1989), pp [5] Simulia. Abaqus 6.13 Finite Element Analysis System. Dessault Systèmes,