Forze conservative. Ø Il sistema deve consistere di due o più oggetti ed il corpo ed il resto del sistema devono interagire mediante una forza

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1 Forze conservative Affinché si possa parlare di energia potenziale di un sistema, il sistema e le forze che agiscono su di esso devono avere determinate proprietà. Ø Il sistema deve consistere di due o più oggetti ed il corpo ed il resto del sistema devono interagire mediante una forza Quando la configurazione del sistema cambia (es: cambiamenti di posizione o cambiamento di stato di una molla ) la forza compie lavoro (L 1 ) sul corpo con trasferimento dell energia cinetica in un altra forma di energia Quando si cambia il senso della variazione della configurazione la forza inverte il trasferimento di energia svolgendo lavoro (L 2 ) Ø Se e solo se il trasferimento di energia può essere invertito, cioè se e solo se L 1 = -L 2, si può parlare di energia potenziale Ø Forze che mettono in atto un processo di trasferimento di energia che può essere invertito vengono dette FORZE CONSERVATIVE Ø La forza gravitazionale e la forza elastica sono forze conservative Ø Le forze di attrito non sono forze conservative ( l energia cinetica viene trasformata in energia termica ed il processo non è invertibile) e l energia termica non è un energia potenziale

2 Forze Conservative (2) Ø Il lavoro compiuto da una forza conservativa su una particella che si muove tra due punti qualsiasi non dipende dal percorso eseguito ma solo dalle posizioni iniziale e finale Ø Per calcolare il lavoro eseguito è possibile utilizzare qualsiasi percorso colleghi il punto iniziale a con quello finale b. Ø Il lavoro è esprimibile come differenza dei valori di una funzione nei punti finale ed iniziale della traiettoria. = L ab2 = L ab Ø Invertendo la direzione di percorrenza della traiettoria, cambia solo il segno del lavoro eseguito. L ab = -L ba Ø Un qualunque percorso chiuso può essere pensato come la somma di un percorso di andata tra due punti qualunque della traiettoria ed un percorso di ritorno tra gli stessi punti è il lavoro di una forza conservativa che agisce su una particella che si muove lungo un percorso chiuso è nullo L chiuso = L ab + L ba = 0

3 Energia potenziale e Lavoro La variazione di energia potenziale è pari all opposto del lavoro svolto dalla forza conservativa agente sulla particella A partire dalla definizione di energia potenziale si può osservare che: Ø Se l energia potenziale aumenta, il lavoro eseguito è negativo ( il lavoro viene fatto dall esterno sul sistema) ΔU non si può estrarre lavoro dalla forza durante un processo in cui l energia potenziale aumenta, ma è necessario fornire lavoro dall esterno perché il processo possa avvenire. Ø Se l energia potenziale diminuisce, il lavoro eseguito e positivo e si può utilizzare durante il processo. ΔU L energia potenziale indica la capacità della forza di fornire lavoro Ø L energia potenziale è definita a meno di una costante: se aggiungiamo (o sottraiamo) una costante c all energia potenziale => La variazione di energia potenziale è: ΔU = L > 0 L < 0 < 0 L > 0 Δ U' = U'( B) U'( A) = U( B) + c U( A) c = ΔU = L U ' = U + la nuova espressione per l energia potenziale soddisfa ancora la relazione c ΔU = L

4 Al suo barbiere Einstein la raccontava così (Robert L. Wolke)

5 Determinazione dell energia potenziale (1) Consideriamo un corpo che fa parte di un sistema sul quale agisca una forza conservativa F. Quando la Forza compie lavoro la variazione dell energia potenziale è pari all opposto del lavoro svolto. ΔU = (U f U i ) = L Nel caso generale in cui la forza conservativa varia durante lo spostamento: x ΔU = L F( x) dx ΔU = L f = i Ø Non esiste una forma generale per l energia potenziale, ma dipende dalla forza conservativa a cui si riferisce. Ø L energia potenziale di una forza conservativa permette di calcolare rapidamente il lavoro eseguito su qualunque traiettoria. Ø Da una forza conservativa non si può ricavare lavoro se il percorso è chiuso, ovvero, come si dice, se il processo è ciclico. x f = i Fdr

