Costanti del moto. dove V(x) è una funzione della posizione, tale che. dx Fisica L E= 1 2 m v2 +V (x)
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- Barbara Romagnoli
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1 Costanti del moto Nei diversi moti, a seconda del tipo e di modalità del moto, ci sono delle grandezze che si conservano, dette costanti o integrali del moto Se la forza dipende SOLO DALLA POSIZIONE e NON DALLA VELOCITÀ si può dimostrare (anche matematicamente) che esiste una quantità costante E= 1 2 m v2 +V (x) dove V(x) è una funzione della posizione, tale che d V (x) F(x)= dx 1
2 Energia cinetica Associata allo stato di moto del corpo Unità di misura nel SI: Joule (J) 1 J = 1 kg m 2 s -2 2 [Energia] = [m l t -2 ] Dipende da massa e velocità Esempio Nel 1896 a Waco in Texas fu organizzata la Crash at Crush. Bill Crush, dipendende delle ferrovie, fece scontrare 2 locomotive alla massima velocità. Furono fatte partire da una distanza reciproca di 6.4 Km, entrambe con accelerazione fissa (0,26 m/s 2 ). Se ciascuna pesava 1, N, quanta energia è stata sviluppata dalla collisione? 2
3 Energia potenziale È quella V(x) che compare nella formula Esiste solo per ALCUNI TIPI DI FORZE Gravità Elastica Elettrica Si può generalizzare Bisogna scegliere un punto di riferimento 3
4 Lavoro Energia trasferita su un corpo dalla forza che agisce su di esso Grandezza SCALARE omogenea all energia Forza costante: Il lavoro è positivo quando Il lavoro è nullo quando L= F s=fs cosα=f s s Lavoro motore e lavoro resistente 4
5 Lavoro ed energia Sono omogenee Si può convertire energia in lavoro e viceversa Teorema dell Energia Cinetica La variazione di energia cinetica di un corpo è pari al lavoro delle forze esterne su di esso L=Δ K Esempi Una particella si muove lungo l asse x con velocità -3 m/s. Come cambia la sua energia cinetica se la sua velocità finale è 3 m/s? E se invece è -2 m/s? Com è il lavoro nei due casi? Una cassa sfugge a chi la stava scaricando e scivola sul pavimento privo d attrito sotto la forza del vento F=(2 i 6 j )N per 3 m in direzione negativa delle x. Quanto lavoro svolge la Fisica forza? L43-07 Se all inizio K=10 J, qual è 5 l energia finale?
6 Ancora sulle grandezze Nel SI: Joule Unità di misura non ufficiali kwh chilowattora: 1 Kwh = 3, J utilizzato nei normali consumi di energia elettrica ev elettronvolt: 1 ev = 1, J utilizzato in particolare negli esperimenti di fisica delle particelle 6
7 Il lavoro della gravità Gravità La forza è costante Dipende dallo spostamento VERTICALE Sollevamento di un oggetto Esempio L g =m g Δ h Δ K=F z Δ h m g Δ h Una cassa di 15 Kg è trascinata a velocità costante su una rampa priva di attrito per una distanza di 5.70 m fino ad una altezza di 2.5 m. Quanto lavoro svolge la gravità sulla cassa? Quanto lavoro viene compiuto dalla tensione del cavo che tira la cassa per il piano? 7
8 Lavoro di altre forze note Lavoro di una molla F= kx x 1 L= 0 kx dx= [ x 1 2 k 1 x2]0 = 1 2 k x 2 1 Un blocco di massa 400 g scivola a velocità costante v=0,5 m/s e senza attrito su un piano. Viene arrestato da una molla che si comprime. La costante elastica della molla è k=750 N/m. Qual è la massima compressione della molla? 8
9 Lavoro svolto da forza qualsiasi Se il corpo si muove in modo qualsiasi e la forza F cambia le forze non sono costanti Immaginando di poter scomporre il moto in trattini rettilinei, lungo i quali la forza è costante: L= F Δ s Facendo tendere a 0 il tempo: In una dimensione In più dimensioni x f L= xi x f L= xi F (x)dx dl= F d s L= F d s= F (t) v dt y f F x dx+ yi z f F y dy+ zi F z dz 9
10 Esempi ed esercizi Un blocco di 250 kg è lasciato cadere su una molla verticale di costante elastica k=2,5 N/cm. Il blocco rimane appoggiato sulla molla che si comprime di 12 cm prima di arrestarsi. Durante la compressione della molla, quale lavoro viene svolto: Dalla gravità? Dalla forza elastica? Qual era la velocità del blocco al momento del contatto con la molla? 10
11 Potenza Si può fare lo stesso lavoro o consumare la stessa energia in tempi diversi Potenza media P m = L Δ t dl Potenza istantanea P= dt = F v Unità di misura nel SI: Watt = J/s = Nm/s = Kg m 2 s -3 [P] = [m l 2 t -3 ] Cos è il chilowattora? Un blocco di 100 kg è trascinato con v=5 m/s su un pavimento orizzontale da una forza di 122 N inclinata di 37. Qual è la potenza della forza? 11
12 Energia potenziale E= 1 2 m v2 +V (x) Alcune formulazioni di F consentono la definizione di una V Gravità (sia nella formulazione universale che locale) Forza elastica FORZE CONSERVATIVE Lavoro nullo su un percorso chiuso Lavoro indipendente dal percorso seguito Forze NON conservative A B L= A A F d r=0 = B A LA B =L B A 12
13 Calcolo energia potenziale Scelgo io lo O dell energia Per il campo gravitazionale U=mgh Per la molla U= ½ kx 2 Esempi Qual è l energia potenziale posseduta dalla Madonnina del Duomo di Milano (m= 1 tonnellata, quota: 108 m)? Ho appeso un quadro del peso di 30 Kg ad una molla molto dura (costante elastica 1000 N/m). Qual è la sua energia potenziale totale (elastica e gravitazionale) quando è appeso e fermo? 13
14 Conservazione energia meccanica E= 1 2 m v2 +V (x) Se è possibile definire una energia potenziale V, l energia meccanica totale di conserva (v. slide 1) K+V =cost Energia potenziale gravitazionale Energia potenziale elastica 14
15 Esempi ed esercizi Nell esercizio dell energia potenziale della Madonnina di Milano, se cadesse, quale sarebbe la velocità di arrivo a terra, trascurando l attrito dell aria? A terra le mattonelle della piazza hanno una costante elastica di N/m e si rompono quando vengono piegate per più di 1 mm. Con la caduta, la statua avrebbe l energia per rompere quanti strati di mattonelle? 15
IL LAVORO E L ENERGIA. che si possono trasformare tra loro lasciando invariata la quantità totale di energia.
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