Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine

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1 Equazini differenziali rdinarie del rim rdine DEFINIZIONE Dicesi equazine differenziale rdinaria del rim rdine una equazine nella quale figura cme incgnita una funzine stabilisca un legame fra la variabile, la funzine e la derivata La frma generale dell equazine differenziale del rim rdine è la seguente : dve F è una funzine delle variabili, F,, 0 [], della sla variabile e che di questa funzine. ensate indiendenti tra lr e definite in un insieme aert A R. Nell equazine [] ssn nn cmarire la, la entrambe, ma la deve essere semre resente. Se l equazine [] è rislta risett alla variabile, assume il seguente asett: f, [] e diciam che l equazine differenziale del rim rdine è scritta in frma nrmale in frma cannica. Ogni funzine che sstituita, assieme alla sua derivata rima, nella data equazine differenziale trasfrma l equazine in una identità F,, 0 raresenta una sluzine un integrale dell equazine differenziale [] ed il su grafic si chiama curva integrale. Rislvere integrare l equazine differenziale [] significa trvare tutte le sue sluzini. L equazine differenziale f, ssiede infinite sluzini esresse dalla frmula, C sluzini C che, di slit, sn cntenente una cstante arbitraria C. Csì una famiglia di, è chiamata sluzine generale integrale generale dell equazine differenziale []. Attribuend alla cstante C valri articlari tteniam le sluzini articlari integrali articlari dell equazine differenziale [].

2 Terema di Cauch Sia f, una funzine di due variabili, definita in un cert insieme aert D R del ian ed ivi cntinua assieme alla derivata arziale risett ad ( f ). Stt queste itesi, se, è un unt qualsiasi dell insieme D, l equazine differenziale f una ed una sla sluzine, ammette definita in un rtun intrn I ] a, b[ ] h, h[ del unt sddisfacente la cndizine: 0 [] I numeri ed sn detti valri iniziali er la sluzine detta cndizine iniziale er questa sluzine. Il rblema di determinare la sluzine rblema di Cauch. e la cndizine [] è sddisfacente la cndizine iniziale [] dicesi OSSERVAZIONE Abbiam vist che le sluzini dell equazine differenziale f, si ssn esrimere mediante una famiglia di funzini, c diendenti da un arametr reale C. Abbiam dett anche che la funzine, c è l integrale generale dell equazine differenziale []. Fissat il unt D R,, se esistn un intrn ed una funzine : ] a, b[ R derivabile, tali che: a b ], [, D ( cndizine iniziale ) I ] a, b[ ] h, h[ del unt f, ] a, b[ direm che la funzine è una sluzine ( lcale ) del rblema di Cauch :, f Nella ratica, er trvare una sluzine lcale del rblema di Cauch si rcede cme segue : ) si calcla l integrale generale, c dell equazine differenziale [] ) si determina C in md che si abbia, C. Suniam di trvare er C il valre C ) la sluzine lcale del rblema di Cauch è:, L intrn C I ] a, b[ ] h, h[ nn è, in generale, un dat del rblema, ma una incgnita che viene trvata a sterire, ciè d avere rislt l equazine differenziale.

3 Quand, invece, è ssibile fissare a riri ( ciè rima della risluzine dell equazine differenziale ) l intervall I ] a, b[ ] h, h[, si dice che il rblema di Cauch è rislubile glbalmente in I ] a, b[ ] h, h[. La sluzine Interretazine gemetrica del terema di Cauch sddisfacente la cndizine [], la cui cndizine è garantita dal terema di Cauch, raresenta gemetricamente una curva integrale assante er il unt P,. << Per gni unt P TEOREMA, di D assa una ed una sla curva integrale dell equazine [] >> Dal terema enunciat segue che l equazine differenziale [] ammette infinite curve integrali, tali che er gni dat unt di D, ne assi una sla. Si sservi che il terema di Cauch garantisce l esistenza e l unicità della sluzine, C sltant in un cnveniente intrn I del unt iniziale. Si dimstra che la curva integrale assante, ad esemi, er il unt P, si rlunga fin ad incntrare la frntiera dell insieme D, il quale è, ertant attraversat da curve integrali che nn si incntran, in quant er gni unt di D ne assa una sltant. DEFINIZIONE: Si chiama integrale generale sluzine generale dell equazine differenziale f, una funzine, C una cstante arbitraria C, sddisfacente le seguenti cndizini : [4] della variabile e di ) verifica l equazine differenziale, qualunque sia il valre numeric attribuit alla cstante C ) se P, è un qualunque unt dell insieme D, è ssibile ( in un sl md ) determinare, C un valre C er cui risulti : A vlte, uò caitare che l integrale generale dell equazine [] sia calclat stt frma imlicita mediante una relazine del ti:,, C 0 DEFINIZIONE: Si chiama integrale articlare sluzine articlare dell equazine differenziale [], gni funzine generale C, C [5] dedtta dalla sluzine,, sstituend in quest ultima funzine il generic valre della cstante C cl valre articlare ttenut C in crrisndenza ad un refissat unt iniziale P, di D.

4 Integrali singlari di frntiera er l equazine differenziale f, Nelle itesi del terema di Cauch, cmunque si fissi un unt P, dell insieme aert D, e quindi intern a D, esiste un ed un sl integrale dell equazine differenziale [] sddisfacente la cndizine iniziale []. Suniam di scegliere il unt P, sulla frntiera di D e di cercare ancra un integrale dell equazine [] sddisfacente alla []. In quest cas il terema di Cauch nn è iù alicabile in quant ess è valid sl er unti interni del dmini della funzine f,. Tuttavia, susta ƒ cntinua in D e sulla frntiera di D, uò darsi che esistan ugualmente una iù curve integrali sddisfacenti alla cndizine []. Si ssn resentare due casi: Prim cas La curva integrale assante er il unt P funzine, ha unti interni a D, La, C raresenta un integrale articlare dell equazine differenziale [], in quant ess si ttiene dall integrale generale, c er un valre articlare di C Secnd cas : La curva integrale giace interamente sulla frntiera dell insieme D. In quest cas l integrale trvat raresenta un integrale singlare dell equazine differenziale [] in quant ess nn trà mai essere ricavat dall integrale generale mediante la sstituzine della cstante C cn un su valre articlare ( e nemmen er C ). DEFINIZIONE : Si chiama integrale singlare integrale di frntiera dell equazine differenziale [] gni eventuale integrale la cui crrisndente curva integrale risulta tracciata interamente sulla frntiera dell insieme D. Un integrale singlare è un integrale articlare che nn uò essere dedtt dall integrale generale attribuend alla cstante C un valre articlare. Cncludend ssiam affermare che l integrale singlare di una equazine differenziale del rim rdine f una funzine, è il cui grafic cincide cn la frntiera del dmini della funzine f, cn una sua arte. 4

