Problematiche aeroelastiche dei ponti di grande luce: stall flutter

Problematiche aeroelastiche dei ponti di grande luce: stall flutter 1

Indice 1. Introduzione...3. Tipologie di ponti di grande luce... 5 -.1 Ponti sospesi...5 -. Ponti strallati...6 3. Introduzione al flutter per i ponti di grande luce...6-3.1 Differenza tra flutter classico e stall flutter...8-3. Ponti soggetti a stall flutter...8-3.3 Modello-sezione. 9 4. Definizione dei carichi aerodinamici...9-4.1 Carichi aerodinamici per profili alari sottili...9-4. Carichi aerodinamici per impalcati da ponte....1 5. Derivate di flutter di un impalcato...11-5.1 Metodo di Scanlan 1-5. Metodo di Larsen..13 6. Calcolo Flutter classico a due gradi di libertà per la travatura 13-6.1 Problema agli autovalori.. 13-6. Procedimento di Scanlan.. 16 7. Flutter ad un grado di libertà... 17 8. Dinamica torsionale e stall flutter dei ponti strallati: analisi travatura e torri. 18 Conclusioni.. 3

1.Introduzione Uno dei capitoli senza dubbio più belli della storia dell'ingegneria strutturale riguarda la costruzione dei ponti di grande luce, sia con schema sospeso che strallato. Anche se non rientrante in questa categoria merita una citazione il ponte di Galata progettato da Leonardo da Vinci nel 15 destinato a collegare le due rive del Corno d Oro tra Costantinopoli e Pera. Si trattava di un ponte lungo ben 36 metri ad una sola campata; doveva essere largo 4 metri e alto, al culmine 4 metri. In realtà questo ponte era qualcosa in più di un progetto, perché recentemente è stata ritrovata negli archivi del sultano Bayazid II, la lettera con la quale Leonardo proponeva di realizzare quest opera gigantesca mettendo a disposizione come garanzia della riuscita addirittura la propria testa. L originalità dell opera sta nel fatto che Leonardo non si limitò a progettare un ponte più grande, ma capì che era necessario rinforzarlo senza appesantirlo. Per ottenere questo, oltre all arco del ponte costruì anche altre due strutture ad arco obliquo, ai lati dell arco principale, per rinforzare la struttura. Questi ultimi essendo molto sottili al centro facevano in modo che il peso venisse distribuito sulle sponde e non sulla travatura. Il sultano, però ritenne impossibile che tale struttura potesse reggere e rinunciò a costruirla. Alcuni progettisti norvegesi, con a capo l ingegnere Vebjorn Sand, nel 1996 hanno ripreso gli studi di Leonardo e nel sono riusciti a costruire vicino a Oslo una copia più piccola in legno di tale ponte, con una struttura a doppio arco e con quattro punti di appoggio distanziati tra loro come contrafforti in grado di resistere alla spinta del vento. La storia dei grandi ponti può farsi iniziare nel 186, data in cui fu Figura 1- Pagine di Leonardo Da Vinci del progetto del ponte di Galata terminata in Inghilterra la realizzazione del ponte sullo stretto di Menai. Progettato dall'ingegnere inglese Telford, esso aveva lo scopo di collegare l'isola di Anglesey con la terra ferma e presentava una campata centrale di 176 metri. Il ponte però ebbe vita molto breve: crollò infatti poco dopo la sua inaugurazione durante una tempesta di vento. La storia dei ponti di grande luce cominciò quindi con un insuccesso. Altri ne seguirono e tutti più o meno attribuibili agli effetti di interazione del vento con tali tipologie di strutture. In Europa molti ponti in ferro crollarono sotto l'azione del vento. Anche negli Stati Uniti crollò nel 1854, sempre a causa di una tempesta di vento, il primo ponte sospeso del nuovo continente: il Wheeling Bridge sul fiume Ohio, progettato da Ellet e che presentava una luce della campata centrale di circa 11 metri. 3

Sia in Europa che negli Stati Uniti a quei tempi nessuna indagine specifica era richiesta per tenere conto a livello progettuale degli effetti del vento sui ponti, né c'era ancora una qualche conoscenza acquisita del problema. Fu il crollo del Wheeling Bridge che diede l'avvio negli Stati Uniti alle prime analisi di dimensionamento dei ponti di grande luce tenendo conto dell'azione del vento. Sulla base di queste esperienze Roebling progettò con successo il primo ponte sul Niagara, realizzato nel 1855, ed il ponte misto sospeso-strallato di Brooklyn, realizzato nel 1883 sull'east River tra Manhattan e Long Island. Appartengono a questo periodo storico le prime teorie di statica dei ponti sospesi e le prime applicazioni del calcolo strutturale, le quali cominciarono così ad affiancare l'intuizione e la modellazione pratica, fino ad allora unici strumenti concreti di progettazione. La prima teoria sulla statica dei ponti sospesi risale al 1858 e fu formulata da Rankine. A partire da questa, (sulla base della quale venne progettato e realizzato nel 193 il ponte sospeso Williamsburgh) attraverso l'applicazione da parte di Navier della teoria dell'elasticità e grazie anche agli studi di Castigliano, numerosi sono stati gli sviluppi fino ad arrivare alla teoria di Melan del 1888 che rappresenta tuttora un caposaldo fondamentale nell'ambito della progettazione dei ponti sospesi di grande luce. Inoltre, essa ha rappresentato il punto di partenza di numerosi studi successivi, condotti, tra gli altri, da Moisseif, Timoshenko, Steinman, Bleich. Nel contempo, con l'ingegneria aeronautica che vedeva il suo nascere concreto dopo Leonardo, cominciarono a svilupparsi i primi studi di aerodinamica e le prime gallerie del vento. Nel 1883 Reynolds pubblicò un lavoro rivelatosi poi fondamentale per la caratterizzazione dei flussi laminari e turbolenti. Nel 194 Prandtl formulò il concetto di strato limite e nel 191 von Karman caratterizzò in forma analitica il campo di moto nello strato limite e formalizzò la teoria della scia. L'applicazione dei risultati acquisiti con la teoria di Melan portò alla realizzazione nel 1931 del ponte G. Washington sull'hudson, caratterizzato da una luce della campata centrale pari a 166 metri, e, nel 1933 del Golden Gate (con luce della campata centrale di 18 metri). Figura - Crollo del Tacoma Narrows Bridge Grazie quindi a tecniche di progettazione strutturale sempre più raffinate i ponti assunsero un carattere via via più snello e leggero. I rapporti tra l'altezza della travata e la luce centrale, i.e. la cosiddetta snellezza del ponte, e tra l'altezza e la larghezza della travata, i.e. la snellezza laterale, divennero così sempre più piccoli. Per il Golden Gate la snellezza originaria era dell'ordine di 1/168 mentre la snellezza laterale era 1/47. A seguito di tali caratteristiche di leggerezza, il Golden Gate presentò in numerose occasioni oscillazioni causate dal vento che persistevano nel tempo e che raggiungevano ampiezze anche dell'ordine di due o tre metri. Una struttura ancora più snella e flessibile fu quella del Tacoma Narrows Bridge, con luce della campata centrale sospesa di 853 metri, costruito nel 194 sulla costa occidentale degli Stati Uniti su progetto di Moisseif. La snellezza longitudinale e laterale di questo ponte, ad una sola via di traffico e con impalcato a travi longitudinali in acciaio, erano infatti rispettivamente pari a 1/35 e 1/7. La concezione strutturale del Golden Gate ed ancor più quella del successivo ponte Tacoma, opposta a quella del precedente Williamsburgh Bridge, si basava sul presupposto che la funzione primaria di sostentamento dei carichi dovesse essere affidata ai cavi. La travata flessibile, invece, aveva prevalentemente il compito di regolarizzare le deformazioni dell'impalcato. Il ponte Tacoma era stato progettato per assorbire tutti i carichi di servizio prevedibili, compresi quelli torsionali e laterali, questi ultimi rappresentativi, per i criteri di quel tempo, delle azioni del vento. Le deformazioni del ponte, i.e. gli abbassamenti e le rotazioni longitudinali e trasversali, valutate utilizzando la teoria di Melan, soddisfacevano poi gli standard dell'epoca imposti per l'esercizio stradale. Il ponte, però, non aveva la necessaria rigidezza per contrastare le azioni dinamiche esercitate dal vento. La struttura, infatti, subito dopo la sua costruzione cominciò a mostrare frequenti oscillazioni verticali e dopo solo cinque mesi di servizio, durante una tempesta di vento di intensità non eccessiva (la velocità media del vento era dell'ordine di 5 km/h), cominciò improvvisamente ad oscillare torsionalmente in modo antisimmetrico con ampiezze crescenti e dopo qualche ora crollò. Dopo tale disastro grande impulso ebbero gli studi sulla aerodinamica dei ponti. Gli studi aeroelastici compiuti per le costruzioni aeronautiche ed inerenti la dinamica dell'ala cominciarono ad inquadrarsi nell'ottica di applicazioni relative alla dinamica dei ponti di grande luce e consentirono di comprendere la natura dinamica dell'azione del vento sull'impalcato. La travata di un ponte di grande luce, considerata la sua elevata deformabilità e leggerezza, può vedersi nei riguardi dell'azione del vento come un sottile nastro in grado di oscillare. Pertanto, oscillazioni della struttura possono aversi o per effetto della turbolenza presente nella corrente incidente o di quella che si genera a causa della struttura stessa immersa nel flusso, i.e. a seguito di fenomeni di scia, concreti nel distacco di vortici dal profilo dell'impalcato (fenomeno detto di vortex-shedding), che interagiscono con la struttura a fronte della sua deformabilità. D'altro canto, il fenomeno non stazionario più pericoloso che può occorrere per effetto di una corrente incidente è sicuramente il flutter. Quest'ultimo, come si puntualizzerà meglio successivamente, si verifica a seguito di una condizione di risonanza tra le forze aerodinamiche non stazionarie, prodotte dallo stesso movimento della struttura, e la struttura oscillante. Possono allora insorgere oscillazioni flessionali, torsionali o accoppiate, le quali, come Figura 3- Akashi-Kaikyo Bridge 4

