LA V TLEGGE T O R I DI AMPERE g. bonomi fisica sperimentale (mecc., elettrom.) Introduzione

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1 Introduzione Un cannone elettromagnetico a rotaia spara un proiettile con una accelerazione molto elevata: da zero a 10 km/s in 1 ms; circa 5 x 10 6 g. Come si realizza una tale accelerazione?

2 Introduzione Si studia come il campo magnetico viene generato da una corrente che percorre un filo. Si introducono due modi per calcolare il campo magnetico. Il primo analogo alla legge di Coulomb per il calcolo del campo elettrico Il secondo basato su argomenti di simmetria ed analogo alla legge di Gauss per il campo elettrico. La legge che si ricava, detta legge di Ampère, costituisce, sebbene in forma ancora incompleta, la Quarta Equazione di Maxwell Si studiano i campi magnetici generati da semplici distribuzioni di corrente e si discute il campo magnetico generato da un dipolo.

3 La legge di Biot-Savart Le correnti generano campi magnetici H.C. Oersted (1820) momento torcente sull ago magnetico prima evidenza della connessione elettricità-magnetismo

4 La legge di Biot-Savart Procedura per il calcolo del campo magnetico Campo elettrico de 1 = 1 dq 1 4πε 0 r û 2 r = 1 dq 1 r 4πε 0 r 3 E 1 = 1 dq 1 4πε 0 r û 2 r = 1 dq 1 4πε 0 r 3 Forza elettrostatica (sorgente x campo) d F 21 = dq 2 E1 r elementi di carica Campo magnetico (A.M. Ampère 1820 sulla base dei risultati sperimentali) Forza magnetica (sorgente x campo?) d F 21 = i 2 d s 2 B 1 direzioni delle correnti d B 1 = k i 1 d s 1 û r r 2 comporta prodotti vettore = k i d 1 s 1 r r 3 elementi di corrente

5 La costante k della legge della magnetostatica (1) In elettrostatica si fissa l unità di carica il coulomb (C) (in funzione dell unità di " corrente l ampere (A)) e si determina la costante ε 0 (2) In magnetostatica si fissa il valore della costante e si determina l unità di " corrente l ampere (A) k =10 7 tesla metro ampere µ 0 = 4π 10 7 T m A k = µ 0 T m 4π =10 7 A (permeabilità magnetica del vuoto) Relazione tra ε 0 e µ 0 c = 1 µ 0 ε 0 le due costanti non sono indipendenti

6 Campo magnetico di una distribuzione arbitraria di corrente Legge di Biot-Savart analogie con la legge di Coulomb db = µ 0 ids u r = µ 0 ids r 4π r 2 4π r 3 db = µ 0 idssenφ 4π r 2 Campo magnetico totale B = db = µ 0 4π ids u r = r 2 µ 0 4π id s r r 3 Campo magnetico generato da ( ids 1 ) Integrale di vettori, bisogna considerare che i d B possono avere diverse direzioni

7 Applicazioni della legge di Biot-Savart Filo rettilineo infinito Campo generato dall elemento di corrente orientazione ortogonale entrante ( ds r ) db = µ 0i dzsenφ B = db = µ 0i 4π r 2 4π z=+ z= senφdz r 2 r = z 2 + R 2 ; senφ = sen( π φ) = R z 2 + R 2 R B = µ 0 i 4π z=+ Rdz z= ( ) 3/2 z 2 + R 2 = µ i $ ' 0 & z ) 4π R &( z 2 + R 2 ) 1/2 ) % ( z=+ z= = µ 0 i 2π R B = µ 0i 2π R analogia con l elettrostatica [inv. proporz. alla distanza]

8 Spira circolare Applicazioni della legge di Biot-Savart le componenti d B R si annullano B = db z = db cosα R db = µ 0i dssen 90 4π r 2 db z = µ i 0 ds cosα 4π r 2 r = R 2 + z 2 ; cosα = R r = R db z = µ 0i 4π R ( R 2 + z 2 ) R 2 + z 2 3/2 ds B = db z = µ 0i R ds = 4π ( R 2 + z 2 ) 3/2 µ 0 ir 2 ( ) 3/2 2 R 2 + z 2

9 Applicazioni della legge di Biot-Savart Spira circolare R B = µ 0 ir 2 ( ) 3/2 2 R 2 + z 2 Lungo l asse della spira al centro della spira lungo l asse B = per punti lontani B = µ 0i 2R µ 0 ir 2 2 R 2 + z 2 (valore massimo) ( ) 3/2 (valore decrescente con z) ( z >> R) B = µ 0 ir2 2z 3 Verso del campo definito dalla regola della mano destra Bobina circolare di N spire area della spira per punti lontani B = µ 0 Niπ R 2 = µ 0 NiA = µ 0 2π z 3 2π z 3 2π µ z 3 momento di dipolo magnetico

10 Esempi Similitudine fra momenti di dipolo elettrico e magnetico dipolo nel campo campo generato dal dipolo La similitudine cessa di sussistere a brevi distanze Atomo di idrogeno: raggio dell orbita dell elettrone R=5, m; frequenza di rivoluzione ν=6, Hz. Calcolare il campo magnetico sul nucleo ed il momento di dipolo magnetico corrente campo magnetico momento di dipolo magnetico i = eν = ( 1, C) ( 6, Hz) =1, A B = µ 0i 2R ( )( 1, A) ( ) 4π 10 7 Tm/A = 2 5, m =12, 6 T µ = ia = ( 1, A) ( π )( 5, m) 2 = 9, Am 2

11 Linee di forza del campo magnetico Utili per visualizzare i campi Filo rettilineo Filo immerso in un campo uniforme forza sul filo F = i L B e Le linee del campo magnetico sono chiuse