5 Equazini differenziali a variabili searate Una equazine differenziale del rim rdine si dice a variabili searate, in un cert insieme D, quand uò essere scritta nella seguente frma: dbd0 A [6] ciè quand il cefficiente del differenziale d è una funzine della sla ed il cefficiente del differenziale d è una funzine della sla. La [6] uò essere scritta anche nella seguente maniera: A0 B [7] L integrale generale dell equazine differenziale a variabili searate si ttiene integrand d amb i membri della [6]. Otteniam: d B A C [8] d d d d C C <<Rislvere il seguente rblema di Cauch: d d 0 >> d d ln ln C ln C C ( se C R allra anche h C aartiene ad R ). 0 h e C e he Abbiam csì rislt il rblema di Cauch rst ttenend il seguente integrale articlare : e che teva essere ricavat anche utilizzand i seguenti integrali definiti: d 0 d ln ln ln e Equazini differenziali a variabili searabili Sess avrem a che fare cn equazini differenziali del rim rdine in cui le variabili nn sn inizialmente searate ma l ssn essere mediante semlici erazini algebriche. Una equazine del rim rdine si dice a variabili searabili quand uò essere scritta nella seguente frma cannica : MdB Nd0 A [9] ciè quand i cefficienti dei differenziali d e d sn entrambi i rdtti di una funzine della sla er una funzine della sla, nn escludend che il cefficiente del differenziale d ssa essere funzine della sla e quell del differenziale d ssa essere funzine della sla. Nell equazine trvata nn cmare il valre asslut nell argment del lgaritm in quant la è maggire di 5

6 Una equazine differenziale del rim rdine a variabili searabili uò resentarsi anche nella seguente frma: MB N 0 A [0] in una delle due seguenti frme : A B ure A B [] L equazine [9] diventa una equazine differenziale a variabili searate se dividiam amb i membri er il rdtt M B M né, ricrdand che la divisine è lecita in un insieme D dve né B si annullan. D la divisine tteniam: A B N d M Pi si rcede cme nel cas recedente delle equazini a variabili searate. d0 [] Se abbiam B 0 ure M 0 allra le equazini, ssn essere sia integrali articlari che integrali singlari. Si dvrà decidere cas er cas. Sarann integrali articlari se tali equazini trann essere dedtte dall integrale generale assegnand alla cstante C valri articlari ( al limite anche il valre infinit ). d d0 Searand le variabili ssiam scrivere l equazine rsta nella frma: d d 0 ln d d d ln ln ln C ln ln C ln C Ce (integrale generale) è un integrale articlare er l equazine rsta in quant ess uò essere dedtt dall integrale generale quand alla cstante C attribuiam il valre zer. C 0 0 d d d d d d C C C In quest cas l integrale generale nn uò essere esress in frma eslicita 6

7 << Rislvere la seguente equazine differenziale a variabili searabili : d d 0 >> d d d d ln ln ln C ln ln C C C Ma C è una cstante reale relativa e quindi è lecit rre : C h h è l integrale generale dell equazine differenziale rsta. Questa equazine differenziale nn ammette integrale singlare in quant il dmini dell equazine è R, ciè l inter ian, la cui frntiera è la retta imrria, ciè l insieme dei unt imrri del ian. << Rislvere il seguente rblema di Cauch d d 0 >> equazine : h h La curva integrale assante er il unt P. Si uò rcedere anche nella seguente maniera :, ha d d ln ln ln ln ln ln Integrale generale, integrale articlare, integrale singlare Le equazini differenziali a variabili searabili ssn essere semre ricndtte alla seguente frma cannica nrmale: A B la seguente sluzine : [] [] ed ammettn cme integrale generale B d A d D avere calclat l integrale generale bisgna rislvere l equazine essa ammette sluzini. Se è una di queste, ciè se sluzine dell equazine rsta in quant risulta B K B 0 e vedere se 0 allra l equazine è una 0 ed anche 0 A 0, 0 0 Bisgna i stabilire sl se raresenta un integrale articlare un integrale singlare. ln ln ln K K K nend C K tteniam l integrale generale: essere ricavat dall integrale generale er C 0 C B 0 integrale articlare in uò Essend > ed > l argment di ciascun lgaritm è sicuramente sitiv e quindi nn ccrre il valre asslut 7

8 cme abbiam vist in recedenza il su integrale generale è C [] ure h [] se niam C kh h k B 0 0 che si ttiene dall integrale generale [] er C dall integrale generale [] er k 0. Si tratta ertant di un integrale articlare. Le sluzini dell equazine d d C sin C B 0 sn e nn rientran, nemmen cme cas limite, nella famiglia delle sinusidi sra scritta. Questa vlta siam in resenza di due integrali singlari Il dmini dell equazine differenziale rsta si ttiene rislvend la seguente inequazine : 0 er Il dmini richiest è la arte di ian interna alla striscia individuata dalle rette, rette che raresentan la frntiera del dmini. CONCLUSIONE Nei rimi due esemi le sluzini dell equazine 0 articlari, nel terz esemi le sluzini dell equazine 0 B dann lug ad integrali B raresentan integrali singlari ed esrimn la frntiera dell insieme di esistenza (dmini) dell equazine differenziale rsta. 8

9 Equazine lineare del rim rdine mgenea E una equazine differenziale ricnducibile alla seguente frma cannica: a 0 [4] Si tratta di una equazine mgenea a variabili searabili che saiam integrare. d d ln h a, d a d, d a d k ln h, ln ln a d, h a d e he a d a d he [5] è l integrale generale dell equazine differenziale [4]. h a d 0 he d = he d d ln h e ln h 0 si ttiene er h 0 e quindi raresenta un integrale articlare. Equazine lineare del rim rdine cmleta Una equazine differenziale si dice lineare del rim rdine cmleta quand è ricnducibile alla [6] seguente frma cannica: a f dve a ed f sn funzini cntinue in un rtun intervall refissat. La funzine è l incgnita dell equazine differenziale. L integrale generale differenziale [6] è dat dalla smma dell integrale generale mgenea assciata e di un integrale articlare Siccme il calcl dell integrale articlare dell equazine dell equazine dell equazine differenziale cmleta. nn semre è agevle è referibile utilizzare, er integrare l equazine differenziale [6] il metd della variazine della cstante arbitraria ( metd di Lagrange) il metd dirett dett anche metd della smiglianza metd di Cauch metd della frma del termine nt. [4] Cnsideriam l equazine mgenea assciata: a 0 il cui integrale generale è: a d h e [5] 9

