Le variabili casuali. Variabile statistica e variabile casuale. Distribuzione di probabilità della v.c X: X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 3 ⅛

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1 Una variabile casuale è una variabile che assume determinati valori con determinate probabilità; Ad una variabile casuale è associata una regola che assegna a ciascun valore che la variabile può assumere la corrispondente probabilità pobab Esempio: lancio di monete; v.c.= numero di teste uscite P() P() TTT ⅛ 0 ⅛ TTC ⅛ ⅜ TCT ⅛ ⅜ CTT ⅛ ⅛ TCC ⅛ CTC ⅛ CCT ⅛ CCC 0 ⅛ P() 0 Variabile statistica e variabile casuale Variabile statistica: deriva dalla classificazione di dati rilevati, cioè viene definita empiricamente una volta conosciuti i dati ed averli classificati. Variabile casuale (): assume valori nello spazio dei numeri reali secondo una funzione di probabilità P() Il concetto di variabile casuale è strettamente legato a quello di esperimento, a quello, cioè, di una prova il cui risultato è incerto. E diverso, dunque, dal concetto di variabile definita su una popolazione, di cui io posso conoscere o meno il valore che questa assume sulle singole unità, ma rispetto alla quale non c è nulla di incerto. Distribuzione di probabilità della v.c : ad ogni possibile valore della v.c si associa una probabilità v.c. discreta P() 0 ⅛ ⅜ ⅜ ⅛ f P Assumono un numero finito di valori,,, n, con probabilità p p p con probabilità p, p,, p n

2 Distribuzione di probabilità della v.c : ad ogni possibile valore della v.c si associa una probabilità v.c. discreta P() 0 ⅛ ⅜ ⅜ ⅛ f P P() TTT 50? TTC 49? TCT..? CTT..? TCC..? CTC..? CCT? CCC 0? Esistono delle formule algebriche che consentono di calcolare, per ciascun valore di una variabile casuale, la probabilità che esso si verifichi discrete Assumono un numero finito di valori,,, n, con probabilità p, p,, p n Nel caso discreto, la funzione definisce la funzione di probabilità della v.c. che rappresenta quella funzione che associa ad ognuno dei possibili valori i la corrispondente probabilità: f P i i Esempio: Lancio di tre monete v.c. Numero di teste uscite PC C C f P 0 0 P T C C C T C C C T f P P T T C T C T C T T f P f P P T T T discrete Esempio: Lancio di tre monete v.c. Numero di teste uscite f 0 P 0 f P f P f P 0 (numero di teste). La funzione di probabilità di tipo discreto soddisfa le condizioni: f 0 f i.. i i discrete In molti casi, può essere necessario trovare la probabilità che la v.c. assuma un valore inferiore o uguale ad un dato valore k. Tale probabilità viene definita probabilità cumulata ed è descritta dalla funzione di ripartizione, che viene indicata con F( k ). Quindi, se,,, n sono i valori possibili di ordinati in senso crescente, la probabilità cumulata sarà: F k f f f k Esempio: Lancio di tre monete v.c. Numero di teste uscite f 0 P 0 F 0 f P F f P F f P F F() 0 (numero di teste)

3 continue Una variabile casuale continua è una v.c. che può assumere un numero infinito di valori compresi in un intervallo di ampiezza finita o infinita. A differenza di quanto accade nel caso discreto, non è possibile ottenere la probabilità che la variabile assuma un qualsiasi valore interno all intervallo sommando le probabilità dei singoli punti che lo compongono, in quanto i punti sono infiniti e una somma infinita di valori finiti non può dare l unità unità. continue Una variabile casuale è, allora, continua se esiste una funzione tale che: b P a b f d a dove a e b sono numeri reali qualsiasi, con a<b. Funzione di densità di probabilità: la funzione matematica per cui l area sottesa alla funzione, corrispondente ad un certo intervallo, è uguale alla probabilità che assuma un valore in quell intervallo Il c.d. paradosso della continuità viene risolto ricorrendo al concetto di area, assegnando probabilità a singoli intervalli piuttosto che a singoli punti e rappresentando le probabilità come delle aree su degli intervalli. continue Proprietà della funzione di densità di probabilità (f.d.p.): ) f(=)=0 (la probabilità di ottenere esattamente il risultato è generalmente nulla anche se l evento non è strettamente impossibile) continue Funzione di ripartizione: i F P f d ) 0 ) f d (l area sottesa alla funzione è uguale a )