6 Energia potenziale gravitazionale Consideriamo un particella di massa m che viene sollevata da un punto y i ad un punto y f.. Tale particella subisce il lavoro svolto dalla forza gravitazionale L g. La variazione di energia potenziale sarà data da: y f ΔU = L = F g (y)dy = mg y i y f y i ( ) dy = ΔU = mgδy mg y y f y i Δy = y f y i = mgδy Variazione di Energia potenziale gravitazionale Δy=y f -y i y f y i In fisica sono importanti solo le variazioni ΔU di energia potenziali ( l energia potenziale è sempre definita a meno di una costante), si può quindi decidere di misurare y da un qualsiasi livello di riferimento iniziale (che deve poi rimanere lo stesso) Una scelta conveniente del livello di riferimento è quello per cui si associa un valore U i =0 all energia potenziale del sistema nella configurazione iniziale y i =0 In questo caso possiamo scrivere: Δy = y y i = y ΔU =U U i =U U = mgy Energia potenziale gravitazionale L energia potenziale gravitazionale associata ad un sistema particella-terra dipende dalla posizione verticale y della particella rispetto alla posizione di riferimento y=0

7 Energia potenziale elastica Consideriamo un sistema blocco-molla con il blocco attaccato ad una delle estremità della molla di costante elastica k. Durante lo spostamento del blocco dalla posizione x i alla posizione x f la forza di richiamo F = -kx compie del lavoro sul blocco. La variazione di energia potenziale sarà data da: ΔU = L = x f F m (x)dx = kx x i x f x i ( 1 )dx = 2 k x 2 x f x i = 1 2 k ( x 2 2 x ) f i ( ) ΔU = 1 k x 2 x 2 2 f i Analogamente a quanto fatto per l energia potenziale gravitazionale, associamo un valore di U ad una posizione di riferimento. Poniamo U=0 quando x=0 (cioè quando il blocco passa per la posizione di equilibrio della molla) U = 1 kx 2 2 Energia potenziale elastica

8 Energia Meccanica e conservazione dell Energia Meccanica Consideriamo un corpo che si muove dal punto A al punto B sotto l azione della sola forza gravitazionale, il lavoro compiuto sul corpo è quindi pari sia alla variazione dell energia potenziale gravitazionale cambiata di segno, sia alla variazione di energia cinetica del corpo : L AB = ΔU =U A U B L AB = ΔT = T B T A L AB = mgh = mgy A mgy B L AB = 1 2 mv 2 1 B 2 mv 2 A Uguagliando i due termini si ottiene: mgy A mgy B = 1 2 mv 2 1 B 2 mv 2 A 1 2 mv 2 + mgy A A = 1 2 mv 2 + mgy B B T A +U A = T B +U B h=y B -y A B A y B y y A 1 2 mv2 + mgy = T +U = costante U B = mgy B T B = 1 2 mv 2 B U A = mgy A T A = 1 2 mv 2 A

9 Energia Meccanica e conservazione dell Energia Meccanica L energia meccanica E di un sistema è l energia totale data dalla somma dell energia cinetica e dell energia potenziale relativa ai corpi che compongono il sistema stesso. E = U+T Per il lavoro delle forze conservative valgono allora due relazioni: 1) Teorema dell energia cinetica ( questo teorema vale per tutte le forze, conservative e non): L = T f T i = ΔT 2) Definizione di energia potenziale ( valida solo per le forze conservative): L = U i U f = ΔU L = T f T i = ΔT = ΔU =U i U f U i +T i =U f +T f PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA MECCANICA: Quando in un sistema isolato agiscono solo forze conservative l energia potenziale e quella cinetica posso variare singolarmente, ma la loro somma, l energia meccanica E del sistema, deve rimanere costante E =U +T = cost conservazione dell energia meccanica