10 Vediam adess, se er cas, l integrale generale dell equazine differenziale [6] ha cme integrale generale una funzine frmalmente identica alla funzine [5] che è l integrale generale dell equazine mgenea assciata. Il tentativ ha esit sitiv se sstituiam la cstante arbitraria h cn la funzine determinare, vediam ciè se la funzine a d e A [7] da ( h st er cmdità A e a d ) uò essere cnsiderata l integrale generale dell equazine differenziale [6]. La funzine [7] è l integrale generale dell equazine differenziale [6] se essa, assieme alla sua derivata rima, verifica l equazine [6]. Ricrdand che: A a A ssiam scrivere: A A A a A Sstituend nella [6] tteniam: Aa A a A f Semlificand tteniam: A f, [ d f A d Integrand amb i membri tteniam : f d A f A d Sstituend nella [7] tteniam: d d ] d a d a d e e f d C [8] d d f A La funzine della frmula [8] è l integrale generale dell equazine differenziale [6]. Quindi er calclare l integrale generale dell equazine differenziale [6] basta alicare la frmula [8]. Tuttavia, nel cas di risluzine di una equazine differenziale lineare del rim rdine cmleta, è cnsigliabile nn alicare direttamente la frmula trvata (anche quand un la riuscisse a ricrdare) ma effettuare tutti i calcli fin alla determinazine dell integrale generale richiest. 4 4 Le equazini lineari del rim rdine nn ammettn integrali singlari e l integrale generale riassume in sé tutti gli integrali dell equazine 0

11 Osservazine: Trvat l integrale generale a d h e h A dell equazine mgenea assciata ved se ss trvare un integrale articlare dell equazine cmleta avente la seguente struttura: rim rdine cmleta ssiam rcedere in due mdi:. Per calclare l integrale generale dell equazine lineare del (0) Se la funzine è riva della cstante additiva, allra è un integrale articlare dell equazine differenziale cmleta. Per calclare l integrale generale dell equazine differenziale cmleta a f la seguente frmula:. bisgna alicare () Se la funzine C, cntiene la cstante additiva, allra l integrale generale dell equazine differenziale cmleta basta alicare la seguente frmula:, C A Prblema di Cauch er le equazini lineari del rim rdine Sia un unt di un intervall dve a e f sn cntinue. Per gni numer reale è ssibile scegliere in maniera univca la cstante C in md da sddisfare la cndizine iniziale. Ciò equivale a rislvere il seguente sistema, dett rblema di Cauch: a f si Sintesi: Per rislvere l equazine lineare cmleta del rim rdine a f rcede cme segue: 0) Si calcla l integrale generale he a d dell equazine mgenea assciata a 0 che è un equazine differenziale a variabili searabili 0) Si sstituisce nell integrale generale he a d e si determina in md che la nuva funzine la cstante h cn la funzine incgnita a d generale dell equazine lineare cmleta del rim rdine a f 0) Si calcla la derivata rima della funzine a f i valri di e di e sia l integrale a d e e sstituiam nell equazine, imnend che l uguaglianza trvata sia una identità.

12 04) Quest ci cnsente di determinare in maniera univca il valre della funzine. Osservazine: Per la risluzine dell equazine lineare cmleta del rim rdine a f è iù cnveniente alicare il metd della variazine della cstante arbitraria a f Scriv l equazine mgenea assciata: 0 d d d d d d ln ln lnc ln lnc C 5 C Sstituend nell equazine rsta tteniam: 4 5 d C 4 d 4 d C, 4 Se nella risluzine dell integrale d 4 d C 5 d C tralasci la cstante C, tteng un 5 5 integrale articlare dell equazine differenziale rsta L integrale generale generale. di tale equazine è dat dalla smma dell integrale dell equazine mgenea assciata e di un integrale articlare dell equazine differenziale cmleta.. Nel nstr abbiam: C 5 5 che è l stess risultat ttenut in recedenza. Osservazine: Se la funzine è riva della cstante additiva, allra è un integrale articlare dell equazine differenziale cmleta. Per calclare l integrale generale dell equazine differenziale cmleta a f la seguente frmula:. Se la funzine C, allra l integrale generale seguente frmula:, C A bisgna alicare cntiene la cstante additiva, dell equazine differenziale cmleta basta alicare la

13 Equazine lineare del secnd rdine mgenea a cefficienti cstanti E una equazine ricnducibile alla seguente frma: Ae B e se radici realieedistinte a b c 0 cs sin A e B e A B e se A q B q e se qi 9 cn a, b, c cstanti numeriche reali. Per trvare l integrale generale dell equazine 9 basta trvare due integrali articlari linearmente indiendenti. La natura dell equazine rsta ci suggerisce la ricerca tra le funzini del ti e cn cstante reale. Infatti, funzini di quest ti hann derivate rime e secnde che assmiglian alla funzine di artenza e che, quindi, mltilicate er rtuni numeri a, b, c ssn dare una funzine identicamente nulla. Pertant se vlte abbiam: Sstituend nell equazine differenziale 9 tteniam: L equazine in e a e b e c e e è una sluzine dell equazine [9], derivand due e 0 ciè: e a b c 0 e 0 R 0 0 a b c csì ttenuta dicesi equazine caratteristica dell equazine differenziale lineare del secnd rdine mgenea. Le radici, dell equazine 0 ssn essere reali e distinte, reali e cincidenti, cmlesse e cniugate a secnda che il discriminante b 4 ac sia risettivamente sitiv, null, negativ. Si ssn resentare tre casi: PRIMO CASO: Le radici, dell equazine [0] sn reali e distinte. L equazine 9 ha cme integrali articlari le funzini: e e che sn fra lr linearmente indiendenti. L integrale generale dell equazine differenziale Determinare la funzine 9 è: c e c e cstituisce il csiddett rblema di Cauch. che sddisfa l equazine differenziale e le cndizini iniziali

14 0 Se le cndizini iniziali sn 0 0, 0 articlare (I.P.) si ricava imnend le seguenti cndizini: c c c c 5 c c alle cndizini iniziali 0, 0 5 è: e e c e c e 5 allra la crrisndente sluzine c e c e c e c e L integrale articlare assciat SECONDO CASO: Le radici, dell equazine [0] sn reali e cincidenti. b ( a ) e, e L integrale generale della [9] è: c e c e c c e c c e TERZO CASO: Le radici q i e q i sn cmlesse e cniugate. e quindi l' integrale generale dell'equazine mgenea [] è: C e q C e q C q C q e [] cs sin cs sin In quant due integrali articlari fra lr linearmente indiendenti ci vengn frniti dalle due seguenti funzini: e cs q e sinq i i cs sin e C C Equazine lineare del secnd rdine cmleta a cefficienti cstanti E una equazine ricnducibile alla seguente frma: a b c f 4 cn a, b, c cstanti numeriche reali. Per itesi sn nte le tre cstanti a, b,c e la funzine <<L integrale generale integrale generale dell equazine cmleta>>. f. dell equazine cmleta si ttiene aggiungend all dell equazine mgenea assciata un integrale articlare 4

