Modelli multiperiodali discreti. Strategie di investimento

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1 Modelli multiperiodali discreti Cosideriamo ora modelli discreti cioè co u umero fiito di stati del modo multiperiodali, cioè apputo co più periodi. Il prototipo di questa classe di modelli è il modello biomiale multiperiodale, che abbiamo aalizzato dettagliatamete. Rispetto al modello uiperiodale emergoo uove problematiche; vorremmo: dare ua defiizioe precisa di modello multiperiodale dare ua defiizioe precisa di strategia di ivestimeto itrodurre il cocetto di opportuità di arbitraggio euciare il teorema fodametale di valutazioe i questo cotesto. abio Bellii trategie di ivestimeto Nel modello uiperiodale, il cocetto di "strategia di ivestimeto" coicide co quello di u portafoglio α, vettore di R. Nei modelli multiperiodali il cocetto è meo baale, e richiede ua defiizioe precisa. Ua strategia di ivestimeto sarà qualcosa di diamico, subordiato al verificarsi di determiati eveti; ad esempio, "compra, se il sottostate supera il livello K". acciamo u esempio immagiado che il tempo sia cotiuo: U titolo oggi quota ; fisso ua soglia K> ; el mometo i cui il prezzo del titolo supera K, acquisto il titolo; se poi dovesse ridiscedere al valore K, lo rivedo. Qual è il payoff fiale di questa strategia? abio Bellii

2 trategie di ivestimeto / Ci soo tre casi possibili: il prezzo o supera mai K; quidi o faccio ulla e il payoff è ; il prezzo supera K, va su e giù e termia sopra K; i questo caso il payoff è T - K> il prezzo supera K, va su e giù e termia sotto K; i questo caso il payoff è. Apparetemete, ho realizzato u arbitraggio; o perdo mai, e se T >K, guadago T - K; è come se mi regalassero ua call co strie K. Dov'è l'errore el ostro ragioameto? abio Bellii trategie di ivestimeto /3 L'errore sta el fatto che dire "el mometo i cui il prezzo del titolo supera K, acquisto il titolo pagadolo K" o defiisce ua plausibile strategia di ivestimeto; se decido di acquistare el mometo i cui K, l'acquisto potrà essere fatto solo i u mometo immediatamete successivo, i cui T potrà essere diverso da K. Nei modelli multiperiodali sia i tempo discreto che i tempo cotiuo occorre defiire i modo molto preciso il cocetto di strategia di ivestimeto per essere sicuri che essa o "aticipi" iformazioe che sarà rivelata soltato dai prezzi futuri. abio Bellii

3 Richiami di probabilità Uo spazio di probabilità è ua Ω è u isieme geerico lo spazio campioario, è ua σ - algebra e P è ua probabilità. tera Ω,, P dove Ua σ - algebra a cui sappiamo assegare ua probabilità che gode di queste proprietà : iω ii se A, allora A iii se A, allora è ua famiglia di sottoisiemi di C U A chiusura rispetto al complemeto Ω che rappresetao gli eveti chiusura rispetto alla uioe umerabile abio Bellii i A, PA ii e A P iii P Ω Richiami di probabilità / La fuzioe di isieme P :, è ua probabilità se U A, e soo disgiuti el seso che A A, allora P A proprietà della additività umerabile i j Ua fuzioe a, b R si ha che : Ω,, P R è ua variabile casuale se { a < < b} tra a e b è u eveto a cui quidi posso attribuireua probabilità. I questo caso si dice ache che ; cioè il fatto che sia compresa è misurabile rispetto a. abio Bellii

4 Il cocetto di sigma a coosceza. {,,3,4,5,6}, corrispode alla σ - algebra {,3,5,,4,6, Ω, } Il fatto di sapere soltato se il alla σ - algebra igma - algebre - algebra è fodametale perchè rappreseta la iformazioe dispoibile i u certo mometo gli eveti di cui soo e cosideriamo ad esempio il lacio di u dado, co Ω il fatto di sapere soltato se il risultato è pari o dispari costituita dai 4 eveti {,,3,4,5,6, Ω, } ; ua iformazioe parziale sul risultato del lacio. umero uscito èoppure o corrispode questi due casi rappresetao abio Bellii Il fatto di sapere il da tutti i sottoisie mi di igma-algebre / risultato corrispode alla σ - algebra costituita Ω : {,,3,4,5,6,,,,3,..., Ω, } i questo caso si parla di iformazioe completa. Icidetalmete, quati soo i sottoisie mi di al umero dei loro elemeti, da a 6 : Ω? Cotiamoli i base ! 6 abio Bellii