4 n Valore atteso di una v.c discreta: E i P i Varianza di una v.c discreta: n i i P i Valore atteso di una v.c continua: i E f d Varianza di una v.c continua: f d Esempio Un amico ci propone un gioco i cui risultati ti possono essere A, B o C con probabilità bilità di realizzarsi pari, rispettivamente, a 0,, 0, e 0,7. Se esce A, sivincono0euro, se esce B se ne vincono 0 mentre se esce C se ne perdono 0. Ci si chiede quale sarà il guadagno, o la perdita, che ci si deve attendere per un numero elevato di giocate. E chiaro che il risultato del gioco sarà dato dall ammontare che si vince quando si presenta A o B, ognuno moltiplicato per le rispettive probabilità, sommato all ammontare che si perde quando si presenta C, ponderato con la rispettiva probabilità. Avremo dunque: 0 0, 0 0, 0 0,7 Il gioco ha, cioè, un valore negativo, e più precisamente una perdita di a partita. I euro non rappresentano l ammontare lammontareche si perde in una singola giocata ma ciò che si perderebbe in media, per partita, se si giocasse un numero elevato di volte (infatti, nella singola giocata o si vincono 0 o 0 euro o se ne perdono 0, ma non se ne potranno mai perdere ). Questa somma, tuttavia, rappresenta una sintesi dei diversi risultati del gioco, i quali portano a perdere, in media, euro ogni giocata, e quindi non si avrà interesse a giocare perché il gioco non è equo. La variabile casuale di Bernoulli ~ Ber(p) La variabile casuale di Bernoulli ~ Ber(p) E una v.c. che trae origine i da una prova nella quale interessa verificare se l evento E si è verificato o meno. E legata a prove di tipo dicotomico (o dicotomizzabili) i cui due possibili risultati vengono indicati con i termini successo () e insucesso (0), (senza per questo intendere che l evento successo sia necessariamente un evento piacevole! ) Formalmente, una v.c. discreta si definisce v.c. di Bernoulli se assume il valore con probabilità p e il valore 0 con probabilità -p. La sua distribuzione di probabilità è: P p p I suoi momenti caratteristici risultano essere: E p ; Var p p ; N.B. La varianza della v.c. di Bernoulli assume valore ao massimo (/4) quando è p=/. E questo, infatti, il caso di massima incertezza, in cui risulta più difficile prevedere il risultato.

5 La v.c. binomiale i Esperimento binomiale: n prove bernoulliane (ogni prova può avere solo due possibili risultati) indipendenti, ognuna delle quali ha la stessa probabilità di successo successo o insuccesso; probabilità costante in tutte le prove estrazioni indipendenti (estrazioni con ripetizione). V.C. Binomiale : numero di successi in n prove p: probabilità di successo in una prova -p: probabilità di insuccesso in una prova Un esempio (Borra S., Di Ciaccio A. Statistica) Da un collettivo di donne incinte ne sono state estratte a caso tre. Ciascuna di loro aspetta un solo bambino. La probabilità che nasca un maschio a ciascuna di loro è nota e pari a 0,50. ) D: possibili esiti MoF ) D: possibili esiti M o F ) D: possibili esiti MoF n= prove bernoulliane nasce un maschio ) D D ~Ber(0,50) 0 nasce una femmina ) nasce un maschio D D ~Ber(0,50) 0 nasce una femmina ) nasce un maschio D ~Ber(0,50) D 0 nasce una femmina Un esempio -qual è la probabilità che si abbiano 0 maschi? -qual è la probabilità che si abbia maschio? -qual è la probabilità che si abbiano maschi? -qual è la probabilità che si abbiano maschi? Sequenza : D(femmina), D(femmina), D(maschio) (-p) (-p) p= ( - p) p= 0,4 Sequenza : D(femmina), D(maschio), D(femmina) (-p) p (-p) = ( - p) p= 0,4 Sequenza : D(maschio), D(femmina), D(femmina) p (-p) (-p) = ( -p) p= 0,4 Un esempio P( maschio)= P(Sequenza o Sequenza o Sequenza)= = p ( - p) = 0,7 Numero di possibili sequenze di maschio e femmine: Numero di prove: n= Numero di successi: =! n! n!! n n n!!! P p p p p! n-! n

