DOMINIO di FUNZIONI. PREREQUISITI: v Grafici delle funzioni elementari. v Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere, fratte e scomposte.

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1 DOMINIO di FUNZIONI PREREQUISITI: v Grafici delle funzioni elementari. v Calcolo di EQUAZIONI e DISEQUAZIONI, intere, fratte e scomposte. Tutorial di Barberis Paola agg 2015

2 FUNZIONE v LA FUNZIONE E UNA LEGGE che associa ad ogni valore di x uno ed un solo valore di y. v x ( variabile indipendente)e y ( v. dipendente) v TIPOLOGIA : Le funzioni possono essere: - EMPIRICHE: ricavabili sperimentalmente o con metodi statistici - MATEMATICHE: legame fra X E Y èun calcolo matematico che si indica in forma esplicita y=f(x) oppure in forma implicita F(x,y)=0 v Il GRAFICO di una funzione è la rappresentazione sugli assi cartesiani delle coppie ( x;y) che soddisfano la funzione v Si chiama DOMINIO l insieme dei valori di x che rendono calcolabile la y ( graficamente proietto il grafico verso l asse x ) v Si chiama CODOMINIO l insieme delle immagini y ( graficamente proietto il grafico verso l asse y )

3 CLASSIFICAZIONE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRICHE: funzioni formate da polinomi ALGEBRICHE razionali intere y = 2 5 x x fratte (x al denominatore) y = x 4 x 2 9 irrazionali (x sotto radice) intere fratte y = 3x 4 y = 3x 4 x 2 TRASCENDENTI - funzioni non algebriche: y=a x funzione esponenziale y=log a (x) funzione logaritmica y=senx, y=cosx, y=tgx funzioni goniometriche

4 REGOLE: DOMINIO FUNZIONI MATEMATICHE FUNZIONI ALGEBRICHE (polinomi) - RAZIONALI INTERE (no x nel Denominatore) - RAZIONALI FRATTE : Denominatore 0 - IRRAZIONALI INTERE (x sotto radice) radice indice pari D: Radicando 0 radice indice dispari D: x R y = f (x) D : x R y = f (x) g(x) y = y = D : g(x) 0 pari f (x) D : f (x) 0 dispari f (x) x R - IRRAZIONALI FRATTE: sistema (che dipende dal testo) fra condizioni FUNZIONI TRASCENDENTI y=a x Esponenziale Dominio: x R y= log a x Logaritmica Dominio: Argomento > 0 y = log a ( f (x)) D : f (x) > 0 Funzioni goniometriche y= senx, y= cosx Dominio : y= tgx Dominio: D : x 90 + k180 x R

5 Senza titolo.tiff

6 dominio funzioni razionali intere Il Dominio è sempre: qualunque valore di x appartenente ai numeri REALI y = 2 ESEMPI DI FUNZIONI RAZIONALI INTERE Funzione costante y=k (parallela asse x) y = x Funzione identità (bisettrice I e III quadrante) y = 2x 4 Retta generica y=mx+q Passante per (0;q) y = 2x Retta passante per (0;0) y=mx y = x 2 Funzione quadratica = parabola y=ax 2 con V=(0; 0) y = x 2 3 Parabola pura y=ax 2 +c con Vertice = (0;c) y = x 2 + 4x Parabola spuria y=ax2 +bx con Vertice = V=(-b/2a;- /4a) passa per origine ( 0;0) y = x 2 + 4x + 3 Parabola completa y=ax2 +bx+c con V=(-b/2a; - /4a) y = x 3 4x Cubica y=ax 3 +bx 2 +cx+d