5 { Ω, }. Ua filtrazioe. iltrazioi Ua sigma algebra grade, co tati eveti, corrispode a ua sigma algebra piccola a poca iformazioe. La sigma algebra più piccola possibile è composta da solo due eveti : è ua successioe crescete di sigma molta iformazioe; algebre: Ua filtrazioe rappreseta come l'iformazioe si rivela el tempo Cosideriamo ad esempio u modello biomiale a tre periodi, quidi Ω { uuu,uud, udu, udd, duu, dud, ddu, ddd} abio Bellii iltrazioi / La filtrazio e aturale associata a questo modello è data da 3σ - algebre, che rappresetao rispettivamete l'iformazioe 3 dispoibil e al tempo, e 3 : u u u u u d u d u u d d d u u d u d d d u d d d abio Bellii

6 variabili casuali cioè il valore dispoibil e al Processi stocastici issato uo spazio di probabilit à u processo stocastico è sempliceme te ua successioe di tale che è oto al tempo, fa parte della iformazio e tempo, rappresetata da co filtrazioe Ω, è misurabile rispetto a., P, ; abio Bellii Modello multiperiodale di mercato fiaziario U modello multiperiodale di mercato fiaziario è dato da due oggetti : i uo spazio di probabilit à co filtrazio e Ω, stati del si rivela modo Ω, la loro probabilit à P, e il, P che rappreseta gli modo i cui la iformazio e ii ua famiglia di processi stocastici i prezzi dei titoli preseti sul mercato. Idichiamo il vettore aleatorio dei prezzi dei j titoli., co j,...,, che rappresetao co R abio Bellii

7 ell' itervallo rispetto a prevedibile. trategie di ivestimeto Ua strategia di ivestime to è u processo stocastico che rappreseta le quatità di ciascu titolo che di tempo,. La caratteristica più importate è che scriviamo per brevità che la posizioe tra il tempo -e il tempo deve essere decisa sulla base dei prezzi al tempo -altrimeti cooscerei il futuro! I geerale u processo che soddisfa detego deve essere misurabile il che sigifica si chiama R processo abio Bellii dato da C trategie autofiaziati Ua strategia di ivestimeto immissioe o prelievo di fodi o i uscita fio alla data fiale. si dice autofiaziate se o richiede alle date itermedie; c'e' u costo iiziale,, dopodiché o ci soo altri flussi i igresso Ua strategia codizioe : j j j cioè il ribilaciameto del portafoglio dopo l'uscita dei avviee a costo zero. è autofiaziate se e solo se soddisfa la seguete j prezzi j abio Bellii

8 uadago gai di ua strategia abio Bellii prezzo variazioe del prodotto tra la quatità e la ciascuo dato dal tempo -, su ciascu itervallo di guadagi è la somma dei è dato da ua strategia guadago di Il è dato da tempo al ua strategia valore di Il V uadago di ua strategia / abio Bellii. suo costo iiziale il e valorefiale tra il è pari alla differeza suo gai il allora se ua strategia è autofiaziate, cioè ovviamete suo gai allora il cioè se vale è autofiaziate, e C V j j j j

9 ii V iii P V uo stato del modo. che soddisfi ii' iii' P Opportuità di arbitraggio Ua opportuità di arbitraggio è ua strategia di ivestimeto prevedibile, autofiaziate, che soddisfi : ic > > cioè è ua strategia autofiaziate a costo iiziale ullo o egativo che ha u valorefiale positivo e strettamete positivo i almeo quivaletemete,u arbitraggio è ua strategia autofiaziate > > abio Bellii Il caso del radom wal classico Immagiiamo che ci sia u uico titolo, che segue u radom wal simmetrico co :, dove co prob., co prob. idipedeti sistoo opportuità di arbitraggio? Che strategie potrei provare? La situazioe è idetica a quella di u giocatore che puta sul rosso e sul ero, vicedo la trascurado l' uscita dello putata co probabilità alla roulette abio Bellii

10 sempi di strategie "compro il sottostate e lo tego fio alla scadeza" se altrimeti "compro solo quado il sottostate è " se altrimeti "tego ua posizioe luga quado il sottostate è " abio Bellii sempi di strategie / se > se o altricasi se < "quado il sottostate è positivo, tego ua posizioe corta; quado è egativo, ua posizioe luga; puto cioè sulla " mea reversio" verso lo " se se se stessa idea, ma abbadoo o altri casi se e mi fermo, se predo ua posizioe luga, e raddoppio la quatità ivestita fiché o guadago "doublig strategy" la posizioe se il sottostat e o tora i abio Bellii