15 L integrale articlare l ssiam calclare: 0) alicand il metd di Lagrange della variazine delle cstanti arbitrarie 0) ure tenend resente la articlare struttura della funzine f (metd di Cauch della frma del termine nt dei cefficienti indeterminati). Metd di Lagrange Per alicare quest metd dbbiam cnscere l integrale generale della crrisndente equazine mgenea. Il metd di Lagrange è alicabile sia se a,b,c sn cstanti sia se sn delle funzini della. Nella ratica erò quest metd è cnveniente sl quand l equazine mgenea assciata è a cefficienti cstanti, in quant in quest cas saiam calclare l integrale generale. Trvati gli integrali articlari ed dell equazine mgenea assciata ssiam scrivere il su integrale generale nella seguente maniera: c c 5 Pi cercherem di trvare un integrale articlare dell equazine [4] avente la seguente struttura: dve [5] e sn due funzini delle da determinare imnend che la funzine sluzine dell equazine differenziale [4] ed ed sia sn due integrali articlari linearmente indiendenti dell equazine mgenea assciata a b c 0. Rislvend il sistema : e e. 0 f ci trviam rima le funzini e, successivamente, attravers altre due integrazini, determiniam le funzini L integrale generale dell equazine differenziale [4] risulta uguale a: tg 0 0 i c cs c sin cs sin sin cs 5 ed c c 0 debbn essere linearmente indiendenti, ciè tali che:, e c c 0 5

16 Il sistema da rislvere è: W cs sin cs cs sin sin sin cs 0 sin tg cs W W sin W W cs 0 tg cs 0 sin sin tg sin cs sin cs W W sin sin cs d d cs d sinlntg k sin cs d sin d sin d cs k cs 4 dve k e k sn due cstanti arbitrarie. sin ln tg sin cs cs 4 = sin lntg sin c c sin cs cs cs 4 cs 4 lntg c csc sin Dimstrazine: Ni dbbiam determinare due funzini e che debbn verificare l equazine [4]. Quest ci dà una relazine tra le due funzini incgnite e. Ma, in generale, er determinare due quantità incgnite ni dbbiam avere due relazini. La secnda relazine la ssiam intrdurre arbitrariamente. Derivand l uguaglianza [5] tteniam: Può essere mlt cnveniente di imrre cme secnda relazine tra che l esressine della e la cndizine sia frmalmente identica all esressine dell integrale articlare, ciè alla [5]. Quest biettiv ci imne di rre: 0 [A] [B] Adess ci calcliam la derivata secnda della funzine Allra: : Sstituend,, nella [4] tteniam: a b c f a b c a b c a f 6

17 Le esressini resenti all intern delle arentesi rtnde sn nulle in quant le funzini sn sluzini dell equazine mgenea a b c Pertant, erché la funzine 0. ed sddisfi l equazine [4] deve essere verificata la cndizine: f Per determinare le funzini e quindi bisgna rislvere il sistema: [C] dbbiam tenere resente le cndizini [A] e [C] e 0 f Se il determinante (dett Wrnskian) del sistema di equazini [6] è divers da zer, allra ssiam determinare in maniera univca le funzini integrazini, ci cnsentn di individuare le funzini W W W 0 (Wrnskian ) W W W d Se vengn date le cndizini iniziali abbiam: W W d e e. 0 f W W W W d [6] che, cn due successive W W W d 0 f W W d d W W L integrale generale dell equazine differenziale [4] risulta uguale a: Osservazine: Se, quand integriam le funzini e, ni intrduciam le crrisndenti cstanti arbitrarie, allra tteniam direttamente l integrale generale dell equazine differenziale [4], che uò essere scritt nella seguente maniera: W W d h W W d k Cme è facile intuire, il metd aena esst er la determinazine di un integrale articlare ha il grave incnveniente di ridursi alle integrazini: d, d che, sess, resentan ntevli difficltà. Per tale ragine esrrem, in seguit, un metd mediante il quale tali integrazini si ssn evitare. Tale metd uò essere alicat quand il termine nt f dell equazine differenziale assume frme articlari. 7

18 Osservazine: Se in e Equazini Differenziali è l integrale generale rsta. Infatti: incrriam le cstanti k e k, allra dell equazine differenziale sin lntg k sin k c c sin cs cs cs 4 cs lntg k cs k sin 4 è una funzine identica a quella trvata recedentemente se niam c k e c k Metd di Cauch della frma del termine nt dei cefficienti indeterminati Serve er calclare un integrale articlare dell equazine differenziale [4] k k f b b b P Pk k k = linmi di grad k a b c k Qk se 0 0 ( c 0) Q se 0 0 ( c 0) Qk se 0 ( b c 0) k k 0 Q A A A k k cn A, A,, Ak, Ak da determinare alicand il rincii di identità dei linmi. <<Se il termine nt f dell equazine differenziale lineare cmleta del secnd rdine è un linmi, allra un su integrale articlare ci viene dat da un linmi Qk avente l stess grad k (se c 0) da un linmi di grad k (se c 0 ) da un linmi avente grad k (se b dve Qk c 0) >> r r k k Q A A A cn r 0 r r k k raresenta un linmi di grad k, ciè un linmi avente l stess grad di f, r raresenta l rdine di mltelicità della radice zer dell equazine caratteristica a b c 0. c 0 r 0 c 0 r b c 0 r Sstituend nell equazine [4] le esressini di,, ed alicand il rincii di identità dei linmi ci ricaviam i valri delle cstanti A k e quindi dell integrale articlare 0 0 f k r, Q A A [ r 0, k ], A c c e 0 8

19 A A A, A A A Se le cndizini iniziali sn: 0, 0, A A c c e tteniam: c c e c e c c c c e c c f h e cn h, R nti Ae se ( ) A e se A e se Un integrale articlare dell equazine differenziale [4] assume la frma: k A e cn k assegnat ed A da determinare. In articlare risulta: a) k 0 se nn è radice dell equazine caratteristica assciata b) k se è radice semlice dell equazine caratteristica assciata c) k se è radice dia dell equazine caratteristica assciata e 4 P a b c 0 = equazine caratteristica 4 0 Ae Ae 4Ae 8Ae Ae e Ae c e c e 4Ae e A c e c e e f P e cn k k Qk e se Qk e se Q e se P linmi di grad k e Q k k k alicand il rincii di identità dei linmi. cas k linmi di grad k i cui cefficienti vann calclati Q A A A k k k nn è radice dell equazine caratteristica assciata k A A e 9

20 Mi calcl la derivata rima e la derivata secnda della funzine, sstituisc le esressini trvate nell equazine differenziale [4], alic il rincii di identità dei linmi er calclare i valri delle cstanti A A. L integrale articlare è csì calclat. k cas è radice avente mltelicità r (ciè ure ) dell equazine caratteristica assciata e A A e r k k L equazine caratteristica dell equazine differenziale mgenea assciata è: 0 0 L equazine caratteristica dell mgenea assciata ammette la radice dia. Il su integrale generale è: C e C e Piché risulta un integrale articlare dell equazine differenziale rsta avrà la seguente struttura: B C e B B C C e B C e B C e B e B B C C e B B C C e B 6B C 6B 4C C e Sstituend nell equazine differenziale rsta tteniam: B B C B C C e B B C C e B C e e B B C B C C B B C C B C 6B C Alicand il rincii di identità dei linmi tteniam: B 0 6 e 6 C Pertant l integrale generale dell equazine differenziale rsta è: f cs k q sin k cn qk,, valri dati cs sin A k B k se, ik C e C e e 6 Acs k Bsin k se, i k A cs k B sin k se, i k A cs k B sin k, ik Prcedend cme rima ci calcliam i valri di A e di B e quindi ssiam disrre di un integrale articlare dell equazine differenziale [4]. 0