7 Dominio: funzione razionale fratta Condizione: DENOMINATORE DIVERSO DA ZERO ; DEN 0 y = x 4 x 5 y = x 4 x 2 9 y = y = 2 x x 4 + 4x 1 10 x Iperbole y=k/x DEN 0 D : x 0 Funzione omografica DEN 0 x 5 0 x 5 DEN 0 x 2 9 0; x 2 9 x ±3 DEN 0 10 x 0 +x 10 0 x +10 Ottengo la retta Bucata D:(- ;0)U(0;+ ) D:(- ;5)U(5;+ ) D:(-,-3)U(-3,+3)U(+3;+ ) D:(-,10)U(10,+ )

8 Dominio: funzione irrazionale intera SE radice con indice PARI Condizione: RADICANDO 0 SE radice con indice DISPARI à D: x R y = 3x 4 RAD 0 3x 4 0 3x 4 x 4 3 D: [4/3 ; + ) y = x 2 + 5x + 4 RAD 0 x 2 + 5x + 4 0; Δ > 0, conc : x 4 x 1 D: (- ;-4] U [-1;+ ) y = x 2 4 RAD 0 x 2 4 0; Δ > 0,conc : x 2 x +2 D: (- ;-2] U [+2;+ ) y = 3 x 6

9 y = 3x 4 x 2 y = x 5 x 7 y = x 3 x 2 4 dominio funz irrazionali fratte rad(num) 0 rad(den) > 0 Devo svolgere un sistema fra le varie condizioni radicando(numeratore) 0 denominatore 0 3x 4 0 x 4 3 x 2 0 x 2 x 5 0 x 5 x 7 > 0 x > 7 D: [4/3 ; 2)U(+2;+ ) D: (+7;+ ) NB: al denominatore le condizioni abbinate : den 0 e rad 0 diventanoà rad(den)>0 y = x 5 x 7 rad(den) > 0 x 2 4 > 0; x < 2 x > +2 D: (- ;-2)U (+2;+ ) Caso particolare Attenzione: non è uguale al secondo esempio perché qui la frazione è TUTTA sotto radice quadrata quindià radicando(tutta frazione) 0 x 5 x 7 0 diseq Fratta N 0 D > 0 x 5 0 x 7 > 0 x 5 x > 7 Fai tu il grafico del sistema Fai tu il grafico del sistema e prendi intervallo comune Attenzione devi fare il grafico dei SEGNI: prendendo intervalli con + D: (- ;5]U (7;+ )

10 REGOLE DOMINIO FUNZ TRASCENDENTI y = a x FUNZIONE ESPONENZIALE per qualsiasi x, esiste sempre l ordinata y D: (- ;+ ) x R y = a f (x) Nessuna condizione per esponenziale, si trova il Dominio di f(x) y = log a (x) FUNZIONE LOGARITMICA Devo risolvere la condizione-->argomento>0 y = log a ( f (x)) D : f (x) > 0 D : x > 0 y = senx y = cos x y = tgx FUNZIONI GONIOMETRICHE SENO E COSENO Dominio: D: ( - ;+ ) x R FUNZIONI GONIOMETRICA TANGENTE La x deve essere diversa da 90 più multipli di 180 D : x 90 + k180 In radianti D : x π 2 + kπ

11 dominio funz. Trasc. logaritmica un logaritmo esiste solo se l argomento è positivo. Pertanto devo risolvere la Condizione: ARGOMENTO >0 y = log(5x 10) 5x 10 > 0 5x > 10 x > 2 y = log(x 2 5x) x 2 5x > 0; Δ > 0,conc D: (+2 ; + ) x < 0 x > 5 D: (- ;0)U(5 ;+ ) y = log(x 2 16) x 2 16 > 0; Δ > 0,conc : x < 4 x > +4 D: (- ;-4)U(+4;+

12 y = 4 x x 2 + x y = x 2 x 6 Esercizio 1 - Dominio di funzioni y = x x 2 2x y = x 2 + 3x y = x x + 6 y = log(8 2x) y = 5x + 20 y = log(x 2 9) y = x 2 25 y = x 2 + x 3 3 y = 5x 10 y = x 2 + 4

