APPENDICE MATEMATICA E TRIGONOMETRIA A.1.1 FREQUENZE DELLA SCALA CROMATICA TEMPERATA
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- Geronima Di Gregorio
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1 APPENDICE MATEMATICA E TRIGONOMETRIA A.1.1 FREQUENZE DELLA SCALA CROMATICA TEMPERATA ottave DO DO# RE RE# MI FA FA# SOL SOL# LA LA# SI
2 A.1.2 CENNI DI MATEMATICA - LOGARITMI Si definisce logaritmo in base b di un numero a quel numero che elevato alla base b dà il numero in questione, cioè se c=log b a allora b c = a. I logaritmi possono essere in qualsiasi base, ma per scopi musicali quelli più utilizzati sono quelli in base 2 e quelli in base 10. I logaritmi in base 2 trovano applicazione nella conversione tra frequenza (in Hz) e altezza (in intervallo) dei suoni. Infatti si ha altezza = log 2 (frequenza / frequenza del DO 0 ) e frequenza = (frequenza del DO 0 ) * 2 altezza Se si vuole, per esempio, calcolare l altezza di un suono di 440 Hz: altezza = log 2 (440 / ) = LA 3 E, viceversa, per calcolare la frequenza di un LA 3 : frequenza(la 3 ) = * = 440 Hz A.1.3 CENNI DI MATEMATICA - DECIBEL L orecchio è sensibile a grandissime variazioni di intensità sonora. Per evitare allora numeri con troppi zeri, si ricorre alla forma esponenziale di quei numeri. Dato che, per esempio, il numero è esprimibile come 1 * se consideriamo il solo esponente, avremo a che fare con sole due cifre invece che con 15. Si definisce allora un comodo modo per esprimere grandezze che possono assumere valori molto diversi fra loro (cioè variabili entro una vasta gamma) 2 Storia dei linguaggi di sintesi
3 mediante l uso del decibel (1/10 di Bel, dal fisico americano Alexander Graham Bell, simbolo db), che è definito come: db = 20 * log (A) / log (A 0 ) in cui A è il valore sottoposto a misura, e A 0 è il valore di riferimento, ossia il valore preso convenzionalmente come zero. Il decibel non è quindi una unità di misura, come l Hertz o il metro, ma solo un modo convenzionale per esprimere il rapporto fra due grandezze. Anche se, in genere, in acustica viene impiegato per esprimere l ampiezza o l intensità sonora di un segnale, nulla vieta di applicare questo metodo di misurazione alla frequenza o ad altre grandezze. Un semplice calcolo permette di compilare la seguente tabella di corrispondenza fra decibel e grandezze assolute: db valore db valore db valore db valore A.1.4 CENNI DI TRIGONOMETRIA - MISURA DEGLI ANGOLI Un qualsiasi angolo può essere misurato utilizzando due diverse unità di misura: il grado sessagesimale (la trecentosessantesima parte di un cerchio o angolo giro) oppure il radiante, che è quell angolo per cui l arco sotteso uguaglia il raggio (fig.a-1-1), cioè per il quale AB = OA. Questo angolo vale dunque: 1 rad =
4 e il suo valore può essere ricavato ricordando che la circonferenza del cerchio vale: 2 *π* r = * r se r = 1 allora l angolo per cui l'arco sotteso vale 1 sarà appunto: 180 /π = 180 / = Fig. A-1-1 A.1.5 CENNI DI TRIGONOMETRIA - FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Dato un certo angolo α (fig. A-1-1), il rapporto fra AC e r (=OA) si chiama seno dell angolo e si indica con sin(α), mentre il rapporto fra OC e r si chiama coseno dell angolo, e si indica con cos(α). Il rapporto fra AC ed OC (uguale al rapporto fra HB e OH) si chiama tangente dell angolo, e si indica con tg(α). Per r = 1, si ottengono i seguenti valori fondamentali di queste tre funzioni trigonometriche: gradi sin(α) cos(α) tg(α) gradi sin(α) cos(α) tg(α)
5 A.1.6 CENNI DI TRIGONOMETRIA - ESPRESSIONE IN RADIANTI Con riferimento a quanto detto in A.1.4, per un angolo di 360 l'arco coincide con l intera circonferenza, che equivale a 2π; quindi 2 * π * r 360 = rad = 2 * π rad r Riportiamo in tabella la corrispondenza fra radianti (misurati in frazioni di π) e angoli sessagesimali: gradi rad gradi rad gradi rad gradi rad π/2 180 π 180 3/2π A.1.7 CENNI DI TRIGONOMETRIA - LEGAME CON IL TEMPO È possibile costruire per via grafica le funzioni trigonometriche descritte, semplicemente misurando sul cerchio trigonometrico di fig. A-1-1 i valori delle funzioni stesse in corrispondenza di intervalli regolari di un angolo θ. Se poi si immagina che il raggio che forma l angolo θ ruoti in senso antiorario con velocità costante, è possibile legare le funzioni trigonometriche al tempo. Detta infatti ω la velocità angolare, cioè l angolo che il raggio descrive in 1 secondo, l angolo descritto in un tempo qualsiasi t sarà: θ = ω * t Se il raggio descrive l intera circonferenza f volte al secondo, l angolo (espresso in radianti) percorso in 1 secondo sarà: θ = 2 * π * f * t dove f è precisamente la frequenza del moto armonico. Se si sceglie un raggio di dimensione arbitraria A, A sarà la massima ampiezza del moto armonico, e l espressione dell ampiezza istantanea (l ampiezza in un qualsiasi momento) sarà dunque: I = A * sin ( 2*π*f*t ) 5
6 È questa l'equazione del moto armonico sinusoidale. Se poi, invece di iniziare all istante 0, il moto inizia all istante t 0, anche questo ritardo può essere espresso in funzione di un angolo, che solitamente si indica con ϕ. L equazione del moto armonico sinusoidale, completa del ritardo di fase, è quindi: I = A * sin (2*π*f*t + ϕ) 6
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