21 4 5sin 4 0, i c cs c sin e Piché risulta i i ssiam individuare un integrale articlare avente la frma: Asin B cs sin A B cs Sstituend nell equazine data tteniam: 4Acs 4Bsin 4Acs 4Bsin 8Asin 8Bcs Acs Bsin 5sin 8A 9B 5 9 A 8B 0 8 A 9 9 B cs sin c c e 9 9 cs sin cs sin f P cs k ure f Q sin k ure cs M cs k N sin k se, i k M cs k N sin k se, i k, ik k 0 equazine caratteristica cn P linmi di grad r, grad uguale al maggire dei gradi dei linmi 4 sin 0 i k 4 s Q linmi di grad s. P ed Q. R linmi di rim grad C cs C sin cs sin cn M A B, M k N k f P k Q sin k M ed N sn linmi di N C D linmi di rim grad. Essend: ki i un integrale articlare dell equazine differenziale rsta avrà la seguente struttura: cs M k N sin k ciè: cs A B C D sin 4 cs 4 sin A B cs C D sin Acs A B sin C sin A B cs A C B A D C A D C B Sstituend e semlificand tteniam: C A D cs A C B sin sin

22 Questa uguaglianza è una identità se risultan uguali i cefficienti di cs e di sin Quest si verifica se: C 0 A D 0 A C B 0 A, B 0, C 0, D sin cs C cs C sin sin cs 4sin In questa equazine differenziale abbiam: 0, k, i numeri i sn radici dell equazine caratteristica assciata 0 4 cs 4 cs A B C D sin A C B A D C A D C B sin Sstituend nell equazine data tteniam : cs C A D A C B sin sin C 0, A D 0, A, C B 0 A, B C 0, D sin cs c cs c sin sin cs c cs c sin f e cs k q sin k f e cs k sin e Acs k Bsin k se, ki e A csk B sink se, ki f e q k Essend A e B due cstanti da determinarsi. f e P cs k Qsin k f e P cs k sin M ed e M cs k N sin k se, ki e M csk N sink se, ki N sn linmi di grad uguale al maggire dei gradi dei linmi cs e M k N sin k cs e M k N sin k se f e Q k P ed Q. se i numeri k i nn sn radici dell equazine caratteristica assciata f è la smma di iù termini f f se i numeri k i sn radici dell equazine caratteristica assciata,, dei tii sra cnsiderati, allra l integrale articlare ci viene dat dalla smma degli integrali articlari crrisndenti a ciascun termine di f.

23 e e 4 [] e 4 e 6 4 e [G] 4 0,,, è radice avente mltelicità ( r ) dell equazine caratteristica., C e C e A b e, A B e A B e Ae A B e A B e Sstituend queste esressini nell equazine [G] tteniam: Ae A B e A B e 4 A B e A B e A b e e A B 0 4A A Be e 4 A A 4 B 4 Un integrale articlare della [] è: e 4 e e 4 c e c e e e 4 L integrale generale della [] è: Generalizzand il rblema ssiam affermare che la ricerca di un integrale articlare di una equazine lineare nn mgenea (a cefficienti cstanti variabili) uò, in mlti casi, essere facilitata dalla seguente sservazine. Se il secnd membr f dell equazine differenziale lineare è cstituit dalla smma di iù funzini, vale a dire f f f f cnsideran le seguenti equazini: Se a b c f a b c f a b c f, si è un integrale articlare della rima equazine, della secnda, terza, allra rsta. della è un integrale articlare dell equazine differenziale lineare Vlend, ssiam alicare quest rcediment nei seguenti casi: f cs k qsin n P e f P h e k 6 Vedere esemi recedente

24 f cs k q sin n Sintesi er le equazini differenziali del secnd rdine: a b c a a b c f = equazine caratteristica assciata ) a b c m q ) a b m q ) a m q ), ) ure ) f he f linmi in ), A B C A B C A B C A B C A B C 4 a b c h e Ae A e A e f m q e ) ure ) a b c m q e A B C e A B Ce A B C 4 A B Ce A B C f cs k q sin k a b c cs k q sin k ) ki ure ki ) ki ure ki Acs k B sin k A cs k B sink cs a b c e cs k q sin k f e k q sin k ) ki ure ki ) ki ure ki cs e P k R sink cs e P k R sink 4

25 dve R P ed Equazini Differenziali R sn linmi di grad uguale al maggire dei gradi dei linmi P ed Tabella rieilgativa f m q A B C m q m q he he he m q e m q e m q e anntazini a b c f a b f A B C A B C a f A B C A B C 4 Ae A e A e A B C e A B C e A B C e c 0 bc 0 a b c f, a b c f a b c f, cs k qsink Acs k B sin k ki, ki k qsink cs A k Bsink cs sin cs e P k Q k cs sin cs e P k Q k cs, ki e M k N sin k, ki e M k N sin k, ki M ed N sn linmi di grad uguale al maggire dei gradi dei linmi P ed Q. 5

26 a b c 0 0, radici dell equazine caratteristica a b c Ae B e se radici realieedistinte Ae B e A B e se cs sin A q B q e se qi a b c f 0, a b c k k f b b b P k k k Qk se 0 0( c 0) Q se 0 0 ( c 0) Qk se 0 ( b c 0) k k P = linmi di grad k k Q A A A linmi di grad k i cui k k cefficienti vann calclati alicand il rincii di identità dei linmi. f h e cn h, R nti Cn A cstante da determinare. Ae se ( ) A e se A e se f P e k k Qk e se Qk e se Q e se 6

27 cn P linmi di grad k e Q k k linmi di grad k i cui cefficienti vann calclati Q A A A k k alicand il rincii di identità dei linmi. f cs k q sin k cn qk,, valri dati e cn A e B due cstanti da determinare. k k Acs k Bsin k se, i k A cs k B sin k se, i k f P cs k ure f Q sin k ure cs f P k Q sin k r M cs k N sin k se, i k M cs k N sin k se, i k cn P linmi di grad r, Q linmi di grad s. grad uguale al maggire dei gradi dei linmi determinare. P ed M ed N sn linmi di Q ed i cui cefficienti sn da f e cs k q sin k f e cs k sin f e q k e Acs k Bsin k se, ki e A csk B sink se, ki cn A e B due cstanti da determinare. f e P cs k Qsin k f e P cs k sin f e Q k e M cs k N sin k se, ki e M csk N sink se, ki M ed N sn linmi di grad uguale al maggire dei gradi dei linmi ed i cui cefficienti sn da determinare. P ed Q 7