13 y = 4 x x 2 + x y = x 2 x 6 y = x x + 6 y = log(8 2x) Esercizio 1 - Dominio: soluzioni D:, x -1 x 0 (- ; -1) (-1;0) (0;+ ) D: x +6 (- ; 6) (6 ; + ) D: x 3 (- ; 3) (3; + ) D: x < 4 ( - ; +4 ) y = x x 2 2x y = log(x 2 9) y = x 2 25 D: x 0 x 2 (- ; 0) (0;2) (2;+ ) y = x 2 + 3x D: x -3 v x 0 (- ; -3] [0 ; + ) D: x<-3 v x>3 (- ; -3) (3 ; + ) D: x -5 v x 5 (- ; -5] [5 ; + ) y = 5x + 20 D: x -4 [-4 ; + ) y = x 2 + x 3 D: (- ; + ) 3 y = 5x 10 D: (- ; + ) y = x D: -2 x 2 [-2 ; 2]

14 2 esercizi Dominio-approfondimento Esegui sul quaderno gli esercizi proposti e poi controlla le soluzioni: y = Attenzione : prima devi ripassare le scomposizioni e le disequazioni scomposte 6x x y = x 2 x y = log(2 x) 2 1 a) b) c) d) y = 17 x y = x 3 + 5x 3 e) x 5 x 4 1 f) y = x 3 9x d) y = x 4 x 3 x y = x 3 + 3x 2 + 2x e) f) y = log(x 3 + 3x 2 )

15 y = 6x y = x 2 x y = log(2 x) x 2 1 a) b) c) soluzioni: Soluzioni 2 a-b-c Dominio: a) b) Pongo il denominatore diverso da 0 x x 2 1 x ±1 Pongo il radicando 0 x 2 x 0 x 2 x = 0 xi(x 1) = 0 x = 0, x = 1 Δ > 0 concordanza : x 0 x 1 D: (- ;-1)U(-1;+1)U(+1;+ ) risolvo l equazione associata: D: (- ;0] U [+1;+ ) c) Pongo l argomento del logaritmo maggiore di zero 2 x > x + 2 > 0 cambio segni e verso x 2 < 0 x < 2 D: (- ;+2)

16 d) d) e) f) y = 17 x soluzioni: y = x 3 + 5x 3 e) x 5 x 4 1 f) y = x 3 9x x 4 4 0; (x 2 2) (x 2 + 2) 0; x 3 + 5x 2 x 5 0 scompongo (x + 5) (x 2 1) 0 x x 5 x x 1 x +1 Soluzioni d-e-f Dominio scompongo x 3 9x 0 x (x 2 9) 0 Pongo i due fattori diversi da 0 (fai i passaggi ) si ottiene: con il grafo dei segni ( svolgilo tu ) si ottiene: D : x 2 x 2 Pongo i due fattori 0 Pongo i due fattori 0 D : 5 x 1 x 1 x 0 con il grafo dei segni x 2 ( svolgilo tu ) 9 0 x 3 x 3 D : 3 x 0 x 3 si ottiene:

17 d) e) d) soluzioni: y = x 4 x 3 x x 3 x 0; x(x 2 1) 0 Soluzioni g-h-i Dominio: y = x 3 + 3x x(x 2 + 3x + 2) 0 x 0 x 2 + 3x x 2 x 1 x 3 + 3x 2 + 2x e) f) Pongo i due fattori diversi da 0 (fai tu i passaggi ) si ottiene: y = log(x 3 + 3x 2 ) D : x ±1 x 0 Disequazione scomposta: Pongo i due fattori 0 con il grafo dei segni (svolgilo tu ) si ottiene: D : 2 x 1 x 0 f) x 3 + 3x 2 > 0 x 2 (x + 3) > 0 x 2 > 0 x R { 0} x + 3 > 0 x > 3 Disequazione scomposta: Pongo i due fattori 0.con grafo dei segni, (svolgilo tu ) si ottiene: D : x > 3