Prova scritta di Fisica Scienze e Tecnologie dell Ambiente. Soluzioni

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1 Prova scritta di Fisica Scienze e Tecnologie dell Ambiente 6 Settembre 007 Soluzioni Parte 1 1) Sia θ l angolo di inclinazione del piano. Scelto l asse x lungo la direzione di massima pendenza, e diretto in salita, con l origine nel punto piú basso, si ha: a=-gsenθ=costante. L equazione del moto del blocco è: x = L + 1 at Dato che all istante t 1 =4. s deve essere x=0, si avrá: a = L t 1 = 1.81m/s. Da a=-gsenθ=-1.81 m/s si ha: senθ=0.185, θ=10.6 o. c) L equazione del moto del secondo blocco è: x = v 0 t + 1 at Dato che x=0 per t=t 1 (oltre che, ovviamente, per t=0), si ottiene: v 0 =-1/at 1 =3.81 m/s. d) La velocitá del secondo blocco si annulla nell istante t =-v 0 /a =.10 s. In tale istante l equazione del moto fornisce la posizione x =3.99 m. 1

2 ) La costante elastica della molla è: K = F l 0 = 1150N/m per cui l energia potenziale elastica, quando la molla è compressa di l 1 = m vale: E el pot = 1 k( l 1) = 17.7J. Il corpo pesa mg=31.16 N. Vale il principio della conservazione dell energia totale (energia cinetica piú energia potenziale elastica e gravitazionale): E = E cin + E grav pot + E el pot = 1 mv + 1 k( l) + mgh = costante. Quindi, avendo scelto il punto piú basso (quando la molla è compressa di l 1 ) come livello zero, in tale punto l energia totale coincide con l energia potenziale elastica della molla, mentre nel punto di partenza (quando la massa viene lasciata libera a v 0, dalla cima del piano inclinato) con l energia potenziale gravitazionale. Quindi: E = 1 k( l 1) = mgh = mgdsenθ D = 1.05 m. Sempre dalla conservazione dell energia tra il momento di massima compressione della molla e l istante in cui il blocco entro in contatto con la molla, si ha: E = 1 k( l 1) = 1 mv + mg l 1 senθ = 17.7J. da cui v=3.1 m/s. Parte 3) Applichiamo l equazione di Bernoulli. Alla superficie del serbatoio ed all uscita dal

3 foro, l acqua si trova alla pressione atmosferica P 0. Assumendo la quota del foro come quota di riferimento per l energia potenziale, l equazione di Bernouilli si puó scrivere come: P 0 + ρgh = P ρv dove ρ é la densitá dell acqua. Da cui: 4) v = gh. Per un gas perfetto biatomico si ha: C P = 7 R = 9.1 J/(mol K); C V = 5 R = 0.8 J/(mol K) Il calore ceduto al gas è: Q=nC P T=7880 J La variazione di energia interna è: U=nC V T=5633 J. c) La variazione di energia cinetica interna traslazionale è: E cin = 3 nr T = 3378 J. Parte 3 5) L attrazione gravitazionale tra la Terra e la Luna è data da: F g = G M LM T r dove r è la distanza tra i centri della Terra e della Luna, mentre la forza repulsiva elettrostatica tra le due distribuzioni a simmetria sferica di carica totale q è: F el = 1 q 4πε 0 r 3

4 Uguagliando le due forze si ottiene: q= C. Il risultato della prima domanda non dipende da r. Questo perchè sia il campo gravitazionale che quello elettrostatico obbediscono alla legge dell inverso del quadrato della distanza. c) Indicando con N A il numero di Avogadro e con M la massa molare dell idrogeno 1.00 g/mole, n moli forniscono la carica: q = nn A e n = moli e quindi la massa di idrogeno necessaria è: m=nm = g. 6) Il campo elettrico generato dalla carica puntiforme al centro della cavità è a simmetria sferica. Il campo elettrico all interno della cavità è determinato solo dalla carica q, indipendentemente dalla distribuzione di carica che si trova sulla superficie interna della cavità. Per calcolare il campo in P, occorre applicare il teorema di Gauss su una sfera a distanza R/ dalla carica q, cioè dal centro della cavità sferica, ottenendo il noto risultato per il campo di una carica puntiforme a distanza R/: E = 1 q 4πε 0 (R/) = V/m. La condizione di equilibrio elettrostatico richiede che il campo elettrico sia nullo in ogni punto interno al conduttore e quindi anche in Q. c) Sulla superficie interna si induce la carica totale -q. Se applichiamo infatti il teorema di Gauss ad una qualsiasi superficie interna al conduttore che abbracci la cavità, tenuto conto che il campo elettrico all interno di un conduttore in equilibrio è nullo, ne consegue che la carica totale contenuta all interno della superficie di Gauss deve essere nulla e quindi sulla superficie interna della cavità si deve indurre la carica totale -q. Parte 4 4

5 7) Il campo magnetico in tutto lo spazio è diretto lungo circonferenze concentriche al cavo, e il suo modulo dipende soltanto dalla distanza dal centro del cavo stesso. Per calcolarlo possiamo usare il teorema di Ampère µ 0 i ch = B ds. Chiamiamo x la coordinata radiale che misura la distanza dal centro del cavo coassiale. Per il modulo del campo magnetico abbiamo B = µ 0 i πr µ x 0 i πx ) ( µ 0 i 1 x R0 πx R 0 d + d x r r < x R 0 R 0 < x R 0 + d 0 x > R 0 + d Per calcolare la potenza dissipata è necessario trovare prima la resistenza di ciascuno dei due conduttori. Per il cavo interno abbiamo R i = ρ l A = ρ l πr, mentre per quello esterno R e = ρ l A = ρ l π (R 0 d + d ). La potenza totale dissipata è la somma di quella dissipata nel cavo interno e nella guaina; per unità di lunghezza è uguale a P l = i R i + R e l = i ρ π ( ) 1 r + 1. R 0 d + d 8) In R e R 3 scorre la stessa corrente in ogni caso, in quanto sono in parallelo. Perché questa sia a sua volta uguale a quella che scorre in R 1 occorre che la resistenza della serie sia uguale a R 1, cioè R 3 = R 1 R. In questo caso la resistenza equivalente del circuito vale R eq = R 1 / e la potenza dissipata è P = V R eq = V R 1. 5

6 9) La f.e.m. indotta nella spira quadrata è uguale alla derivata temporale del flusso di campo magnetico nel tempo. Il flusso è dato da Φ (t) = B da = Bl cos (ωt), vale A e il modulo della sua derivata è quindi dφ dt = Bωl sin (ωt). Se l ampiezza massima della f.e.m. indotta misurata è V 0 = 5V, il campo magnetico B = V 0 ωl. 6