6 Un esempio Un sistema informativo aziendale deve raccogliere, processare, immagazzinare e distribuire informazione al fine di facilitare i processi di pianificazione, decisione e controllo. Uno dei compiti del sistema informativo consiste in una revisione degli ordini di vendita della società per individuare eventuali errori nella forma o nell informazione contenuta. Presso una casa farmaceutica la probabilità che un ordine venga giudicato insoddisfacente dal sistema informativo è stimata pari a 0,. Sulla base di questa informazione, la società vuole calcolare la probabilità che si abbia un certo numero di segnalazioni in un dato campione di ordini di vendita. Un esempio Per esempio se in un giorno vengono realizzati quattro ordini di vendita, -qual è la probabilità che si abbiano 0 ordini scorretti? -qual è la probabilità che si abbia ordine scorretto? -qual è la probabilità che si abbiano ordini scorretti? -qual è la probabilità che si abbiano ordini scorretti? -qual è la probabilità che si abbiano 4 ordini scorretti? Sequenza Primo ordine Secondo ordine Terzo ordine Quarto ordine Segnalato Segnalato Non segnalato Segnalato p=0, p=0, -p=0,9 p=0, P( ordini segnalati nella sequenza precedente)= p p (-p) p = p ( - p) = 0,009 Un esempio Sequenza : segnalato, segnalato, non segnalato, segnalato p p (-p) p=p ( - p) = 0,009 Sequenza : segnalato, segnalato, segnalato, non segnalato p p p (-p) = p ( - p) = 0, Sequenza : segnalato, non segnalato, segnalato, segnalato p (-p) p p=p ( - p) = 0,009 Sequenza 4: non segnalato, segnalato, segnalato, segnalato (-p) p p p=p ( - p) = 0,009 Un esempio Numero di possibili sequenze: 4 P( ordini scorretti) = 4 0,0009 = 0,006

7 La v.c. binomiale i Distribuzione di probabilità di : numero di combinazioni in cui possono presentarsi successi in n prove. La v.c. binomiale i Esempi per n=7 e n=0 (p=0,5) n n n! P p p p p! n-! n numero di prove effettuate proporzione di casi che realizzano un successo nella popolazione p (0<p<) E np Var np p ~ Bin(n,p) La v.c. binomiale i relativa n E n proporzione di successi in n prove p p p Var n n La v.c. binomiale: i un esempio Esperimento: 50 lanci di una moneta v.c : numero di teste uscite in 50 lanci numero di prove effettuate: 50 (n) probabilità di successo in un lancio: / 50 50! P 6 6 6! 50-6! n n! P p p p p! n-! n n

8 La v.c. binomiale: i un esempio Dall'inventario di 4 automobili spedite ad un gruppo di rivenditori, risulta che automobili avevano difetti nell'installazione della radio. Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto automobili: a) Le riceva tutte con radio difettose? b) Non ne riceva nessuna con radio difettosa? c) Ne riceva almeno una con radio difettosa? automobili estratte a caso dalla produzione esperimento binomiale probabilità di successo (la radio è difettosa) p=/4 v.c : numero di radio difettose in auto estratte a caso dalla produzione a) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto automobili le riceva tutte con radio difettose? P(=)? n= p=/4=0,5 -p= 075 0,75 n n! P p p p p! n-!! n n 0,5 0,75 0,5 0,75! -! P b) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto automobili non ne riceva nessuna con radio difettosa? P(=0)? n= p=/4=0,5 -p= 0,75 n n! P p p p p! n-! n n c) Qual è la probabilità che un particolare rivenditore che abbia ricevuto automobili ne riceva almeno una con radio difettosa? n= p=/4=0,5 -p= 0,75 P(>=) =P(=)+P(=)+ P(=)=-P(=0)! P ,5 05 0, ,5 05 0, ! -0! 0 0