10 Principio di conservazione dell Energia Meccanica- Applicazione Quando in un sistema agiscono solo forze conservative l energia meccanica totale del sistema si conserva e la sua variazione è quindi nulla E =U +T = cost ΔE = ΔU + ΔT = 0 Il principio di conservazione dell energia meccanica ci permette di risolvere in modo semplice problemi che dal punto di vista dinamico sarebbero molto complessi

11 Energia totale e forza peso Abbiamo visto che l energia potenziale gravitazionale può essere espressa come: U=mgy Sappiamo che, nel caso della caduta di un grave, si conserva l energia totale data da: E =T+U= ½m v 2 + mgy = costante Consideriamo quindi un corpo che scivola su un piano inclinato privo di attrito. La reazione vincolare è sempre perpendicolare alla traiettoria e non compie lavoro. Se il corpo parte da fermo da un altezza h, arriverà alla fine del piano con velocità tale che: E = U i +T i = mgh + 0 = U f +T f = 0 + ½ m v 2 Da cui: v = 2gh La velocità è quindi indipendente dalla massa del corpo (come già sapevamo) e dall inclinazione del piano. La velocità è pari a quella di un qualsiasi corpo che cade al suolo da un altezza h. NB: Nel moto l energia potenziale si e trasformata in energia cinetica.

12 Esempio Consideriamo un camion che scendendo da una discesa incontra poi una salita che ha una pendenza di 15. Quando arriva alla salita ha una velocità di 130 km/h. Calcolare la distanza minima L dall inizio della salita che il camion deve percorre prima di fermarsi ( non c è attrito ed il pilota toglie la marcia). E = cost = T i + U i = T f + U f h Stato iniziale ( camion che affronta la salita): T i = 1 2 mv 2 i U i = 0 Stato finale ( camion che si ferma): T f = 0 U f = mgh = mglsin( 15 ) h = Lsin( 15 ) Conservazione dell energia meccanica: E = 1 2 mvi2 = mglsin( 15 ) L = 2 2 mv i 2mg sin 15 ( ) = v i 2g sin( 15 ) = ( 36.1m s) = 258m

13 Energia totale e forza elastica Nel caso di una forza elastica si conserva l energia meccanica data dalla somma: E = cost = T +U = 1 2 mv kx 2 Ø Quando la molla viene compressa oppure dilatata aumenta lo spostamento x e quindi l energia potenziale. Durante il processo di allungamento o compressione della molla, la molla compie lavoro resistente => L<0 => ΔU>0 (l energia potenziale aumenta) Affinché E si conservi il modulo della velocità e l energia cinetica T del corpo devono diminuire, fino al limite di massima compressione o dilatazione dove v e T si annullano: x = x max T = 0 ed E =U =U max Ø Quando la molla torna verso la sua posizione di riposo l energia potenziale si trasforma in energia cinetica: U diminuisce (ΔU<0) e T aumenta (ΔΤ>0) arrivando alla posizione di equilibrio x=0 con: Durante il processo di scaricamento della molla la molla compie lavoro motore => L>0 => ΔU<0 Ø Quando la molla passa per il punto di equilibrio il modulo della velocità e l energia cinetica T raggiungono il valore massimo. x = 0 U = 0 e E = T = T max NB: Il lavoro totale compiuto durante una oscillazione completa è NULLO.