nel caso del primo ponte Tacoma, possono presentare, sotto particolari condizioni di vento, ampiezza divergente. Dopo il crollo del Tacoma Narrows Bridge, riconosciuto il ruolo fondamentale giocato dalla rigidezza dell'impalcato nei riguardi dei complessi fenomeni di interazione vento-struttura, alcuni ponti già esistenti vennero rinforzati (è questo, ad esempio, il caso del Golden Gate e del G. Washington), mentre i nuovi vennero realizzati con travate molto più rigide( ponte di Verrazzano e ponte di Lisbona). Una nuova concezione progettuale, nell'ambito dei ponti sospesi di grande luce, si Figura 4- Foto da satellite dell' presentò con il ponte sul Severn, costruito in Inghilterra nel 1966 e caratterizzato da Gate Figura 6- Golden Bridge a San Akashi-Kaikyo Bridge una luce centrale di 988 metri. La travata, invece che a struttura reticolare come Francisco generalmente accadeva nei ponti precedenti, fu realizzata chiusa a cassone con una sagoma molto rastremata e sottile. Pur essendo la snellezza del ponte molto prossima a quella del Tacoma, in particolare pari a 1/34, la travata, vista la sezione a cassone, si presenta molto più rigida torsionalmente e con caratteristiche aerodinamiche tali da ridurre drasticamente le azioni trasversali di resistenza al vento. Sulla scia di tale nuova concezione vennero così di seguito progettati e realizzati il Little Belt in Danimarca nel 197, il ponte sul Bosforo nel 1973, il ponte sull'humber in Inghilterra nel 1981 con una luce di 141 metri, il ponte sullo Jogyn in Cina nel 199 con una luce di 1385 metri ed i ponti del Great Belt Link congiungenti le isole della Danimarca ed ultimati nel 1997. Numerosi ed importanti ponti sospesi, tutti strettamente legati alla concezione classica di travata reticolare rigida e pesante, sono stati realizzati negli ultimi anni in Giappone come collegamento tra le isole Honshu e Shikoku. Il grande ponte Akashi Kaikyo, completato nel 1998 e con luce centrale di 199 metri, rappresenta poi il ponte sospeso con la campata centrale attualmente più lunga al mondo. In ritardo rispetto ai ponti di grande luce con configurazione sospesa, anche i ponti strallati hanno trovato notevole diffusione nel corso degli ultimi anni, dopo i primi tentativi effettuati prevalentemente in Inghilterra nell'ottocento. In particolare, essi cominciarono ad essere realizzati sistematicamente solo dopo la seconda guerra mondiale e prevalentemente in Germania. Comunque, il primo moderno ponte strallato che segnò l'inizio del grande sviluppo di tale schema strutturale, è stato il ponte di Stromsund in Svezia completato nel 1956. Successivamente furono realizzati il ponte Fridrich Herbert sul Reno a Bonn (1967) e quasi contemporaneamente il ponte sul Reno a Rees. Mirabili esempi estetici di ponti strallati, con disposizione a ventaglio degli stralli, sono il ponte di Normandia sulla Senna, il quale presenta una campata centrale con luce di 856 metri, ed in Giappone il ponte Tatara, con luce centrale di 89 metri. Quest'ultimo rappresenta attualmente il ponte strallato con la campata centrale più lunga al mondo. Per entrambi tali ponti, al fine di ridurre la resistenza trasversale della travata al vento, sono state utilizzate sezioni rastremate e sottili, con sagome praticamente assimilabili a quelle di corpi profilati. L'ultima sfida lanciata nell'ambito della progettazione e costruzione dei ponti di grande luce è rappresentata dal ponte sullo stretto di Messina di imminente realizzazione, il cui schema progettuale prevede lo scavalco dello stretto con un'unica campata sospesa di 33 metri. I fenomeni di interazione vento-struttura che coinvolgono i ponti di grande luce hanno rappresentato negli ultimi anni un interessante settore di indagine e di sperimentazione. In questo contesto si inquadra il presente lavoro. In esso si propongono le generalizzazioni di alcune teorie e modelli analitici presenti in letteratura..tipologie di ponti di grande luce.1 Ponti sospesi Un ponte sospeso è un tipo di ponte in cui l'impalcato, la struttura orizzontale che consente l'attraversamento, è appeso per mezzo di cavi o elementi rigidi verticali ad un numero di cavi principali. I cavi principali sono generalmente sorretti alle estremità del ponte o sopra le pile del ponte da torri. Fin dall'antichità questo tipo di ponti è stato utilizzato dall'umanità per attraversare ostacoli. Con il passare dei secoli, l'introduzione e la miglioria dei distinti materiali da costruzione, questo tipo di ponti sono stati capaci di sopportare il traffico stradale e perfino linee ferroviarie. I cavi che costituiscono l'arco rovescio dei ponti sospesi devono essere ancorati agli estremi del ponte, dato che sono incaricati di trasmettere una parte importante del carico che deve sopportare la struttura. L'impalcato è di solito sospeso da tiranti verticali che sono collegati a detti cavi. I cavi di un ponte sospeso formano una parabola molto simile a una catenaria, la forma che i cavi assumerebbero se venissero lasciati appesi, soggetti solo al loro peso proprio. Il primo a teorizzare, nel XVI secolo, il sistema costruttivo dei ponti sospesi fu Fausto Veranzio che, nella sua opera 5