9 La variabile casuale di Poisson Si consideri una prova che può avere solo due possibili esiti chiamati, successo e insuccesso. Si è interessati a contare quante volte si verifica l evento successo in un certo arco temporale prefissato (oppure anche in un certo ambito spaziale: ad esempio un area prefissata). La v.c. di Poisson misura la probabilità di ottenere successi riferendosi però non più a n prove bernoulliane ma ad un ambito circoscritto, temporale o spaziale. Es.: Clienti ad uno sportello bancario in un giorno Telefonate al centralino VV.FF. in un ora Auto al casello autostradale ogni ora ma anche n di globuli rossi per mm di sangue n di errori tipografici per pagina stampata La variabile casuale di Poisson Una v.c. di Poisson soddisfa i seguenti postulati che valgono per qualsiaisi sottointervallo considerato. La probabilità del manifestarsi dell evento è costante su tutta la durata dell osservazione (in qualsiasi sottointervallo).. L intervallo può essere suddiviso in sottointervalli sui quali la probabilità del verificarsi di un evento è piccola e la probabilità del manifestarsi di più di un successo in un sottointervallo (o in una sottoarea) è trascurabile (di fatto possiamo porla pari a zero) rispetto alla probabilità che se ne verifichi uno solo. Il manifestarsi di un evento in un sottointervallo non influenza la probabilità del manifestarsi di un evento in un altro sottointervallo. Gli eventi sono, cioè, indipendenti. La variabile casuale di Poisson Al centralino dei Vigiliili del Fuoco di Macerata arrivano in media chiamate in un ora V.C di Poisson: numero di chiamate che arrivano al centralino dei Vigili del Fuoco di Macerata in un ora 0 ora P() minuto P() La variabile casuale di Poisson ~ Po() Se si osserva un processo di Poisson, il numero di eventi che si manifestano in ogni intervallo è una v.c. di Poisson. Se tali eventi si manifestano al tasso costante, il valore di indicherà il numero di eventi che, in media, si manifesterà per ogni sottointervallo. In una v.c. di Poisson gli eventi si manifestano al tasso costante. Definizione: Una v.c., discreta, segue una distribuzioneib i di Poisson con parametro se assume i valori 0,,, con probabilità definite dalla funzione: P e! ; Var E (e è il numero di Nepero, pari a.7)

10 La variabile casuale di Poisson P e! Esercizio: ~ Po() In un centro commerciale, tra le e le 0 arrivano, in media, 7 clienti al minuto. Supponendo che il numero di clienti si distribuisca secondo una legge di Poisson, si calcoli: la probabilità che in un minuto arrivino clienti la probabilità che in un minuto arrivino meno di clienti la probabilità che in tre minuti arrivino 0 clienti Esercizio: Un libro di 00 pagine contiene 0 errori di stampa. Scegliendo a caso una pagina, si calcoli: la probabilità che ci siano errori la probabilità che ci siano più di errori La variabile casuale di Poisson ~ Po() Differenza tra la distribuzione di Poisson e la binomiale Per una distribuzione binomiale il numero n di prove è finito e il numero di successi non può superare n. Per una distribuzione di Poisson, il numero di prove è essenzialmente infinito e il numero di successi può essere infinitamente grande anche se la probabilità di avere successi diventa molto piccola al crescere di Approssimazione della distribuzione di Poisson alla Binomiale Quando n la distribuzione di Poisson con parametro =np può servire come approssimazione alla legge binomiale di parametri n e p Approssimazione della distribuzione di Poisson alla Binomiale La v.c. normale Esercizio: La probabilità bilità che una persona sia allergica ad un farmaco è pari a 0, Scegliendo a caso un gruppo di 000 persone, determinare: la probabilità che più di persone siano allergiche la probabilità che nessuna sia allergica