28 N.B. Una equazine di secnd grad uò avere: (0) due radici reali e distinte ure () due radici reali e cincidenti ure () due radici cmlesse e cniugate. 0 a b c d a b c d 0,, radici dell equazine caratteristica Ae B e C e se Ae B e C e Ae B C e se R radici reali e distinte Ae B e C e A B C e se R Ae B cs q C sin q e se R, qi Una equazine algebrica di terz grad uò avere una radice reale e due cmlesse e cniugate, ure tre radici reali. Le radici reali ssn essere tra lr distinte cincidenti. k k f b b b P k k k k k k P = linmi di grad k k Qk se d 0 Q se d 0 c 0 ( 0) Q sec d 0b 0 ( 0) Qk seb c d 0a 0( 0) Q A A A linmi di grad k i cui k k cefficienti vann calclati alicand il rincii di identità dei linmi. f h e cn h, R nti Cn A cstante da determinare. ( ) Ae se A e se A e se A e se 8

29 f P e cn k P linmi di grad k e Q k k k k Q e se k Q e se Q e se Qk e se k k alicand il rincii di identità dei linmi. f cs k q sin k linmi di grad k i cui cefficienti vann calclati Q A A A cn qk,, valri dati e cn A e B due cstanti da determinare. k k Acs k Bsin k se, i k A cs k B sin k se, i k f P cs k ure f Q sin k ure cs f P k Q sin k r M cs k N sin k se, i k M cs k N sin k se, i k cn P linmi di grad r, Q linmi di grad s. grad uguale al maggire dei gradi dei linmi determinare. P ed M ed N sn linmi di Q ed i cui cefficienti sn da f e cs k q sin k f e cs k sin f e q k e Acs k Bsin k se, ki e A csk B sink se, ki Essend A e B due cstanti da determinarsi. f e P cs k Qsin k f e P cs k sin f e Q k e M cs k N sin k se, ki e M csk N sink se, ki 9

30 M ed N sn linmi di grad uguale al maggire dei gradi dei linmi ed i cui cefficienti sn da determinare. P ed Q 0 4 a b c d e 4 a b c d e 0,,, 4 radici dell equazine caratteristica 4 Ae B e C e D e se 4 R 4 A B e C e D e se 4 R A B e C D e se 4 R Ae B C D e se 4 R A B C D e se 4 R Ae B e C csq D sinqe se R,4 iq A B e C csq D sinqe se R,4 iq m Acs n B sin n e C cs q D sin q e se, m in,4 q i Una equazine algebrica di quart grad uò avere (0) 4 radici reali (0) radici reali e due radici cmlesse e cniugate (0) quattr radici cmlesse a due a due cniugate. Nn uò avere un numer disari di radici reali un numer disari di radici cmlesse. Infatti, una equazine algebrica, se ammette una radice cmlessa ammette anche la sua cniugata. k k f b b b P k k k k k Q se d e c 4 a b c d e 0 Qk se e 0 Q se e 0 d 0 ( 0) 0 0 ( 0) Q sec d e 0b 0( 0) 4 Qk seb c d e 0 a 0( 4 0) k k P = linmi di grad k k Q A A A linmi di grad k i cui k k cefficienti vann calclati alicand il rincii di identità dei linmi. 0

31 f h e cn h, R nti cn A cstante da determinare. f P e cn k P linmi di grad k e Q k Ae se A e se 4 4 ( ) A e se k k k Q e se A e se 4 4 A e se 4 Q e se k 4 Q e se 4 4 Q e se 4 4 Qk e se 4 k k alicand il rincii di identità dei linmi. k linmi di grad k i cui cefficienti vann calclati Q A A A k k f cs k q sin k cn qk,, valri dati e cn A e B due cstanti da determinare. Acs k Bsin k se, i k,4 i k A cs k B sin k se, i k,4 i k f P cs k ure f Q sin k ure cs f P k Q sin k r cn P linmi di grad r, M cs k N sin k se, i k,4 i k M cs k N sin k se, i k,4 i k Q linmi di grad s. grad uguale al maggire dei gradi dei linmi determinare. P ed M ed N sn linmi di Q ed i cui cefficienti sn da f e cs k q sin k f e cs k sin f e q k e Acs k B sin k se, ki,4 ki e A csk B sink se, ki,4 ki Essend A e B due cstanti da determinarsi.

32 f e P cs k Qsin k f e P cs k sin M ed f e Q k e M cs k N sin k se, ki,4 ki e M csk N sink se, ki,4 ki N sn linmi di grad uguale al maggire dei gradi dei linmi ed i cui cefficienti sn da determinare. Equazini differenziali rdinarie P ed Q Definizine: Si chiama equazine differenziale (rdinaria) di rdine n una equazine del ti: n F,,,,, 0 [] dve F è una funzine assegnata che lega la variabile indiendente cn la funzine incgnita n e le sue derivate successive,,, fin all rdine n. Ordine di una equazine differenziale è il massim rdine di derivazine che aare nell equazine stessa. Una equazine differenziale di rdine n si dice ridtta a frma nrmale quand è rislta risett alla derivata di rdine massim, ciè quand la [] è equivalente ad una equazine del ti: n n f,,,,, [] dve ƒ è una funzine assegnata delle ( n ) variabili,,,,, n. Particlarmente imrtanti sn le equazini differenziali lineari di rdine n, ciè le equazini differenziali del ti: n n n n a a a a f [] Il nme lineare è dvut al fatt che in essa la e le sue derivate successive hann esnente un (ciè sn termini di rim grad) e nn sn mltilicate tra lr. Se risulta f 0 l equazine differenziale si dice mgenea, in cas cntrari si dice cmleta. Una equazine differenziale lineare di rdine n mgenea ha la seguente frma: Una funzine a a a a [4] n n n n n 0, definita e cntinua nell intervall I n e tale che risulti I : F,,,, 0 n R, derivabile n vlte in tale intervall, si dice integrale sluzine dell equazine differenziale []. Pertant integrare l equazine differenziale [] significa determinare una funzine stessa. Ogni sluzine che, [5] I, verifica l equazine di una equazine differenziale di rdine n cntiene n cstanti

33 arbitrarie. Queste cstanti sn cmletamente ed univcamente determinate quand, accant all equazine [], assegniam n cndizini. Le cndizini da imrre ssn essere di natura diversa, e dann lug a rblemi diversi, i iù ntevli dei quali sn: a) rblema dei valri iniziali ( di Cauch) se è assegnat l stat iniziale del sistema, ciè se, in crrisndenza di un determinat valre della variabile indiendente, cnsciam i valri della e delle sue rime ( n ) derivate. b) rblemi ai limiti, nei quali le cndizini rescritte riguardan almen due valri distinti della variabile indiendente. Prblemi ai valri iniziali Assegnare l stat iniziale della iù generale funzine che verifica l equazine [] significa che sn da cnsiderarsi nti i valri: che la funzine incgnita n,,, [6] n e le sue rime ( n ) derivate assumn in crrisndenza del valre iniziale della variabile indiendente. Un rblema ai valri iniziali cnsiste nella ricerca di una sluzine della [] che verifichi le cndizini [6]. Integrale generale Si dice integrale generale dell equazine [] una funzine che diende dalla variabile indiendente e da n arametri c, c,, tale che: ) la,,,, (cstanti di integrazine) c c c c n [7],,,, n c c c n e le sue derivate successive fin all rdine n verifichin la [] I ed indiendentemente dai valri attribuiti alle n cstanti c, c,, ) le n cstanti c, c,, c n sian linearmente indiendenti Quest significa quand in crrisndenza di gni refissat stat iniziale del sistema individuat dai valri n,,,, il sistema di n equazini:, c, c,, cn, c, c,, cn..., c, c,, cn n n c n [8]