"Machinae novae, addita declamazione Latina, Italica, Gallica, Hispanica et Germanica", illustra, con incisioni, due tipologie di ponti sospesi: uno su canapi e l'altro con catene metalliche (un ponte strallato). La forma attuale dei ponti sospesi fu sviluppata a principio del XIX secolo; da allora ponti di questo tipo sono stati costruiti in tutto il mondo. Figura 8- Ponte di Normandia in Francia. Ponti strallati Un ponte strallato è un ponte di tipo "sospeso" nel quale l'impalcato è retto da una serie di cavi (gli stralli) ancorati a piloni di sostegno. Rispetto ad un ponte sospeso di tipo classico, in cui l'impalcato è, appunto, "sospeso", mediante Figura 7- Ponte all'indiano a Firenze pendini verticali, ai cavi portanti che assumono la forma di una catenaria, gli stralli del ponte strallato collegano direttamente il piano dell'impalcato alle antenne. La caratteristica saliente dei ponti strallati è quella di assumere un comportamento statico, anche per i carichi mobili, di tipo "quasi reticolare", ovvero con soli sforzi assiali nelle membrature della struttura. L'impalcato del ponte è così soggetto a sforzi prevalentemente di compressione negli schemi di ponti autoancorati (es. Ponte di Normandia in Francia) e di trazione negli schemi di ponti strallati ancorati a terra (es. Ponte all'indiano a Firenze). La deformabilità dei ponti strallati non dipende essenzialmente dalla rigidezza dell'impalcato (come nei ponti sospesi classici) ma principalmente dal sistema di strallatura. Se progettato correttamente il ponte strallato ha un regime di sollecitazioni flessionali nell'impalcato di tipo secondario consentendo così altezze dell'impalcato molto ridotte (sostanzialmente legate alla larghezza dell'impalcato) con notevoli benefici anche sul piano estetico. Il confronto con il ponte sospeso vede sicuramente prevalere il ponte strallato nel campo di luci tra i m e i 11 m, soprattutto se è previsto il transito ferroviario. Infatti il ponte strallato rispetto al ponte sospeso è meno deformabile e più facilmente costruibile e comporta un quantitativo di acciaio ad alta resistenza (per i cavi) decisamente inferiore. A partire dagli anni '6 del secolo XX, e con un rapido incremento nei primi anni del XXI secolo, sono stati realizzati nel mondo diverse centinaia di ponti strallati proprio nel campo di luci sopracitato affermando così definitivamente questa nuova tipologia di ponte per il superamento delle grandi luci. I ponti strallati sono stati proposti inizialmente per l'attraversamento di un'unica grande luce, generalmente realizzando uno schema di ponte a tre grandi luci di cui quella centrale è la maggiore. Tuttavia sono stati realizzati anche ponti strallati su più luci uguali, con tipologie di schema statico adattato alle luci multiple. 3.Introduzione al flutter per i ponti di grande luce I fenomeni di instabilità aeroelastica rivestono particolare importanza nei ponti sospesi e strallati di grande luce. L'instabilità aeroelastica per flutter negli impalcati dei ponti sospesi è causato dall'accoppiamento di due modi di oscillazione (normalmente i primi) flessionale e torsionale, che presentano deformate simili. Le relative frequenze vengono avvicinate dall'effetto associato all'azione del vento, il quale introduce energia nel sistema. L'accoppiamento dei due gradi di libertà costituisce l'aspetto caratteristico di questo fenomeno: il moto verticale e torsionale si sincronizzano su di una frequenza comune, il cui valore risulta intermedio tra quelli verticale e torsionale. Gli effetti delle azioni eoliche sugli impalcati vengono ormai correntemente determinate con analisi nel dominio del tempo, facendo ricorso a simulazioni numeriche in campo non lineare, mediante l'utilizzo di opportune storie di vento artificiali, ed a prove sperimentali in galleria del vento. In quest'ultimo caso la sperimentazione viene condotta sia su sezioni dell'impalcato, che su modelli in scala dell'intera struttura; ciò consente con sufficiente attendibilità di prevedere sia il comportamento d'insieme, sia gli effetti locali (su stralli, veicoli ecc ). Nonostante ciò, conservano grande interesse modelli teorici semplificati, ma in grado di fornire almeno l'ordine di grandezza delle velocità del vento per cui possono eventualmente verificarsi fenomeni di instabilità. L'analisi di questo problema nel dominio delle frequenze è possibile se si effettua una linearizzazione dei fenomeni, introducendo degli opportuni coefficienti di forza ricavati da sperimentazioni di modelli in scala. I motivi fondamentali che consentono di affrontare il problema con un approccio analitico di tipo lineare sono i seguenti: 6

in prima approssimazione la struttura può considerarsi avente un comportamento elastico-lineare, con una risposta di tipo sinusoidale smorzata esponenzialmente; il passaggio dalla condizione di stabilità all'instabilità avviene in condizioni di moto oscillatorio incipiente, attorno alla configurazione di equilibrio per vento medio costante. L'assunzione di queste due ipotesi consente di eseguire l'analisi del flutter su un sistema lineare elastico. In modo intuitivo è possibile dire che una struttura presenta una configurazione di equilibrio stabile se piccole perturbazioni inducono oscillazioni di entità limitata, i.e. confinate nell'intorno della configurazione stessa, mentre quest'ultima è instabile in caso contrario. Tale concetto di stabilità si riferisce alla teoria di Liapunov relativa alle condizioni di stabilità dinamica. Si consideri un sistema conservativo, i.e. un sistema per il quale è possibile introdurre un potenziale e quindi un'energia potenziale. Il problema dinamico può rappresentarsi, in forma linearizzata, mediante la seguente equazione di governo: [ M ] q ( T) + [ K] q( t) = dove q è il vettore di spostamenti generalizzati, M è la matrice generalizzata del le masse, K è la matrice tangente di rigidezza del sistema. Nell'ambito di una analisi lineare di stabilità è sufficiente considerare solo perturbazioni nel tempo di tipo armonico, in quanto ogni evoluzione dinamica della struttura può essere decomposta in una serie di contributi armonici (modi) iωt attraverso uno sviluppo alla Fourier. Assegnata allora una perturbazione armonica q( t) q e e le relative condizioni al contorno, il sistema di equazioni differenziali scritto prima, che governa la risposta della struttura, ha come soluzione tutti i modi banali, i.e. non eccitati, eccetto quelli relativi alle pulsazioni w che soddisfano l'equazione caratteristica: 1 [ M ] [ K] ω [ I] = E noto che per i sistemi conservativi le pulsazioni caratteristiche possono risultare reali (in questo caso il sistema è stabile) o puramente immaginarie (sistema instabile). Pertanto, affinché lo stato di equilibrio da stabile diventi instabile è necessario che la più piccola delle pulsazioni caratteristiche assuma valore nullo o, equivalentemente, che la matrice di rigidezza della struttura presenti una singolarità. In altri termini, lo stato di equilibrio è instabile se esiste un'altra possibile configurazione di equilibrio stabile in un intorno di quella in considerazione. Conseguentemente, se l'equilibrio è instabile, la struttura a seguito di una perturbazione abbandona la sua configurazione per raggiungerne un'altra stabile. Tale forma di instabilità è detta divergenza o biforcazione statica dell'equilibrio e, come noto, la sua caratterizzazione può compiersi senza ricorrere necessariamente ad un approccio di tipo dinamico (teoria euleriana della stabilità dell'equilibrio). E il caso di sottolineare che per i sistemi conservativi la stabilità dell'equilibrio può studiarsi in modo equivalente tramite un approccio di natura energetica. In particolare, si dimostra (teorema di Dirichlet-Lagrange) che per i sistemi conservativi una configurazione di equilibrio è stabile se corrispondentemente l'energia potenziale del sistema presenta un punto di minimo isolato. Si considerino ora sistemi non conservativi la cui evoluzione dinamica, a partire da uno stato di equilibrio, sia rappresentata in forma linearizzata sempre tramite una condizione differenziale del tipo suddetto. In generale, in questo caso, a seguito della perdita di simmetria di K le pulsazioni caratteristiche possono essere sia reali che complesse coniugate (a parte reale non nulla). Pertanto, l'instabilità del sistema si verifica quando la più piccola di tali pulsazioni assume valore nullo, come nel caso dei sistemi conservativi, oppure quando due pulsazioni tendono l'una all'altra fino a coincidere e quindi a diventare complesse coniugate. Il caso corrispondente ad una pulsazione caratteristica nulla è simile a quello che si ha per i sistemi conservativi e può caratterizzarsi mediante l'approccio euleriano, pur essendo il sistema non conservativo. In questo caso l'instabilità è ancora detta di divergenza anche se, in generale, può non esistere una configurazione alternativa di equilibrio in cui la struttura possa portarsi. Numerosi autori hanno caratterizzato le condizioni sotto le quali sistemi non conservativi del tipo suddetto presentano solo instabilità da divergenza. Tali sistemi sono anche detti sistemi conservativi del secondo tipo. Il caso relativo a pulsazioni caratteristiche complesse coniugate corrisponde ad un'instabilità detta di flutter e la condizione di carico per la quale si ha la coincidenza di due pulsazioni caratteristiche è detto carico di flutter. Se la condizione di carico è maggiore di quella di flutter la perturbazione iniziale indurrà oscillazioni armoniche della struttura di pulsazione pari alla parte reale delle pulsazioni caratteristiche complesse coniugate e con ampiezza di oscillazione crescente esponenzialmente nel tempo, in funzione della loro parte immaginaria. Pertanto, tale evenienza individua una soluzione dinamica instabile indipendente dalla presenza di una soluzione di equilibrio ad essa contigua (i.e. in assenza di condizioni di singolarità per K). In altri termini, i sistemi non conservativi possono = 7