11 La v.c. normale Spessore di 0000 rondelle di ottone prodotte da un azienda Spessori Frequenze (in cm) relative < Da 0.00 a Da 0.0 a Da 0.04 a Da 0.06 a Da00a a Da a Da 0.09 a Da a Da a Da 0.09 a Da a > Totale 0000 La v.c. normale. Curva degli errori casuali nella misurazione di una grandezza fisica. Distribuzione di una caratteristica di una popolazione. Dimensione effettiva di oggetti prodotti in serie, che si cerca di produrre in modo identico Una variabile casuale segue una distribuzione Normale, con media e varianza, se la sua funzione di densità di probabilità è data da: f e Caratteristiche della distribuzione Normale. Forma campanulare e simmetrica. Media, mediana e moda coincidenti. Punto di flesso a distanza dalla media Una variabile casuale segue una distribuzione Normale, con media e varianza, se la sua funzione di densità di probabilità è data da: f e 6% Caratteristiche della distribuzione Normale. Forma campanulare e simmetrica. Media, mediana e moda coincidenti. Punto di flesso a distanza dalla media 4. Circa il 6% dei casi è compreso nell intervallo ±

12 Una variabile casuale segue una distribuzione Normale, con media e varianza, se la sua funzione di densità di probabilità è data da: f e 95% Caratteristiche della distribuzione Normale. Forma campanulare e simmetrica. Media, mediana e moda coincidenti. Punto di flesso a distanza dalla media 4. Circa il 6% dei casi è compreso nell intervallo ± 5. Circa il 95% dei casi è compreso nell intervallo ± Una variabile casuale segue una distribuzione Normale, con media e varianza, se la sua funzione di densità di probabilità è data da: f e 99% Caratteristiche della distribuzione Normale. Forma campanulare e simmetrica. Media, mediana e moda coincidenti. Punto di flesso a distanza dalla media 4. Circa il 6% dei casi è compreso nell intervallo ± 5. Circa il 95% dei casi è compreso nell intervallo ± 6. Circa il 99% dei casi è compreso nell intervallo ± Una variabile casuale segue una distribuzione Normale, con media e varianza, se la sua funzione di densità di probabilità è data da: f e Una variabile casuale segue una distribuzione Normale, con media evarianza, se la sua funzione di densità di probabilità è data da: f e Caratteristiche della distribuzione Normale. Forma campanulare e simmetrica Caratteristiche della distribuzione Normale. Forma campanulare e simmetrica. Media, mediana e moda coincidenti. Media, mediana e moda coincidenti. Punto di flesso a distanza dalla media. Punto di flesso a distanza dalla media 4. Circa il 6% dei casi è compreso nell intervallo ± 4. Circa il 6% dei casi è compreso nell intervallo ± 5. Circa il 95% dei casi è compreso nell intervallo ± 5. Circa il 95% dei casi è compreso nell intervallo ± 6. Circa il 99% dei casi è compreso nell intervallo ± 6. Circa il 99% dei casi è compreso nell intervallo ± 7. Un aumento o una diminuzione della media determina uno slittamento, a parità di forma, della curva sull asse delle. 7. Un aumento o una diminuzione della media determina uno slittamento della curva, a parità di forma, sull asse delle.. Un aumento o una diminuzione della varianza determina, rispettivamente, una minore o una maggiore concentrazione di valori attorno al valore medio.

13 La v.c. normale ~ N, f Proprietà: e =media; =sqm è simmetrica intorno a il massimo di (moda) si ha in corrispondenza di = punti di flesso: = Mo = Me i valori della curva normale dipendono da e Una macchina produce biscotti il cui peso si distribuisce come una Normale, con media pari a 5 grammi e scarto quadratico medio pari a 0, grammi. Scegliendo a caso un biscotto, qual è la probabilità che abbia un peso è compreso tra 5, grammi e 5,0 grammi? y e 5 5, 5,0 P 5 5, 5,0 50 5,0 5, ~ N(5;0,04) = 5 = 0, e standardizzata Una macchina produce biscotti il cui peso si distribuisce come una Normale, con media pari a 5 grammi e scarto quadratico medio pari a 0, grammi. Scegliendo a caso un biscotto, qual è la probabilità che abbia un peso è compreso tra 5, grammi e 5,0 grammi? Qualsiasi distribuzione Normale può essere ricondotta ad una distribuzione con media nulla e varianza unitaria mediante la trasformazione: Z La tavola della distribuzione normale standardizzata E Z E 0 0 Var Z Z ~ N = 0 = Var Le aree sotto la curva Normale standardizzata possono essere calcolate e tabulate una volta per tutte!