11 ma la quidi il Impossibilità di arbitraggi Nel caso del radom wal è facile vedere che soo impossibili arbitraggi : quidi variabile casuale è idipedete da valore atteso del gai di ogi strategia, che dipede solo da i quato gli icremeti hao media è., quidi ulla. Pertato è impossibile che avere u arbitraggio, dato che e P > > implicherebbe >. abio Bellii Teorema fodametale di valutazioe Abbiamo quidi visto che se il sottostate è u radom wal classico, il guadago di qualsiasi strategia di ivestimeto prevedibile, autofiaziate ha valore atteso pari a ; quidi o soo possibili arbitraggi. Come si può caratterizzare la classe dei modelli multiperiodali che o ammettoo opportuità di arbitraggio? Nel caso uiperiodale, abbiamo visto che la codizioe ecessaria e sufficiete era la esisteza di u vettore dei prezzi degli stati primo teorema fodametale di valutazioe. Nel caso multiperiodale, il teorema aalogo richiede la defiizioe di uo dei cocetti più importati della fiaza matematica, quello di martigala. Per arrivare a itrodurlo i modo preciso soo ecessari alcui richiami di carattere probabilistico. abio Bellii

12 issato co PB P A B u eveto >, la La coosceza il caso i cui gli eveti A e B idipede Probabilità codizioata probabilit à codizioa ta di A dato B è defiita P A B P B B di uo spazio di probabilit à Ω,,P dell' eveto B modifica ti A e B soo idipede ti : P A B P A P B la probabilit à di A, salvo da P A B P A Ad esempio, B "esce u umero P A B 3 laciado > P A u dado, se A "esce u umero pari" e maggiore e P A di 3" abbiamo C B 3 < P A 3 C abio Bellii i valori x, B co A "umero pari", B 3,5 B 5 Valore atteso codizioato Cosideriamo ora ua variabilecasuale discreta, che può assumere i che quidi ha La coosceza dell'eveto B modifica il valore atteso di ; si defiisce il valore atteso codizioato di dato B come i x P x B i Ad esempio el caso del dado idicado co A 4 B valore atteso i "umero maggiore di 3", abbiamo C i A x P x B i C P B 3 i i x P x. i i il umero uscito e, come prima, abio Bellii

13 allora Valore atteso codizioato / Abbiamo visto il cocetto di valore atteso di ua rispetto a u eveto A; il risultato è u umero. Ora vogliamo itrodurre il cocetto di valore atteso codizioato di rispetto a ua sigma algebra ; esso o è u umero ma ua variabile casuale misurabile rispetto a, che idichiamo co. Vediamolo el caso del dado.e A è l'eveto "esce u umero pari", C { A, A, Ω, } di saperese il umero uscito è pari oppure dispari; i questo caso Ase w A C A se w A 4 se w 4,5,6 3se w,,3 è ua σ - algebra che corrispode alla iformazioe C cioè variabile casuale abio Bellii A Valore atteso codizioato /3 La defiizioe precisa è la seguete : Y se Y è misurabile rispetto a e se si ha che Y A A. Verifichiamolo el caso del dado, co A 3 Ω "esce u umero da a 3" abio Bellii

14 quidi se è del 3 Ω a a a b b b tipo Miglior previsioe Il valore atteso codizioato rappreseta ache la migliore previsioe della variabilecasuale sull base della iformazioe coteuta ella σ - algebra ; verifichiamolo ell' esempio precedete. C Ua variabilecasuale è misurabile rispetto a se è costate su A e su A ; Per determiar ea ebmiimizzia mola sommadegliscartialquadrato : a, b a 3a a 5 3b a a3 3b 77 6a a a dacui b 5 6b 3 b b4 b5 b6 abio Bellii Proprietà del valore atteso codizioato Proprietà di liearità esattamete come la media usuale α βy α β Y, α,β,,y e è misurabile rispetto a, allora cioè la sua migliore previsioe ovviamete coicide co stessa. 3 e è idipedete rispetto a, allora cioè la miglior previsioe di coicide co la media di abio Bellii