34 nelle n incgnite c, c,, è rislubile, ciè ammette una sla sluzine. c n Integrali articlari Integrale articlare dell equazine differenziale [] è un qualsiasi integrale che si uò ttenere dall integrale generale [7] er una articlare scelta delle cstanti d integrazine c, c,,. c n Integrale singlare Integrale singlare di un equazine differenziale è un integrale dell equazine differenziale rsta che nn è deducibile assegnand valri articlari alle cstanti arbitrarie dell integrale generale [7]. Quindi l Integrale singlare è una funzine che nn diende da alcuna cstante e nn uò essere ricavat dall integrale generale er articlari valri numerici delle cstanti c, c,,, ma che è sluzine dell equazine differenziale cnsiderata. c n Da ciò si deduce che l Integrale singlare di una equazine differenziale nn esaurisce la ttalità delle curve integrali. 8 Equazini differenziali lineari di rdine n 7 Se dell equazine differenziale lineare mgenea a a a a n n n n n 0 cnsciam n integrali articlari,,, fra lr linearmente indiendenti (ciè a Wrnskian divers da zer), allra l integrale generale della [4] è la funzine: c c c [9] n n c, c,, cstanti arbitrarie fra lr linearmente indiendenti. Si sservi che gni integrale c n dell equazine lineare è esrimibile cme cmbinazine lineare di n integrali articlari. Ciè le equazini lineari nn ammettn integrali singlari. n 7 Tale è il cas, ad esemi, dell eventuale invilu eventuale lug gemetric dei unti multili delle curve integrali [7] al variare dei arametri c, c,, c n ( quand, naturalmente, tale invilu lug nn sia una curva limite della famiglia di curve integrali. 8 I diagrammi delle sluzini di una equazine differenziale si dicn curve integrali 4

35 Wrnskian Equazini Differenziali W di n funzini,,, è il determinante frmat dalle n funzini e dalle lr derivate fine all rdine n. Se W 0 le n funzini sn linearmente indiendenti, se W 0 le n funzini sn linearmente diendenti. Pertant er calclare l integrale generale di una equazine differenziale lineare mgenea ccrre saere calclare n integrali articlari dell equazine stessa. Nn si cnscn erò metdi er la ricerca di detti integrali se nn in casi articlari cme nelle equazini lineari a cefficienti cstanti che studierem in seguit. 5 ESEMPIO: 0 n, cme si verifica facilmente c 5 c è l integrale generale dell equazine differenziale data L integrale generale di un equazine differenziale lineare cmleta di rdine n n n n n a a a a f [] n si ttiene aggiungend ad un integrale articlare dell equazine [], l integrale generale della crrisndente equazine mgenea: [0] Metd di Lagrange er la risluzine delle equazini differenziali lineari cmlete ( metd della variazine delle cstanti arbitrarie) Quest metd ci cnsente di calclare un integrale articlare l integrale generale quand cnsciam dell equazine mgenea assciata [4]. Cnsideriam er semlicità l equazine del terz rdine: a a a f equazine mgenea assciata: della quale a a a [] 0 avente cme,, sn tre integrali articlari fra lr linearmente indiendenti, ciè a Wrnskian divers da zer. c c c Dell equazine [] ricerchiam un integrale articlare avente una esressine frmale analga a quella dell integrale generale dell equazine mgenea assciata, nella quale erò alle cstanti c c c,, si sstituiscn tre funzini,, derivabili e da determinare. [] 5

36 cn Equazini Differenziali,, ( rima indicate cn c, c, c ) funzini incgnite da determinare in md che esse verifichin la []. 9 W Si dimstra che le funzini seguente sistema nelle incgnite Si ttiene: [4],, si ttengn rislvend cn la regla di Cramer il,, e i integrand le suddette funzini: 0 0 f W W W d A d B Un integrale articlare dell equazine differenziale [] è: [5] d C d d d A B C L integrale generale dell equazine [] è: 0 Equazini lineari del secnd rdine a cefficienti variabili Cnsider l equazine differenziale lineare del secnd rdine a cefficienti variabili A a a a f e l equazine mgenea ad essa assciata: a a a B 0 9 Le funzini cnsenta di calclarle,, le cnsciam reventivamente dbbiam cnscere qualche metd che ci 0 W, W, W 6

37 Sian ed due integrali articlari dell equazine mgenea assciata e suniam che sian linearmente indiendenti (ciè a Wrnskian divers da zer), ciè tali che nn sia ssibile trvare alcuna cstante k er cui risulti: k Si dice che le funzini ed cstituiscn un sistema fndamentale di sluzini dell equazine mgenea assciata. Si uò dimstrare che l integrale generale dell equazine mgenea assciata è: C C. Passiam ra a definire la struttura dell integrale generale dell equazine lineare cmleta. Se è un qualsiasi integrale articlare dell equazine lineare cmleta, si dimstra che l integrale generale dell equazine cmleta è del ti: C C ciè è dat dalla smma di un su integrale articlare e dell integrale generale dell equazine mgenea assciata. Definita csì la struttura delle sluzini di un equazine differenziale lineare del secnd rdine, il rblema della sua integrazine eslicita è ancra ben lungi dall essere rislt, erché si debbn determinare sia il sistema fndamentale di sluzini l integrale articlare calclare cstanti. ed ed dell mgenea assciata, sia dell equazine lineare cmleta. Un metd generale che ermetta di esiste sltant er le equazini differenziali lineari a cefficienti Vediam se è ssibile determinare un integrale articlare dell equazine differenziale cmleta quand cnsciam due integrali articlari dell equazine mgenea assciata, e vediam se tale integrale ssa avere la stessa struttura di C C dve le cstanti C e C sn sstituite da due funzini Dell equazine A ricerchiam un integrale articlare e. avente una esressine frmale analga a quella dell integrale generale dell equazine mgenea assciata, nella quale erò alle cstanti, C C si sstituiscn due funzini, derivabili e da determinare. [] 7

38 cn, (rima indicate cn, verifichin la A. C W Si dimstra che le funzini, sistema nelle incgnite, Si ttiene: C C ) funzini incgnite da determinare in md che esse si ttengn rislvend cn la regla di Cramer il seguente e i integrand le suddette funzini: 0 f W W Un integrale articlare dell equazine differenziale [] è: [5] d A d B d d A B L integrale generale dell equazine [] è: ln Esemi: [] L equazine mgenea assciata è: 0 [] a, a sn due integrali articlari dell equazine differenziale [] cme si verifica facilmente. L integrale generale dell equazine differenziale mgenea [] è: C C Vediam se ssiam ricavare un integrale articlare della [] avente la stessa struttura dell integrale generale C C della [], vediam, ciè, se esiste una funzine del che sia integrale articlare della []. ti La rissta è sitiva se alichiam il metd di Lagrange, cme abbiam vist in recedenza. 8