14 La v.c. normale standardizzata ~ N 0, Z f Proprietà: = 0 = Z e il massimo di si iha per =0 punti di flesso: = i valori della curva normale standardizzata sono tabulati standardizzata 5 5, 5,0 ~ N = 5 = 0, Qual è la probabilità che il biscotto pesi tra 5, e 5,0 grammi? Fr P 5, 5, 0 Z ~ N = 0 = Quali sono i valori standardizzati di =5, e =5,0? 5, 5 Z 0, 6 0, 5,0 5 Z, 5 0, 0,6,5 0 Z standardizzata 5 5, 5,0 ~ N = 5 = 0, Qual è la probabilità che il biscotto pesi tra 5, e 5,0 grammi? Z 0 0,6,5 Z Fr P 5, 5, 0 0,075 ~ N = 0 = Quali sono i valori standardizzati di =5, e =5,0? Qual è la probabilità compresa tra Z =0,6 e Z =,5? Fr P 06 0,6 Z,5 5 0, 4 0,57 0,075 standardizzata Un impresa produce pomodori ed il processo di inscatolamento è stato regolato in modo tale che in ogni barattolo venga introdotta, in media, una quantità di pomodori pari a etti. Lo s.q.m. del peso netto effettivo è 0, etti e si suppone che i pesi siano distribuiti normalmente. Si determini i la probabilità bilità che un barattolo preso a caso contenga una quantità di pomodori compresa tra e, etti. : peso inscatolato ~ N(; 0,) Z ~ N(0,) 0, P(<<,)??

15 standardizzata P 0,, 0,, P Z P 0 Z standardizzata L altezza di un gruppo di ragazzi è distribuita normalmente con media 0cm e scarto quadratico medio 0cm. Calcolare la probabilità che un ragazzo scelto a caso dal gruppo abbia una statura superiore a 90cm. Approssimazione della distribuzione binomiale I parametri e sono noti, si vuole conoscere la probabilità che la v.c. assuma valori compresi all interno dell intervallo a, b (a<b). a b Pa b P Pza Z z b Se n è grande Z Z np ~ Z 0, npq p n ~ Z 0 0, pq n

16 Approssimazione della distribuzione binomiale Esempio: determinare la probabilità che, lanciando 400 volte un dado, la faccia 5 compaia almeno 60 volte Lancio di un dado esperimento binomiale probabilità di successo (la faccia uscita è il 5) p=/6=0,7 v.c : numero di uscite della faccia 5 in 400 lanci Dove e come studiare S. Borra, A. Di Ciaccio (00) Statistica ti ti Metodologie per le scienze economiche e sociali McGraw-Hill. Cap. 9 (escluso paragrafi 9.6, 9.., 9..4, 9..5, 9.). D. Piccolo (004) Statistica per le decisioni Il Mulino. Cap. 9 (escluso paragrafi 9.7, 9., 9.9), Cap. 0. P ,7 60 P Z, ,7 0, P Z File esercizi variabili casuali e distribuzioni campionarie.pdf Riepilogo Variabili casuali discrete Funzione di probabilità Funzione di ripartizione Valore atteso Varianza Variabili casuali continue Funzione di densità di probabilità Funzione di ripartizione Valore atteso Varianza Distribuzione di Bernoulli, binomiale, binomiale relativa Distribuzione di Poisson Approssimazione della distribuzione di Poisson alla Binomiale Distribuzione Normale Distribuzione Normale standardizzata Approssimazione della distribuzione standardizzata alla Binomiale