presentare una condizione di biforcazione ad una soluzione totalmente dinamica. Come premesso, il fenomeno del flutter configura una risposta armonica della struttura caratterizzata da ampiezza, velocità ed accelerazione crescenti nel tempo e conseguentemente da un aumento dell'energia cinetica del sistema. Chiaramente, tale energia deve essere fornita dalle forze esterne. Se esse però sono di tipo conservativo il loro lavoro viene compiuto a spese di un potenziale ed è quindi limitato. Si comprende, allora, come il fenomeno del flutter possa presentarsi solo per effetto di forze non conservative. Tipiche forze a carattere non conservativo sono le forze esercitate dal vento, le quali possono introdurre in modo non limitato energia in un sistema strutturale. Poiché il fenomeno del flutter presuppone la presenza di pulsazioni complesse coniugate, per i sistemi strutturali non conservativi rappresentabili tramite l equazione precedente (i.e. privi di contributi di smorzamento), esso può destarsi solo quando questi abbiano almeno due gradi di libertà. Si parla in questi casi di flutter accoppiato. D'altro canto, le azioni aeroelastiche che si originano per effetto del moto della struttura all'interno di una corrente sono caratterizzate da contributi sia di rigidezza che di smorzamento, i quali vanno a sommarsi agli eventuali contributi strutturali corrispondenti. Conseguentemente, la presenza di contributi di smorzamento fa si che la condizione critica di flutter accoppiato non sia necessariamente caratterizzata dalla coincidenza di due pulsazioni caratteristiche. Inoltre, riferendosi a strutture snelle 'a nastro', quali possono essere considerati i cavi delle linee di distribuzione elettrica o gli stessi ponti di grande luce, è possibile dimostrare che può verificarsi instabilità dinamica attivando in pratica anche un solo grado di libertà della struttura. Si distinguono, in questi casi, l'instabilità dinamica di galloping ed il flutter ad un grado di libertà. La differenza fra le due tipologie di instabilità è fissata sulla base della natura del flusso circostante la struttura. In altri termini, ferma restando una condizione di separazione del flusso per effetto della natura geometrica non profilata delle strutture in esame, se si verifica un riattacco della vena fluida sul profilo si parla di flutter, altrimenti l'instabilità è detta di galloping. Va inoltre tenuto presente che, a seguito del distacco periodico di vortici dalla struttura (fenomeno che può avvenire indipendentemente dal suo stato di moto) su di essa agiscono delle forze pulsanti le quali, se sufficientemente elevate ed in risonanza con una delle frequenze naturali di vibrazione del sistema, possono indurre su di esso sensibili oscillazioni (sincronizzazione o lockin). I ponti di grande luce presentano un carattere prevalentemente monodimensionale. Inoltre a seguito della loro elevata flessibilità e leggerezza, sono particolarmente sensibili agli effetti del vento. Tali effetti sono generalmente non stazionari e hanno origine dall'interazione dinamica tra l'azione del vento e la risposta della struttura indotta dal vento stesso. Da questo processo di interazione vento-struttura si generano delle forze autoeccitate, di natura aeroelastica, che possono indurre il flutter dell'impalcato fino a produrne il crollo. Il flutter è un tipico fenomeno aeroelastico di auto-eccitazione di un sistema strutturale che, a causa del moto estrae energia dal flusso fluido. Se al sistema viene fornito un disturbo iniziale, il moto che ne consegue può essere di decadimento (oscillazioni che nel tempo si smorzano) o di divergenza (oscillazioni che nel tempo aumentano indefinitamente). Ciò accade a seconda che l'energia fornita dal fluido sia, rispettivamente, minore o maggiore dell'energia che il sistema strutturale è in grado di dissipare per smorzamento meccanico. Questo è un classico fenomeno di instabilità aeroelastica dovuto all'accoppiamento tra i gradi di libertà del sistema stesso. Da un punto di vista aerodinamico vanno però distinte due situazioni di flutter: flutter classico (o flutter a gradi di libertà) stall flutter (o flutter a 1 grado di libertà) 3.1 Differenza tra flutter classico e stall flutter Il flutter è un instabilità dinamica originariamente studiata per i profili alari e successivamente estesa alle strutture ed in particolar modo ai ponti di grande luce. Il termine flutter, in realtà, riassume diverse tipologie d instabilità dinamica: flutter classico, stall flutter, flutter ad un grado di libertà. Il flutter classico è un fenomeno a cui corrisponde l accoppiamento di due gradi di libertà della struttura, generalmente quello traslazionale e rotazionale, che innesca delle oscillazioni instabili. Lo stall flutter è un instabilità legata al moto torsionale della sezione, e indotta da una forzante di lift non lineare in prossimità dello stallo. Il flutter ad un grado di libertà, include lo stall flutter, ma in generale è associato a quelle sezioni la cui forma è tale da indurre una pronunciata separazione del flusso in corrispondenza di essa. Sono le sezioni tozze le prime candidate a questo tipo di flutter. È doveroso ricordare che, in generale, il flutter coinvolge fenomeni aerodinamici non lineari. Tuttavia, sotto opportune ipotesi, è possibile linea rizzare le forzanti indotte dall interazione fluido-struttura e dunque studiare la soglia di stabilità della struttura. Le ipotesi che permettoo lo studio del flutter delle strutture sono fondamentalmente due: la struttura è elastica lineare smorzata linearmente, e dunque presenta delle oscillazioni armoniche smorzate esponenzialmente; le oscillazioni sono piccole, e si ritiene che la soglia di stabilità sia raggiunta quando tali osccilazioni raggiungono un valore critico corrispondente alla velocità di flutter. Mentre il flutter classico ha la proprietà di avere un flusso non separato nella parte terminale del corpo (cioè il flusso segue il contorno del corpo stesso), a causa dell'aerodinamicità della sezione dell'impalcato, lo stall flutter è caratterizzato da una separazione del flusso su una parte del corpo o durante una parte del ciclo di oscillazione. Da un 8

