PARTICELLA LIBERA IN UNA DIMENSIONE. L equazione di Schrödinger per una particella libera in una dimensione è. t (x) = 2m t.

Transcript

1 4/ PARTICELLA LIBERA 09/0 PARTICELLA LIBERA IN UNA DIMENSIONE L equazione i Schröinger per una particella libera in una imensione è ) i ħ t ψ ˆp t x) = m ψ t x). Poiché Ĥ ) i πħ) exp / ħ px = p m ) i πħ) exp / ħ px, la soluzione generale ella ) si può scrivere ) ψ t x) = p ψ πħ) / 0 p) exp i ħ )) px p m t. La funzione ona iniziale ψ 0 x) etermina la funzione ona a ogni tempo t secono lo schema ψ 0 x) ψ 0 p) ψ t x), 3) = x πħ) / exp i ) ħ px ψ 0 x ) ove l espressione i ψ 0 p) segue alla relazione i ortonormalità x πħ) exp i ) / ħ p x ) i πħ) exp / ħ px = δp p ). Per avere un espressione esplicita i ψ t x) occorre scegliere la funzione ona iniziale ψ 0 x) e calcolare gli integrali 3) e ). Rinviano per il momento questo lavoro, stabiliamo prima alcune proprietà notevoli elle istribuzioni i valori quantistiche che seguono all equazione i evoluzione libera ).

2 4/ PARTICELLA LIBERA 09/0 Evoluzione elle istribuzioni i valori quantistiche L evoluzione temporale el valore meio el momento pt) = ψ t ˆp ψ t è ata all equazione = i ˆp ħ m ψ t { }} ) { ) t pt) = ψ t ˆp t ψ t + t ψ t ˆp ψ t = i }{{} ħ = i ħ ψ t ˆp m m ψ t [ˆp, ˆp ] ψ t = 0 e quini pt) = p0) p. Il valore meio ella posizione xt) = ψ t ˆx ψ t evolve secono l equazione t xt) = i ħ = iħ ˆp {}}{ m ψ t [ˆx, ˆp ] ψ t = m p. Per lo scarto quaratico meio el momento si ottiene t p t) = i ħ t) p = ψ t ˆp p) ψ t, m ψ t [ ˆp p), ˆp ] ψ t = 0 e quini p t) = p 0) p. Consieriamo ancora la quantità xpt) = ψ t {ˆx xt))ˆp p)} sym ψ t ove {Â ˆB} sym = {Â ˆB + ˆBÂ}), la cui evoluzione è retta all equazione = iħ ˆpˆp p) t xp = i {}}{ ħ m ψ t [ {ˆx xt))ˆp p)}sym, ˆp ] ψ t + ψ t t sym) {ˆx xt))ˆp p)} ψ t }{{} = m ψ t ˆpˆp p) ψ t = m ψ t ˆp p) ψ t = m = 0. p

3 4/ PARTICELLA LIBERA 09/0 3 Infine, l evoluzione ello scarto quaratico meio ella posizione t) x = ψ t ˆx xt)) ψ t risulta t x t) = i ħ = 4iħ {ˆx xt))ˆp} sym [ ˆx xt)), ˆp ] ψ t + ψ t t ˆx xt))) ψ t }{{} = 0 {}}{ m ψ t = m ψ t {ˆx xt))ˆp} sym ψ t = m ψ t {ˆx xt))ˆp p)} sym ψ t = m xpt). Riassumeno, le equazioni i evoluzione e le corrisponenti soluzioni che subito si ottengono sono 4) pt) = 0, t t xt) = m p, t p t) = 0, t xpt) = m p, t) t x = m xpt), pt) = p, xt) = x0) + m p t, t) p =, p xpt) = xp0) + m p t, t) x = 0) x + m xp0) t + m p t. La costanza el valore meio e ello scarto quaratico meio el momento è conseguenza ella conservazione el momento. La quantità xp misura la correlazione esistente tra i valori elle quantità x e p. Ciò risulterà chiaro all analogia con la corrisponente quantità per il caso i una istribuzione statistica classica.