14 Esempio: il pendolo Pendolo: Un corpo di massa m è fissato ad un punto tramite un filo inestensibile di lunghezza L (oppure ad un asticella di massa trascurabile) sottoposto alla forza peso. Il corpo è, ogni istante, sottoposto sia alla forza peso P, sia alla tensione del filo T, che lo mantiene a distanza costante L dal punto fisso, ed è diretto come il filo. L o s p o s t a m e n t o è s e m p r e perpendicolare alla tensione del filo, lungo una traiettoria circolare

15 Esempio: il Pendolo (2) Dato un pendolo costituito da un filo inestensibile di lunghezza L e da una massa m attaccato ad esso, determinare la velocità del pendolo nel punto più basso di oscillazione se l angolo massimo di oscillazione è θ max Le forze che agiscono sul pendolo sono la tensione del filo T e la forza θpeso max P. Lo spostamento è sempre lungo la tangente alla L traiettoria circolare che compie la massa m durante la sua oscillazione La tensione del filo quindi non compie lavoro in quanto istante per istante è perpendicolare allo spostamento. Il lavoro è svolto solo dalla forza peso. La variazione di energia potenziale sarà quindi : Scegliamo come riferimento per le quote la quota minima. Durante l oscillazione si conserva l energia totale data da: E = T+U=½m v 2 + mgy = costante L P = ΔU = mgy f + mgy i Nella posizione di massima altezza avremo:e = U= mgy max = mgl (1 - cosθ max ) (T=0) L cosθ max L-L cosθ max =L(1- cosθ max ) y max Nella posizione di minima quota avremo invece: E = T = ½m v 2 (U=0) ( ) ½m v 2 = mgl(1 - cosθ max ) v = 2gL 1 cosθ max

16 Esempio: il Pendolo (2) Dato un pendolo costituito da un filo inestensibile di lunghezza L e da una massa m attaccato ad esso, determinare la velocità del pendolo nel punto più basso di oscillazione se l angolo massimo di oscillazione è θ max Le forze che agiscono sul pendolo sono la tensione del filo T e la forza peso P. Lo spostamento è sempre lungo la tangente alla traiettoria circolare che compie la massa m durante la sua oscillazione La tensione del filo quindi non compie lavoro in quanto istante per istante è perpendicolare allo spostamento. Il lavoro è svolto solo dalla forza peso. La variazione di energia potenziale sarà quindi : Scegliamo come riferimento per le quote la quota minima. Durante l oscillazione si conserva l energia totale data da: E = T+U=½m v 2 + mgy = costante L P = ΔU = mgy f + mgy i y max Nella posizione di massima altezza avremo:e = U= mgy max = mgl (1 - cosθ max ) (T=0) Nella posizione di minima quota avremo invece: E = T = ½m v 2 (U=0) ( ) ½m v 2 = mgl(1 - cosθ max ) v = 2gL 1 cosθ max

17 L cosθ max θ max L L-L cosθ max =L(1- cosθ max )

18 Lavoro svolto su un sistema da una forza esterna Consideriamo una forza esterna che agisce su un sistema. Il lavoro è l energia trasferita dal sistema o al sistema per mezzo della forza esterna che agisce su di esso Sistema Sistema L>0 Energia trasferita al sistema L<0 Energia sottratta al sistema Ø Se il sistema è costituito da un unica particella puntiforme il trasferimento di energia avviene solo attraverso la variazione di energia cinetica Ø Se il sistema è più complesso la variazione di energia può avvenire anche attraverso altre forme (es: energia potenziale)

19 Lavoro delle forze non conservative Ø Nel caso in cui agiscano forze non conservative, quali la forza d attrito, non si può definire una energia potenziale. Ø Il lavoro dipende dalla traiettoria Ø È sempre valido il teorema dell energia cinetica: Ø Se agiscono contemporaneamente forze conservative e forze non conservative il lavoro compiuto sul sistema L sarà dato dalla somma del lavoro compiuto dalle forze conservative L c e da quello compiuto dalle forze non conservative L nc : L = L c + L nc = F ct dr i " # $# Per il teorema dell energia cinetica: f non dip. dal percorso L nc = ( U cf U ) + ( T T ) ci f i f Il lavoro delle forze non conservative è pari alla variazione di energia meccanica L = ΔE nc L = f i F t dr + F nct dr= ΔU c + L nc i # " $# dip. dal percorso L = ΔT = T f T i ( ) = U cf +T f # " $# stato finale ( ) = 1 2 mv 2 1 f 2 mv i2 U ci +T i # " $# = E E = ΔE f i stato iniziale L nc = ΔU c + L L nc = ΔU c + ΔT