punto di vista dinamico lo stall flutter è un'instabilità aerodinamica di pura torsione, indotta dal vento incidente la struttura con un angolo di attacco non nullo. In particolare questo fenomeno viene associato alle vibrazioni periodiche autoeccitate di una struttura dotata di determinate caratteristiche di inerzia e di elasticità sulla quale, durante il suo moto di oscillazione, si presenta, come detto, una condizione di separazione parziale o totale dello strato limite del flusso incidente. La differenza fondamentale quindi tra il flutter classico e lo stall flutter Figura risiede 1- Caratteristiche nel carattere di del flusso che investe la struttura. Nei ponti di grande luce il fenomeno può dar luogo alla perdita di funzionalità e di integrità strutturale, manifestandosi tramite vibrazioni di predominante carattere torsionale. 3. Ponti soggetti a stall flutter Per caratterizzare il comportamento dinamico della struttura soggetta a vento incidente, i carichi aerodinamici agenti su di essa possono valutarsi assumendo, in prima approssimazione, un carattere bidimensionale del flusso. Essendo infatti le dimensioni longitudinali del ponte molto maggiori di quelle trasversali, è possibile caratterizzare le azioni specifiche esercitate dal vento sulla struttura considerando una sezione rappresentativa, supposta indeformabile. Si possono quindi introdurre una forza aerodinamica specifica avente una componente di resistenza F D nella direzione del flusso ed una nella direzione ad essa ortogonale di portanza F L, ed un momento torcente specifico M. Tali forze sono funzioni dei coefficienti aerodinamici adimensionali C D, C L, C M, della dimensione trasversale B della sezione, della densità dell'aria, della velocità U del vento incidente, supposta costante, e dell'angolo medio di incidenza formato dalla direzione del flusso e dalla corda della sezione: 1 D( i, t) = ρ U B CD( i, t) 1 L( i, t) = ρ U B CL( i, t) 1 M ( i, t) = ρ U B CM ( i, t) Poiché le sezioni del ponte hanno una geometria a profilo non aerodinamico (bluff-body), a seguito di effetti locali di distacco e riattacco della vena fluida, tali azioni specifiche presentano in generale una variazione nel tempo attorno ad un valore medio. In particolare, in corrispondenza di determinati angoli di incidenza, a seguito di una massiccia separazione del flusso dalla struttura, si osserva un effetto di perdita di portanza o di forte riduzione del momento torcente. Nel caso di sezioni non profilate, usuali per i ponti di grande luce, l'angolo per il quale si realizza la perdita di portanza è generalmente superiore a quello corrispondente alla riduzione del momento torcente. Quest'ultimo viene indicato come angolo di stallo statico. Inoltre, come detto, quando la travata si muove all'interno del flusso incidente, nascono delle forze aeroelastiche di interazione. Queste possono descriversi con un approccio quasi-stazionario, ed inducono in generale moti autoeccitati di vibrazione della struttura. In particolare, quando l'angolo di incidenza del flusso diviene prossimo a quello di stallo statico, tali oscillazioni divengono particolarmente accentuate, ed assumono un carattere prevalentemente torsionale. In questo caso, in condizioni critiche di flutter si osserva che la frequenza di oscillazione coincide praticamente con quella naturale di torsione della struttura in aria calma e la velocità critica del vento incidente risulta notevolmente inferiore rispetto a quella corrispondente ad angoli medi di incidenza prossimi a zero. 3.3 Modello sezione Uno dei modelli analitici più utilizzati per l'analisi del flutter è il modello a due gradi di libertà, noto in letteratura come Modello-Sezione: 9

Figura 11- Schemi rappresentativi del Modello-sezione In questo modello si fanno le seguenti ipotesi: - il flusso incidente è bidimensionale, incomprimibile e laminare; - la forma del profilo è generica e possiede due gradi di libertà: spostamento verticale flessionale h e rotazione ; - il moto è limitato a piccoli spostamenti attorno ad una posizione di equilibrio statico nei due gradi di libertà verticale e torsionale. Il sistema viene quindi considerato lineare e viene applicata la sovrapposizione degli effetti. - nella determinazione dei carichi aerodinamici i termini contenenti le derivate seconde di traslazione e rotazione sono trascurabili, dato che l effetto di inerzia causato dal distacco della massa dell aria è molto inferiore rispetto a quello dovuto alla massa dell impalcato. 4. Definizione dei carichi aerodinamici 4.1 Carichi aerodinamici per profili alari sottili La trattazione del fenomeno del Flutter nel caso delle strutture civili deriva dalle pratiche aeronautiche, per cui si accenna brevemente l origine del problema facendo riferimento alla non stazionarietà delle forze aerodinamiche agenti su un profilo alare sottile soggetto a moto traslazionale e rotazionale. Un sezione di forma generica è tale da modificare le linee di flusso della corrente fluida incidente, creando dei disturbi distribuiti lungo la sezione stessa, e addirittura inducendo la separazione del flusso in corrispondenza di essa fino ad innescare la formazione di vortici che defluiscono a valle dando vita ad una scia vorticosa. Pertanto, quello che all origine era un flusso irrotazionale, diviene un flusso rotazionale in corrispondenza della sezione, e conseguentemente la velocità delle particelle fluide, in prossimità della sezione, non è più tangente alla sezione stessa in quanto si genera una componente verticale della velocità. Nel caso di un profilo alare stazionario, i disturbi indotti dalla sezione stessa, sono così contenuti che la velocità delle particelle fluide segue il contorno della sezione (sezione streamline), e dunque la portanza che si sviluppa è essenzialmente una media con una deviazione standard molto contenuta dal momento che i disturbi del flusso prossimo alla superficie, sono a loro volta molto contenuti. Se il profilo alare oscilla traslazionalmente e rotazionalmente, le particelle fluide, in corrispondenza della sezione, presentano anche una componente normale alla superficie, sinonimo del fatto che la non stazionarietà del flusso, in questo caso, gioca un ruolo fondamentale inducendo delle forzanti aeroelastiche (dipendenti cioè dal moto della sezione) che allo stato limite ultimo inducono un instabilità dinamica, nota appunto come Flutter. Theodorsen ha dimostrato che, partendo dai principi di base della teoria del flusso a potenziale, le espressioni di L e M sono lineari in h e e nelle loro derivate prime e seconde: essendo C(k) una funzione complessa definita da: e detta Funzione Circolatoria di Theodorsen, k = bω/u la frequenza ridotta, ω la pulsazione circolare, ρ la densità dell'aria e b = B/. 1

4. Carichi aerodinamici per impalcati da ponte Scanlan and Tomko estesero lo studio di Theodorsen alle sezioni da ponte, generalmente aventi spessori non trascurabili. Ciò che ne derivò furono le cosiddette derivate aeroelastiche o derivate di Flutter. La differenza sostanziale con la trattazione originaria di Theodorsen, risiede nel fatto che mentre la funzione di Theodorsen è una funzione nota a priori, le derivate aeroelastiche devono essere necessariamente stimate tramite sperimentazione in galleria del vento, perché rappresentano l estensione di una teoria esatta fondata su determinate ipotesi che cadono nel caso di sezioni come quelle dei ponti. È ben evidente che gli impalcati da ponte hanno sezioni con spessori tutt altro che trascurabili, responsabili dei disturbi del flusso che non solo non possono essere intesi come uniformemente distribuiti, ma variano anche tra intradosso e extradosso della sezione stessa. Per questo le derivate aeroelastiche andrebbero usate e, ancor prima, ricavate con molta cautela. Si ricorda, infatti, che le forzanti espresse in funzione delle derivate aeroelastiche sono lineari e poiché soltanto per valori di k tali forzanti lineari assumono il loro valore quasi-stazionario quindi nel caso in cui durante la sperimentazione, si lavori con valori k >> bisognerebbe porre notevole attenzione alle condizioni iniziali impresse al sistema: ampiezze iniziali di oscillazione relativamente grandi, per valori di k >>, inducono una non stazionarietà che si traduce in forzanti tutt altro che lineari. Pertanto, le derivate aeroelastiche rischierebbero di non essere univoche, ma dipendenti dall ampiezza di oscillazione iniziale, visto che per definizione l interazione aeroelastica tra fluido e struttura si instaura per effetto della non stazionarietà indotta dal moto della struttura. Nella sua classica formulazione, Scanlan e Tomko hanno dimostrato che, nell'ambito delle piccole oscillazioni, le forze di auto-eccitazione assumono una espressione simile alle equazioni viste prima per profilati, in funzione delle coordinate h ed e delle rispettive velocità (derivate prime), secondo le seguenti relazioni: in cui i termini legati alla derivata seconda di h e sono stati trascurati, avendo una importanza trascurabile nei problemi strutturali di ingegneria del vento. I coefficienti H* j (K) e A* j (K) sono detti derivate aeroelastiche e risultano funzioni della grandezza adimensionale frequenza ridotta K definita da: Le derivate aeroelastiche sono ottenibili attraverso prove sperimentali in galleria del vento. Le procedure adottate per valutarle sono diverse. Due di queste sono le seguenti: si impone uno spostamento verticale o torsionale al modello dell'impalcato in galleria del vento: le derivate sono basate sul comportamento nel transitorio a partire da quando il modello viene lasciato libero; si impongono al modello delle oscillazioni forzate in modo da seguire un moto predefinito e si misurano le forze aerodinamiche su di esso, utilizzando misuratori di pressione disposti sul modello. Se consideriamo l impalcato come una lastra piana, le derivate aeroelastiche sono esprimibili in funzione della parte reale F(k) e della parte immaginaria G(k) della Funzione Circolatoria di Theodorsen: 11