4 4/ PARTICELLA LIBERA 09/0 4 Evoluzione ella istribuzione statistica classica Per il sistema classico particella libera in una imensione, consieriamo un ensemble efinito alla istribuzione statistica iniziale nello spazio elle fasi ϱx, p, 0). Definiamo, in termini ella istribuzione statistica ϱx, p, t) al tempo t, le quantità pt) = x p p ϱx, p, t), xt) = x p x ϱx, p, t), t) p = x p p pt)) ϱx, p, t), xpt) = x p x xt))p pt)) ϱx, p, t), t) x = x p x xt)) ϱx, p, t). Poiché la relazione tra ϱx, p, t) e ϱx, p, 0) è ϱx, p, t) = ϱx p m t, p, 0) e quini, per qualsiasi variabile inamica fx, p, t), x p fx, p, t) ϱx, p, t) = x p fx + p m t, p, t) ϱx, p, 0), le quantità efinite sopra si calcolano facilmente: pt) = x p p ϱx, p, 0) = p0) p, xt) = x p x + p m t) ϱx, p, 0) = x0) + m p t, t) p = x p p p) ϱx, p, 0) = 0) p, p xpt) = x p x + p m t x0) m ) p t p p) ϱx, p, 0) = xp0) + m p t, t) x = x p x + p m t x0) m p t) ϱx, p, 0) = x p x x0)) ϱx, p, 0) + m t x p x x0))p p) ϱx, p, 0) + t m x p p p) ϱx, p, 0) = 0) x + m xp0) t + m p t.

5 4/ PARTICELLA LIBERA 09/0 5 Conclusione L evoluzione temporale elle quantità caratteristiche ella istribuzione statistica classica è ata alle stesse equazioni e espressioni 4) elle corrisponenti quantità quantistiche caratteristiche ello stato ψ. Avremmo potuto, anche nel caso ella istribuzione statistica classica, scrivere le equazioni i evoluzione elle iverse quantità e integrarle; sarebbe stato un po più complicato. Nel caso classico l evoluzione ella istribuzione i x è ovuta alla struttura in p ella istribuzione congiunta ϱx, p, t) i x e p. Si vee facilmente che la quantità xp è positiva quano nell ensemble prevalgono gli elementi per i quali i segni i x x e p p sono concori, è negativa se, all opposto, prevalgono gli elementi per i quali i segni i x x e p p sono iscori. Essa escrive quini le correlazioni tra x e p esistenti nell ensemble. xp La quantità r = è sempre compresa tra e e si ice coefficiente i correlazione tra x e p. x p Nel caso quantistico non esiste una istribuzione congiunta i x e p. Tuttavia la granezza {ˆx x)ˆp p)} sym, che corrispone in moo naturale alla granezza classica x x)p p), può essere legittimamente consierata e il suo valore meio xp nello stato ψ è una quantità ben efinita. La coincienza ell evoluzione temporale elle quantità quantistiche caratteristiche ello stato ψ con quella elle corrisponenti quantità caratteristiche ella istribuzione statistica classica suggerisce, nel caso quantistico, i interpretare l evoluzione ella istribuzione i x come ovuta alla struttura in p ella funzione ona ψx) = x ψ.