20 Quantità di moto Consideriamo un ragazzo su uno skateboard mentre cade. La forza peso gestisce il moto verso il basso durante la caduta, Lungo la direzione orizzontale avremo invece che: Mentre il ragazzo cade spinge in avanti lo skateboard Lo skateboard per la terza legge di Newton reagisce con una spinta uguale ed opposta sul ragazzo. N La forza risultante sul piano orizzontale del sistema ragazzo-skateboard è nulla F tavola ragazzo Come si spiega il moto orizzontale? F ragazzo tavola Sia il ragazzo che lo skateboard acquistano energia cinetica che però non può essere spiegato con una variazione di energia potenziale gravitazionale. Per comprendere questo tipo di moto bisogna introdurre una nuova grandezza fisica: La QUANTITÀ DI MOTO p L ragazzo L tavola

21 Quantità di moto(1) p Nuova grandezza : la quantità di moto Ø La quantità di moto di un corpo di massa m è un vettore pari al prodotto della vettore velocità moltiplicato per la massa del corpo stesso p = m v Ø La quantità di moto ha stessa direzione e verso del vettore velocità Ø Questa grandezza racchiude in sé sia le proprietà di moto del corpo (tramite la velocità v) che di resistenza alla modifica di tale moto (tramite la massa m). Ø La quantità di moto ha un significato più generale della massa o della velocità prese singolarmente, e distingue tra corpi di masse diverse che si muovono con stessa velocità. Ø Le dimensioni della quantità di moto sono [M][L][T] -1 e l unità di misura è kg m/s Ø La quantità di moto di un corpo spesso è chiamata momento del corpo Ø Se il corpo si muove in una direzione qualsiasi dello spazio, p si può descrivere mediante le sue tre componenti lungo x,y e z: p = p x î + p y ĵ + p z ˆk dove: p x = mv x # " p y = mv y # $ # p z = mv z

22 Quantità di moto(2) La quantità di moto permette di definire la seconda legge di Newton in una forma generalizzata. La forma che abbiamo visto : F = m a vale infatti solo nel caso in cui m rimanga costante. Riformulando questa legge mediante la quantità di moto, si includono anche i casi un cui m varia. Legge di Newton generalizzata: La variazione della quantità di moto di un corpo nell unità di tempo (cioè la derivata temporale della quantità di moto) è proporzionale alla risultante delle forze ad esso applicata ed ha la stessa direzione F = d p dt Forma generalizzata della 2 legge di Newton La quantità di moto di una particella varia se su di essa è applicata una forza risultante non nulla Se la risultante delle forze agenti su corpo è nulla la quantità di moto del corpo rimane costante (si conserva): Se: F = 0 d p dt = 0 p = costante

23 Quantità di moto(3) Naturalmente se m è costante la forma più generale della seconda legge di Newton si riduce alla ben nota equazione ΣF=ma F = d p dt = d ( m v) dt = dm v + m d v dt dt = m d v dt = m a 0 Ø Il concetto di quantità di moto è particolarmente importante quando applicato ad un sistema costituito da più corpi Ø Si vedrà infatti che se la forza totale agente sul sistema è nulla la quantità di moto del sistema si conserva. Ma come si applica il concetto di quantità di moto ad un sistema costituito da due o più particelle? Descrizione dei sistemi di particelle in termini di forze applicate

24 Sistemi di punti materiali -Forze interne ed esterne P i F ji F = ij F ji P j F ij Ø Consideriamo un sistema di punti materiali, interagenti tra loro e con il resto dell universo. Ø In generale su ciascun punto agiranno forze esercitate dagli altri punti materiali costituenti il sistema I Se F E sono forze interne ed F sono le forze esterne agenti sul sistema La forza agente sul singolo punto j e data dalla risultante di tutte le forze agenti: F j = I F + nj n k F E k Somma di tutte le forze interne agenti sulla particella j-sima Somma di tutte le forze esterne agenti sulla particella j-sima Ø Per le forze interne vale il principio di azione e reazione: per ogni forza interna esiste un altra forza interna tale che a coppie si annullino.