In queste equazioni le funzioni F(k) e G(k) sono espresse come: Figura 1- Grafici della parte reale e immaginaria delle funzioni di Theodorsen in fnzione di k Con J e Y che sono funzioni di Bessel del primo e del secondo tipo, di ordine j. L'andamento di F(k) e di G(k) è riportato in Figura. 5. Derivate di flutter di un impalcato La formulazione classica della analisi di flutter si basa sull ipotesi che l interazione tra fluido e struttura possa essere evidenziata mediante una analisi bidimensionale della sezione perpendicolare all asse longitudinale del ponte, trascurando pertanto tutti gli effetti tridimensionali. Un altra ipotesi semplificativa prevede di trascurare il moto della sezione nella direzione della velocità U del vento indisturbato e tutti gli effetti delle forze dovute alla resistenza viscosa. In questo caso, i possibili movimenti della sezione del ponte si riducono alla traslazione verticale, definita dallo spostamento y rispetto alla posizione di equilibrio, e alla rotazione ϕ. Le equazioni del moto della sezione del ponte saranno espresse quindi nella forma: I termini Ly e Mϕ rappresentano rispettivamente la componente lungo la direzione perpendicolare alla velocità del vento della forza aerodinamica, e il momento aerodinamico agenti sulla sezione. Questi termini, in un analisi di flutter, comprendono le forze aerodinamiche che nascono a seguito dello spostamento della sezione e quelle dovute al distacco dei vortici. In un analisi completa dell interazione tra fluido e struttura, per tenere conto anche del fenomeno del buffeting, si dovrebbero considerare anche le forze aerodinamiche che si generano a causa della presenza di un profilo del vento indisturbato caratterizzato da una componente fluttuante. Normalmente le forze aerodinamiche a secondo membro dell equazione matriciale, sono ricavate in funzione della pulsazione ridotta K = ΩB/U, dove ω = πf è la pulsazione angolare di oscillazione del ponte, B è la lunghezza della sezione nella direzione del vento e U è la velocità del vento indisturbato. Pertanto le equazioni permettono, note le forze L e M, di ricavare le velocità critiche del vento che portano al flutter, cioè come già visto ad una instabilità accoppiata flesso-torsionale. La formulazione analitica delle forze aerodinamiche dovuta a Scanlan e Tomko e successivamente rivista da Larsen, prevede che esse siano funzioni degli spostamenti y e ϕ, e delle rispettive derivate temporali: 1

In queste equazioni le funzioni H e A rappresentano le derivate aerodinamiche, dette derivate di flutter, mentre con ρ viene indicata la densità dell aria che investe l impalcato. Sia il procedimento di Scanlan che quello di Larsen prevedono di imporre un moto di tipo armonico con pulsazione ω alla sezione dell impalcato da ponte, ma come si vedrà in seguito Scanlan usa la notazione reale mentre Larsen quella complessa. 5.1 Metodo di Scanlan Trascurando il quarto termine delle forzanti aerodinamiche e considerando la notazione tipicamente usata per i profili alari dove b=b/ e quindi k=k/ le forzanti aerodinamiche risultano espresse nella forma: Sostituendo, poi, il valore di k =ωb/u si ottiene: Riscriviamo l equazioni del moto raccogliendo i termini inerziali e dividendoli per il secondo membro: Scanlan suggerisce, nel caso s debba lavorare con dati sperimentali, di adottare i seguenti coefficienti dimensionali, in modo da semplificare i calcoli: Quindi le equazioni del moto diventano: Si suppone che la soluzione del sistema sia di tipo sinusoidale e sfasata di θ fra il grado di libertà traslazionale y e quello rotazionale ϕ. 13

Sostituisco le soluzioni nel sistema e ottengo due equazioni contenenti termini in seno e coseno e, poiché siano valide le equazioni nel moto si impone che i coefficienti di sinωt e cosωt siano nulli. Così alla fine si ottengono quattro equazioni e applicandole è possibile calcolare il valore delle derivate di flutter. Per prima cosa si imposta una prova sperimentale in cui si impedisce alla sezione di traslare verticalmente lasciandola libera di ruotare. Durante la prova sperimentale si avrà quindi y = e θ = e verranno ricavati i valori λ1 e ω1 dalla legge di moto misurata sperimentalmente della sezione a un grado di libertà. Dalle equazioni riesco a ricavare il valore di A e A3. Allo stesso modo si esegue una prova sperimentale in cui la sezione è impedita di ruotare: ϕ = e da cui si misurano i valori di λ e ω. Per cui dalle equazioni si può ricavare il valore di H1. In un ulteriore prova sperimentale si lascia la sezione libera di oscillare sia angolarmente che verticalmente in modo da misurare i valori delle grandezze: λ, ω, θ,, e h. Si ricavano quindi il valore di A1, di H e di H3. Vanno considerati i valori limite delle espressioni quando i termini y, θ o λ tendono ad annullarsi. 5. Metodo di Larsen Analogamente a quanto fatto nel procedimento appena esposto si impongono delle oscillazioni forzate con pulsazione angolare ω alla sezione a due gradi di libertà del ponte: Supponendo lineare il processo aerodinamico, anche le forze aerodinamiche saranno rappresentabili da funzioni sinusoidali di uguale pulsazione ω, ma sfasate rispetto al moto della sezione. Analogo comportamento avranno i coefficienti di lift e di momento: Dalle precedenti equazioni e dopo alcuni passaggi si ottiene l espressione delle otto derivate aerodinamiche. Nelle espressioni ricavate sono indicati, ad esempio, con CLt il valore dell ampiezza della funzione sinusoidale rappresentativa dell andamento del coefficiente di lift e con ϕlt il suo sfasamento rispetto al moto traslatorio imposto. Per determinare tutte le derivate aerodinamiche è dunque necessario eseguire due simulazioni (una in cui la sezione ruota e l altra in cui trasla sempre secondo legge sinusoidale) per ogni valore della frequenza ridotta K =ωb/u preso in esame, e rilevare gli andamenti temporali dei coefficienti aerodinamici in ognuna di esse. 6. Calcolo Flutter classico a due gradi di libertà per la travatura 6.1 Problema agli autovalori Le equazioni del moto di un sistema a due gradi di libertà avente il baricentro delle masse non coincidente con il baricentro delle rigidezze sono scritte nella forma: Applicando la definizione di raggio d inerzia ρ I I I = m = S = ab, dove a è la distanza tra baricentro e m ρ ρ centro torsionale e b è la metà della lunghezza dell impalcato, si ha: Passando alla notazione matriciale: 14