12 Due conduttori paralleli elettrostatica carica E carica magnetostatica corrente B corrente campo generato da i 1 B 1 = µ 0i 1 2πd forza su i 2 sul tratto L diretto verso il basso F 21 = i 2 L B Reciprocamente i 2 genera B 2 che esercita una forza F 21 = i 2 LB 1 = µ Li i πd = 2k Li i 1 2 d F 12 = F 21 sul filo 1. diretta verso il filo 1 correnti parallele e concordi si attraggono, correnti parallele e discordi si respingono opposta alla regola per le cariche elettriche La forza fra fili paralleli è stata utilizzata per definire l ampere L ampère La corrente che scorrendo in ciascuno di due fili rettilinei paralleli a distanza di un metro l uno dall altro esercita una forza di 2x10-7 N per metro di lunghezza

13 La legge di Ampere elettrostatica magnetostatica Legge di Coulomb Semplifica il calcolo in condizioni di simmetria Legge di Biot-Savart Legge di Gauss Legge di Ampère I a Eq. di Maxwell È più generale e fondamentale IV a Eq. di Maxwell (da completare) circuitazione integrale di linea (chiusa immaginaria) B d s = µ 0 i corrente concatenata alla spira La legge di Ampère!

14 correnti concatenate La legge di Ampere Segno delle correnti con la regola " della mano destra rispetto al senso del percorso scelto sulla spira B d s = µ 0 i filo rettilineo indefinito i = i 1 i 2 i 3 contribuisce al campo ma non cambia la circuitazione Situazione simmetrica nota: spira piana e spira non-piana spira amperiana B ds = Bdscosθ = B ds = B( 2πr) B( 2πr) = µ 0 i B = µ 0i 2πr

15 Dimostrazione (semplificata) della legge di Ampere Filo rettilineo indefinito spira amperiana su un piano perpendicolare al filo B! 0 corrente concatenata Dalla legge di Biot-Savart a raggio r giace nel piano Si calcola la circuitazione! " B 0 d l! = µ 0i ˆt d l! 2π " = µ 0i r 2π l B 0 = µ 0 i 2πr ˆt l! l versore tangente alla circonferenza di raggio r 1 dl cosθ = µ 0i r 2π! l ds r tratto elementare di circonferenza (angolo da dal centro) l! B 0 d l! " = µ 0 i 2π 2π rdα r! = µ 0 i dα 2π! = µ i 0 2π 2π = µ i 0 Questa relazione si applica a tutte le correnti concatenate 2π

16 Dimostrazione (semplificata) della legge di Ampere Corrente non concatenata l B 0 dl = B 0 d l l 1 + l 2 B 0 d l l B 0 d l = µ i # 0 % 2π $ % A 2 A 1 & dα + dα( '( = A 1,l 1 A 2,l 2 = µ i 0 2π #$ ( α α 2 1) + ( α 1 α 2 ) & ' = 0 Il valore della circuitazione non dipende dalla forma della linea chiusa ma dal suo grado di concatenazione con il filo La legge di Ampère si estende a tutti i possibili casi

17 Esempi Filo lungo orizzontale fissato ad un supporto, corrente i a =96 A. Filo sottile parallelo al di sopra, corrente i b =23 A, peso 0,073 N/m. Calcolare la distanza che permetta di sostenerlo magneticamente. F = µ 0Li a i b 2πd d = µ 0 i a i b 2π F / L ( ) ( ) 96A ( )( 23A) ( ) 4π 10 7 Tm/A = 2π 0,073N/m = 6, 0mm correnti in verso opposto Derivare una espressione di B ad una distanza r dal centro di un filo cilindrico lungo di raggio R con r<r. Nel filo scorra una corrente uniforme sulla sezione del filo. corrente nella superficie racchiusa dalla spira ( ) = µ 0 # i πr2 B 2πr! " π R 2 $ & % interno B = µ 0 ir 2π R 2 r r 1 esterno B = µ 0 i 2πr

18 Solenoidi e toroidi Dispositivi pratici basati su avvolgimenti di spire di corrente Vengono impiegati per generare campi magnetici uniformi (condensatori per il campo elettrico) Solenoide stirato il campo tende ad annullarsi all esterno campo magnetico uniforme e parallelo all asse Solenoide reale il campo si annulla fra fili adiacenti elica fitta, molto più lunga del diametro Lontano dalla idealità, lunghezza non molto maggiore del diametro campo debole

19 Solenoide ideale (infinitamente lungo) ab in posizione parallela qualsiasi Legge di Ampère B d s = µ 0 i B d s = b B ds + a c B ds + b d B ds + c a d B d s = Bh = µ 0 i Bh = µ 0 i = µ 0 i 0 nh B = µ 0 i 0 n numero di spire/metro B non dipende dal diametro (del solenoide) né dalla sua lunghezza. B è costante su tutta la sezione del solenoide

20 Toroidi spira esterna Legge di Ampère B d s = µ 0 i all interno del toroide B( 2πr) = µ 0 i 0 N B = µ i N 0 0 2πr Il toroide è un solenoide piegato a ciambella B = µ 0 i 0 N 2πr = µ 0i 0! # " N 2πr $ & = µ 0 i 0 n % la direzione segue la regola della mano destra il campo non è costante sulla sezione del toroide all esterno del toroide B d s = µ 0 i B 2π R ( ) = 0 B = 0 densità di spire

21 Campo esterno ad un solenoide il campo esterno non è veramente nullo componente tangenziale di B B t B B t = ( 2π r) = 0i0 B t µ µ 0i0 2πr µ i0 / µ i = (filo rettilineo) 2πr n 0 = πrn la superficie taglia una spira trasporta la corrente da sinistra a destra diametro del filo: D=1/n B t B = D 2πr B t molto più piccolo di B