25 Sistemi di punti materiali -Forze interne ed esterne F j = + F nj Ø Se si considera la risultante di tutte le forze agenti su tutti i punti di un sistema: j Ø Le forze interne si annullano a coppie quindi: n F j = La risultante delle forze agenti su un sistema è pari alla risultante delle sole forze esterne k F k E R = R I + R E Somma di tutte le forze INTERNE agenti sul sistema R = R E R I = 0 Somma di tutte le forze INTERNE agenti sul sistema Un sistema per il quale la risultante delle forze esterne agenti su di esso è nulla si dice ISOLATO R E = 0 Sistema isolato Un sistema che non scambia massa con l esterno si dice CHIUSO

26 Quantità di moto di un sistema isolato In un sistema isolato, costituito da due o più particelle la quantità di moto totale P del sistema si conserva: Dimostrazione: Consideriamo un sistema costituito da due particelle di massa m 1 ed m 2 che interagiscono tra di loro. L interazione tra i due corpi avviene mediante una coppia di forze F e F 21 uguali ed opposte : R E = 0 F 12 = F 21 P = i p i F 21 + F 12 = 0 = Costante 12 Per il secondo principio della dinamica questa relazione si può riscrivere: m 1 a1 + m 2 a2 = 0 m 1 d v 1 dt + m 2 d v 2 dt = 0

27 Quantità di moto di un sistema isolato (2) Se la massa delle due particelle rimane costante nel tempo si può trasformare la somma di derivate in una derivata della somma: m 1 d v 1 dt + m 2 Ma: d v 2 dt = 0 d( m v1 ) 1 dt m 1 v1 + m 2 v2 = p 1 + p 2 = P + d m 2 dt ( v ) 2 = 0 P d( m v1 1 + m v2 ) 2 dt = 0 = la quantità di moto totale del sistema isolato Quindi : Si ha che: d( m v1 1 + m v2 2 ) dt = d ( p 1 + p 2 ) dt = d P dt = 0 In un sistema isolato la quantità di moto totale del sistema si conserva R E = 0 d P dt = 0 P = costante

28 Esempio dell arciere Un arciere di massa m A = 60kg è fermo su un blocco di ghiaccio ( assenza di attrito) e tira una freccia di massa m F = 0.50 kg orizzontalmente a 50m/s. L arciere comincerà a muoversi immediatamente dopo il lancio? Se sì, con quale velocità? Questo esercizio può essere svolto solo utilizzando la conservazione della quantità di moto del sistema ARCIERE-FRECCIA Il sistema in realtà non è isolato in quanto sia sulla freccia che sull arciere agisce la forza gravitazionale e la normale. Queste forze però sono perpendicolari al moto del sistema. Non esistono quindi forze esterne che agiscono lungo l asse orizzontale e possiamo considerare il sistema isolato lungo tale direzione. La quantità di moto totale del sistema (data dalla somma della quantità di moto p Ax con la quantità di moto della freccia p Fx ) lungo la direzione orizzontale si deve conservare: p Ax + p Fx = m A v Ax + m F v Fx = m A v Ai + m F v Fi = m A v Af + m F v Ff = costante Poiché prima del lancio la quantità di moto del sistema era nulla anche dopo il lancio essa dovrà risultare nulla, quindi, dopo il lancio l arciere si dovrà muovere in modo da compensare con la sua quantità di moto la quantità di moto della freccia: m A v Ai + m F v Fi = 0 m A v Af + m F v Ff = 0 v Af = m F m A v Ff = 0.42m s