In forma matriciale contratta: Dalle equazioni viste prima ricaviamo le forzanti aerodinamiche in forma matriciale e, poi, in froma contratta: Sostituendo quest ultima nelle equazioni del moto ottengo: Portando tutti i termini al primo membro le equazioni del moto risultano espresse nel seguente modo: Quindi possiamo notare che lo studio dell instabilità per flutter può essere visto come l ostudio di un sistema a due o più gradi di libertà che si muove di moto libero smorzato. Ora assumiamo come soluzioni del problema delle armoniche: Sostituiamo queste soluzioni nel sistema: Se escludiamo la soluzione banale otteniamo che: Arriviamo, quindi, a risolvere un problema agli auto valori del tipo: Risulta evidente dalla definizione di autovalore di una matrice che i coefficienti λ incogniti necessari per determinare la soluzione delle equazioni del moto siano gli autovalori della matrice A. In realtà trovati gli autovalori la legge di moto 15

dei gradi di libertà della sezione rimane determinata a meno di una costante, il cui valore tuttavia non è di prioritario interesse in quanto l importante per studiare i fenomeni di instabilità dinamica è capire se l andamento della legge di moto all aumentare del tempo diverge o tende a stabilizzarsi. Dall equazione si ricavano quindi gli autovalori della matrice A, e nel caso di una sezione a due gradi di libertà come quella presa in esame si avranno quattro autovalori complessi coniugati, partendo dal presupposto che come di frequente il sistema sia sottosmorzato. E importante specificare questo perchè come si vedrà il procedimento di seguito riportato risulta valido solamente se il moto dei due gradi di libertà della sezione è di tipo armonico. Infatti per ricavare la velocità di flutter bisogna come primo passo ipotizzare un valore della pulsazione ω e della velocità U per poi ricavare il numero di Strouhal con la già citata formula K. Noto K si procede ricavando dai grafici tabulati il valore delle derivate di flutter misurate sperimentalmente Hi = Hi (K), Ai = Ai (K) in funzione del numero di Strouhal e della forma della sezione. Vediamone di seguito alcuni esempio in funzione di K e della forma della travatura: Figura 13- Grafici delle derivate di flutter per alcune tipiche sezioni di ponte Note le derivate di flutter si può definire la marice A e determinare gli auto valori che saranno espressi nella forma: Ora bisogna verificare che la pulsazione imposta in partenza si effettivamente uguale a una delle parti immaginarie degli auto valori. Quindi con una certa tolleranza troverò gli autovalori iterando in un range di K e tenendo fissa la velocità. Risulta pratico graficare in funzione dei vari valori di velocità Uj presi in esame le parti immaginarie (λyi)j, (λϕi)j e reali (λyr)j, (λϕr)j dei rispettivi auto valori. Ricordando che la soluzione alle equazioni del moto è del tipo armonico la velocità di flutter UF sarà quella velocità Uj per cui la parte reale di uno dei due autovalori (λyr)j o (λϕr)j diventa positiva: ciò significa che la legge di moto dei due gradi di libertà sarà di tipo armonico amplificato e non smorzato da un esponenziale. 6. Procedimento di Scanlan Le equazioni del moto, per un impalcato a geometria simmetrica,cioè supponendo che il baricentro della struttura coincida con quello delle rigidezze, si semplificano così: 16

Il modello sezione, è costituito quindi da una sezione dell'impalcato di larghezza B in opportuna scala, vincolato in maniera tale che (tenuto conto del fattore di scala) le frequenze proprie di oscillazione verticale e torsionale rappresentino le frequenze proprie del primo modo verticale e del primo modo torsionale del ponte nel suo complesso. Questo è dovuto al fatto che si è riscontrato che nei ponti di grande luce i fenomeni aeroelastici coinvolgono soltanto pochi modo propri, per cui, in prima approssimazione, è lecito considerarne solamente due. E' importante precisare che l'analisi modale deve essere condotta a partire da una significativa condizione di equilibrio, ovvero tenendo conto sia dei carichi verticali che della parte "statica" delle azioni orizzontali del vento. A rigore, la validità del modello sezione a due gradi di libertà è subordinata alla circostanza che la prima forma modale verticale e la prima torsionale siano tra loro simili, come peraltro avviene sempre nei ponti sospesi di grande luce. Se al sistema viene fornito un disturbo iniziale, il moto che ne deriva può essere di decadimento o di divergenza (cioè le oscillazioni possono essere smorzate o crescere indefinitamente), a seconda che l'energia estratta dal fluido sia minore o maggiore dell'energia dissipata dal sistema tramite lo smorzamento meccanico. La condizione critica di flutter è quella per la quale il sistema è in una condizione di incipiente instabilità, quella cioè nella quale l'energia dissipata è pari all'energia estratta. Poiché nel modello sezione si considera costante la velocità del vento, l'approssimazione insita nello studiare il fenomeno tenendo conto della sola velocità media U, corrisponde a considerare le fluttuazioni dovute alla turbolenza come disturbi in grado di innescare una oscillazione autoeccitata qualora la velocità media sia superiore ad un valore critico opportunamente definito. Cosideriamo i carichi aerodinamici così come esplicitati da Scanlan e Tomko e andiamoli a sostituire: Introducendo la variabile adimensionalizzata s U t B = l equazioni del moto diventano: Essendo il numero di Strouhal K U ω : = ϕ ϕ B K B = ω, la pulsazione sarà U K U = B ω e sostituiamo ω = y K y U B e Scrivendo il tutto in forma matriciale: Supponiamo che le soluzioni del sistema siano di tipo esponenziali: 17

Si suppone quindi che i gradi di libertà verticale e rotazionale siano moti armonici aventi la stessa pulsazione, ma sfasati di un angolo φ. Andando a sostituire tali soluzioni nelle equazioni del moto ritroviamo un problema agli auto valori. L espressione di annullamento del determinante è un polinomio di quarto grado con incognita La soluzione dell equazione sarà del tipo ottenendo: ω ω 1 + iω X =. = che possiamo sostituire nella soluzione traslazionale ω ω y Per cui se ω assume valore negativo la soluzione è un armonica amplificata da una funzione esponenziale e si ha quindi instabilità per flutter. La condizione limite di flutter sarà quindi per ω = e quindi quando ω = ω 1 detta * frequenza di flutter ω. Quindi la condizione di flutter si ha quando la pulsazione ha solo la parte reale (che poi inserita nella soluzione ipotizzata delle equazioni del moto diventerà la parte immaginaria) perciò per individuare questa condizione si divide l espressione del determinante nella parte reale e in quella immaginaria ponendole uguali a zero e cercando le radici reali di un polinomio di quarto e terzo grado. Queste equazioni danno radici reali e coincidenti solo nella condizione limite di flutter in cui ω = ; se le radici delle due equazioni non sono coincidenti il problema non ha quindi significato fisico. Sempre perchè i valori abbiano un significato fisico, della equazione della parte reale bisogna considerare solo le radici positive, altrimenti si avrebbe inserendo il valore di ω nella soluzione delle equazioni del moto una frequenza di oscillazione negativa. Il procedimento per ricavare la velocità di flutter parte fissando un valore di K e determinando quindi il valore delle derivate di flutter H i = H i (K), A i = A i (K). Dopodichè si estraggono le radici radici reali delle equazioni della parte reale e immaginaria del polinomio ottenuto dell annullamento del determinante e le si rappresenta su di un grafico avente in ascissa i valori di K. Si ripete il procedimento iterativamente per un certo range di valori di K finchè i grafici delle radici dell equazione R = e quello dell equazione I = non si intersecano, in quel punto significa che si è arrivati alla condizione di flutter e quindi si sono individuati K * e X*. La velocità di flutter si determina infine calcolando: Il procedimento suggerito da Scanlan risulta più veloce di quello visto nel paragrafo precedente con la risoluzione del problema agli autovalori perché si studia il fenomeno solo in corrispondenza della situazione di flutter, in cui si sa che la parte immaginaria della pulsazione ω è uguale a zero. Questo porta a una notevole semplificazione perchè non occorre più verificare che la pulsazione ipotizzata nel decidere il valore di K sia uguale a quella effettivamente ottenuta come pulsazione del moto della struttura. 7. Flutter ad un grado di libertà Se l'impalcato del ponte ha una sezione particolarmente tozza, può accadere che i termini misti, ossia i contributi ad L dipendenti da e dalla sua derivata prima, e quelli a M dipendenti dalla derivata prima di h, risultino trascurabili rispetto agli altri termini. Le equazioni del moto assumono allora la forma disaccoppiata: 18