15 Proprietà del valore atteso codizioato/ abio Bellii 4 e è misurabile rispetto a, e Y è ua variabile casuale qualsiasi, allora cioè posso portare fuori dal valore atteso codizioato evetuali fattori oti fispetto a. La proprietà è il caso particolare di questa co Y. Y Y 5 e ho ua sigma algebra più piccola di, abbiamo che ota ache come legge delle aspettative iterate o tower property se Y Il cocetto di martigala abio Bellii Ua martigala è u processo stocastico tale che Tale cioè che la miglior previsioe per il processo al tempo, sulla base della iformazioe dispoibile al tempo -, è data dal processo al tempo - stesso. Ua defiizioe equivalete è quidi a rispetto è misurabile poichè ma ifatti

16 Il cocetto di martigala / L espressioe ci dice che gli icremeti di ua martigala hao valore atteso codizioato ullo. La miglior previsioe che possiamo fare sull icremeto di ua martigala è ; le martigale o hao ua tedeza a crescere o decrescere. Ua sequeza che soddisfi si chiama differeza di martigala martigale differece per ovvi motivi. abio Bellii Il cocetto di martigala /3 L esempio più semplice di martigala è il radom wal: se gli icremeti soo idipedeti o ecessariamete ideticamete distribuiti e hao media ulla, allora dalle proprietà del valore atteso codizioato Il cocetto di martigala geeralizza quello di radom wal a u caso i cui gli icremeti o soo ecessariamete i.i.d., e tuttavia la miglior previsioe dello icremeto resta. abio Bellii

17 Due proprietà immediate: se valore atteso codizioa to > m allora m... m Prime proprietà ripetedo il ragioame to arriviamo fio a m m m m m ifatti dalla proprietà 5 del m... le martigale hao media costate el caso i cui m m è costate, abio Bellii sempi acciamo u semplice esempio di ua martigala che o sia u radom wal:, P tuttavia, P co prob. per la distribuzioedi abbiamoduecasi: co prob. co prob. se, co prob.,5 co prob. se,,5 co prob. ' chiaroche e o sooidipedeti; ifattiad esempio 4 quidi e quidi abio Bellii

18 ai process abio Bellii Abbiamo visto ella lezioe precedete che ua strategia di ivestimeto è u processo stocastico prevedibile, cioè misurabile rispetto a -. Il suo guadago era defiito come Vale il seguete risultato fodametale: e il processo dei prezzi è ua martigala, allora ache il guadago di qualsiasi strategia di ivestimeto è ua martigala co media ulla; aalogamete a quato succedeva per il radom wal, ma più i geerale, per quato ci sforziamo di ivetare strategie il guadago medio rimae zero, ed è ua martigala la migliore previsioe del guadago al tempo è quello fatto fio al tempo -. Dimostrazioe abio Bellii Vogliamo far vedere che è ua martigala co media ulla. Calcoliamo il valore atteso codizioato media è ulla i quato la

19 Asseza di arbitraggi iamo partiti dal problema di caratterizzare i modelli multiperiodali i cui o siao preseti opportuità di arbitraggio. Abbiamo visto che: i e il sottostate segue u radom wal, o possoo esserci arbitraggi ii Più i geerale, se il processo dei prezzi del sottostate è ua martigala, o possoo esserci arbitraggi. questa la classe più geerale di modelli seza arbitraggi? Ripesiamo al modello biomiale uiperiodale, che ovviamete possiamo ritrovare come caso particolare. Il processo dei prezzi è ua martigala? No, a meo di o cosiderare ua opportua probabilità q. Arriviamo cosi all euciato del teorema fodametale di valutazioe per modelli multiperiodali. abio Bellii Il teorema fodametale di valutazioe U modellomultiperiodale Ω, di arbitraggio se e solose esiste ua probabilità Q equivalete a P tale che, P, è ua martigalarispettoa Q, cioè è privodi opportuità La probabilità Q si chiama probabilità di martigalae gioca u ruolo del tuttoaalogoa quellodei prezzideglistati ei modelliuiperiodali. Q. i dicecheq e P soo equivaleti se Q A > P A > cioèse haogli stessistati del modo. abio Bellii

20 Dimostrazioe ' facile dimostrare che se esiste ua probabilità di martigala, allora o esistoo opportuità di arbitraggio. Per assurdo, sia ifatti soddisfa Ma Q è ua martigala dovrebbe essere e P quidi ad u assurdo. ua opportuità di arbitraggio, che quidi > >. ; d'altrode dalla equivaleza di Q e P e Q rispetto a Q, quidi > > ; arriviamo abio Bellii

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