39 W W ln W, d 0 ln W 0 ln W ln W ln ln k ln W 0 ln ln ln d ln k ln ln ln = integrale articlare della [] C ln C L integrale generale della [] è: Equazini lineari del secnd rdine a cefficienti variabili: un cas articlare Ni saiam che nn esistn regle generali er integrare equazini differenziali del ti A, a men che nn si tratti di un equazine di Euler di articlari equazini cme quelle trattate nei aragrafi recedenti. Le equazini differenziali lineari del secnd rdine a cefficienti variabili si ssn rislvere quand cnsciam un integrale articlare dell equazine mgenea assciata. (In recedenza abbiam vist che di integrali articlari ne ccrrn due) In quest aragraf vgliam ricercare metdi generali er l integrazine di una equazine differenziale lineare del secnd rdine a cefficienti variabili del ti: A a a a f quand cnsciam un integrale articlare dell equazine mgenea assciata a a a Pniam: u u cn u u 0 u funzine da determinare u u u u Sstituend nella [4], sviluand e semlificand tteniam: a u a a u 0 [5] 9

40 d avere sservat che a a a 0 in quant la funzine è un integrale articlare dell equazine differenziale [4]. Per integrare l equazine differenziale [5] si ne u t [ u t ] e si ttiene: a t a a t 0 [6] Si tratta di una equazine lineare mgenea del rim rdine (da rislvere cme equazine a variabili searabili) il cui integrale generale uò essere facilmente calclat. u C d C [7] Suniam che ess sia: t u C Dand alle cstanti C e C valri arbitrari, ad esemi C e C 0, ed utilizzand la relazine u d articlare ( ) dell equazine [4]. L integrale generale della [4] sarà: C C Per verificare che i due integrali articlari trviam un secnd integrale e basta calclare il lr wrnskian e cnstatare che è 0. sn fra lr linearmente indiendenti Trvat l integrale generale dell equazine differenziale [4] ssiam trvare un integrale articlare dell equazine differenziale [] e quindi il su integrale generale. tg 0 Un su integrale articlare è u sin Png: sin u tteng : cs u sin u cs cs sin u u u sin u sin sin u u u sin u sin u 0 cs cs cs u sin u sin u sin cs u 0 cs Png u t [ u t ] sin t cs sin t cs 0 d t t cs sin d sin cs d t t sin cs cs sin d ln ln cs ln ln ln sin cs sin cs, t sin t sin cs, u sin cs cs sin u d tg ctg sin cs, Pertant un altr integrale articlare è: u sin u cs, u sin, sin tg cs sin 0,

41 sin sin tg ct g cs cs cs cs cs cs cs L integrale generale dell equazine differenziale data è : C sin C sec cs u tg ct g, sec cs Per verificare che gli integrali articlari cnstatare che il determinante del wrnskian di u e W u u u e sn linearmente indiendenti basta è 0. sin sec cs cs sin cs sin tg 0 Equazini differenziali lineari mgenee a cefficienti ctanti: cas generale cn n n n n n 54 a a a a a a, a, a,, a, a cstanti. n n 0 Per rislvere l equazine differenziale 54 si cnsidera l equazine caratteristica assciata: 56 a a a a a n n n n n 0 che ammette n radici, che ssn essere reali cmlesse, distinte cincidenti. Esaminiam i vari casi: (0) L equazine 56 ssiede n radici reali e distinte,,,, n A queste radici crrisndn n integrali articlari indiendenti aventi la seguente esressine algebrica: e, e, e n,, e L integrale generale della 54 è: C e C e C e C e C e n n n n (0) Le radici dell equazine 56 sn tutte reali, ma nn sn tutte distinte in quant qualcuna di esse è multila Per fissare le idee suniam che sia: n 7, (la radice ha mltelicità ), 4 5 (la radice ha mltelicità ), 6 e 7 hann mltelicità, ciè sn radici semlici. In quest cas l integrale generale dell equazine differenziale lineare mgenea 54 è: n 4

42 6 7 C e C e C e C e C e C e C e ciè: 6 7 C C e C C e C e C e C e (0) L equazine 56 ssiede qualche cia di radici cmlesse e cniugate, ad esemi: iq iq Due integrali articlari dell equazine differenziale 54 sn: iq e Alicand le frmule di Euler abbiam: iq iq e e e e cs q i sin q e iq iq iq e e e e cs q i sin q Piché cmbinazini lineari di integrali articlari generan altri integrali articlari ssiam sceglie queste cmbinazini lineari cme integrali articlari. e cs q L integrale generale dell equazine 54 è: i e sin q 4 e C cs q e C sin q C e C e 4 4 e C cs q C sin q C e C e 4 Esemi: Cnsider la sua equazine caratteristica: che ssiede radici reali e distinte:,, L integrale generale dell equazine differenziale rsta è: C e C e C e Cnsider la sua equazine caratteristica: che ssiede due radici distinte, la rima cn mltelicità, la secnda cn mltelicità :, 4 5 L integrale generale dell equazine differenziale rsta è: C e C e C e C e C e ,, i, 4 i ( 0, q ) 4 C e C e C cs C sin = integrale generale Equazini differenziali lineari mgenee cmlete a cefficienti ctanti: 4

43 cn n n cas generale n n n 57 a a a a a f n n a, a, a,, a, a cstanti. L integrale generale dell equazine differenziale Dve 57 è: 58 è l integrale generale (che saiam calclare) dell equazine differenziale mgenea assciata, mentre saiam calclare cl metd di Lagrange. è un integrale articlare dell equazine cmleta 57 che Piché tale metd risulta, a vlte, labris nei calcli, esniam un metd indirett er la determinazine dell integrale articlare, chiamat metd dei cefficienti indeterminati. Tale metd viene alicat quand il termine ft avente una articlare frma analitica. f dell equazine 57 è una funzine Prim cas: L equazine Metd dei cefficienti indeterminati k k f è un linmi di grad k, ciè: f b b b P 59 r 57 ammette cme integrale articlare il linmi Q r r k k Q A A A k dve r è l rdine di mltelicità della radice 0 dell equazine caratteristica e Q un linmi a cefficienti Quest significa che il linmi 56 a a a a a n n n n n 0 k, ciè: A i indeterminati avente l stess grad k del termine nt: k k 59 f b b b Q ha la seguente esressine: k k 60 Q A A A A Se risulta: an 0 allra è: r 0 (la radice 0 k k Se risulta: an0an 0 allra è: r (la radice 0 ) nn esiste Q Se risulta: an an 0an 0 allra è: r (la radice 0 e csì di seguit. k ha mltelicità ) Q ha mltelicità ). Q 4