In tal caso l'instabilità aeroelastica può essere legata alle vibrazioni autoeccitate di un preciso modo, di solito quello torsionale. Nel caso in cui si considera il moto torsionale disaccoppiato da quello flessionale possiamo considerare solo l equazione rotazionale: ovvero anche: dove si è indicato con: rispettivamente lo smorzamento aerodinamico e la rigidezza aerodinamica. I coefficienti C* e K* sono positivi se lo sono anche rispettivamente A* e A* 3. Al crescere di U possono verificarsi due situazioni: il coefficiente di smorzamento globale (C C*) può annullarsi o addirittura assumere valori negativi; in questo caso, noto come flutter ad un grado di libertà, per (C C*) < un disturbo impresso al profilo viene progressivamente amplificato a causa di un trasferimento di energia dal fluido alla struttura (dissipazione negativa), mentre in condizioni critiche, per (C C*)=, l'oscillazione risulta armonica, il coefficiente di rigidezza globale (K K*) può annullarsi o addirittura assumere valori negativi; in questo caso, noto come divergenza torsionale, per (K K*) < il momento aerodinamico instabilizzante prevale sul momento di richiamo elastico. In questa situazione si verifica una instabilità statica non equilibrata dalla rigidezza torsionale: la struttura diverge, ruotando fino alla distruzione. Tale fenomeno è tuttavia poco probabile per le strutture da ponte. Quindi la condizione di flutter e la relativa velocità si trovano imponendo che: C 1 * B ρ U K A ( K) B U < Definiamo il fattore di smorzamento come nella precedente equazione ottenendo: ζ C = = C = ζ K I ω I I I C ω e sostituiamo ζ I 1 ω ρ U * B K A ( K) B U < Nel caso di strutture civili, come i ponti di grande luce, si può ipotizzare di conoscere il legame sperimentale * * A = A ( ), poiché si trova sperimentalmente che la parte immaginaria dell autovalore ricavabile dall equazione del K moto suddetta coincida approssimativamente con la pulsazione ω. Di conseguenza ipotizziamo che: ( * A ) F ζ I = ρ 4 B 19

Quindi da questa equazione riesco a ricavare il valore di * * A = A ( K) U F ω B K = F, e poi anche la velocità di flutter: K senza iterazioni, conoscendo il legame sperimentale F Figura 15- Schema spostamenti travata e torre 8. Dinamica torsionale e stall flutter dei ponti strallati: analisi travatura e torri Lo schema del ponte che si esamina è quello riportato nella figura seguente. La travata è sospesa alla sommità delle torri ad H attraverso un sistema di strallatura a ventaglio con passo Δ costante ed è libera da vincoli orizzontali. Gli stralli di ormeggio sono ancorati alla travata la quale è semplicemente appoggiata alle estremità ed in corrispondenza delle torri. Sotto l azione dei carichi fissi g, in accordo con gli usuali metodi di costruzione adottati, la travata ha una configurazione rettilinea ed è libera da sollecitazioni flessionali, cosicché lo stato di tensione è rappresentato da soli sforzi assiali sia negli stralli che nella travata e nelle torri, manifestando quindi un prevalente funzionamento reticolare dello schema. Assumendo costante la sezione trasversale dell impalcato, lo schema in esame è simmetrico sia rispetto ad un piano verticale assiale sia rispetto ad un piano verticale trasverso. Figura 14- Modello di ponte strallato Poiché nei moderni schemi di ponti strallati di grande luce il passo Δ degli stralli risulta molto piccolo rispetto alla luce centrale Lc, si può ipotizzare una distribuzione continua della strallatura lungo la travata ed utilizzare un modello continuo del ponte per caratterizzare il comportamento dinamico non lineare della struttura. Pertanto se si trascurano la deformabilità estensionale e tagliante delle torri e della travata, gli aspetti costitutivi del ponte possono caratterizzarsi tramite la teoria della flessione alla Eulero-Bernoulli e tramite la teoria della torsione alla De Saint Venant. Com è noto, il comportamento globale del ponte è fondamentalmente non lineare a seguito della intrinseca non linearità degli stralli, analizzata attraverso la teoria classica di Dischinger. Pertanto la rigidezza estensionale di uno strallo si pone pari a k s * E As = l s elasticità fittizio dato da: E E * t * s γ s l = E [1 + 1 γ s l = E [1 + 1, essendo s la lunghezza dello strallo, As l area della sua sezione trasversale valutata ed E* un modulo di E ] 3 σ 3 σ 1 E 1+ β ] β 1 in accordo rispettivamente con la teoria tangente o secante. Nell equazione E è il modulo di Young, γs è il peso specifico dello strallo, l è la lunghezza della sua proiezione orizzontale e β è il rapporto fra il valore finale e quello iniziale σo della tensione nello strallo. Con l intento di analizzare il problema dello stall flutter, caratterizzato da oscillazioni della struttura prevalentemente torsionali, si considera un modello ad un grado di libertà per descrivere il moto della sezione trasversale dell impalcato nel suo piano di rappresentazione. Conseguentemente, la deformazione del ponte è caratterizzata dalla rotazione torsionale della travata θ(z,t) e dalle rotazioni intorno agli assi verticali della testa delle torri sinistra e destra ΨS(t), ΨD(t). Sotto queste ipotesi, le equazioni integro-differenziali di equilibrio dinamico del ponte, soggetto all azione torcente aerodinamica M, possono essere scritte in forma adimensionale utilizzando la teoria tangente di Dischinger:

θ θ Hσ τ φθ + ζφψ = Γ M ζ t Egb ( ϑ + χ) ψ + ζφ( ζ ) θ ( ζ ) dζ = s g essendo Ψ = ΨS = - ΨD nel caso di oscillazioni simmetriche dell impalcato e Ψ = ΨS = ΨD nel caso di Figura 16- Definizione angolo di incidenza media oscillazioni antisimmetriche. Le equazioni precedenti rappresentano rispettivamente l equilibrio dinamico torsionale della travata e l equilibrio dinamico alla rotazione della torre di sinistra. In esse l integrale è definito sulla parte sinistra del ponte ed inoltre sono state introdotte le seguenti quantità adimensionali: Z ζ = cos ϑ = h dζ + χ s 1+ aζ 1 φ( ζ ) = [(1 + aζ )(1 + ζ )] γ s H E Ctσ a = g 3 τ = 1σ g Eb Hg * E σ A g I Hσ g χ = sin cos Γ = E Hg b Eg T k σ g χ = Eg Dove I e C t sono rispettivamente il momento di massa di inerzia polare ed il fattore di rigidezza torsionale della T sezione trasversale, σ g è la tensione prodotta negli stralli dai carichi fissi, k è la rigidezza flessionale alla testa delle torri, è la pendenza degli stralli di ormeggi, il cui modulo fittizio e la cui sezione trasversale sono rispettivamente * E e A. L azione aerodinamica specifica di momento torcente che interviene nell equazione del moto relativa all impalcato si pone pari alla somma di un contributo medio del momento, funzione dell angolo di incidenza, e di un contributo aeroelastico. Nel caso di oscillazioni sinusoidali, attorno all angolo medio di torsione dell impalcato θ ( ζ ), supposto comunque piccolo, si pone: 1 * B θ ( ζ, t) * M ζ, t) = M i ( i ( ζ )) + ρu (B )[ KA ( K, i ) + K A3 ( K, i )( θ ( ζ, t) θ ( ζ ))] U t ( * * Dove K è la frequenza ridotta già definita precedentemente ed A 3 e A sono due delle derivate di flutter di Scanlan già definite. Esse dipendono dalla geometria della sezione dell impalcato e sono funzioni di K oltre che dell angolo di incidenza medio del flusso i. È il caso di osservare che tale angolo è pari alla somma dell angolo, tra la direzione del flusso incidente e l asse x, e dell angolo medio di torsione della travata θ ( = θ ζ ). Il parametro τ ha il significato di rapporto tra la rigidezza torsionale della travata e quella relativa alle cortine degli stralli. Nel caso dei moderni ponti strallati di grande luce esso risulta molto piccolo (τ <.1) e quindi le equazioni del moto possono essere integrate in modo approssimato sovrapponendo alla soluzione ottenuta considerando un comportamento prettamente reticolare (τ = ), termini perturbativi dipendenti da τ. In accordo con queste considerazioni, l analisi dinamica torsionale dello schema di ponte preso in esame può compiersi, in modo abbastanza accurato, con le sequenti equazioni ottenute considerando τ tendente a : φθ + ζφψ = Γ θ M ( ϑ + χ) ψ + ζφ( ζ ) θ( ζ ) dζ = S i Hσ Egb g * Q[ BA * θ + KU A3 ( θ θ )] 1