6 4/ PARTICELLA LIBERA 09/0 6 Differenze Nel caso ella statistica classica la istribuzione si riferisce, per costruzione, a un ensemble e corrispone ai valori naturalmente assunti al tempo t alle variabili x e p ei vari elementi ell ensemble. Nel caso ella meccanica quantistica il vettore i stato ψ può riferirsi a un singolo sistema e le istribuzioni rappresentano le istribuzioni ei valori elle granezze x e p, valori che iventano efiniti solo in caso i loro misurazioni separate) al tempo t. Se, in meccanica quantistica, si costruisce un ensemble i sistemi tutti escritti a ψ, questi sono tutti fisicamente equivalenti fino al tempo i un eventuale misurazione; nel caso ella statistica classica i iversi membri ell ensemble sono fisicamente iversi fin all inizio. Nel caso ella statistica classica non si possono avere fenomeni i interferenza ϱx, p, t) è comunque reale 0). Nel caso ella meccanica quantistica tutte le quantità che escrivono le istribuzioni sono quaratiche in ψ e, se l evoluzione porta ue parti ella funzione ona a sovrapporsi, le ue parti si sommano e i termini incrociati tra i esse anno luogo a interferenza. Nel caso ella statistica classica gli scarti quaratici mei x e p sono el tutto arbitrari. Nel caso ella meccanica quantistica essi sono limitati alla relazione i incertezza: isuguaglianza i Schwarz x p = ψ ˆx x)ˆx x) ψ ψ ˆp p)ˆp p) ψ ψ ˆx x)ˆp p) ψ Im ψ ˆx x)ˆp p) ψ ) [ ] ) = ψ ˆx x)ˆp p) ψ ψ ˆp p)ˆx x) ψ i ) ) ħ. = i ψ ˆxˆp ˆpˆx) ψ = Questa erivazione vale anche al i fuori el caso ella particella libera.

7 4/ PARTICELLA LIBERA 09/0 7 Contrazione e espansione ella istribuzione ella posizione Per tempi t positivi se xp0) 0 se xp0) < 0 t) x aumenta sempre al crescere i t; t) x inizialmente iminuisce, poi la iminuzione si arresta e t) x aumenta inefinitamente; il tempo i inversione t 0 è tale che xp0) + m p t 0 = xpt 0 ) = 0. È facile comprenere il motivo i questo comportamento in termini i correlazioni tra x e p. In meccanica quantistica il fenomeno per cui l estensione spaziale el pacchetto one i una particella libera inesorabilmente finisce per allargarsi si ice sparpagliamento el pacchetto one.

8 4/ PARTICELLA LIBERA 09/0 8 Pacchetto gaussiano Una funzione ona el tipo 5) ψx) = A expax + bx), ove A, a e b Re a < 0) sono numeri complessi si ice pacchetto gaussiano. Si può assumere un pacchetto gaussiano come funzione ona iniziale e risolvere il problema ella sua evoluzione temporale usano il metoo generale illustrato all inizio gli integrali si possono calcolare). Seguiremo invece un metoo i risoluzione iretta che è più semplice e anche più istruttivo. Risoluzione ell equazione Si trova facilmente che, se si ammette che A, a e b nella 5) siano funzioni el tempo assumeno 6) ψ t x) = At) exp at)x + bt)x ), l equazione i Schröinger libera, che nella rappresentazione ella posizione si scrive 7) i ħ t ψ ħ t x) = m fa evolvere ψ t x) in una funzione ona ello stesso tipo. x ψ t x), Infatti, sostitueno la 6) nella 7), si ottiene subito la conizione ) A i ħ A + ȧx + ḃx = ħ m 4a x + 8abx + 4b + a) che, oveno essere soisfatta per ogni x, à luogo al sistema i equazioni ȧ = i γ a, ḃ = i γ ab, A A = i γ b + a), ove γ = m ħ, la cui soluzione è 8) at) = a 0 ia 0 γt, bt) = b 0 a 0 at), At) = A 0 at) a 0 ) b0 exp a bt) b 0 ) 0 provare per creere).

9 4/ PARTICELLA LIBERA 09/0 9 Normalizzazione La norma quarata ella funzione ona ψ t x), faceno uso el primo integrale ella tabella alla fine el fascicolo, risulta ata a ψ t = A x expax + bx) = A x exp Re a x + Re b x) ) = A π Re a exp o anche, poiché la norma è conservata, Re b Re a alla meesima espressione in termini ei valori iniziali Re a 0, Re b 0, A 0. ), La conizione i normalizzazione ψ t = può essere scritta 9) A = Re a π o nello stesso moo in termini i Re a 0, Re b 0, A 0. exp ) Re b Re a La conservazione ella norma può essere verificata alla soluzione 8). Distribuzioni i x e p Usano la funzione ona ψ t x) normalizzata secono la 9), con l aiuto ella tabella i integrali, si trova facilmente 0) x = x = x ψ x)x ψx) = Re b Re a, 4 Re a, x ψ x)x x) ψx) = p = x ψ x) iħ ) Im a Re b Re a Im b ψx) = ħ, x Re a p = x ψ x) iħ ) ψx) x p = ħ Re a + Im a, Re a xp = x ψ x) { x x) iħ ) x p + iħ x p ) x x) } ψx) = ħ Ima Re a Usano la soluzione 8) si può verificare che la ipenenza temporale i x,, x p,, p xp coincie con la 4) già trovata per una funzione ona generale.

10 4/ PARTICELLA LIBERA 09/0 0 La funzione ona in termini ei parametri fisici Conviene esprimere Re a, Im a, Re b, Im b in funzione ei parametri i significato fisico immeiato x,, x p,, p xp uno ei quali è rionante). Inverteno le prime quattro elle relazioni 0) si ottiene ) Re a = 4 x, Re b = x 4 x, Im a = ± ħ x e, sostitueno nell espressione i xp, ) xp = ± x p ħ 4, Im b = p ħ x ħ x x p ħ 4 Da quanto sopra risulta che, per un pacchetto gaussiano, x p ħ 4 x, p,, x p sono, a un tempo ato, arbitrari purché x > 0, p > 0, x p ħ 4. Essi, assieme alla scelta el segno ella correlazione, eterminano i parametri el pacchetto. La relazione ) è caratteristica el pacchetto gaussiano. La correlazione xp ipene a, x p e alla scelta el suo segno. Per xp = 0 ovvero Im a = 0), cioè p x = ħ, il pacchetto si ice i minima incertezza. Sceglieno p quale parametro rionante, cioè sostitueno ± xp alla raice nelle espressioni i Im a, Im b, si ottiene 3) Im a = xp ħ x, Im b = p ħ x xp ħ x La conizione i normalizzazione 9) si riscrive A = π exp x x e, sceglieno in moo conveniente il fattore i fase arbitrario, l espressione i A è ) )) A = π exp x i xp x exp x 4 x ħ x p x. Sostitueno nella 6) questo valore i A e i valori i a e b ati alla prima riga elle ) e alle 3) la funzione ona ψ t x) risulta 4) ψ t x) = π exp x ) x x) i exp 4 x ħ x ) ) xp x x) x ) i exp ħ p x x), ove x = xt) = x0) + m p t, xp = xpt) = xp0) + m t, p x = t) x = 0) x + m xp0)t + t m p e p e p sono costanti.

11 4/ PARTICELLA LIBERA 09/0 Valutazione ello sparpagliamento Consieriamo un pacchetto gaussiano iniziale i minima incertezza. Allora lo scarto quaratico meio ella posizione è ato a t) x = 0) x + ) ħm 4 0) x t. Quanto più stringiamo in posizione il pacchetto iniziale tanto più lo allarghiamo in momento, e quini aumentiamo lo sparpagliamento. Ciò è conseguenza ella relazione 0) x 0) p = ħ 4 e non si verifica in meccanica classica. per una funzione ona generale x p ħ 4 ) Il tempo al quale l aumento ello scarto quaratico meio iventa uguale al suo valore iniziale è ato a t = m 0). ħ x Per un piccolo oggetto macroscopico, iciamo m g, si ha m ħ 07 g erg s. Allora per x 0 8 cm si ha t 0 s 0000 anni, x 0 5 cm si ha t 0 7 s 0 0 anni. Invece, per un elettrone, m ħ g erg s. Tuttavia, negli usuali esperimenti, i tempi i volo sono i solito piuttosto piccoli e lo sparpagliamento non è rilevante. Tabella i integrali Per r e s reali, r < 0 si ha x exprx + sx) = x x exprx + sx) = x x exprx + sx) = r ) π s r exp, 4r s ) π s r r exp, 4r ) ) + s π s r r exp. 4r